Содержание к диссертации
Введение
Об асимптотической устойчивости нелинейных систем дифференциальных уравнений.. 12
Асимптотические положения покоя 24
Асимптотические положения покоя в дискретных системах 24
Асимптотические положения покоя в системах дифференциальных уравнений 33
Асимптотически инвариантные множества... 47
Асимптотически инвариантные множества в дискретных системах 47
Асимптотически инвариантные множества в системах дифференциальных уравнений 57
Асимптотически инвариантные множества в системах дифференциальных уравнений с возмущениями 66
3.4. Оптимизационная задача демпфирования переход ных процессов 75
Глава 4. О возмущении траекторий автономных систем на плоскости 81
4.1. О возмущении траекторий автономных систем диф ференциальных уравнений на плоскости в окрестно сти устойчивого предельного цикла 81
4.2. Оптимизационная задача демпфирования переход ных процессов на плоскости 86
Заключение 94
Библиография
- Асимптотические положения покоя в системах дифференциальных уравнений
- Асимптотически инвариантные множества в системах дифференциальных уравнений
- Асимптотически инвариантные множества в системах дифференциальных уравнений с возмущениями
- Оптимизационная задача демпфирования переход ных процессов на плоскости
Введение к работе
Описание различных явлений, связанных с динамикой течения процессов, осуществляется во многих случаях с помощью нелинейных систем дифференциальных уравнений или, в конце концов, приводится к таким системам. Основная задача прикладной математики состоит в создании наиболее адекватного прогноза поведения системы, описывающей ту или иную физическую модель. Однако, ввиду того, что начальные условия и некоторые параметры системы не могут быть известны абсолютно точно, появляется необходимость исследования не только конкретного движения, но и целого семейства движений, окружающих выбранное. Так появилась проблема, связанная с одним из важнейших свойств систем дифференциальных уравнений, а именно, зависимость её решений от начальных данных и параметров.
Ответ на вопрос о непрерывной и непрерывно-дифференцируемой зависимости решений системы дифференциальных уравнений х = f(t,x,y) от начальных данных (to, жо) и параметров у впервые был дан независимо друг от друга Пикаром (см. Дарбу [11]) и Бендиксоном [10]. Что вместе с теоремой, известной как теорема Гейне-Кантора, о равномерной непрерывности заданной и непрерывной на компактном множестве функции (см., например, [13]), по-видимому, подтолкнуло А. М. Ляпунова, введя естественное обобщение на тот случай, когда некоторое решение системы опре- делено на всей полуоси t ^ О, сформулировать для него понятия устойчивости и асимптотической устойчивости [2]. Самим Ляпуновым в этой работе было предложено несколько различных способов решения данной проблемы. В частности, один из методов, который называется вторым методом Ляпунова опирается на понятие положительно определённых функций, которые в некотором смысле определяют "меру" отклонения возмущённого движения системы от заданного невозмущённого движения той же системы. Теоремы Ляпунова об устойчивости и неустойчивости были обращены последователями этого направления области дифференциальных уравнений, в частности, Н.Н.Красовским [16], К.П. Персидским [38], И.Г. Малкиным [23], В. И. Зубовым [5], и, таким образом, предложенный А. М. Ляпуновым подход является критериальным. В [2] была доказана и основная качественная теорема теории устойчивости движений — теорема об исследовании устойчивости по линейному приближению. С помощью этого метода, Т. Иосидзавой [3] была изучена ограниченность решений, а распространение этих понятий на множества были произведены, в том числе, В.И. Зубовым [4], Т. Иосидзавой [3], Бхатиа и Сеге [9]. Вообще говоря, аналитическим исследованием устойчивости (при конечных и даже бесконечных областях притяжения) вторым методом Ляпунова посвящена обширная литература, в частности монографии [14, 15, 6, 16, 17]. Следует отметить, что многочисленные исследования на тему устойчивости были посвящены изучению вопроса о сохранении глобальных свойств систем дифференциальных уравнений при воздействии на них различного рода возмущений. В математической постановке это означает, что возмущаются начальные условия и сами уравнения, описывающие движение. Впервые влияние малых возмущающих сил на устойчивость движения механических систем исследовано Н. Г. Четаевым [18]. В дальнейшем задача устойчивости при постоянно действующих возмущениях исследовалась многими советскими авторами [19, 20, 21, 22, 24, 25, 26, 27]. Из результатов, полученных зарубежными авторами в этом направлении, отметим работы [17, 29, 30, 31, 32].
Необходимость проведения исследования такого типа задач возникает из того, что при описании реального процесса с помощью дифференциальных уравнений, как правило, не возможно определить все задействованные силы. К тому же на ход событий часто оказывают влияние внешние возмущающие факторы, учесть которые заранее практически невозможно, однако известно, что их влияние можно считать достаточно малым. В этом случае исследователи стараются рассмотреть основные силы, действующие на систему, пренебрегая "малыми". Поэтому, получив описание некоторого физического процесса в дифференциальных уравнениях, которые, вообще говоря, тоже являются приближёнными, важно выяснить, как меняются свойства решений при малых изменениях системы уравнений, то есть при переходе от первоначальной системы к возмущённой.
Ответ на данный вопрос играет огромную роль при проектировании и построении систем автоматического регулирования, так как гарантирует сохранение качественных свойств всех траекторий, находящихся в некоторой окрестности исследуемых движений, при неограниченном возрастании времени. В предлагаемом диссертационном исследовании нас будет интересовать вопрос, сохранит ли система то или иное свойство решений, связанное с устойчивостью, если на систему оказывает воздействие некая внешняя сила, исчезающая при неограниченном возрастании времени. Причём отличие этой силы от постоянно действующих возмущений заключается в том, что на начальном этапе она может принимать достаточно большие по модулю значения.
Исходя из разнообразия качественных свойств нелинейных систем, описывающих математические модели реальных явлений, некоторые авторы вводили различные модификации понятия устойчивости движения, отличающиеся от классического определения устойчивости по Ляпунову , например, в работе [1] изучается предельное поведение движений при неограниченном возрастании времени в том случае, когда предельное многообразие не состоит из траекторий системы дифференциальных уравнений, движения которой изучаются. Внимание исследователей к изучению данной проблемы привлёк В.В. Немыцкий [33], указывая на острую необходимость изучения такого рода движений. В широком классе случаев такое поведение движений сводится к появлению асимптотических положений покоя или расчётно устойчивых движений [34]. Здесь уместно отметить, что понятие асимптотического положения покоя было впервые введено и рассмотрено В.И. Зубовым, который и поставил перед автором данной работы задачу дальнейшего изучения этой проблемы. Его работы [1, 7, 8] и стали отправным пунктом для написания данной диссертационной работы.
В первом параграфе главы 2 введено и исследовано понятие асимптотического положения покоя для систем разностных уравнений.
Во втором параграфе дан метод исследования систем дифференциальных уравнений на наличие асимптотического положения покоя. Метод основан на построении функций типа Ляпунова и некоторой вспомогательной функции Л. В итоге, предложенную в работе В.И. Зубова [1] теорему удалось модифицировать на случай, когда производную функции Ляпунова, в силу рассматриваемой системы дифференциальных уравнений, невозможно представить в виде суммы положительно определённой и исчезающей при t -> +00 функций. Также были получены достаточные условия наличия асимптотического положения покоя для траекторий системы дифференциальных уравнений в целом.
Здесь также можно отметить, что колебания в различных механических, электрических и радиотехнических системах изучаются в конечном счёте с помощью математического аппарата, связанного с нелинейными дифференциальными и разностными уравнениями. Развитие колебаний как в управляемых, так и в неуправляемых системах во многом определяется их стационарными режимами и поведением этих систем в окрестности упомянутых стационарных режимов. Данные колебания рассматриваются на инвариантных множествах и могут отвечать стационарным точкам, периодическим или почти периодическим решениям систем дифференциальных уравнений. Поэтому в этой работе основное внимание уделяется изучению вопроса о поведении интегральных кривых систем дифференциальных уравнений в окрестности периодических орбит и инвариантных множеств.
В первом параграфе третьей главы можно найти обобщение понятия асимптотического положения покоя на случай предельных инвариантных множеств систем разностных уравнений.
Во втором параграфе третьей главы произведено обобщение понятия асимптотического положения покоя на случай предельных траекторий и предельных инвариантных множеств систем дифференциальных уравнений.
Третий параграф этой главы посвящен исследованию асимптотических автоколебаний (или асимптотически инвариантных множеств) в системах дифференциальных уравнений с возмущениями. Напомним, что периодическим автоколебанием системы дифференциальных уравнений х = F{x) называется её периодическое решение, орбитально асимптотически устойчивое по Ляпунову.
А. А. Андронов поставил проблему изучения поведения возмущённой системы [35] x = F{x) + G(t,x) при различных возможных возмущениях G(t, х), а именно, сохраняется ли автоколебательный характер в возмущённой системе, иначе говоря, происходит ли затягивание движений в процесс автоколебания. Это усложняется тем, что инвариантное для невозмущённой системы множество М уже не будет в общем случае инвариантным множеством для возмущённой системы. Решением данной задачи занимался В. И. Зубов. В его работах [1, 6], были получены достаточные условия сохранения асимптотических автоколебаний у возмущённой системы, однако проверка ограниченности решений, вынесенная в условия теорем будет превращаться в целое дополнительное исследование, либо будет накладывать жёсткие ограничения на правые части системы. В данном разделе работы автору удалось сформулировать ряд утверждений, позволяющих обойти данную сложность.
В параграфе 3.4 рассматривается задача перевода траекторий системы дифференциальных уравнений в любую наперёд заданную окрестность некоторого множества с помощью управления оптимального в смысле демпфиривания функции, которая задаёт расстояние от текущей точки на траектории, соответствующей некоторому переходному процессу, до интересующего нас множества.
В первом параграфе четвёртой главе, на основе методов развитых в предыдущих главах, проведено исследование системы двух дифференциальных уравнений на плоскости на наличие асимптотически инвариантного множества. При условии того, что невозмущённая система имела асимптотически устойчивый предельный цикл, получены условия на правые части системы, при которых у возмущённой системы появляется асимптотически инвариантное множество, а возмущающая сила, исчезающая с тече- нием времени, может принимать на начальном этапе достаточно большие по модулю значения.
В параграфе 4.2 четвёртой главы рассматривается ещё одна оптимизационная задача демпфирования переходных процессов. Для системы двух дифференциальных уравнений на плоскости имеющих устойчивый предельный цикл надо построить управление, оптимальное в смысле демпфирования функции V, которое бы при наличии возмущений в системе, сохраняло автоколебательный режим. Получены оценки на возмущения, и на время перехода изображающей точки движения в произвольную окрестность предельного цикла.
На данный момент математический аппарат для решения задач, связанных с исследованием на асимптотическую устойчивость решений систем дифференциальных уравнений, развит достаточно хорошо, и несмотря на то, что полученные результаты применимы к широкому классу уравнений, в общем случае проблема требует дальнейшего исследования. В частности, поиск функций Ляпунова представляет собой довольно сложную задачу, причём универсальных методов построения этих функций не существует, поэтому целесообразно было бы попытаться ослабить условие знакоопределённости производной функции Ляпунова в силу системы. Первыми в этом направлении можно считать работы [14, 16] Н.Н. Красовского и Е.А. Бар-башина, в которых был получен эффективный критерий асимптотической устойчивости, в предположении, что правые части уравнений возмущённого движения автономны или периодически зависят от времени. Позднее, в [12] была показана справедливость теоремы Барбашина-Красовского для почти периодических систем. В данной диссертационной работе, в главе 1 предложен следующий способ исследования асимптотической устойчивости нулевого решения нелинейных нестационарных систем дифференциальных уравнений. Выбираем достаточно простую положительно опреде- лённую функцию Ляпунова V и строим вспомогательную функцию \{t), которая ограничивает область отрицательности производной функции V в силу системы. А по виду функции X(t) мы делаем заключение о поведении решений исследуемой системы дифференциальных уравнений.
При написании работы автор пользовался следующими обозначениями: * — операция транспонирования, ||а; || = \Jx\ + х\ + ... + х\ — евклидова норма вектора, ||Л|| = max \\Лх\\ — матричная норма, IWI=i W = (І? '"' Ю* ~ вектР градиента функции V, знак по тексту обозначает конец доказательства.
При написании работы автор придерживался сквозной нумерации формул, определений и теорем внутри каждой главы.
Асимптотические положения покоя в системах дифференциальных уравнений
Рассмотрим систему обыкновенных дифференциальных уравнений: где х — неизвестная п -мерная вектор-функция скалярного аргумента t. Относительно правой части системы (2.14) будем предполагать, что она непрерывна по всем своим аргументам и липшицева по переменной х на множестве О, = {(t, х) х Є Mn, t 0} , а под x(t, to, XQ) будем понимать решение системы (2.14) проходящее в момент to через точку #0- Следуя [1], введём понятие асимптотического положения покоя.
Определение 2.5. Будем называть положение х = 0 асимптотическим положением покоя для траекторий системы (2.14), если существует некоторая є -окрестность положения х = 0 такая, что любое решение х = x(t,to,xo) системы (2.14), начинающееся в этой окрестности при t = to, о 0, будет ограничено при t to и \\x(t,to,x0) 0.
Определение 2.6. Будем называть положение х = 0 асимптотическим положением покоя для системы (2.14) в целом, если любое решение x(t,to,xo) системы (2.14) ограничено при t to 0 и стремится к нулю при t — +00 .
Рассмотрим функцию V = V(t,x) непрерывную на множестве QH{T) = {(x,t)\\\x\\ H, t T) . Определение 2.7. V(t,х) называется положительно определённой на множестве Г2г(Я), если существует непрерывная при ж Н функция V\(x) такая, что 1. У(і,0) = Уі(0) = 0 при t T, 2. V(t, х) Vi(x) 0 при z Є (О, Н], t Т. Лемма 2.1. Если па множестве 1н{Т) существуют три непрерывные функции X(t), V(t, х) и W(t, х) такие, что: 1. V и W положительно определены в &н{Т); 2. V допускает бесконечно малый высший предел; 3. V Є Cl(Q) и V\(2.u) -W на множестве t T, \\х\\ X(t) ; I X(t) Є (0,Я) и X{t) Ю; то все решения системы (2.14), для которых выполнено условие \\x(t,to,xo)\\ Н при t to, будут стремиться к пулю при t — +оо.
Доказательство. Рассмотрим произвольное решение системы (2.14), удовлетворяющее условию леммы и предположим, что оно не стремится к нулю. Тогда существует положительная величина а Н такая, что имеет место хотя бы одна из трех ситуаций: (А1) существует t\ T такое, что ж(і,о,о) OL ДЛЯ любого t t\\ (А2) существуют t\ Г и две последовательности {&}, { fc} стремящиеся к +оо при к -+ +00, такие, что для всех t t\ выполнено: Ь(М ьяо) А(), 1жЙ , о яо) 0, \\x(tk,to,xo) 1 " " fc-H-oo = а; -35 (АЗ) существуют две последовательности {k} , {tk}, стремящиеся к -foo при к — +оо такие, что я( 1 о,&о) = ( ) я( , о,яо) = В случае (А1) из положительной определенности W(t, х) следует, что существует непрерывная на \\х\\ Я функция W\{x), для которой выполнено соотношение: W(t,x) W\(x) 0 для всех ж Є (0,Я] и t Т. Пусть 7 = 7(01) #) — mni Wi(x). а \\х\\ Н Ясно, что 7 0. Из того, что X(t) - 0 при - +оо, следует, что существует момент #2 = 2 (о;) 1 такой, что: АД а, при t t2. (2.15) Положим = maxfii, } и обозначим v() = V(t,x(t,to,xo)), тогда при всех t будет выполнено: «( ) -7-Проинтегрировав это неравенство в пределах от t до t получим: что невозможно, ибо v(t) 0 для любого , а правая часть неравенства стремится к —со при t — +00 . Покажем, что ситуация (А2) тоже невозможна. V(t, х) положительно определена, следовательно, существует непрерывная на ж Я функция Vi(a;), для которой выполнено соотношение: V(t,x) V\{x) О для всех ж Є (О, Я] и t Т. Пусть величина 77 0 определяется соотношением: т] = г/(a) = min Уі(я). (2.16) =о
В силу второго условия леммы, v(tk) — 0 при к - +оо, следовательно, существует момент з = з(0 Т такой, что v(tк) Г] для всех tk tz-Положим U = тах{ і,І2, з}) гДе h определяется соотношением (2.15), тогда v(t) монотонно убывает при t U, но, начиная с некоторого к, будут выполнены неравенства v(tk) г], a v(tk) т], что противоречит монотонному убыванию функции v(i).
В случае (A3) обязательно существует последовательность отрезков {[Zk,Tk]},Zk - +00 при к - +оо: Кі , о,яо) = A(rfc), я;(г]ь, о,жо) = а, причем: X(t) x(t,io, o) о; для любого і Є [т т ;]. В силу второго условия леммы 2.1 и того, что X(t) -» 0 при t -+ +0О, найдётся такой момент Ц = h(a), что при всех t t% будет выполнено max V(t,x) r1. (2.17) INI=A(0 Рассмотрим функцию v(t) при = тах{І2,з} где момент Ї2 удо влетворяет соотношению (2.15). На каждом отрезке [т,т&] функция v(t) монотонно убывает, следовательно, v{r к) V(T k) С другой стороны, v(jk) Ц в силу (2.16), а ь(тк) г] в силу (2.17). Полученное противо речие и доказывает лемму.
Асимптотически инвариантные множества в системах дифференциальных уравнений
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений = /М, (3-14) где х - неизвестная п-мерная вектор-функция скалярного аргумента t. Относительно правой части системы (3.14) будем предполагать, что она непрерывна по всем своим аргументам и липшицева по переменной х на множестве Q = {{x,t) х Є Rn, t 0} , а под x(t, to,xo) будем понимать решение системы (3.14), проходящее в момент to через точку XQ. Пусть М — ограниченное, замкнутое множество из Жп. Через д(х) обозначим расстояние от точки х до множества М, то есть Q(X)= и& Ik-HI уЄМ Введём в рассмотрение множество fift(T) = {(#,) ж h, t Т}, h О, и предположим, что М целиком содержится в множестве ж h.
Определение 3.6. Вещественная, однозначная, непрерывная функция V(t, х), заданная на множестве lh{T), называется положительно определённой относительно множества М на множестве С1н{Т), если V(t,x) = О при g(x) = 0, и существует непрерывная функция V\(x), заданная при ж h, такая, что Vi(x) = 0 для всех х Є М, V\(x) 0 при д(х) О, и выполнено неравенство V(t, х) V[(x) на множестве \\х\\ h, t T.
Определение 3.7. Вещественная, однозначная, заданная на множестве Qft(T), функция V(t, х) допускает бесконечно малый высший предел относительно множества М, если V(t, х) равномерно относительно t Т стремится к нулю при Q(X) — 0.
Определение 3.8. Ограниченное, замкнутое множество М из W1 назовём асимптотически инвариантным множеством для траекторий системы (3.14), если существует є-окрестность множества М, д(х) є, такая, что любое решение x(t,to,xo) системы (3.14), начинающееся в этой окрестности при t = to, to - О, будет ограничено при t " to, и, кроме того, е(я(Мо,яо))- И). Лемма 3.1. Если на множестве Пд(Т) существуют три непрерывные функции X(t), V(t, х) и W(t, х) такие, что: 1. V и W полооїсительно определены относительно М на Г2 (Т"); 2. V допускает бесконечно малый высший предел относительно М; 3. V Є C OftfT)) и ч(з.і4) — W на мпооюестве Q(X) X(t); I X(t) Є (0,h) и X(t) »0; -++00 то все решения системы (3.14), для которых выполнено условие ж(Мо,жо) пРи t t будут удовлетворять соотношению g(x(t,to,xo)) — 0 при t — +00. (3.15) Доказательство. Рассмотрим произвольное решение системы (3.14), удовлетворяющее условию леммы и предположим, что условие (3.15) не выполнено. Тогда существует положительная величина а Н такая, что имеет место одна из трёх ситуаций: -59 1 Существует Ті Т такое, что g(x(t,to,xo)) а для всех t Т\. 2 Существуют Ті Т и последовательности {ifc} -» +оо, {Ї к} — -foo при к — +оо такие, что для любого і Ті выполнено: Q(x(t,t0,xo)) \(t), Q{x(tk)to,x0)) fc +oo e( p , o,«o)) = « 3 Существуют две последовательности {tk} - +оо, {&}-» +оо при к - +оо такие, что (я( » о,яо)) = A(tfc), 0(ж(ї , о,&о)) = « В первом случае, из положительной определённости функции W(t, х) относительно множества М на fift(T), следует, что существует непрерывная при х h функция Wi(a:), Wi(a;) 0 при д(х) 0 и такая, что W(t,x) Wi(a;) для всех ж h и всех t T. Положим in И я) = 7(М) = 7 a Q(x),\\x\%h Ясно, что 7 0- Функция X(t) — 0 при t -ї +оо, следовательно, найдётся Тч = Т2(а) Т такой, что X(t) а для любого t Ті. (3.16)
Положим То = тах{Ті, Ті) и обозначим v{t) = V(t, x(t, to, xo)), тогда при і To будет выполнено «М -7 Проинтегрировав это неравенство в пределах от То до t получим: v(t) v(T0)-j(t0).
Здесь правая часть неравенства стремится к —со при t , а левая неотрицательна для любого , что говорит о том, что первая ситуация невозможна. -60 Рассмотрим вторую ситуацию. V(t, х) положительно определена относительно множества М на &h(T), следовательно, существует непрерывная на множестве \\х\\ h функция Vi(x), V\{x) 0 при д(х) 0 и такая, что V(t,х) Vi(x) для всех х и всех t Т. Пусть т/ 0 выбрано из условия ту = 77(a) = min Vi(x), (3.17) д{х)=а а Тг определяется соотношением (3.16). В силу того, что v(tk) - 0 при к - +00 (это следует из второго условия леммы 3.1), существует момент Тз = Тз(а) Т такой, что v(tk) г] для всех tk Тз. Обозначим через То = тах{Ті,Т2,Тз}, тогда v(t) монотонно убывает при t То, но, начиная с некоторого к, мы получим v(tk) г], a v(t k) і], что противоречит монотонному убыванию функции v (t).
В третьем случае существует бесконечная последовательность отрезков [Zifej jfe]) Zk " +00 ПРИ к -» +СО, такая, что Q{x(zk,to,x0)) = A(rfc), д(х(тк,к,х0)) = а, причём, g(x(t,to,Xo)) Є [A(t),a] для любого t Є [г , г J. В силу второго условия леммы (3.1), существует Тз = Тз(а) Т такой, что max V(t, а:) 77 для всех t Т3. (3.18) д{х)=Щ Рассмотрим v(t) при t То = тах{Т2,Тз}, где Т 2 определяется условием (3.16). Здесь на каждом отрезке [г &,т&] функция и() будет монотонно убывать, следовательно, v(zk) V(T к). С другой стороны, v(r к) V в силу (3.17), а г (тй) 77 в силу (3.18). Следовательно, и третья ситуация невозможна.
Асимптотически инвариантные множества в системах дифференциальных уравнений с возмущениями
В силу условия (ВЗ) для функции W и предположения относительно непрерывной дифференцируемое V(x) во всём W1, можно утверждать, что: для любых S 0 и А 6 существует число є 0 такое, что Щх) е при К Q(X) А. (3.28) Построим множество, в котором будет выполнено неравенство —Ф(ж) + R(t) 0. Для этого рассмотрим уравнение Ф(ж) = R(t). Для Ф(#) возможны два варианта: (D1) для любого /3 0 существует постоянная а 0 такая, что на множестве Q(X) /3 выполняется неравенство Ф(ж) а; (D2) существует последовательность {хк}, Цх Ц — +оо при к -» +оо такая, что Ф(ж&)
Заметим, что если выполнено условие (D1), тогда будут выполнены все условия теоремы 3.4, и, следовательно, д(х) будет стремиться к нулю при t -» +00 вдоль любого решения системы (3.25). Таким образом, для доказательства теоремы нам достаточно рассмотреть случай (D2). Выберем произвольную монотонную последовательность положительных чисел 1 5i $2 ... 5k ..., 5k -+ 0 при к -ї -boo, тогда из (3.28) следует, что для любого 5k существует Єк 0 такое, что Ф(ж) Sk при 5к б(х) 1 Последовательность Єк выбираем невозрастающей и удовлетворяющей условию: Sk -+ 0 при к — +оо. В силу условия (3.26) существует монотонная последовательность tk -+ +оо, такая, что R(t) Єк для любого t tk, а тогда для любого к на множестве 5k д(х) 1, h будет выполнено неравенство .R() — \ {х) 0.
Далее, выберем ещё одну последовательность положительных чисел 1 Ai А2 ... Afc ..., Afc - +00 при к - +оо. Из (3.28), опять же, следует, что для любого Afc существует ёк 0, при котором выполнено неравенство Ф(ж) 5, если 1 #(#) Afc. Не умаляя общности, опять считаем, что последовательность ёк невозрастающая и є к - 0 при fc - +00. А тогда, в силу условия (3.26), по последовательности (} можно построить монотонно возрастающую последовательность {tk} — +оо при к -» +0О, такую, что R(t) Sk Для любого t tk. Из этого следует, что для любого к на множестве 1 д(х) . Ak, t tк тоже будет выполнено неравенство R(t) — Ф(#) 0.
Далее, построим последовательность {tk}, где tk = max{tk,tk}, и введём в рассмотрение множества Qk = {{б,ї) 5k д Afc, t 4}. На множестве Г2 = ULX fifc построим кривую д = \(t): \(t) = { A w ht ih 1 Лій Є [0,1], t h -72 где функция Аг (і) непрерывна и монотонно возрастает от 1 до +со на множестве t t\, функция Xi(t) непрерывна и монотонно убывает от 1 до 0 на множестве t tі и Лі(іі) = Аг і), а тогда для всех t t\, Ai(t) д(х) Аг() выполнено: V — УУ(а;)Ф(аг), то есть V (325ч отрицательно определена на множестве X\(t) д{х) Аг(), t t\.
Теперь выберем произвольную точку {to,xo) и покажем, что g(x(t,to,xo)) - 0 при t - +00. Сначала покажем, что функция x(t,to,xo) ограничена при t to. Пусть не так, тогда существует последовательность {k}k=i о такая, что е(ягК ,«о,я?о))- +оо (3.29) при к - +00. Тогда для x(t,to,xo) и /і из (С2) возможны две ситуации: (Е1) существует i to такое, что (#(, о о)) Для любого ; (Е2) существуют последовательность {щ} =і (Ь Ш -+ +оо такая, что ( {х{Ш) to, хо)) = h для всех А; 1.
Рассмотрим ситуацию (Е1). Обозначим v(t) = V(x(t,to,xo)). На множестве д(х) /І справедлива оценка: 1(3.25)= -W+(VV) G(t,x) -W+ \\VV\\R(t) /(К)Л(0. Отсюда получаем: %f Л( ) Проинтегрировав это неравенство на множестве t t вдоль решения ж(, to,xo), принимая во внимание условия теоремы 3.5, получим: v(t) t lw)4R{T)dT L v(t) і -73 (6) Но, из второго условия теоремы 3.5 и (В6) следует, ЧТО / -Мл — +оо v(t) при к — +оо. Таким образом, ситуация (Е1) невозможна.
В ситуации (Е2), исходя из условия (3.29), существует к 1 такое, что g(x(k, to, XQ)) h для всех к к и, кроме того, &. 771. Тогда для любого & при к к существует щ & такое, что (ж(&ъ, to, хо)) = h g(x(t,to,xo)) ПРИ Є ( fcj&l- На каждом из отрезков [ , ] при к К проведём оценку:
Оптимизационная задача демпфирования переход ных процессов на плоскости
Рассмотрим систему (4.1), относительно которой опять же предположим, что она имеет асимптотически устойчивый предельный цикл вида х1 + у2 = 1. Представив правые части системы в виде (4.2) получим следующую систему: х = Фх — шу. у = шх + Фу, Наряду с системой (4.1) рассмотрим управляемую систему: x = f{x,y) + Ri{t) + b1u, (4.10) y = g(x,y) + R2(t) + b2u, где Ъ\ и &2 постоянные строчки размерности г, и - вектор управлений размерности г, функции R\(t) и R2(t) определены и непрерывны на множестве t 0. В полярных координатах х = г cos р, у = г sin /?, система (4.10) будет выглядеть следующим образом: Г = Ф(г, ip) + R\(t) COS If + R2(t) Sin if + b\U COS (p + b2U Sin if, (4.11) гф = гш + R2(t) cos — -Ri(i) sin y? + b2u cos » — b\u sin 9?, где Ф = Ф(г, ) = I?(rcos , rsin )r. Относительно функции Ф опять предположим, что Ф(0, ) = 0 , Ф(1, ) = 0, при каждом г 0 и г 1 функция Ф(г, ) равномерно отделена от нуля на множестве /? Є [0,27г] некоторой константой, зависящей от г, причем, Ф 0 при г 1 и Ф 0 при 0 г 1.
Функция V(r) = 2 определяет расстояние от точки на траектории, соответствующей переходному процессу до предельного цикла. Нам надо управлять системой так, чтобы это расстояние убывало наискорейшим образом, причём, в качестве управлений мы можем брать кусочно непрерывные функции с ограничениями вида «,- 1, i = l,...,r. (4.12) Из [5] известно, что при ограничениях (4.12) управления оптимальные по отношению к демпфированию функции V, то есть доставляющие, в каждый момент времени t, минимальное значение производной функции V в силу системы (4.10), будут иметь вид uf = -8ign((Wrb0, i = l,--.,r, (4.13) где b это j— тый столбец матрицы В = (&, & ;) . Положим ф = ф(г)= max Ф(г,р) и R(t) =JR2M) + R22(t). уЄ[0,2тг] V Предположим, что для любого отрезка [to,r] существует є 0, и для различных точек переключения управления tp Є [to, т], tq Є [to, т] выполнено \tPq\Ze. (4.14) Теорема 4.3. Если у матрицы В найдутся такие линейно независимые столбцы Ьг и V, что: т (pr nr1. где В = {Ьг,Ъ ), тогда любое двиоюение системы (4.10), стартующее из точки находящейся вне произвольной 5— окрестности множества г $С 1, в произвольный момент to, при выбранном законе управления будет попадать в эту 5— окрестность множества г 1 за время t to + (г0 - (1 + 6)), где т = - max Ф(г), г0 = у/х\ + у . ге[1+5,г0] -88 Доказательство. Продифференцируем функцию V в силу системы (4.10), приняв во внимание, что = х, % = г-±у: dv ду 1(4ло)= Г— (Цх2 + у2) + xRi + yRi + tfui + ... + #r«r), г-I г где это строка с координатами (х, у). Выбранное нами управление (4.13) примет вид Uj = —sign {Щ -ф) = —sign ((г — 1) ), і = 1,..., г. Подставим его в выражение для V ,410 , тогда на множестве г 1 будет справедлива оценка: I(4.10)= (г - !) (ф + cos 1 + sin (pR2--\(cos рsin(р)Ьг\ — ... — (cos sin )6r) (r — 1) (Ф + R(t) — cos (fbn + sin6г2І — I cos ipbji + sin bj2\ ).
Обозначим (cos sin ) = UJ , \\ш\\ = 1 и оценим величину о;Ьг + \шУ\. Введём в рассмотрение строчку z = шВ, тогда ш = zB , следовательно, 1 ІИІЦВ , откуда получаем, что
Функции V и W удовлетворяют всем условиям теоремы 2.2 параграфа 2.2, следовательно, для любой точки 7 1, любого о ) 0 и любого сро функция r(t) = r(t,to,ro,(fo) будет стремиться множеству г 1 при t - +00. V = Y- , следовательно, V = (г — 1)г, таким образом, на множестве г 1, t to функция r(t) будет монотонно убывать. Зафиксируем произвольные числа 5 0 и го 1 + . Из вышенаписанного следует, что существует момент U to такой, что r(t ) = 1 + 5 к r(i) 1 + 6 при t U. Положим max Ф(г) = -т О, re[l+S,r0] тогда 1(4.10) -( 1) следовательно, на множестве г 1, t to имеем: г —т, а тогда, г -ro -m(t — to). В момент t = U мы получим: m(t — to) го — (1 + 6), то есть , 0 + (г0 - (1 + 6)). Первое уравнение системы (4.11), замкнутое управлением (4.13) на множестве г 1 будет иметь вид (4.18) г =Ф(г,у?) + R\(t) cos р + R2(t) sin р— - I&n COS ( + 621 SHI p - 6i2COSp + &22Siny , а второе гф =гш + R2{t) cos ip — R\{t) simp+ — sign (6ц cos (p + 621 sin p) (621 cos ip - bnsimp)+ (4-19) - sign (612 cos ip + 622 sin (p) (622 cos p - 612 sin (f).
Производная функции r(t,to,ro, ipo) является непрерывной функцией при выбранном нами законе управления на множестве г 1, причём максимум по всем функциям р от правой части уравнения (4.18) ограничен сверху величиной Ф + R(t) - (\\В У)"1. Таким образом, можно утверждать, что r(t,to,ro,tpo) определена единственным образом как решение уравнения (4.18) при любой известной кусочно-гладкой функции (p(t) и является монотонно убывающей функцией, несмотря на то, что производная функции ip(t), определяемая правой частью уравнения (4.19), не является непрерывной в точках переключения управления фі = — arctg -—\- тгк, ip2 = — arctg -—\- тгк, к Є Z, 021 022 вследствие чего нарушается продолжимость tp{t, to, TQ, іро) в смысле её непрерывной дифференцируемости, но в силу условия (4.14), можно утвер ждать, что p(t,to,ro, po) будет кусочно-гладкой функцией.
Рассуждая далее, предположим, что функция Ф(г,у ) удовлетворяет следующим условиям: Ф(1, ) = 0 при всех ір Є [0,2тг], существует величина А 0 такая, что Ф(г, ір) А на множестве г)1 и {r,ip) —А на множестве г 1. В этом случае система (4.9), опять же, будет иметь предельный цикл г = 1. Нам надо построить управление вида (4.13), которое было бы оптимальным в смысле демпфирования функции V — g и переводило бы любое движение системы (4.10) в произвольно малую окрестность множества г = 1. Как уже было здесь отмечено, управления оптимальные в смысле демпфирования функции V имеют вид (4.13).
