Введение к работе
Актуальность темы
Изучение геодезических линий на римановых многообразиях является классической проблемой дифференциальной геометрии, активно исследуемой и в настоящее время по нескольким основным направлениям.
Ряд исследований посвящен интегрированию уравнений геодезических для конкретных видов поверхностей, например, классический результат Якоби о геодезических на эллипсоиде1, описание метрик на сфере с геодезическим потоком, имеющим квадратичный по скоростям интеграл, полученное В.Н. Колокольцо-вым2, работа А.В. Болсинова, В.В. Козлова, А.Т. Фоменко, в которой с помощью принципа Мопертюи найдены метрики на сфере, геодезические потоки которых возникают из интегрируемых случаев динамики твердого тела3.
Другое направление исследований посвящено замкнутым геодезическим4. Одной из первых работ в этом направлении была статья Пуанкаре5, посвященная нахождению замкнутых геодезических на выпуклых поверхностях, гомео-морфных сфере. Развитие вариационного подхода к этим вопросам привело к оценкам числа замкнутых геодезических, в том числе замечательному результату Люстерника-Шнирельмана о существовании на поверхности, гомеоморфной сфере, трех замкнутых геодезических без самопересечений. Также были обнаружены классы римановых многообразий, на которых все геодезические являются замкнутыми без самопересечений. Их свойства активно исследуются6.
Также большой интерес привлекают вопросы о проявлениях хаотической динамики в системах, описывающих геодезические. Рассматриваются различные свойства динамики, такие как эргодичность, лиувиллева энтропия, топологическая энтропия и другие. В частности, V. Donnay в работе7 построил пример метрики на сфере, имеющей эргодический геодезический поток. Монография Д.В. Аносова8 посвящена свойствам геодезических потоков на замкнутых ри-
1C.G.J. Jacoby, Vorlesungen iiber Dynamik, Reiner, Berlin (1884). В.Н. Колокольцов, Геодезические потоки на двумерных многообразиях с дополнительным полиномиальным по скоростям первым интегралом, Известия АН СССР. Сер. матем. 1982, т. 46, № 5, с. 994-1010.
А.В. Болсинов, В.В. Козлов, А.Т. Фоменко, Принцип Мопертюи и геодезические потоки на сфере, возникающие из интегрируемых случаев динамики твердого тела, УМН, 1995, 50:3(303), 3-32. В. Клингенберг, Лекции о замкнутых геодезических, М.: Мир, 1982. 5Н. Poincare, Sur les lignes geodesique des surfaces convexes, Trans. Amer. Math. Soc. 6 (1905), 237-274. А. Бессе, Многообразия с замкнутыми геодезическими, М.: Мир, 1981. 7V. Donnay, Geodesic flow on the two-sphere, Part I: positive measure entropy, Ergod. Th. & Dynam. Sys. 8 (1989) 531-553.
Д.В. Аносов, Геодезические потоки на замкнутых римановых многообразиях отрицательной кривизны, Тр. МИАН СССР, 90, ред. И. Г. Петровский, 1967.
мановых многообразиях отрицательной кривизны, в том числе эргодичности.
Еще одно направление исследований возникло из применения к системам, задающим геодезические, топологических методов исследования гамильтоновых систем. Систематическая теория классификации гамильтоновых систем с точностью до естественных топологических изоморфизмов была развита А.Т. Фоменко. В работах9'10'11'12,13,14,15 построены инварианты интегрируемых систем с двумя степенями свободы с точностью до лиувиллевой эквивалентности, т.е. до гомеоморфизма фазовых пространств, переводящего слои лиувиллева слоения одной системы в слои другой. В результате была осуществлена топологическая классификация многочисленных интегрируемых гамильтоновых систем, в том числе геодезических потоков16. Были обнаружены новые изоморфизмы гамильтоновых систем - в смысле топологической классификации. Например, было показано, что задача о геодезических на двумерном эллипсоиде топологически траєкторно эквивалентна случаю Эйлера в динамике твердого тела17.
Помимо интегрируемых случаев, представляет интерес также изучение систем, являющихся слабыми возмущениями известных точно решаемых задач. Это объясняется, с одной стороны, распространенностью таких ситуаций в приложениях, когда одни эффекты оказывают малое влияние на систему по сравнению с другими, и с другой стороны, теми дополнительными возможностями для исследования, которые имеются применительно к возмущениям решенных задач. Этот подход, основанный на теории возмущений, является классическим в аналитической механике и применялся со времен Лагранжа и Лапласа.
Фоменко А.Т., Теория Морса интегрируемых гамильтоновых систем, Доклады АН СССР, 1986, т.287, No.5, с.1071-1075.
Фоменко А.Т., Топология поверхностей постоянной энергии интегрируемых гамильтоновых систем и препятствия к интегрируемости, Известия АН СССР. Серия матем. 1986, т.50, No.6, с.1276-1307.
Фоменко А.Т., Цишанг X., О топологии трехмерных многообразий, возникающих в гамильтоновой механике, Доклады АН СССР, 1987, т.294, No.2, с.283-287.
Фоменко А.Т., Топологические инварианты гамильтоновых систем, интегрируемых по Лиувиллю, Функц. анализ и его приложения. 1988, т.22, вып.4, с.38-51.
Фоменко А.Т., Симплектическая топология вполне интегрируемых гамильтоновых систем, Успехи математических наук, 1989, т.44, вып.1 (265), с.145-173.
Фоменко А.Т., Цишанг X., Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы, Известия АН СССР. 1990, т.54, No.3, с.546-575.
Фоменко А.Т., Топологический инвариант, грубо классифицирующий интегрируемые строго невырожденные гамильтонианы на четырехмерных симплектических многообразиях, Функц. анализ и его приложения. 1991, т.25, вып.4, с.23-35.
А.В. Болсинов, А.Т. Фоменко, Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация, ТТ. 1, 2. Ижевск: Издательский дом «Удмуртский университет», 1999, 444 с. и 448 с.
А.В.Болсинов, А.Т.Фоменко, Геодезический поток эллипсоида траєкторно эквивалентен интегрируемому случаю Эйлера в динамике твердого тела, Доклады РАН, 1994, т.339, No.3, с.293-296.
На современном этапе возникает возможность совместить классические методы теории возмущений с топологическим анализом гамильтоновых систем. Одним из первых шагов в этом направлении стала упомянутая работа Пуанкаре18. Рассматривая слабое возмущение стандартной сферы и комбинируя метод усреднения с топологическими соображениями, Пуанкаре получает следствия о числе замкнутых геодезических.
В настоящей работе мы следуем методу Пуанкаре и рассматриваем геодезические на поверхности, являющейся возмущением стандартной (п — 1)-мерной сферы в n-мерном евклидовом пространстве. С помощью стандартного метода усреднения теории возмущений в аналитической механике19 строится асимптотическая редукция системы, описывающей геодезические на этой поверхности, к гамильтоновой системе меньшей размерности, дающей возможность делать выводы о всей совокупности геодезических на поверхности, не обязательно замкнутых.
Процедура редукции формулируется в терминах преобразований интегральной геометрии - раздела, начавшегося с работ Минковского20, Функа21, Радона22, Иона23 и получившего впоследствии существенное развитие, в чем важную роль сыграли труды И.М. Гельфанда и М.И. Граева24.
Получаемые в результате редукции системы являются гамильтоновыми системами на алгебре Ли-Пуассона so(n). Данный класс систем активно изучается (обзор см., например, в книге25). Ввиду этого представляет интерес изучение изоморфизмов между редуцированными системами для геодезических на деформированных сферах и системами на so(n). В частности, в настоящей работе получен изоморфизм редуцированной системы для (п — 1)-мерного эллипсоида
18Н. Poincare, Sur les lignes geodesique des surfaces convexes, Trans. Amer. Math. Soc. 6 (1905), 237-274. В.И. Арнольд, В.В. Козлов, А.И. Нейштадт, Математические аспекты классической и небесной механики, изд. 2, УРСС, М., 2009.
Г. Минковский, О телах постоянной ширины, Матем. сб., 1905, т. 25, № 3, стр. 505-508. 21P.G. Funk, Uber Flachen mit lauter geschlossenen geodatischen Linien, Mathematische Annalen, Band 74, 1913, p. 278-300.
22 J. Radon, Uber die Bestimmung von Funktionen durch ihre Integralwerte langs gewisser Mannigfaltigkeiten, Berichte uber die Verhandlungen der Sachsische Akademie der Wissenschaften, (69): 262-277, 1917.
23F. John, The ultrahyperbolic differential equation with four independent variables, Duke Mathematical Journal 4 (2): 300-322 (1938).
И.М. Гельфанд, М.И. Граев, Геометрия однородных пространств, представления групп в однородных пространствах и связанные с ними вопросы интегральной геометрии, I, Труды Моск. матем. о-ва 8 (1959), 321—390.
Борисов А.В., Мамаев И.С, Современные методы теории интегрируемых систем, Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.
и частного случая интегрируемой системы Шоттки-Манакова26,27 на so(n).
Значительный интерес представляет изучение геодезических на алгебраических поверхностях, см., например, работы В.В. Козлова28, где доказывается неинтегрируемость задач о геодезических на определенных классах алгебраических поверхностей, и работу29, где сформулированы общие нерешенные проблемы из этой области. Интерес к этой тематике связан, с одной стороны, с тем, что такие задачи возникают в приложениях; в частности, в работе Римана30 обнаружена связь уравнений динамики жидкого эллипсоида с геодезическими на кубической поверхности xyz = const. С другой стороны, представляет интерес исследование связи конфигураций геодезических на алгебраических поверхностях со свойствами этих многообразий, изучаемыми алгебраической геометрией.
В настоящей работе для содержательного класса алгебраических поверхностей, задаваемых уравнением 4-й степени и являющихся малой деформацией двумерной сферы, производится топологическая классификация слоений Ли-увилля гамильтоновых систем, получаемых с помощью асимптотической редукции, путем вычисления для них топологических инвариантов А.Т. Фоменко. При этом прослеживается связь свойств полинома, определяющего алгебраическую поверхность, с топологией слоения Лиувилля редуцированной системы.
Кроме того, исследуется гамильтонова система, описывающая динамику двух классических спинов в постоянном магнитном поле. Эта система используется для описания намагниченности в магнетиках31,32. Используя симметрию задачи, мы осуществляем ее редукцию к системе с двумя фазовыми переменными, допускающей топологическое описание в терминах фазового портрета.
Цель работы
Основная цель диссертации состоит в исследовании свойств геодезических на слабо деформированных сферах методами теории возмущений. В рамках этой цели рассматриваются следующие задачи: описание процедуры редукции
26 F. Schottky, Uber das analytische Problem der Rotation eines starren Korpers in Raume von vier Dimensionen, Sitzungsber. Konig. Preuss. Akad. Wiss. Berlin, 1891, Bd. XIII, S. 227-232.
C.B. Манаков, Замечание об интегрировании уравнений Эйлера динамики n-мерного твердого тела, Функц. анализ и его прил., 1976, т. 10, вып. 4, стр. 93-94.
В. В. Козлов, Топология вещественных алгебраических кривых и интегрируемость геодезических потоков на алгебраических поверхностях, Функц. анализ и его прил., 2008, т. 42, вып. 2, стр. 23-27.
29V.V. Kozlov, Several problems on dynamical systems and mechanics, Nonlinearity, 21, (2008), T149-T155.
Б. Риман, О движении жидкого однородного эллипсоида, в кн.: Сочинения, ОГИЗ, М., Л., 1948, 339-366.
Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский, Статистическая физика, часть 2, Физматлит, Москва (2002).
Е.С. Боровик, В.В. Еременко, А.С. Мильнер, Лекции по магнетизму, Физматлит, Москва (2005).
по методу усреднения для уравнений геодезических на деформированных сферах; изучение свойств получаемых редуцированных систем; исследование топологии слоений Лиувилля конкретных примеров редуцированных систем для геодезических на алгебраических поверхностях, близких к сфере. Также ставится задача редукции гамильтоновой двухспиновой системы во внешнем поле к системе меньшей размерности.
Научная новизна
Результаты диссертации являются новыми. Основные результаты диссертации следующие:
Разработана методика применения преобразований интегральной геометрии для редукции уравнений геодезических на деформированных сферах.
С помощью данной методики решена задача определения топологии редуцированных систем для содержательного класса алгебраических поверхностей, близких к стандартной сфере.
Методы исследования
В работе применяются: метод усреднения для осуществления асимптотической гамильтоновой редукции в задаче о геодезических на деформированных сферах, методы интегральной геометрии для описания редукции и установления свойств усредненных систем, топологические методы исследования гамиль-тоновых систем. В работе существенно используются методы аналитической механики.
Теоретическая и практическая ценность
Диссертация имеет теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего изучения геодезических с помощью теории возмущений, в том числе на алгебраических поверхностях, а также для установления изоморфизмов редуцированных систем для этих задач с системами на алгебрах Ли.
Апробация результатов работы
Результаты диссертации докладывались:
на семинаре кафедры дифференциальной геометрии и приложений Механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (руководитель академик А.Т. Фоменко, неоднократно, 2004, 2010 г.);
на семинаре «Современные геометрические методы» Механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (руководители академик А.Т.Фоменко, д.ф.-м.н. А.В.Болсинов, д.ф.-м.н. А.С.Мищенко, к.ф.-м.н. А.А.Ошемков, к.ф.-м.н. Е.А.Кудрявцева, к.ф.-м.н. И.М.Никонов, 2011 г.);
на семинаре «Узлы и теория представлений» Механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (руководители д.ф.-м.н. В.О. Ман-туров, к.ф.-м.н. Д.П. Ильютко, к.ф.-м.н. И.М. Никонов, 2011 г.);
на учебно-научном семинаре для студентов и аспирантов «Геометрия и топология» Механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова (руководители д.ф.-м.н. Т.Е. Панов, к.ф.-м.н. А.В. Пенской, 2011 г.);
на семинаре лаборатории механики природных катастроф Института проблем механики им. А.Ю. Ишлинского РАН (руководитель д.ф.-м.н. СЮ. Доброхотов, 2010 г.);
на семинаре "Oberseminar Differentialgeometrie" университетов Бохума и Дортмунда, Германия (руководители Prof. Dr. Uwe Abresch, Prof. Dr. Gerhard Knieper, Prof. Dr. Lorenz Schwachhofer, Prof. Dr. Karl Friedrich Siburg, 2010 г.);
на семинаре "Discrete Differential Geometry" Технического университета Берлина, Германия (руководитель Prof. A.I. Bobenko, 2010 г.);
на Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование», Пущино, 2005 г.;
на Международной конференции "Mathematical Modelling and Computational Physics", High Tatra Mountains, Slovakia, 2006 r.
Публикации
Результаты диссертации опубликованы в пяти работах автора, список которых приведен в конце автореферата [1-5].
Структура и объем диссертации
