Содержание к диссертации
Введение
1 Собственные колебания цифровой системы
1.1 Грубые; решения цифровой системы управления
1.2 Стационарная система
1.3 Микроструктура пространства состояний грубой стационарной цифровой системы
2 Вынужденные колебания цифровой системы
2.1 Асимптотические свойства вынужден пых колебаний цифровой системы с устойчивым объектом
2.2 Система с нестационарным объектом
2.3 Билинейная система
2.4 Случай устойчивого объекта
3 Дискретное управление непрерывными системами 44
3.1 Задача релейной стабилизации
3.2 Релейная стабилизация непрерывных систем
3.3 Дискретная стабилизация непрерывных систем
Заключение
Литература
- Микроструктура пространства состояний грубой стационарной цифровой системы
- Асимптотические свойства вынужден пых колебаний цифровой системы с устойчивым объектом
- Релейная стабилизация непрерывных систем
- Дискретная стабилизация непрерывных систем
Введение к работе
Актуальность темы. Импульсные системы широко применяются в современной технике благодаря простоте их реализации, высокой точности и надежности, а также малой энергоемкости; теория импульсных систем бурно развивается в последние десятилетия. Наиболее хорошо изучены импульсные системы, описываемые разностными уравнениями, -дискретные (цифровые) системы. Повышение требований к точности и быстродействию дискретных систем неизбежно приводит к необходимости учета нелинейности реальных элементов, входящих в состав системы, в связи с этим возникает необходимость развития теории нелинейных дискретных систем. Особенно актуальным данный вопрос является при исследовании существенно нелинейных дискретных систем, имеющих в своем составе неаналитические функции фазовых координат (существенные нелинейности). Линеаризация таких систем приводит к математическим моделям, описывающим процессы, не наблюдаемые в реальных физических объектах. Существенные нелинейности данного вида возникают, например, при математическом моделировании различных нелинейных физических эффектов (гистерезис в электро- и радиотехнике, трение и люфт в механике, и т.д.). Кроме того, используемые модели позволяют учитывать влияние внешних возмущающих воздействий, действующих на рассматриваемые системы.
Вопросы существования устойчивых колебательных режимов (собственных или вынужденных) в нелинейных системах, а также проблемы точного построения этих режимов, т.е. нахождения их параметров и конфигурации в фазовом пространстве, являются одними из наиболее актуальных в теории нелинейных колебаний. В диссертационной работе данные задачи рассматриваются применительно к дискретным системам, содержащим нелинейности указанного типа. Исследуются асимптотические свойства собственных и вынужденных колебаний дискретных систем управления.
Другой, несомненно, актуальной проблемой является проблема стабилизации программных режимов автоматических систем управления. В работе изучен вопрос о дискретной стабилизации непрерывных систем управления (стационарных или подвергающихся непрерывному ограниченному внешнему воздействию), содержащих неоднозначные существенные нелинейности, которые описываются кусочно-линейными функциями фазовых координат.
Целью диссертационной работы является проведение исследований,
направленных на дальнейшее развитие теории устойчивости дискретных управляемых процессов.
Методы исследований. При написании диссертации активно использовались понятие пространства состояний дискретных систем, прямой метод Ляпунова, аппарат математического анализа.
Научная новизна и достоверность результатов. Результаты диссертационной работы носят теоретический характер и сформулированы в виде лемм, теорем и следствий; их достоверность подтверждена доказательствами. Все существенные результаты, представленные в работе, с одной стороны, являются новыми, и, с другой стороны, тесно примыкают к уже известным результатам А.А. Косякина, А. Халаная, Д. Векслера, П. Видаля, В.И. Зубова и других исследователей.
Практическая и теоретическая значимость. Работа теоретическая. Полученные результаты вносят вклад в теорию дискретных систем управления и могут быть использованы при дальнейших теоретических исследованиях, а также при конструировании дискретных (цифровых) автоматических систем.
Основные результаты, выносимые на защиту:
Для дискретных систем с неоднозначными нелинейностями обобщено понятие грубости решений. Для системы с устойчивым объектом обобщен ряд результатов, касающихся предельных свойств решений этой системы и числа установившихся устойчивых режимов.
При рассмотрении дискретных систем с асимптотически устойчивым объектом и почти периодическим (в частности, периодическим) аддитивным возмущающим воздействием получены новые результаты, касающиеся асимптотических свойств решений дискретных систем. Показано, например, что грубые решения таких системы сходится с течением времени к асимптотически устойчивым почти периодическим режимам. Доказано также, что число различных установившихся устойчивых движений конечно.
Аналогичные результаты доказаны для билинейных дискретных систем с почти периодическим аддитивным возмущающим воздействием, для систем с возмущающим воздействием и нелинейной аддитивной добавкой, для систем с нестационарным объектом. В отдельных частных случаях для систем с периодическим возмущающим воздействием приведены критерии существования вынужденных устойчивых режимов с наперед заданным периодом и числом точек переключения управления.
Для непрерывных автоматических систем, содержащих неоднозначные нелинейности, описываемые кусочно-линейными функциями фазовых координат, получены достаточные условия существования релейных стабилизирующих управлений как для стационарных систем, так и для систем, подвергающихся непрерывному ограниченному внешнему воздействию. Отдельно рассмотрены случаи непрерывной и дискретной релейной стабилизации.
Для непрерывной системы с внешним периодическим воздействием и законом управления, описываемым кусочно-постоянной двузначной релейной характеристикой, приведены критерии существования семейств (континуумов) устойчивых периодических вынужденных решений.
Апробация работы. Отдельные результаты по теме диссертации докладывались:
на Пятнадцатой научно-технической межвузовской конференции «Военная радиоэлектроника: опыт использования и проблемы, подготовка специалистов» (г. Санкт-Петербург, Петродворец, 23-24 марта 2004 г.),
на IX Белорусской математической конференции (Беларусь, г. Гродно, 3-6 ноября 2004 г.),
на семинаре Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения - XVI» (г. Воронеж, 3-9 мая 2005 г.),
на международной математической конференции «Еругинские чтения - X» (Беларусь, г. Могилев, 24-26 мая 2005 г.),
на международной конференции «Устойчивость и процессы управления» (г. Санкт-Петербург, 29 июня - 1 июля 2005 г.),
на семинаре Второй Международной научной школы «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (г. Саранск, 1-13 июля 2005 г.),
на Международной конференции «Дифференциальные уравнения и системы компьютерной алгебры» (Беларусь, г. Брест, 6-10 октября 2005 г.),
на IV Всероссийской конференции «Математика, информатика, управление» (г. Иркутск, 1-5 ноября 2005 г.),
на Международной научной конференции «Современные проблемы прикладной математики и математического моделирования» (г. Воронеж, 12-17 декабря 2005 г.),
на семинаре Воронежской весенней математической школы «Понтрягинские чтения - XVII» (г. Воронеж, 3-9 мая 2006 г.),
на 34-й, 36-й и 37-й ежегодных научных конференциях аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» (факультет ПМ-ПУ СПбГУ, 21-24 апреля 2003 г., 11-14 апреля 2005 г., 10-13 апреля 2006 г., соответственно).
Публикации. По результатам выполненных исследований опубликовано 14 статей в математических журналах и текстов докладов в сборниках материалов конференций.
Структура работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, заключения и списка литературы, включающего 65 наименований. Объем работы составляет 111 страниц машинописного текста.
Микроструктура пространства состояний грубой стационарной цифровой системы
Теория импульсных систем достигла к настоящему сремепи высокого уроним развития. Импульсные системы широко применяются і: современной технике благодаря простоте их реализации, высокой точности п надежности, а также малой энергоемкости. Повышение требований к быстродействию и точности импульсных систем, увеличение их эффективности неизбежно приводит к необходимости учета нелинейности реальных элементов, которые, входят в состав сис.темі)і, либо введения is нее дополнительных нелинейных элементов. Наличие нелинейных элементов в импульсной технике придает ей качественно новые свойства, исследование которых па основе теории линейных систем непосредственно невозможно. В связи с этим возникает необходимость в разработке и развитии теории нелинейных импульсных систем. К настоящему моменту доступно большое; количество специальной литературы, посвященной исследованию нелинейных импульсных систем (см., например, библиографию 1. 5).
Наиболее- хорошо изучены импульсные системы, описываемые, разностными уравнениями (дискретные системы). Одной из первых монографий по динамике дискретных систем является книга Бромберга 2. в которой исследование устойчивости и автоколебательное импульсных систем проводилось при помощи методов матричного исчисления.
Динамика нелинейных дискретных систем рассматривалась і! монографиях П. В и дал я 4], Я.З. Цыпкипа и К).С. Попкова. 5. а та.кже В.М. Куіщевича и Ю.Н. Чехового 0.
В работах 7. 12, 14, 15, 16, 17 изучалась устойчивость импульсных систем, состояние которых поменяется лишь її дискретные моменты кремени и остается постоянным между ними. Таковыми являются цифровые системы.
В диссертации рассматриваются цифровые (дискретные) системы, содержащие существенные неоднозначные нелинейности. Существенные нелинейности такого типа, возникают, например, при математическом моделировании различных нелинейных физических эффектов (гистерезис г, "-).!!ектро- и радиотехнике;, трепне и люфт в механике, и т.д.). Кроме того, используемые модели позволяют учитывать влияние; внешних воз-мущаюпщх воздействий, действующих на рассматриваемые системы.
Вопросы существования устойчивых колебательных режимов (собственных или вынужденных) в нелинейных системах, а. тякже проблемы точного построения этих режимов, т.е. нахождения их параметров и конфигурации і! фазовом пространство, являются одними из наиболее; актуальных в теории нелинейных колебаний. В диесертациелпюй работе данные1 вопросы рассматривайте применительно к дискретным системам, содержащим полі Піої пюсти указанного типа. Получены новые результаты, касающиеся асимптотических свойств собственных и вынужденных колебаний дие;кретпых систем управления. Другой, несомненно, актуальной проблемой является проблема стабилизации программных режимов автоматических систем управления. В работе; изучен вопрос о дискретной стабилизации непрерывных сн-етем управления (стационарных или подвергающихся непрерывному ограниченному внешнему воздействию), содержащих неоднозначные существенные нелинейности, которые описываются кусочно-линейными пече;тпыми функциями своего аргумента.
Диссертация состоит из трех слан. Первые дне развивают асимптотические методы, предложенные авторами 12, 14, 15, 16. Опирм.ясь па понятие1, грубости ди(;кретмі)іх систем, получены новые достаточные условия существования устойчивых периодических (почти периодических) решений этих систем. Первая слава посвящена собственным колебаниям дискретных систем, вторая вынужденным.
В последней рассматривается вопрос о релейной стабилизации (і; іом числі1, и дискретной) систем, содержащей неоднозначные! сучцееггнеяшьш нелинейности. При этом разрешается подход., предложенный В.14". Зубовым 21. Получены достаточные условия существования решжпых стабилизирующих управлений, в том числе и дискретных, для стационарных систем, атак же; систем, содержащих внешнее возмупідлоїцеє; воздействие;. Во вос;х главах используется понятие п]кк;т])апства состояния.
Асимптотические свойства вынужден пых колебаний цифровой системы с устойчивым объектом
Обозначим Т : Z - Z отображение, определяемое системой (1.3.3). Таким образом, от раоомотепня цифровой системы [X, Т), где Т : X—Ї X отображение, определимое системой (1.3.2). перешли к рассмотрению цифровой системы lZ,T}. порождаемой системой (1.3.3). В силу сделанных относительно вектор-функций F, / предположений, отображение Т является кусочно-гладким гомеоморфизмом. Лемма доказана.
Следствие 1.3.1 Пространство с.ос.тояниії X грубой системі,!. 1.2.1 ра-.ніиаастся па конечное, число областей., каждая из которых щушшд-лепсит к одному из трах воз.мо ж.пых типов: невозвратная, пераодиче екая и неподвижная.
Заметим, что пространство состояний Z цифровой системы iZ.T .можно рассматривать как .чпоголистпую поверхность. Понятие мпо-голистпой поверхности широко используется при изучении непрерывных систем управления с неоднозначными пелипешюетями 31, 35. 30].
Естественно, что при изучении наибольший интерес вызывают цифровые системы, обладающие некоторыми типичными свойствами. Рассмотрим множество М. кусочно-сжимающих систем, определенных па множестве Z, и наделим его топологией, порожденной понятием е-близоети преобразований пространства Z 15[. Преобразование г1\ считаем є- блнз-ким К преобразованию Т\. если существует такой гомеоморфизм Ф : Z - Z, є-близкий к тождественному, что преобразование Т2 ф непре-рі.нїію в областях непрерывности отображения г1\. и \\1\ z — J. 2 ф z\\ є равномерно ік) поем z Є Z. Следуя 15j, под «типичным свойством» цифровой системы из [iei orj oporo топологического пространства цифровых систем будем попинать в дальнейшем такое свойство, которое справедливо для некоторого открытого и всюду плотного в пространстве М. КС-сиетом множества.
Помимо выделения типичных свойств, второй важной проблемой при изучении КС-систем является построение формальных отношений з-кви-валептпооти на множестве М КС-систем, которые в некотором смысле сохраняют структуру траекторий. Каждому такому отношению эквивалентности соответствует некоторое понятие устойчивости. Так. если Е отношение эквивалентности, то система, [Z) Т) называется Ії-устой чи вой, если существует такое є 0, что все е-близкие к (Z.T) системні из М. относятся к тому же классу эквивалентности, что и система (Z,T). При изучении микроструктур пространств состояний цифровых систем представляет интерес, построение такого открытого и всюду плотного ІЇ М множества КС-систем и такого набора инвариантов, чтобы классы эквивалентности оказались бы разделенными различными численными значениями этих инвариантов. Такое решение получено авторами 15j па базе понятий грубости и каркасной эквивалентности цифровых систем. откуда следует существование неподвижной точки отображения Т\Т- -принадлежащей множеству А\, которой соответствует асимптотически устойчивый двухточечный периодический режим рассматриваемой системы. Далее, TfA:\ С /Ц. ТЛ4 С As- откуда, следует существование неподвижной точки отображения Т\Т2 па замкнутом множестве Аз- Тж. :-)та неподвижная точка является внутренней точкой множества Аз- то ГИ соответствует асимптотически устойчивый четырехточечпый периодический ])ежим рассматриваемой системы. Множества. А/, і 4. являются невозвратными, и за, конечное число шагов отображаются во .множества А.;, і = ЇД
Лемма 1.3.2 Пусть собственные числа матрицы М расположены внутри единичного круга па комплексной плоскости. Для того, чтобы і рубая система (1.2.1). (1.1.3) имела по крайней мере одно периодическое решение, отличное от неподвижной точки, достаточно, чтобы были выполнены неравенства:
Релейная стабилизация непрерывных систем
Для дискретных систем с неоднозначными недипейпостями обобщено понятие грубости решений. На основе этого понятия проведено качественное исследование микроструктуры пространства состояний рассматривающихся стационарных систем.
Для системы с устойчивым объектом обобщен ряд результатов, касающихся предельных свойств решений этой системы и числа, установившихся устойчивых режимов.
При рассмотрении дискретных систем с асимптотически устойчивым объектом и почти периодическим (в частности, периодическим) аддитивным возмущающим воздействием получены новые результаты, касающиеся асимптотических свойств решений дискретных систем. В частности, показано, что грубые решения таких системы сходится стечением времени к асимптотически устойчивым почти периодическим режимам. Показано также, что число различных установившихся устойчивых движений конечно.
Аналогичные результаты доказаны для билинейных дискретных систем с почти периодическим аддитивным возмущающим воздействием, для систем с возмущающим воздействием и нелинейной аддитивной добавкой, для систем с. нестационарным объектом. В отдельных частных случаях для систем с периодическим возмущающим воздействием приведены критерии существования вынужденных устойчивых режимов с наперед заданным периодом и числом
Для непрерывных автоматичееких систем, содержащих неоднозначные- нелинейности, отличные or рассматривавшихся В.И. Зубовым и сі о последователями, получены достаточные условия существования релейных стабилизирующих управлений как для стационарных систем, так и для систем, подвергающихся непрерывному ограниченному внешнему воздействию. Отдельно рассмотрены случаи непрерывной и дискретной релейной стабилизации.
Для непрерывной системы с: внешним периодическим воздействием и законом управления, описываемым кусочно-постоянной двузначной релейной характеристикой, приведены критерии существовании семейств (континуумов) устойчивых периодических вынужденных решений.
Дискретная стабилизация непрерывных систем
Результат теоремы 1,2.2 может быть обобщен на тот случай, когда вектор-функции ТІ являются периодическими функциями аргумента к. В более общем случае, если туї і о чти периодические функции аргумента к. грубые роения системы (1.2.3) будут сходиться к асимптотически устойчивым почти иериодичеекил ] решениям этой системы при к — --оо, Системы с почти периодическими возмущениями будут рассмотрены в следующей главе. Исследование структуры пространства, состояний и зависимости ее от основных параметров системы является основной задачей качественного изучения динамических систем. Трудности качественного изучения структуры пространства состояний нелинейных дискретных систем в общем случае вызваны большим разнообразием и сложностью возможных в них предельных движений, свойством несвязности траектории движения. Общая качественная картина динамического поведения дискретных систем в зпачітгельной мере зависит СП1 свойства устойчивости либо неустойчивости разомкнутой системы. Авторы 15 указывают на целесообразность рассмотрения проблемы изучения структуры пространств состояний нелинейных дискретных систем в двух аспектах: исследование микроструктуры пространства состояний, под которым понимается отыскание возможных предельных движений в системе и границ.соответствующих им областей притяжения; исследование макроструктуры пространства состояний, под которым понимается отыскание асимптотически устойчивого множества. системы, включающего в себя всю совокупность установившихся решений, и сепаратрисиых поверхностей, ограничивающих об.ла.еть ритяжения асимптотически устойчивого множества, системы. Первый аспект предлагается развивать применительно к цифровым системам, устойчивым в разомкнутом состоянии, а второй применительно к системам, неустойчивым в разомкнутом состоянии. Пусть Z Є Еш, отображение. Определение 1.3.2 ([15]) Пусть 6(1 множество граничных точек областей непрерывности Z.i Є Z преобразования Т КС-системы {Z.T). Система (Z,T) называется грубой, если существует натуральный помер К со такой, что TkZT\Q{) = 0 (т.е. все решения этой системы, налипая с некоторого момента времени, не попадают в точки разрыва отображения Т). Для грубых КС-систем имеет место следующий результат. Теорема 1.3.1 ([14, 15]) Пространство состоя-иин Z грубой КС-системы, {Z,T) разбивается па шлі.е/чіше число областей. каждая, из которых припаи[лежит к одному из трех воз„иожиы.х типов: игао;шра, нал, периодическая и неподвижная. Bee. движения из невозвратной области, покидают се. за один, шаг и более, в пес. не возвращаются. Все движения, из р-периодической области (возможно, иеодноевязнои). где р период установившегося решения, возвращаются, в нее ровно за р шагов. Bee решения из иеиодвиж.иой области не покидают ее с ростом к. Внутри каждой р-периодической области имеется едииствеп-пая р-псраодич,есшя точка отобраоїсения Т, а внутри иаюдвиж.иой области, единственная неподвижная точка отоб]ю.: іссния. Т.
Обозначим Т : Z - Z отображение, определяемое системой (1.3.3). Таким образом, от раоомотепня цифровой системы [X, Т), где Т : X—Ї X отображение, определимое системой (1.3.2). перешли к рассмотрению цифровой системы lZ,T}. порождаемой системой (1.3.3). В силу сделанных относительно вектор-функций F, / предположений, отображение Т является кусочно-гладким гомеоморфизмом. Лемма доказана. Следствие 1.3.1 Пространство с.ос.тояниії X грубой системі,!. 1.2.1 ра-.ніиаастся па конечное, число областей., каждая из которых щушшд-лепсит к одному из трах воз.мо ж.пых типов: невозвратная, пераодиче екая и неподвижная. Заметим, что пространство состояний Z цифровой системы iZ.T .можно рассматривать как .чпоголистпую поверхность ЇЇ IE" . Понятие мпо-голистпой поверхности широко используется при изучении непрерывных систем управления с неоднозначными пелипешюетями 31, 35. 30].
Естественно, что при изучении наибольший интерес вызывают цифровые системы, обладающие некоторыми типичными свойствами. Рассмотрим множество М. кусочно-сжимающих систем, определенных па множестве Z, и наделим его топологией, порожденной понятием е-близоети преобразований пространства Z 15[. Преобразование г1\ считаем є
