Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Обзор матричных, частотных и вычислительных методов в исследовании устойчивости .
1. Матричные методы. Иннорный метод.
2. Частотные методы.
3. Вычислительный метод В.И. Зубова.
Глава 2. Рекуррентные методы преобразования коэффициентов при исследовании устойчивости .
1. Алгоритм Евклида. Выделение корней.
2. Метод понижения порядка и критерий асимптотической устойчивости .
3. Операция сдвига и вырожденный случай. Критерий устойчивости.
Глава 3. Сравнительный анализ методов исследования устойчивости .
1. Сравнительный анализ классических матричных методов исследования устойчивости.
2. Сравнительный анализ частотных методов исследования устойчивости .
3. Сравнительный анализ рекуррентных методов исследования устойчивости .
Глава 4. Реализация рекуррентных методов исследования устойчивости и результаты численных экспериментов .
1. Об устойчивости алгоритма.
2. Общие характеристики программ .
3. Программа построения полиномов Гурвица. Программа
исследования полиномов на устойчивость. Заключение. Список литературы.
- Метод понижения порядка и критерий асимптотической устойчивости
- Сравнительный анализ частотных методов исследования устойчивости
- Сравнительный анализ рекуррентных методов исследования устойчивости
- Общие характеристики программ
Метод понижения порядка и критерий асимптотической устойчивости
На практике, для характеристических многочленов сравнительно большой степени использование критерия Рауса-Гурвица становится затруднительным ввиду необходимости подсчета определителей высоких порядков. В этом случае, для определения расположения корней Zj ,...,zn полинома f(z) на комплексной плоскости иногда оказываются более удобными геометрические признаки, эквивалентные критерию Рауса-Гурвица. Наиболее известным из них является критерий Михайлова, который можно использовать не только в практических целях исследования устойчивости отдельных систем, но и в теоретическом плане для решения ряда задач ро-бастной устойчивости. Приведем модифицированное доказательство критерия Михайлова и сделаем из него ряд следствий. Определение 1. Пусть f{z) = a,Q + a z +...+ anz стандартный полином степени п (п 1), т.е. его коэффициенты щ действительны и я0 0, ап Ф О. Кривая где со - действительный положительный параметр (0 со + оо) называется годографом Михайлова функции f{z). Замечание 1. Нетрудно видеть, что полиномы g"(co ) и /г(ш ) имеют следующий вид а вид и знак последнего слагаемого в этих полиномах зависит от четности и степени полинома f(z). Лемма 1. Пусть f{z) - стандартный полином степени п, не имеющий чисто мнимых корней. Тогда угол поворота против хода часовой стрелки ненулевого вектора /(/СО ) при (0 со + оо) равен где т число корней полинома f(z) с положительной вещественной частью (0 т п ) с учетом их кратностей. Обратно, если справедлива формула (2.3), то на положительной полуплоскости Rez 0 расположено точно т корней полиномов f(z), где каждый корень считается столько раз, какова его кратность. Доказательство. Пусть стандартный полином f{z) степени п имеет: 2р[ комплексно - сопряженных корня с отрицательной вещественной частью - а,- ± /р,, at О , (З,- 0, (/ = 1,...,/? ; 2р2 комплексно - сопряженных корня с положительной вещественной частью (Xj ± /р , ссу 0 , Р 0, (j = 1,...,р2 ): #1 действительных отрицательных корня —Ук Ук ( = 1-, ) и q2 действительных положительных корня У і ,У і 0, (/ = 1,...,#2 ) Заметим, что справедливо равенство 2pi + 2р2 + ?i + ?2 =п По основной теореме алгебры полином f(z) разлагается на линейные сомножители z — z , где z - корни этого полинома. Отсюда можно напи Очевидно, что интересующий нас угол поворота вектора f(i(H ) при изменении ш от 0 до +оо равен Arg годографа Михайлова f(i(d ) при изменении со от 0 до +со.
Так как при 0 со + со все множители произведения (2.3) не нулевые, то в силу свойства аргумента произведения двух и более комплексных чисел (Arg (zj z2) = Arg Zi + Arg z2) имеемj=\ k=i где под 4 rg z понимается некоторая непрерывная ветвь многозначной функции arg z + 2кк (k = 0,+1,+2,...) и arg z - главное значение аргумента —те arg z 71 . Для определенности будем считать, что при СО = 0 аргументы всех слагаемых формулы (2.5) равны их главным значениям. Выпишем значения приращения аргумента Ар отдельно для всех слагаемых формулы (2.5). Нетрудно видеть, что в силу строго-монотонного изменения величин: Arg(at + Р, -со + /2агсо), Arg(y к + /со), Arg(dj + Р j - со - /2а7-со), Arg(-y 1 + /со ), при изменении со от 0 до +оо, справедливы равенства 9) Используя равенства (2.6)-(2.9) можно подставить их в формулу (2.5) и просуммировать, получим Ф = рр -р2п +ql--q27 = = -(2 + )--(2 2+) =- (п 2т) (2.10) где т = 2/ 2 + 2 - число корней полиномов f{z), лежащих в правой полуплоскости Rez 0. Итак, формула (2.3) установлена. Пусть для стандартного полинома f{z) степени п не имеющего чисто мнимых корней угол поворота годографа Михайлова f(i( ) при со изменяющимся от 0 до+оо определяется формулой (2.3) и т - число его корней, лежащих в правой полуплоскости комплексного переменного Rez 0. Тогда согласно доказанному выше имеем Отсюда вытекает, что т = т, т.е. полином f(z) имеет в точности т корней на положительной полуплоскости Rez 0.
Лемма доказана. Критерий Михайлова. Для того чтобы стандартный полином f(z), не имеющий чисто мнимых корней, являлся полиномом Гурвица, необходимо и достаточно, чтобы угол поворота против хода часовой стрелки вектора f(i(d ) при со, изменяющимся от 0 до +00, был равен где п - степень полинома (п \). Действительно, полагая т = 0 в формуле (2.3) получим равенство (2.11). Следствие 1. Если для стандартного полинома f(z) степени п имеет место неравенство является полиномом Гурвица. Следствие 2. Если стандартный полином f(z) степени п является полиномом Гурвица, то вектор f(i(d ) при со, изменяющимся от 0 до +оо, монотонно поворачивается против хода часовой стрелки на угол Доказательство. Так как стандартный полином f(z) степени п является полиномом Гурвица, то угол поворота годографа Михайлова /(/со ) при изменении со от 0 до +00 однозначно определяется слагаемыми двух видов (2.6) и (2.8) Покажем, что величины, определяемые формулами (2.12), монотонно увеличиваются при изменении со от 0 до +оо: от 0 до 71 и от 0 до — соответственно. Так как при изменении со от 0 до +оо у комплексной величины у + /СО действительная часть остается постоянной, а мнимая увеличива К ется от 0 до +Q0, то величина ф (со) = Arg(y + /со) монотонно возрас 71 тает от 0 до —. 9 9 9 Комплексная величина a t + (3 i-, — со +/2сСуС0 ведет себя следую /9 9 щим образом: при изменении со от 0 до Ja / + Р 2- её действительная 9 9 /99 часть убывает от а г- + Р , до 0, а мнимая растет от 0 до 2а г- /а / + Р ; . 71 т.е. величина ф г- (со ) монотонно возрастает от 0 до —; при изменении со от Ja / + Р ; до +со её действительная часть убывает от 0 до —со, а мни /2 9 мая растет от 2a i Ja / + Р / до +ао. Для того, чтобы убедиться в том, что
Сравнительный анализ частотных методов исследования устойчивости
В теории автоматического регулирования недостатком критерия Гурвица является так же то, что в случае неустойчивости системы, критерий не дает ответа на то, каким образом надо изменить параметры системы, что бы сделать ее устойчивой. Это обстоятельство привело к поискам других критериев, которые были бы более удобными в инженерной практике. В 1937 году определенную известность в технических кругах получил амплитудно-фазовый критерий инженера А.В. Михайлова. Этот критерий на практике используется для характеристических многочленов сравнительно большой степени, когда матричные критерии становится затруднительно применять, ввиду необходимости подсчета определителей высоких порядков. Критерий Михайлова является геометрическим методом. Он позволяет оценить устойчивость замкнутой системы по виду годографа, который может быть получен из характеристического полинома. Для применения критерия Михайлова необходимо построить годограф: в характеристическом многочлене системы производим замену переменных: Z = Ш) . Тогда характеристический многочлен представляется в виде суммы двух многочленов, которые являются вещественной и мнимой частью годографа Михайлова. Практически кривая Михайлова строиться по точкам. Оказывается, что кривая Михайлова для устойчивых систем всегда имеет плавную спиралевидную форму. Задают несколько разных значений Ш в интервале между 0 и оо (достаточно по одной точке в каждом квандранте), по формулам: кривой Михайлова g(G)) и Й(СО ).
После этого, подсчитывают, сколько квадрантов проходит кривая Михайлова при изменении СО от 0 до оо, против часовой стрелки все время окружая начало координат, причем конец ее уходит в бесконечность, в том квадранте комплексной плоскости, номер которого, равен степени характеристического уравнения, то есть где вращение годографа прекращается. , то есть Для устойчивости необходимо и достаточно чтобы это число ПК равнялось Число квадрантов, больше чем П, кривая Михайлова вообще не может пройти. Поэтому неустойчивость всегда связана с тем, что в кривой Михайлова нарушается последовательность прохождения квадрантов, Получили, что исследование подхода Михайлова - построение и вычисление годографа хотя бы в одной точке 03 сравнимо по числу вычислений с полным решением всей проблемы методом понижения порядка. Другая форма критерия Михайлова состоит в использовании свойства перемежаимости корней многочленов g"(co) и //(о). В самом деле, идя вдоль кривой Михайлова, от точки СО =0, в направлении возрастания СО , мы сначала выходим с оси g"(C0 ), затем пересекаем ось /j(C0 ) потом снова (ш ) и так далее. Это значит что корни уравнений должны следовать поочередно друг за другом, то есть перемежаться. Так как, кривая Михайлова всегда начинается с точки расположенной на вещественной оси, где мнимая часть обращается в нуль h((di) — h(0) = 0, то при постепенном увеличении частоты от 0 до со, должна обращаться сначала в нуль вещественная g(2) затем мнимая /z(C03) потом опять вещественная g(C04) и так далее, причем
Итак, критерий Михайлова позволяет оценить устойчивость системы при непосредственном использовании характеристического многочлена замкнутой системы, предварительно ее не размыкая. Вместе с тем, руководствуясь основными положениями критерия Михайлова, можно составить суждение об устойчивости замкнутой системы по амплитудно-фазовой характеристике разомкнутой системы. Такой критерий носит название критерия устойчивости Найквиста. Для использования критерия Найквиста необходимо построить передаточную функцию цепи и убедиться существуют ли в знаменателе передаточной функции корни лежащие правой полуплоскости и сколько их. Частотная передаточная функция разомкнутой системы представляет собой комплексное число. То есть надо определить качественную картину расположения корней на комплексной полуплоскости. Рассмотрим вспомогательную функцию: Щ (р) = 1 + W(p). Для устойчивости системы в замкнутом состоянии годограф вектора И\ (/?) не должен охватывать начала координат (рис.1).
Сравнительный анализ рекуррентных методов исследования устойчивости
Рассмотрев алгоритм Евклида в главе два, приходим к выводу, что с помощью него можно выделить общие корни двух полиномов, причем любой корень полинома полученного в результате деления двух полиномов друг на друга (остаток), имеет кратность, совпадающую с наименьшей кратностью этого корня для исходных полиномов. Так же с помощью Алгоритма Евклида за конечное число шагов можно построить полиномы, то есть найти все их коэффициенты, корнями которых будут корни исходного полинома Р(х) = UQ + 2jX + #2- +. . + йпХ одинаковых кратностей. Таким образом, будет являться произведением построенных полиномов. Так же получили, что если построить полином, корнями которого являются общие корни полиномов Р(х) и Р (х), то это будет полином, содержащий только корни исходного полинома взятыми с единичными кратностями. Заметим, что дополнительную информацию о кратности различных корней полинома Р{х) можно получить, деля друг на друга полином Р(х) и производные от него высших порядков. В частности, в некоторых случаях, можно даже получить сами кратные корни полинома Р{х), не прибегая к использованию численных методов. Так же, для произвольного полинома f(z) степени П, за конечное число шагов можно построить полином r(z), то есть найти все его коэффициенты, корнями которого будут все симметричные корни исходного полинома f{z) и только они. Для этого надо, рассмотреть два полинома полученных из f(z): корнем g(z) и h(z).
Тогда r(z) будет иметь вид: Суммируя выше сказанное, получим, что любой произвольный полином П- ого порядка, с помощью линейных преобразований его коэффициентов, можно представить в виде произведения трех полиномов, коэффициенты которых однозначно определены с точностью до произвольного общего сомножителя. fsim(z)- будет иметь только корни, являющимися всеми симметричными корнями исходного полинома f(z), с их кратностями. f\(z)- будет иметь корни, являющимися остальными корнями исходного полинома f{z), взятыми по одному. ffa. (z) - будет иметь корни, являющимися только кратными (но не симметричными) корнями исходного полинома f(z), с кратностями на единицу меньше их кратностей в исходном полиноме. Кстати, последний полином можно представить в виде произведения полиномов имеющих корни, являющимися корнями исходного полинома f{z) одинаковой кратности, взятыми по одному. Алгоритм Евклида дает представление полинома в виде произведений нескольких полиномов меньших порядков, то есть является, в некотором смысле, алгоритмом понижения порядка, но он не дает полной качественной картины расположения корней на комплексной полуплоскости и алгоритм деления двух полиномов друг на друга довольно трудоемкий. Наиболее эффективно понизить степень полинома, не изменяя качественной картины расположения корней на комплексной полуплоскости, то есть однозначно решить является ли линейная стационарная система X — Ах асимптотически устойчивой или нет, дать полное представление этой картины, при этом затратить гораздо меньше арифметических операций, можно с помощью метода понижения порядка. Как показано в главе два, что для любого стандартного полинома Гурвица F(z) степени П +1, (п 1), существует единственный порождающий его стандартный полином Гурвица f{z) степени п, коэффициенты которого находятся по формулам:
Продолжая процесс понижения порядка, то есть, переходя по формулам ( ) к стандартному полиному Гурвица на единицу меньшей степени за П шагов, мы получим стандартный полином Гурвица первого порядка a + bz, а 0, Ь 0. Это надо проделать П — 1 раз, проверяя на каждом шаге, являются ли коэффициенты порождающего полинома положительными. Подсчитаем количество арифметических операций. На каждом шаге при переходе к полиному меньшей степени, согласно формулам ( ), требуется 2п + 1 арифметических операций. Таким образом, весь алгоритм метода понижения порядка занимает (включая проверку на положительность коэффициентов полинома на каждом шаге) не более Из этой оценки следует, что метод понижения порядка предпочтительнее всех существующих матричных и геометрических методов исследования устойчивости для систем любого порядка. Это подтверждается опытным путем, с помощью применения программы написанной на основе алгоритма ( ).
Определить является ли система примерно 100 порядка асимптотически устойчивой, если нет, то сколько корней лежит в левой полуплоскости, с помощью это программы можно почти мгновенно. Актуальность исследований по проблеме неустойчивости вычислительных алгоритмов, связана со всеобщим внедрением в практику быстродействующих вычислительных машин. Именно благодаря этому появилась возможность определять устойчивость и неустойчивость при сравнительно больших значениях П . Погрешность решения задачи обуславливается следующими причинами: Математическое описание задачи является неточным, в частности неточно заданы исходные данные решаемой задачи (например, находятся с помощью каких-либо численных методов); Применяемый для решения метод часто является неточным: чтобы получить точное решение математической задачи нужно произвести неограниченное или неприемлемо большое число арифметических операций, поэтому вместо точного решения задачи приходиться прибегать к приближенному; При записи исходных данных, при выполнении арифметических операций и при записи результата производятся округления. Погрешности соответствующие этим причинам называют: Неустранимой погрешностью; Погрешностью метода; Вычислительной погрешностью. Эти погрешности чаще всего в увеличенном размере переходят в результаты вычислений.
Общие характеристики программ
Достижение цели диссертации. В представленной диссертационной работе, выполнен анализ известных, наиболее часто используемых, методов и способов исследования устойчивости линейных стационарных динамических систем по первому приближению X = Ах. Сравнение и оценка их производительности и точности при исследовании на устойчивость характеристических многочленов. Показано, что метод понижения порядка имеет неоспоримое преимущество перед всеми известными методами исследования. Это достигнуто за счет создания нового алгоритма, позволяющего существенно ускорить исследование на устойчивость и составления качественной картины расположения корней на комплексной плоскости. В методе понижения порядка используется значительно меньше арифметических операций по сравнению со всеми известными методами, и они являются линейными преобразованиями коэффициентов характеристического многочлена системы (не надо вычислять определители, не надо находить сами корни характеристического многочлена, нет необходимости строить графики или снимать опытные данные с приборов). Исследована устойчивость алгоритма к вычислительным ошибкам, возникающая из-за машинного округления чисел, в процессе выполнения арифметических операций. Показано, что при использовании машины среднего уровня вычислительная погрешность не является существенной.
По данному алгоритму разработаны программы и опробованы для произвольных полиномов (в том числе для полиномов высокого порядка) на предмет их устойчивости или неустойчивости и построения полиномов Гурвица (то есть асимптотически устойчивых) практически любого порядка (ограниченных лишь ресурсами машины). Научная новизна. С помощью представленных эффективных алгоритмов, реализующих рекуррентные методы линейных преобразований коэффициентов характеристических многочленов систем первого приближения, определить устойчивость многочленом впервые стало возможным за очень малое количество времени (для построения полинома Гурвица 10 порядка и обратной проверки его на устойчивость затратилось менее 3 секунд машинного времени на ЭВМ среднего уровня). Показано преимущество предложенных алгоритмов реализующих рекуррентные методы над остальными по производительности и точности. Также показано, что рекуррентные алгоритмы могут быт применены к мнгосвязным и многоконтурным системам, т.е. к системам большого прядка, которые невозможно исследовать с помощью других методов. Этот метод исследования в основе своей использует известные положения математического анализа, высшей алгебры, теории функций комплексного переменного, теории устойчивости (других наук) и не противоречит их положениям. Базируется на строго доказанных выводах фундаментальных и прикладных наук, что определяет достоверность и обоснованность полученных результатов. Разработанные программы опробованы на компьютерах находящихся, на факультете Прикладной математики - процессов управления СПбГУ, Научном исследовательском институте Вычислительной математики и процессов управления имени В.И. Зубова СПбГУ, а также на домашнем компьютере.
Результаты численных экспериментов анализировались и сопоставлялись с результатами использования других методов и программ на их основе. Полученные в диссертационной работе результаты доказывают практическую значимость диссертационной работы: позволяют значительно увеличить скорость получения результатов исследования, не уменьшая при этом качество, следовательно, в общем, увеличить эффективность работы, затрачивая меньше времени, труда, а при расчете на ЭВМ меньше ресурсов машины, что особенно актуально для исследования устойчивости систем очень больших порядков. Работа представляет теоретический и практический интерес при исследовании устойчивости в различных областях математики, физики, техники и других науках. На основе полученных результатов возможно дальнейшее научное исследование. Апробация работы. Основные положения и результаты работы докладывались и обсуждались на семинарах и конференциях, проводимых на факультете Прикладной математики - прессов управления Санкт-Петербургского Государственного Университета. Были предложены студентам третьего курса для изучения в рамках специализированного курса. Сделано ряд публикаций по теме диссертации. Результаты работы использовались при выполнении ряда хоз.договорных НИР в НИИ ВМ и ПУ им. В.И. Зубова СПбГУ. 1. Барбашин Е.А. Введение теорию устойчивости. - Москва: Наука, 1967г.-223с. 2. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений, том П. - Москва: Физматгиз, 1962г. - 640с. 3. Бесекерский В.А., Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. Москва: Наука, 1966г. - 992с. 4. Блистанова Л.Д., Зубов И.В., Зубов Н.В., Северцев Н.А. Конструктивные методы теории устойчивости и их применение к задачам численного анализа: Уч. пособие. - Санкт-Петербург: Изд-во НИИ Химии СпбГУ , 2002г. - 119 с. 5. В азов В., Форсайт Дж. Разностные методы решения дифференциальных уравнений в частных производных. Москва: ИЛ, 1963г. 6. Воронов А.А., Титов В.К., Новогранов Б.Н. Основы теории автоматического регулирования и управления: Учебное пособие для вузов. Москва: Высшая школа, 1977г. - 519с. 7. Гавурин М.К.. Лекции по методам вычислений. Москва: Наука, Гл. редакция физ.-мат. литературы, 1971г. - 248с. 8. Гавурин М.К., Самокиш Б.А.. Замечания по поводу определения устойчивости вычислительных алгорифмов. Методы вычислений, выпуск 6. Ленинград: Издательство Ленинградского Университета, 1970г. - 13-22с. 9. Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. - Москва: Высшая школа, 1967г. - 472с. Ю.Джури Э.. Инноры и устойчивость динамических систем: перев. с англ. - Москва: «Наука». Главная редакция физико математической литературы. 1979г. - 304 с. 11.Житников В.П., Шерехалина Н.М.. Оценка достоверности численных результатов при наличии нескольких методов решения
