Содержание к диссертации
Введение
Глава I. О решении систем уравнений заданной структуры ... 12
1.1. Правила преобразований систем уравнений... 13
1.2. Случай линейной системы 33
1.3. Случай нелинейной системы 44
Глава 2. Расчёт потокораспржеленш энергетических систем 59
2.1. Метод расчёта гидравлических цепей большого раз мера 59
2.2. Методика расчёта установившихся режимов электри ческих систем 89
Глава 3. Алгоритмы и расчёты 107
3.1. Представление систем, алгоритмы нахождения информационных переменных и построения информационного графа 107
3.2. Алгоритмы преобразования информационного графа и системы уравнения 110
3.3. Алгоритмы расчёта гидравлических и электрических цепей
Заключение 119
Литература
- Случай линейной системы
- Случай нелинейной системы
- Методика расчёта установившихся режимов электри ческих систем
- Алгоритмы преобразования информационного графа и системы уравнения
Введение к работе
Проблема решения систем нелинейных уравнений является одной из основных при расчёте различных технических объектов. При этом за последние годы всё чаще возникает необходимость разработки эффективных методов решения больших систем уравнений. Это обусловлено ростом и укрупнением рассматриваемых объектов, необходимостью комплексного подхода к их расчёту. Кроме того, от эффективности решения систем уравнений зависят многие оптимизационные задачи, где нарастающие размеры системы требуют выработки новых подходов к изучению и реализации решения этих систем [3, 4, 6-8, 18, 23-25, 28, 30, 33-39, 44-46, 51, 52] и др.
Вопросам решения больших систем уравнений уделяется много внимания в работах Д.Д.Рооза, А. Джо ржа, Е.Катхилла, ИДаффа, К.Кеворкяна, Дж.Уилкинсона, Р.Тьюарсона, Дж.Стыоарта, А.Директора, Х.Марковича и многих других [20, 42, 47-49, 57-82]. В этих работах в основном изучаются задачи определённого класса и на этой основе делаются теоретические обобщения.
Особый интерес представляют разреженные системы, привлечению внимания к которым способствовала монография Р.Тьюарсона [47].
Изучение больших систем уравнений стало предметом для многих направлений и является составной частью различных теоретических и практических исследований, как оптимизация больших систем, исследование больших энергосистем и т.д. ([18, 26, 56] и т.д.).
Немаловажную роль в развитии интереса к большим системам играют разработки академиков А.И.Тихонова, А.А.Самарского и их учеников в области построения разностных схем, где получаются сильно разреженные системы, имеющие большой порядок [44,45] и др.
Следует отметить успехи, достигнутые у нас в стране по изучению больших систем, особенно в работах по электротехнике (В.А.Венников, Л.А.Крумм, Д.А.Арзамасцев, Х.Ф.Фазылов, В.С.Ха-чатрян, П.И.Бартоломей, В.И.Ццельчик и многие другие [і, 9, 18, 21, 22, 25, 50, 56]).
В вопросах опознания и характеризации разреженных систем большую роль играет применение теории графов, хотя лишь немногие его результаты нашли прямое применение. Результаты в основном относятся к вопросам декомпозиции системы, т.е. изучению отдельных частей системы таким образом, чтобы в совокупности получить решение в целом.
В численном решении разреженных систем вопрос в основном сводится к разработке таких методов, которые обеспечивали бы уменьшение числа арифметических операций и не требовали бы слишком большой памяти ЭВМ. При этом часто возникает задача решения многих систем одинаковой структуры, т.е. таких систем, которые имеют одинаковый характер вхождения переменных в уравнения, но отличаются численными значениями различных параметров.
Настоящая работа связана с исследованием больших разреженных систем алгебраических уравнений, основанном на анализе структуры вхождения переменных в уравнения.
Целью диссертационной работы является разработка эффективных методов анализа и решения больших разреженных систем, учитывающих структурные особенности конкретных задач, а также алгоритмов и программ, реализующих эти методы. В качестве основного объекта приложений выбраны системы уравнений расчёта режимов гидравлических и электрических систем.
В работе предлагается некоторый метод описания структуры вхождения переменных в системе нелинейных уравнений, который отображает эту структуру в виде информационного графа системы. Даются правила, которые позволяют простым способом при исключении переменных преобразовывать информационный граф. Поскольку информационный граф может быть отображен в виде матрицы, соответствующей нулевым или ненулевым элементам, то преобразование графа и соответствующей ему матрицы позволяют отобразить вхождение переменных в различные уравнения в процессе исключения.
Проделанный анализ не зависит от того, является система линейной или нелинейной и позволяет произвести предварительное распределение памяти ЭВМ как при решении систем линейных уравнений методом Гаусса, так и при решении нелинейных уравнений методом Ньютона, использовавшем метод Гаусса для решения линейных вспомогательных задач.
Даются рекомендации по предварительному упорядочению уравнений и переменных, что обеспечивает слабую заполненность информационных матриц в процессе вычисления.
Приведён ряд новых теорем о свойствах предлагаемых алгоритмов. Полученные результаты показали свою высокую эффективность при их использовании для расчёта гидравлических и электрических сетей. Они позволяют решать систему нелинейных уравнений большого объёма с разреженными информационными матрицами, создать эффективные методы расчёта потокораспределения гидравлических, электрических, газовых и других систем.
Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литератур и приложения.
Глава I посвящена определению общей задачи и в ней приведены основные теоретические результаты диссертационной работы.
В § I.I даётся постановка задачи, вводятся основные понятия и даются правила преобразования, а также проводится предварительная декомпозиция системы.
Случай линейной системы
До сих пор мы не указывали на линейность или нелинейность системы. Для изложения дальнейшего материала будет необходимо конкретизировать вид системы (I.I.5). Вначале будем полагать, что система линейная. В данном случае для нелинейных систем можно представить, что решается линейная система, полученная на каждой итерации метода Ньютона. Отметим, что тогда структура вхождения переменных во всех линейных системах на каждой итерации будет одинаковой. (Решается массовая задача).
Итак, пусть система линейная (линеаризированная). Тогда система (I.I.5) примет вид к - 34 где F. . соответствующие матрицы коэффициентов (или матрицы 4} производных) функции F с переменными Xі ,itj- 1,..-у к Сг - сводные члены. Будем решать систему (I.2.I) методом исключения Гаусса в блочном виде. Так, из первой подсистемы (I.2.I) -(ГЛ І: F,. Xі + Ct) = х1. (1.2.2) Учитывая (1.2.2), из остальных подсистем исключим оч1 . Получим новую систему уравнений где
Далее из первой подсистемы (1.2.3) находим ж. и исключим из остальных подсистем. Продолжая процесс исключения, в /#-ом шагу получим систему к ff?Xі С Г - О, і ,..., Ъ, . где v ) to-i) _ v(iff-1) ( (m-l) уУ w; r n __ r 0 -I) v С ) ( p im-l) yi (/ -/ (1.2.5) CfJ f " 7 Таким образом, получим формулу где коэффициенты вычисляются из реккурентных соотношений (1.2.5). Теорема I.2.I. Граф QtMi является информационным графом для системы (1.2.4). Доказательство непосредственно следует из правила подстановок (теорема 1 1.3) и правила преобразования системы и её информационного графа.
Доказательство. Заметим, что система (I.I.I) приведена к виду (1,1.5), т.е. к виду (I.2.I), с помощью применения правила преобразования системы. При этом информационная матрица получает форму, изображенную на рис. I.I.7. Из теоремы 2.I.I следует, что информационным графом системы (1.2.4) является G Так как матрица Ам соответствует ациклическому подграфу (3L , то доказательство её нижнетреугольности непосредственно следует из леммы I.I.6.
На рис. I.I.8 изображена матрица системы примера I.I.3. Крестами отмечены элементы, которые появятся в процессе исключения. Заметим, что диагональные блоки остаются нижнетреутоль-ными (кроме последнего).
Из доказанной теоремы 1.2.2. следует, что в процессе решения системы методом Гаусса в блочном виде по формулам (1.2.5), (1.2.6), матрицы, которые следует обращать, за исключением последней матрицы F, , , являются нижнетреугольными, что может дать существенный эффект при вычислении.
При этом отметим, что в практических задачах, где имеем дело с разреженными системами, как правило, размерность последней матрицы "FL? оказывается незначительной по сравнению с размером целой системы.
Рассмотрим теперь какой будет структура недиагональных блоков в процессе исключения. Обозначим через ж ч і = d,„, ч k размерность матрицы Пусть Kt = Щ f nL - ц._ + ntL f і = 2,..., k.
Обозначим через , ., . элементы матрицы ту. Лемма I.2.I. (Принцип запрета). Для всех /# = d9..., "к-і справедливо равенство Доказательство. Для облегчения восприятия доказательства рассмотрим рис. 1,2,1, где показаны расположения матриц F.. { hff\
Пусть элемент ХУ W Ж У О г. nt:, d Р ± М. матрицы F. . отличается от нуля (на рис. этот элемент пока-зан жирной точкой). Посмотрим, какими тогда должны быть элемен-ты /?-ой строки матрицы F. . . Из леммы следует, что тогда любой элемент f( fr l-K i-i +Ю Д0ЛЖ9Н равняться УШ 2 A-v -у (На рис. 1.2.1 место расположения этих элементов показано жирной
Предположим обратное, пусть существует элемент с . } , ; где 4. q - 1 , который отличается ,( п? от нуля. (На рис. I.2.I этот элемент показан жирной точкой на ,(м) матрице р. г ). Заметим, что элемент f n + »)( +р) отличается от нуля и является элементом, который исключается в процессе исключения.
Пусть элемент {, ч. N (на рис. I.2.I этот элемент показан жирной точкой на матрице Fc S ) на очередном ст этапе исключается из матрицы F- . Тогда, как легко заметить, при исключении строки ft- . + t на матрице г - появится ненулевой элемент -С. . _, л 4,Ф Q . На ри сунке это можно наблвдать более наглядно. (Элемент показан кресло ) тиком на матрице F, . ). То есть оказывается ненулевым элемент, (fK ) принадлежащий верхней треугольной части матрицы Т , что hi противоречит условию его нижнетреугольности (теорема 1.2.2). Лемма доказана.
Бели более внимательно рассматривать процесс исключения, то заметим, что если элемент X , ч ,„ . (при условии леммы І.2.І) не равен нулю, то в матрице F,T могут быть об-разованы новые элементы в процессе исключения диагональных элементов F. . . Это следует из нижнетреугольности матрицы К. і Lf с. с,с. Нетрудно доказать, что это будут те элементы, соответствующие вершины которых в графе G достижимы из вершин с номером Итак, пусть « +ki , , ,..,,- те вершины, которые достижимы в графе . из вершины у . Тогда лемму 1.2.I можно уточнить.
Случай нелинейной системы
Рассмотрим систему (I.I.I), принимая её нелинейной. Как было указано в I.I после применения правила преобразований система приобретает вид (I.I.5).
Заметим, что если зафиксировать информационные переменные некоторых уравнений, то оставшиеся уравнения (I.I.5) можно рассматривать как замкнутую систему относительно оставшихся переменных. Это обстоятельство служит основой для модификации метода Ньютона при решении систем вида (I.I.5).
Для того, чтобы лучше понять суть предполагаемой модификации, вначале рассмотрим случай двухуровневой системы, когда после преобразования система разделена на две подсистемы, т.е. когда в системе (I.I.5) -fe, = 2. (В случае многоуровневой системы в данном случае можно выделить первый уровень и все остальные, если, конечно, первый уровень достаточно большой).
Итак, в этом случае систему (I.I.5) можно представить в виде Т(х\ хг) = 0, (I.3.I) Fa(x , хг) = 0, (1.3.2) где Xі {X:\. т , Хг=1к,]. 7
Допустим, что переменные хг= х\х фиксированы, т.е. им даны приближения X . Подставляя эти значения х в (I.3.I), получим систему Г, (Xі, xh) = 0. (і.з.з) Заметим, что эта замкнутая система ш уравнений и т. переменных Xі , так как х является множеством информационных переменных этой системы (из правила преобразований системы). Далее, из леммы (1.1,6) следует, что информационный граф ( этой системы ациклический, а информационная матрица нижнетреугольная. Следовательно, (из леммы I.I.4) система (1.3.3) может быть решена последовательным вычислением переменных, т.е. на каждом этапе решая нелинейное уравнение іг(Х6) 0 (1.3.4) с одной неизвестной переменной Хі для і = її . СЦдом считать, что система такая, что эти нелинейные уравнения с одной неизвестной переменной имеют решение).
Таким образом, при определённых значениях переменных хг из системы (1.3.3) последовательным вычислением (1.3.4) находим соответствующие значения переменных xL , что даёт основание предполагать, что переменная Xі из подсистемы (1.3.1) может быть выражена через хг , т.е. Xі = Xl(x.z). (1.3.5) (Несмотря на неявный вид выражения (1.3.5), мы имеем возможность (О). Jf (О) 9 к дать значение функции х = X \х J в любой фиксированной точке X ). Подставляя выражение (1.3.5) в подсистему (1.3.2), получим систему у(х,г) 0, (1.3.6) где ср(хг)= F2 V(x2), xz). (I#3.7)
Заметим, что система (1.3.6) является замкнутой системой тг уравнений и їїІг переменных х2 , при этом сг является множеством информационных переменных для этой системы.
Будем решать систему (1.3.6) методом Ньютона. Для этого найдём приращение хг из линейной системы р (ж )2 + f (хг) = 0, (1.3.8) где в силу обозначения (1.3.7) 9Ї1 + й? да (Зцесь учитывается предположение (1.3.5) и берётся производная сложной функции). С другой стороны, из подсистемы (І.З.І) в силу (1.3.5) имеем BIL . ад а п дхг дх Ъоа2- (1.3.9) (По предположению (1.3.5) х.1 выражался через х2 из подсистемы (1.3.I). Следовательно, это же значение вставляется в (I.3.I), т.е. Fi(xi(a!a)7 xz)=0 ) Умножим обе стороны (1.3.9) на х2 , т.е. на приращение системы (1.3.6). Тогда системы (1.3.8)
Таким образом, вводя неявные подстановки (1.3.5) переменных X из подсистемы (І.З.І) в подсистему (1.3.2), мы получим систему меньшей размерности (1.3.6), для решения которой предложена схема, т.е. указан способ нахождения приращений неявной системы (1.3.6) при решении её методом Ньютона.
Отметим, что на практике для разреженных систем число уравнений в системе (1.3.6) меньше половины числа всех уравнений системы (І.І.І). Резюмируем сказанное.
Теорема І.З.І. Пусть система (І.І.І) приведена к виду (І.З.І), (1.3.2) путём преобразования по указанным выше правилам. Если при фиксированных значениях переменных Хг система (1.3.3) легко разрешима, то решение системы (І.З.І), (1.3.2) сводится к решению по методу Ньютона системы меньшей размерности (1.3.6).
Заметим, что теорема І.З.І справедлива для любых двухуровневых систем (І.З.І), (1.3.2), если при фиксации в первом уровне информационных переменных осг второго уровня, полученная система (1.3.3) легко разрешима (т.е. решение тривиальное и время решения системы можно игнорировать).
В случае, когда система (1.3.3) имеет ациклический информационный граф, то решение сводится к поочередному вычислению переменных (лемма I.I.6), время вычисления которых мы полагаем незначительным, т.е. его можно игнорировать. А при симметричном вхождении информационных переменных, как это встречается во многих практических задачах, система (1.3.3) представляет собой совокупность несвязных уравнений одной неизвестной переменной (в этом случае её информационный граф - устойчивое множество). (В некоторых прикладных задачах, как это будет указано в главе 2, решение системы (1.3.3) сводится к последовательному решению квадратичных или линейных уравнений одной неизвестной переменной). Выводы теоремы 1.3.I дают возможность обобщать предложенный приём при решении многоуровневых систем, поочередно разлагая их на двухуровневые.
Методика расчёта установившихся режимов электри ческих систем
Расчёты режимов электрических систем имеют важное значение для эксплуатационных, проектных и научно-исследовательских организаций, диспетчерского управления, а также при решении задачи оптимизации режимов 117,24,42].
Ниже рассмотрим некоторые подходы к применению описанного в главе I аппарата структурного анализа для решения этой задачи. При этом будут указаны особенности метода преобразования системы (см. I.I) при различных вариациях его применения.
Расчёт установившегося режима электрической системы сводится к решению нелішейннх алгебраических уравнений. Чаще всего используется прямая форма уравнения установившихся режимов [21], имеющих вид: "ф fttj( j-",)-S . г= (2.2.1) где V- {uL Л - неособенная матрица узловых проводимостей, неизвестные комплексные узловые напряжения, с0- напряжение балансирующего узла, # - комплексные узловые мощности.
Для дальнейшего изложения систему (2.2.1) представим в виде kO) = 07 і- 1,..., tl, (2.2.2) где Т?Ч-н.)= C&OOf- г л( 0) - Я - мерная вектор функция fi- мерной переменной 4L = ( uif.,,? -it ). Прежде чем приступим к анализу структуры системы, рассмотрим как образуются уравнения (2.2.1).
Задаётся схема электрической сети (граф схемы). Пусть Ge (Ve,E ) - граф схемы, где V « { ,..., « J множество вершин, Е6- - множество ребер. Для каждого ребра (с? -б .с)е Е задаётся соответствующая проводимость . При ( , с;ё EC - ft. - = 0, i j . Далее, ,; есть сумма проводимостей ребер, инцидентных к вершине -efy It і= і,,,., И, -и .. = 23 f . Таким образом, матрица У разреженная и имеет диагональное преобладание. Пусть У{ - множество номеров вершин, инцидентных к вершине , включая номер I , т.е. Рассмотрим t -ое уравнение системы (2.2.2). Заметим, что Забудет номера переменных, реально входящих в это уравнение, т.е.
Таким образом, из графа схемы Сг непосредственно определяются множества переменных, входящие в каждое уравнение системы (2.2.2). Выберем информационные переменные для системы (2.2.2). (Т.е. выберем множество различных представителей из У. / i- if...? п . ). Очевидно, что выбор можно произвести неоднозначно, где различным способам выбора информационных переменных будут соответствовать разные информационные графы, и, следовательно, различные варианты преобразования системы. Ниже рассмотрим несколько вариантов выбора информационных переменных. Заметим, что по определению / є 2J. , -с = I,,,., ft , т.е. функция fi( t) содержит переменную u-i Следовательно, ис можно выбрать информационную переменную -6-го уравнения (2.2.2). (Очевидно, что все уравнения будут иметь различные информационные переменные).
Теорема 2.2.1. Матрица смежности информационного графа симметричная. При этом граф изоморфен графу схемы с Доказательство. Пусть дуга ( , )еЕ . Докажем, что тогда дуга ( ) = Е . Заметим, что из ( ). )е следует, что -Z є tf, , а следовательно на графе схемы ?с вершины -с?-. и ? смежны, т.е. имеет место і є J; . Отсюда С J «ус следует, что (Л)еЕ . Вторая часть теоремы также доказана, так как Gr можно рассматривать как неориентированный граф. (Здесь матрицы смежностей графов d и бс совпадают).
Применим к графу (J и к соответствующей ему системе (2.2.2) правило преобразования ( I.I), т.е. систему (2.2.2) приведём к виду (аналогично (1.1,5) Vt( tlfuzf...7u.k) 0f 1-1,..., к, (2.2.3) где и1 = \ иЛ. т , F. =г \Х,\ 1± - множество номеров вершин (уравнения) , -го уровня, "fe - число уровней.
Для иллюстрации изложенного рассмотрим пример схемы (эквивалентная схема замещения Армянской энергосистемы). На рис.2.2.1 изображены граф схемы б (т.е. граф ( ) (а), информационная матрица соответствующей системы (в) и множества С (б). Граф Gc состоит из 26-ти узлов, один из которых (вершина 26) выбран балансирующим и не рассматривается. После применения правила преобразования вершины графа разделятся на пять уровней: После таких преобразований систему можно решать модифицированным методом Ньютона, описанным в 1.3. При этом для фиксированных переменных гс7),,,, tck на первом уровне будем решать нелинейные (квадратичные) уравнения одной неизвестной переменной Ц1 L\ + -. JEJ Cuj - и ) - 5t. = 0 (2.2.4) Jr с для всех I е. 1Л . То есть информационная переменная и входит нелинейно в I -ое уравнение системы (2.2.2), относительно которой является информационной.
Однако заметим, что в I -ое уравнении (2.2.4) системы (2.2.2) все переменные, кроме и , входят линейно. Следовательно, если была бы возможность выбора информационных переменных таким образом, чтобы для I -ого уравнения информационной оказалась отличная от -а переменная, то при фиксировании некоторой части переменных на первом уровне могли последовательно вычислить переменные из линейной системы. Но отметим, что в общем случае такой выбор невозможен. Для доказательства рассмотрим простой пример. На рис. 2.2.3 изображены схема (граф схемы бс ) (а), соответствующие ей уравнения (б) и множества номеров If (в).
Заметим, что для этой схемы невозможен выбор информационных переменных таким образом, чтобы в каждом і -ом уравнении информационная переменная отличалась от ic , т.к. в этом случае в первом уравнении, как и в третьем, информационным однозначно следует выбрать иг , что недопустимо. (Следует отметить, что и для примера 2.2.1 такой выбор также невозможен).
Однако можно попробовать другой подход. Поставим задачу выбрать информационные переменные таким образом, чтобы информационные переменные в большинстве уравнений (в основном в уравнениях первого уровня преобразования) входили линейно. Для этого внесём определения.
Алгоритмы преобразования информационного графа и системы уравнения
В качестве основного объекта приложений в диссертационной работе выбраны энергетические системы, примерам решения которых уделено много внимания. Как было отмечено в 2.1, уравнения режимов гидравлических цепей получаются из заданной схемы, где в качестве исходной информации даются участки в виде пар ( 9і) -ребра, сопротивление и действующий напор на участке. При этом нумерация вершин графа схемы произвольная (т.е. удобная для проектировщиков). Поэтому первая процедура ввод информации, перенумерация вершин числами из множества [4,,,,,т , нумерация ребер, составление компактных списков смежностей вершин графа, списков инцидентности ребер, списков соответствующих сопротивлений.
Заметим, что алгоритм легко реализуется, так как в его ос нове лежит нахождение лишь одного из простых циклов графа (J. . При этом вершинам и ребрам даются весы и исключение вершины или ребра соответствует присвоению им нового веса. Программа этой процедуры приведена в приложении I (подпрограмма TREE ).
После выделения дерева система уравнений и соответственно переменные разбиваются на две группы. Часть переменных ( Хо и р ) определяются последовательным вычислением и первой части уравнений при фиксированных переменных х (Заметим, что информационный граф первой подсистемы получается ациклическим и в ходе выбора дерева автоматически производится иерархизация). Эту процедуру осуществляет подпрограмма LINEd (приложение I).
Заметим, что тогда в любой точке х. значение функции (2.1.18) определяется из начального вида (2.1.10), используя подпрограмму LINEQ. . При этом определяется также вид информационного графа системы (2.1.18). Далее, применяя подпрограмму HIER (приложение I), проводится преобразование полученного информационного графа системы уравнения. Для построения матрицы Якоби системы (2.1.18) вначале строится матрица В - А„ АЛ (теорема 2.1.5). Так как А - ниж-нетреутольная матрица, то списки матрицы -А определяются без затруднения. Эту процедуру осуществляет подпрограмма СУС (приложение I).
Решение полученных линейных систем по блочному методу исключения производит подпрограмма I5KL (приложение I), где используется информация из подпрограммы ШER о местонахождении нулевых и ненулевых элементов в процессе преобразования.
Таким образом, все вспомогательные процедуры при расчёте гидравлических цепей организуются просто и эффективно. При этом, в процессе решения системы эти алгоритмы выполняются всего один раз (за исключением подпрограммы ISKL ) Общую программу -расчёта гидравлических систем стыкует программа HIDE.0L (приложение I).
В задачах расчёта установившихся режимов электрических систем все алгоритмы также выполняются быстро и эффективно. В отличие от гидравлических систем, в данном случае многие процедуры более упрощаются. К таким процедурам относятся построение информационного графа, построение матрицы Якоби.
Следует отметить, что все описанные алгоритмы работают достаточно быстро и время их реализации полностью окупается при решении классов однотипных систем, в частности, при применении метода Ньютона к нелинейным системам.
По предложенному методу сделаны многочисленные вычислительные эксперименты, решены реальные системы. Особо алгоритмы хорошо себя зарекомендовали при решении энергетических систем, где структура системы весьма удобна для применения вышеизложенных процедур. Сделаны расчёты установившихся режимов Армянской энергосистемы, Сибирской энергосистемы, рассчитаны примеры из книги Хасилева В.Я., Меренкова А.П. і53] и многие другие задачи (приложение 2). Кроме того, в качестве экспериментальной задачи выбрана система, схема которой имеет вид прямоугольной сетки (рис, 3.1). Стороны сетки ( р и ) произвольно расширяются. Нумерация вершин производится последовательно, как отмечено на рисунке 3.1.
В приложении 2 приведены примеры решения гидравлических систем при разных размерах сетки. (Участкам (і ,/ ) в задачах присвоены сопротивления і/ j Юг ). В таблице 3.1 приведены характеристики решения систем гидравлической цепи для задач разных размеров
