Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Устойчивость разностных систем по нелинейному приближению 10
1. Обобщенно-однородные функции. Системы дифференциальных уравнений с обобщенно-однородными правыми частями 10
2. Сохранение устойчивости при переходе от дифференциальных систем к разностным 15
3. Условия асимптотической устойчивости по обобщенно-однородному приближению 19
4. Построение неавтономных функций Ляпунова 26
Глава II. Исследование устойчивости по части переменных 32
1. Постановка задачи 32
2. Метод В. И. Зубова построения консервативных разностных схем 36
3. Исследование асимптотической устойчивости относительно части переменных но нелинейному приближению 39
4. Уточнение условий асимптотической устойчивости по части переменных 45
5. Устойчивость решений одного класса нелинейных разностных систем 49
6. Управление вращательным движением твердого тела 54
Глава III. Анализ устойчивости положения равновесия векторного уравнения Льенара 61
1. Построение консервативной разностной схемы 61
2. Сохранение устойчивости при переходе от дифференциального уравнения Льенара к разностному 68
3. Исследование системы, находящейся под воздействием возмущений с нулевыми средними значениями 79
4. Другой способ анализа устойчивости уравнения Льенара 98
Заключение 104
Список литературы 105
- Сохранение устойчивости при переходе от дифференциальных систем к разностным
- Построение неавтономных функций Ляпунова
- Исследование асимптотической устойчивости относительно части переменных но нелинейному приближению
- Сохранение устойчивости при переходе от дифференциального уравнения Льенара к разностному
Введение к работе
Многие задачи математической кибернетики приводят к исследованию дискретных динамических систем. Для описания дискретных систем используются уравнения в конечных разностях.
Системы уравнений в конечных разностях изучаются уже давно в различных разделах математики. Вполне естественно, что обилие приложений конечнораз-ностных уравнений повысило к ним интерес.
Большое внимание к исследованию подобных уравнений уделяется в задачах теории управления. Разностные уравнения широко применяются при описании динамических систем с дискретными регуляторами [24], нелинейных импульсных систем [11, 58]. Кроме того, они широко используются при численном интегрировании дифференциальных уравнений различных типов ]17, 24, 57].
Свойства решений разностных уравнений во многом аналогичны свойствам решений соответствующих дифференциальных уравнений. Это обстоятельство позволяет использовать системы разностных уравнений в задачах моделирования и анализа динамики различных реальных объектов, там, где использование непрерывных систем либо не представляется возможным, либо приводит к значительному усложнению этих задач.
В то же время переход от непрерывных уравнений к разностным может повлечь существенное изменение свойств решений системы. При таком переходе нередко нарушается устойчивость.
Устойчивость - важное свойство любого управляемого объекта. Устойчиво движущимся принято называть тот объект, движение которого слабо изменяется под воздействием возмущений. И наоборот, говорят, что объект движется неустойчиво, если его движение сильно изменяется под действием возмущений. Так как в действительности возмущающие силы всегда неизбежно существуют, то задача устойчивости движения приобретает очень важное теоретическое и прикладное значение.
Существенные результаты в исследовании устойчивости разностных систем были достигнуты в работах В. И. Зубова, М. А. Скалкиной, A. Halanay, D. Wexler, J. М. Sanz-Serna, Н. Yoshida и многих других авторов [4, 5, 24, 35, 53, 54, 55, 58, 64, 67].
Проблема эквивалентности преобразований в смысле сохранения устойчивости при переходе от дифференциальных уравнений к соответствующим разностным уравнениям может решаться за счет модификации последних.
Существуют консервативные численные методы интегрирования дифференциальных уравнений, позволяющие учитывать специфику изучаемых систем и сохранять их качественные характеристики [6, 17, 23, 24, 60, 68]. Эти методы можно разделить на два следующих класса. К первому классу можно отнести консервативные методы, полученные из традиционных (неконсервативных) методов с помощью специальных процедур модификации, обеспечивающих выполнение свойства консервативности с заданной степенью точности. Второй класс методов состоит из специальным образом сформированных методов, в которых свойство консервативности заложено изначально.
Использование некоторых консервативных численных методов позволяет решить проблему эквивалентности преобразований в смысле сохранения устойчивости решений при переходе от дифференциальных систем уравнений к соответствующим разностным. К таким методам можно отнести метод В. И. Зубова сохранения интегралов [23, 24]. Построенное согласно методу управление используется в качестве коррекции разностных систем, обеспечивая, тем самым, указанную выше эквивалентность. Но введение управления в систему может привести к значительному ее усложнению. Поэтому важной задачей является определение классов систем, для которых коррекция не нужна и систем, которым она необходима.
Методологический аппарат исследования подобных проблем разрабатывается и совершенствуется уже достаточно давно. Основополагающие результаты были получены еще в конце 19 века А. М. Ляпуновым. Разработанный им прямой (второй) метод анализа устойчивости [32] является весьма полезным при исследовании приведенных выше задач. Метод заключается в построении некоторых вспомогательных функций, обладающих специальными свойствами. Эти функции называют функциями Ляпунова. Прямой метод Ляпунова является основным методом исследования нелинейных систем. Он получил глубокое развитие в трудах Н. Г. Четаева, И. В. Малкина, К. П. Персидского, Е. А. Барбашина, Н. Н. Красовского, В. И. Зубова, В. В. Румянцева, С. Лефшеца, Т. Йошизавы
и многих других ученых [8, 19, 26, 28, 29, 33, 50, 51, 59, 69]. Результаты, полученные для непрерывных систем, в дальнейшем получили распространение и на системы разностных уравнений [11, 24, 58].
Устойчивость динамических систем, правые части которых, представленные в виде ряда по степеням искомых функций, не содержат в указанном разложении линейных членов относительно этих функций, исследуется по нелинейному приближению [12, 26, 33, 66]. Теоремы об устойчивости систем дифференциальных уравнений по нелинейному приближению были доказаны в работах И. Г. Малки-на, Н. Н. Красовского и В. И. Зубова [19, 27, 33]. При этом в качестве первого приближения рассматривались системы с однородными и обобщенно-однородными правыми частями. Для таких систем были определены условия существования однородных (и обобщенно-однородных) функций Ляпунова, с помощью которых удалось установить критерии устойчивости по нелинейному приближению.
Во многих прикладных задачах для нормального функционирования материальной системы достаточно обеспечить устойчивость ее движения не но всем, а только в отношении некоторой части ее переменных. Такие задачи естественным образом возникают при решении ряда механических и технических проблем [13, 22, 50], анализе биологических и экономических моделей [15,61]. Основополагающие результаты в этой области были получены В. В. Румянцевым [14, 48, 50]. В его работах был доказан ряд теорем об устойчивости по части переменных, обобщающих теоремы второго метода Ляпунова, и указаны примеры их приложения в задачах механики. Результаты В. В. Румянцева получили глубокое развитие в трудах К. Кордуняну, В. И. Зубова, В. И. Воротникова, К. Пейффе-ра, А. Хатвани и многих других ученых [13, 18, 34, 62, 63, 65].
Теоремы об устойчивости по части переменных, доказанные для систем обыкновенных дифференциальных уравнений, естественным образом распространяются и на случай разностных систем.
Большое прикладное значение также имеют исследования устойчивости положения равновесия нелинейных колебательных систем [9, 10, 56]. Широкий класс таких систем описывает уравнение Льенара. Оно используется при моделировании различных процессов в механике, биологии, химии, экономике и других отраслях науки [15, 51, 61].
Настоящая диссертационная работа посвящена исследованию описанных выше задач для систем разностных уравнений и направлена на развитие известных математических методов их решения. Основной математический аппарат - метод функций Ляпунова. Работа состоит из трех глав.
В первой главе исследована устойчивость решений разностных систем по нелинейному приближению, где в качестве первого приближения рассматриваются системы с обобщенно-однородными правыми частями.
В первом параграфе приведены основные понятия и вспомогательные утверждения, применяемые в дальнейшем при исследовании устойчивости решений разностных систем по нелинейному приближению.
Во втором параграфе приводится постановка исследуемой задачи. Рассмотрены системы дифференциальных уравнений с обобщенно-однородными правыми частями и соответствующие им разностные системы; Определены условия сохранения асимптотической устойчивости нулевого решения при переходе от дифференциальных уравнений к разностным. В том же ключе приведены условия сохранения неустойчивости нулевого решения системы. Получена оценка скорости стремления решений разностной системы к началу координат. Отметим, что порядок полученной оценки совпадает с порядком аналогичной оценки, установленной В. И. Зубовым для дифференциальных уравнений [18].
В третьем и четвертом параграфах исследовано воздействие на систему ограниченных и неограниченных возмущений. Определены классы возмущений, не нарушающих асимптотическую устойчивость нулевого решения системы. В том числе установлен класс возмущений, для которых асимптотическая устойчивость сохраняется и в случае, когда порядок возмущений может быть ниже порядка функций, стоящих в правых частях системы первого приближения.
Вторая глава посвящена изучению условий асимптотической устойчивости по части переменных решений разностных систем.
Первый и второй параграф носят вспомогательный характер. В первом приведены основные определения и утверждения, касающиеся устойчивости но части неременных, используемые в главе. Во втором параграфе описан метод В. И. Зубова построения консервативных разностных схем [18].
Далее в главе исследуются условия устойчивости разностных систем в кри-
тических случаях. Здесь развивается теорема Ляпунова-Малкина об устойчивости в критических случаях нескольких нулевых корней [33] для систем, первое приближение которых является существенно нелинейным. В третьем параграфе наряду с исследуемой системой разностных уравнений рассматривается ее первое приближение, которое можно разделить на две изолированные подсистемы: асимптотически устойчивую подсистему с обобщенно-однородными правыми частями и подсистему, имеющую устойчивое нулевое решение. С помощью метода функций Ляпунова найдены достаточные условия устойчивости но всем переменным и асимптотической устойчивости по отношению к части переменных решений нелинейных разностных систем по первому приближению указанного вида.
В 4 определен класс неавтономных возмущений, для которых можно ослабить условия устойчивости, полученные в предыдущем параграфе. Доказано, что порядок этих возмущений может быть меньше порядка функций, входящих в правые части первого приближения исходной системы.
В пятом параграфе рассматривается система дифференциальных уравнений специального вида. В соответствии с теоремой В. И. Зубова о каноническом разложении силового поля [22] предполагается, что правые части системы представляют собой сумму потенциальной и соленоидальной составляющих поля. Указанная системы имеет нулевое решение устойчивое по всем и асимптотически устойчивое по части переменных. Доказано, что разностная система, соответствующая исходной системе дифференциальных уравнений, может иметь неустойчивое но части неременных нулевое решение. Для сохранения устойчивости в разностную систему вводится управление. Управление строится методом В. И. Зубова сохранения интегралов. Доказательство устойчивости по всем переменным и асимптотической устойчивости по отношению к части переменных нулевого решения скорректированной системы проводится с использованием дискретного аналога теоремы В. В. Румянцева об асимптотической устойчивости.
В шестом параграфе, на основе методов, используемых в 3 и 5, рассматривается задача гашения угловых движений твердого тела но одной и двум из трех главных центральных осей инерции.
В третьей главе приведено исследование векторного уравнения Льенара, ши-
роко использующегося при моделировании различных реальных систем и процессов.
В 1 рассматривается система дифференциальных уравнений Льенара с асимптотически устойчивым нулевым решением. Доказано, что нулевое решение разностных уравнений, соответствующих исходной дифференциальной системе, может быть неустойчивым. Согласованность, в смысле сохранения устойчивости нулевого решения, достигается за счет введения в разностную систему управления. Управления строится методом В. И. Зубова.
Во втором параграфе доказывается асимптотическая устойчивость нулевого решения скорректированной системы. Проводится оценка скорости стремления решений к началу координат. Исследуется воздействие на систему ограниченных возмущений. Определен класс возмущающих сил, которые не нарушают асимптотическую устойчивость нулевого решения системы.
В третьем параграфе исследуются условия сохранения асимптотической устойчивости нулевого решения при возмущениях, порядок которых может быть ниже порядка функций входящих, в правые части рассматриваемой системы.
В 4 рассматривается иной подход к анализу разностного уравнения Льенара. Использование других, нежели в 1-3, условий на правые части системы, позволяет ослабить ограничения на параметры системы, полученные ранее. Однако, отметим, что результаты параграфа 4 распространяются не на весь класс систем, рассмотренный в 1-3.
В заключении формулируются основные положения диссертации, выносимые на защиту.
Настоящая работа основана на результатах автора, опубликованных в статьях [37]-[42].
Параграфы каждой из трех глав имеют свою нумерацию. Утверждения, замечания и формулы внутри каждой главы также имеют свою нумерацию.
Сохранение устойчивости при переходе от дифференциальных систем к разностным
Исследуем связь между устойчивостью решений непрерывных и дискретных систем. Воспользуемся самым простым методом перехода от непрерывных систем к дискретным - методом Эйлера. Системе (1.3) в таком случае будет соответствовать разностная система вида Xk+1=Xk + hF(Xk), (2.1) где к = 0,1,..., h 0 - шаг дискретизации. Замечание 2.1. В главе I в уравнениях (2.1) можно использовать h — 1, так как результаты, установленные в этой главе, не зависят от величины шага h. Замечание 2.2. Подходы, предлагаемые в настоящей работе, допускают распространение на случаи, когда для перехода от непрерывных систем к дискретным вместо метода Эйлера используются и более сложные методы построения разностных схем. В соответствии с замечанием 2.1, будем рассматривать систему XM=Xk + F(Xk). (2.2) Пусть нулевое решение системы дифференциальных уравнений (1.3) асимптотически устойчиво. Определим условия сохранения асимптотической устойчивости нулевого решения при переходе от дифференциальной системы (1.3) к разностной системе (2.2). Замечание 2.3. Подобная задача для дифференциальных систем с однородными правыми частями была рассмотрена в работе [4]. Теорема 2.1. Из асимптотической устойчивости пулевого решения системы (1.3) следует асимптотическая устойчивость пулевого решения системы (2.2).
В работе [5] был рассмотрен пример, в котором представлена разностная система с однородной правой частью, имеющая асимптотически устойчивое нулевое решение. В примере показано, что нулевое решение соответствующей дифференциальной системы не является асимптотически устойчивым. То есть утверждение, обратное утверждению теоремы 2.1, вообще говоря, неверно.
Аналогичным образом можно показать, что при выполнении некоторых дополнительных условий из неустойчивости нулевого решения системы (1.3) следует неустойчивость нулевого решения разностной системы (2.2). Теорема 2.2. Пусть нулевое решение системы (1.3) неустойчиво, причем для этой системы существуют заданные и непрерывные при всех X Є Еп функции Ляпунова V(X) и W(X), обладающие свойствами: 1) V(X) и W(X) - обобщенно-однородные функции класса (mi,...,mn) порядка т — а и т соответственно, т - положительное рациональное число с нечетным знаменателем. 2) функция V(X) не является знакопостоянной отрицательной, а функция W(X) положительно определена; 3) функция V(X) непрерывно дифференцируема при всех X Є Еп и удовлетворяет уравнению I I F{X) = W(X). Тогда нулевое решение системы (2.2) неустойчиво. Теорема 2.2 доказывается аналогично теореме 2.1. Таким образом, как следует из теорем 2.1 и 2.2, имеет место согласованность в смысле сохранения асимптотической устойчивости и неустойчивости нулевых решений дифференциальной и соответствующей ей разностной систем.
При доказательстве теоремы 2.1 было установлено существование числа 8 О такого, что для любого решения Xk системы (2.2) с начальными данными Х/ю = Хо, удовлетворяющими условиям ко 0, г(Х0) 8, при всех к ко выполняется соотношение V(Xk+i) V(Xk) _ Ьтт( к), где Ь 0. Аналогичным образом можно показать, что если 8 достаточно мало, то найдется 6 0 такое, что при всех к ко имеем V(Xk+i) V(Xk) — brm(Xk). Таким образом, принимая во внимание неравенство (1.4), получаем, что для решений системы (2.2), начинающихся при к = ко в 5-окрестности точки X = 0, при к = ко, о + 1) справедливы соотношения V(X„) - Ь (Ш2) V{XM) V(Xh) - Ь (Ш2) . (2.3) Для построения оценки скорости стремления решений системы (2.2) к началу координат приведем следующие вспомогательные утверждения. Лемма 2.1 [4]. Пусть для членов последовательности {vk} выполнены неравенства О Vk+i Vk — ауь, к = О,1,..., где а О, А 0, Vo 0, aXv 1 1. Тогда при всех к = О,1,... справедлива оценка vk v0{l + а(Х - 1)UQ lk)-—K (2.4) Лемма 2.2 [4]. Пусть для членов последовательности {vk} выполнены неравенства Vk — avl Vk+i (аА)- 31, k = 0,1,..., где а 0, А 0, VQ 0, 2аА -1 1. Тогда при всех k = 0,1,... справедлива оценка vo (1 + 2а(А - l) -1 )- vk. (2.5) Применяя к соотношениям (1.4) и (2.3) леммы 2.1 и 2.2, получим, что имеет место следующая теорема. Теорема 2.3. Существует число Si 0 такое, что для любого решения Хк системы (2.2) с начальными данными Хк0 — XQ, удовлетворяющими условиям ко 0, г(Хо) S\, при всех к ко выполняется неравенство cir(X0)( l+c2r(X0)(k-k0) )- r(Xfc) c3r(X0)( l+Cir(X0)(k-k0) ) ±. (2.6) г,-. /аЛ5 2Ь(т /аЛ" 26ст Здесь сі = — ) , с2 = —7 г, сз = — I , сА = — г. \a2J ai(m-a) \aij а2{тп-сг) Доказательство. Несложно проверить, что все условия приведенных выше лемм выполнены. Тогда, выражая функцию г(Х) из (1.4) и подставляя ее в неравенства (2.4) и (2.5), получим ахГт-{Хк) а2гт-{Х0) + b ъ-о т — а (а2гт-а(Х0)) (к-к0) a2rm-(Xk) airm-{X0) + 2 т — а (airm-(X0)) (k-k0) Отсюда и следует неравенство (2.6). Теорема доказана. Замечание 2.5. Порядок найденной оценки (2.6) совпадает с порядком оценки, полученной В. И. Зубовым в работе [18] для систем дифференциальных уравнений с обобщенно-однородными правыми частями (см. 1).
Построение неавтономных функций Ляпунова
В теореме 3.1 было доказано, что для сохранения асимптотической устойчивости нулевого решения системы (2.2) при воздействии на нее возмущений достаточно, чтобы порядок их компонент был выше порядка соответствующих компонент обобщенно-однородных функций, стоящих в правой части системы. Покажем, что для некоторых классов неавтономных возмущений асимптотическая устойчивость сохраняется и в случае, когда порядок их компонент ниже порядка соответствующих компонент функций, входящих в правые части невозмущенной системы.
Пусть компоненты вектора возмущений Rk(X) в системе (3.1) имеют вид I, i=l где bksj — постоянные коэффициенты, qSj{X) — непрерывно дифференцируемые обобщенно-однородные класса (mi,...,m„) порядка j + т3 функции, s = 1,п, 13 — натуральные числа. Тогда систему (3.1) можно записать в следующей форме Хк+1 = Хк + F(Xk) + BkQ(Xk). (4.1) п Здесь Вк — постоянная матрица размерности п х I, I = U, элементы которой bkSj = haj-u-i при j = t3-i + 1,.-Л, где t3 = J2h, k = 0 и bksj = 0 при j j=0 . { _i + 1,.-Л}, то есть, В к = ( Ьт Ъкп ЬШі 0 0 О 0 0 0 0 О О 0 О Ьк2\ Ьк22 Ьк212 о о о о о \ о О 0 0 0 о о о ъкп1 ькп2 ЪЫп J a Q{X) — вектор размерности I следующего вида QP0 = ( 7И 912)..., Ч\ h, ?21, fe, —, Q2l2, ЧпЪ 7п2, —і Чп /„) , где = qsj(X). Пусть нулевое решение системы (1.3) асимптотически устойчиво, тогда и нулевое решение системы (2.2) будет асимптотически устойчивым (см. теорему 2.1). В теореме 3.1 было доказано сохранение асимптотической устойчивости нулевого решения возмущенной системы при j а. Покажем, что это свойство нулевого решения возмущенной системы может иметь место и в случае, когда j о .
Предположим, что последовательность {.} является ограниченной. Рассмотрим функции Ляпунова V(X) и W(X), использовавшиеся при доказательстве теоремы 2.1. В дополнение к условиям, наложенным на функции V(X) и W(X), бу-дехМ считать, что V(X) - дважды непрерывно дифференцируемая функция (для этого достаточно, чтобы правые части уравнений (1.3) были дважды непрерывно дифференцируемыми [18]).
В работе [3] были проведены подобные исследования устойчивости нулевого решения дифференциальных систем по обобщенно-однородному первому приближению. Был установлен класс возмущающих воздействий, не нарушающих асимптотическую устойчивость, порядок которых мог быть меньше порядка обобщенно-однородных функций первого приближения. Аналогичный анализ условий сохранения устойчивости, но по однородному первому приближению был проведен для разностных систем в работе [5].
Далее по аналогии с доказательством теоремы 3.3 можно показать существование положительных чисел г/, А и L таких, что если начальные данные системы (4.1) удовлетворяют условиям (3.3), то при всех к ко имеет место неравенства (3.4).
Уравнения вида (4.5) описывают движения широкого класса электромеханических систем. Такие уравнения используются также при моделировании различных процессов в биологии, химии, экономике [15, 51, 61].
Следовательно, последовательность {Ck}, построенная по формулам (4.2), является ограниченной. Тогда к уравнениям (4.7) можно применить теорему 4.1. Получим следующее условие асимптотической устойчивости: а р/2.
Пусть теперь /(i) = sin \/ї- В работе [4] доказано, что в данном случае соответствующая последовательность (4.2) удовлетворяет предельному соотношению (4.4) для любого /? Є (1/2,1]. Тогда но теореме 4.2 нулевое решение системы (4.7) будет асимптотически устойчивым при а Зр/4.
Исследование асимптотической устойчивости относительно части переменных но нелинейному приближению
Далее в настоящей главе исследуются условия устойчивости разностных систем в критических случаях. Предположим, что система дифференциальных уравнений (1.1) иредставима в виде X = AX + M(t,X,Y), \ Y = CY + D{t,X,Y), где векторные функции M(t,X, Y) и D(t, X, Y) в области t О, \\Z\\ Н непрерывны по і и удовлетворяют условию Липшица по Z; А и С - постоянные матрицы. Пусть, кроме того, функции M(t, X, Y) и D(t, X, Y) удовлетворяют условиям M((,0,Y)S0, D[t,0,Y)s0, ШЫШрЬЬЖ при \\Х\\ + У — 0 равномерно относительно t 0. Первым приближением для указанной выше системы будем называть систему Х = АХ, Y = CY. Случаи, когда характеристическое уравнение системы первого приближения не имеет корней с положительной вещественной частью, однако имеет такие, у которых вещественные части равны нулю, называют критическими. Устойчивость, асимптотическая устойчивость или неустойчивость исходной нелинейной системы определяется через дополнительное исследование уравнений с учетом нелинейных слагаемых.
Устойчивость систем дифференциальных уравнений в критическом случае одного нулевого корня была исследована А. М. Ляпуновым. При С = 0 известна теорема Ляпунова-Малкина об устойчивости в критическом случае нескольких нулевых корней [33]. В работах В. И. Воротникова и ряда других авторов [13, 36, 45] эта теорема получила распространение на системы дифференциальных уравнений, у которых С ф 0. А. Ю. Александровым было получено обобщение теоремы Ляпунова-Малкина на случай, когда система первого приближения является существенно нелинейной [3]. В статье А. Ю. Александрова и А. П. Жабко данный результат был распространен на системы разностных уравнений [5].
Таким образом, нулевое решение уравнений (3.2) асимптотически устойчиво, а нулевое решение уравнений (3.3) является устойчивым. Теорема 3.1. При выполнении неравенства А а нулевое решение системы (3.1) устойчиво по всем переменным и асимптотически Х-устойчиво. Доказательство. Рассмотрим функции Ляпунова V(X) и W(X) обобщенно-однородные класса (mi,..., тп) порядка т — а и га соответственно, для которых верно равенство dV/dt = W. Здесь m — положительное рациональное число с нечетным знаменателем. Причем V(X) — непрерывно дифференцируемая, положительно определенная функция, a W(X) — отрицательно определенная.
Пусть нулевое решение системы X — F{X) асимптотически устойчиво. Тогда существуют функции Ляпунова V(X) и W{X), обладающие теми же свойствами, что и в предыдущем параграфе. В дополнение к условиям, наложенным на функцию Ляпунова V(X), будем считать, что она дважды непрерывно дифференцируема (для этого достаточно, чтобы правые части уравнений X = F(X) были дважды непрерывно дифференцируемыми [18]).
Наряду с системой (4.1) рассмотрим систему нелинейного приближения (3.2), (3.3). Кроме того, предположим, что существует функция V\k(Y), заданная при к = 0,1,..., У Н (Н - положительная постоянная) и удовлетворяющая свойствам 1)-3) из предыдущего параграфа.
Сохранение устойчивости при переходе от дифференциального уравнения Льенара к разностному
С помощью управления (1.7) проводим коррекцию системы (1.4) (то есть прибавим к ее правым частям произведение градиента функции Ляпунова на найденное управление). В оценке для ДУ1 слагаемые -Ci/iXfcm+p+1 + 7/iyifcs+1 представляют собой отрицательно определенную функцию. Покажем, что параметр s можно выбрать так, чтобы остальные слагаемые не нарушали отрицательную определенность полученной оценки. Рассмотрим слагаемое ufcXfcyits из оценки для ДУі при управлении вида (1.7) и покажем, что оно не нарушает отрицательную определенность функции Слагаемое Xm+1F5+1 не нарушает отрицательную определенность первой разности функции Ляпунова Vi(X,Y). Аналогичным образом можно показать, что слагаемые XmFs+2, ХУт+я+1 также не будут нарушать отрицательную определенность указанной функции. Значит, функция Vi(X,Y) удовлетворяет требованиям теоремы об асимптотической устойчивости, то есть нулевое решение системы (2.1) асимптотически устойчиво но Ляпунову. Теорема доказана. Далее считаем, что 5 и h являются фиксированными параметрами, причем величина h выбрана так, чтобы функция u(h, X, Y) была определена при всех \\Х\\ + F 8 и чтобы, но крайней мере, для достаточно малых значений -Xfc и Yfc выполнялось неравенство (2.5). Здесь (Xk,Yk ) - решение системы (2.1), проходящее при к = ко через точку ((х()) ,рт) ) , а - положительная постоянная, не зависящая от начальных данных рассматриваемого решения. Значит функция V\{X, Y) удовлетворяет требованиям теоремы об асимптотической устойчивости. Теорема доказана. Замечание 2.1. Результаты, полученные в этом параграфе для разностного аналога уравнения Льенара, а именно: условия, при которых возмущающие воздействия не нарушают асимптотическую устойчивость и порядок оценки скорости стремления решений к началу координат, совпадают с известными результатами, установленными для соответствующего дифференциального уравнения И 3. Исследование системы, находящейся под воздействием возмущений с нулевыми средними значениями В 2 исследовались условия асимптотической устойчивости нулевого решения возмущенной системы. Было показано, что асимптотическая устойчивость сохраняется, если порядок возмущений выше порядка функций, входящих в правые части невозмущенной системы (2.1).
В этом параграфе покажем, что для некоторых типов нестационарных возмущений асимптотическая устойчивость может сохраняться и в случае, когда порядок возмущающих воздействий меньше порядка функций, входящих в правые части невозмущенной системы. Несложно убедиться в том, что ни одно из слагаемых, входящих в Ф(Х, Z,u(h, X, Y)-u(h, X, Z)), не нарушает отрицательной определенности Д V2. Слагаемые, входящие в функцию 4 2(X,Z), будут рассмотрены позже. Несложно проверить, что ни одно из выписанных слагаемых не нарушает отрицательную определенность первой разности функции Ляпунова (3.5). Замечание 3.2. Слагаемые, в состав которых входит управление й, рассматривались относительно Хт+Р+1 и Ys+1. Это не противоречит полученным выше оценкам первой разности ДЦ (см. замечание 3.1). Отдельно стоит рассмотреть слагаемое ІйрЦХЦ2 , результатом исследования которого стало условие г) . Заметим, что подобным способом иссле дуется каждый из перечисленных выше элементов.
