Содержание к диссертации
Введение
1. Исторический обзор. постановка задачи 5
1.1. Классическая задача абсолютной устойчивости 5
1.1.1. Постановка задачи 5
1.1.2. Применение частотной теоремы 7
1.1.3. Системы с монотонными нелинейпостями 11
1.2. Формулировка задачи абсолютной устойчивости 12
1.3, Частотное условие и квадратичный критерий абсолютной устойчивости 14
2. Вспомогательные предложения 17
2.1. Интегральные квадратичные связи с запаздыванием 17
2.2. Интегральные неравенства 20
2.3. Секторное условие и функции класса 3Z 26
2.4. Устойчивость ограниченных процессов 33
3. Множители устойчивости 37
3.1. Вводные замечания 37
3.2. Системы с нестационарными нелинейпостями 39
3.2.1. Формулировки результатов 39
3.2.2. Доказательства Теорем 3.2.1-3.2.4 45
3.3. Системы со стационарными нелинейностями 51
3.3.1. Формулировки результатов 51
3.3.2. Доказательства теорем 3.3.1 -3.3.6 55
3.3.3. Сравнение с критериями Зэймса-Фалба, Н.Е. Барабаиова и следствиями из них 61
3.4. Методы проверки частотных условий 64
3.4.1. Множители устойчивости и линейные матричные неравенства 64
3.4.2. Графические критерии 65
4. Системы с периодическимипо времени нелинейностями 70
4.1 Вводные предложения 70
4.2. Линейные системы с периодическими коэффициентами 71
4.3 Расширение класса линейных систем 75
4.4 Системы с квазимонотонными нелинейностями 78
4.4.1. Вспомогательные предложения 78
4.4.2. Критерии устойчивости для квазимонотониых периодических по времени нелинейностей 81
Список использованной литературы 87
- Формулировка задачи абсолютной устойчивости
- Устойчивость ограниченных процессов
- Сравнение с критериями Зэймса-Фалба, Н.Е. Барабаиова и следствиями из них
- Вспомогательные предложения
Введение к работе
Проблема абсолютной устойчивости нелинейных систем имеет уже полувековую историю. Несмотря на это, она не теряет своей актуальности. Напротив, «в последние годы интерес к этой тематике возрождается ..., поскольку новые задачи робастности и устойчивости неопределенных систем являются по существу перефразировками старых задач об абсолютной устойчивости» [50].
Кратко говоря, изучаемая система состоит из линейного блока, для которого известна передаточная функция, и нелинейного блока, о котором отсутствует детальная информация, но известны некоторые свойства. Требуется найти условия устойчивости системы в терминах передаточной функции (или частотной характеристики) линейного блока.
Многие работы по этой теме рассматривают только случай, когда нелинейный блок не зависит явно от времени. Результаты представляются в терминах либо частотных характеристик либо, как стало «модно» в последние годы, линейных матричных неравенств (ЛМН). Лемма Калмана - Якубовича позволяет во многих случаях преобразовать ЛМН к условиям в частотной форме и обратно. ЛМН можно решить численными методами. Частотные критерии более удобны для графической проверки.
Главная цель настоящей работы состоит в расширении известных результатов на случай нестационарных нелинейных блоков. Результаты будут представлены в терминах частотных характеристик. Частными случаями рассматриваемой задачи являются системы с периодической зависимостью от времени, а также стационарные системы. Результаты как для стационарных, так и для нестационарных систем доказывются единым методом.
Первая глава носит вводный характер. В ней дается краткий исторический обзор проблемы. Особое внимание уделяется классической частотной теореме Калмана - Якубовича и множителям устойчивости Зэймса - Фалба. После исторического обзора дается современная формулировка задачи. Линейный блок представляется в виде свертки. Нелинейный блок описывается при помощи интегральных квадратичных неравенств в частотной области. Все результаты основаны на квадратичном критерии абсолютной устойчивости В, А. Якубовича.
Во второй главе формулируются и доказываются вспомогательные предложения. Вводятся интегральные квадратичные неравенства во временной области с запаздыванием. Доказывается специальная форма квадратичного критерия для таких систем. Вводится понятие функций класса . Этот класс включает в себя в качестве частного случая периодические по времени функции. Доказывается, что все эти функции удовлетворяют некоторым интегральным квадратичным неравенствам. В заключительном праграфе второй главы формулируется и доказывается теорема об устойчивости ограниченных процессов. Она используются в дальнейшем для проверки одного из условий квадратичного критерия - минимальной устойчивости.
Третья глава содержит основные результаты диссертации. Предполагается, что нелинейности удовлетворяв называемому секторному условию и принадлежат к классу Ят. Формулируются и доказываются частотные критерии абсолютной устойчивости.
Доказательство проводится единым методом как для стационарных, так и для нестационарных нелинейностей,
В заключительном параграфе третьей главы рассматриваются методы проверки частотных условий. Дается краткое описание метода линейных матричных неравенств. Большее внимание уделяется графическим методам. Доказывается, что графические критерии, ранее известные только для стационарных систем, применимы с небольшими изменениями к периодическим по времени нелинейным блокам
В четвертой главе рассматриваются периодические по времени системы, необязательно удовлетворяющие секторному условию. Оказывается возможным распространить на периодические по времени нелинейности несколько результатов, известных для стационарных систем. Устанавливаются новые результаты для линейных систем с периодическими коэффициентами, систем с нелинейностями из некоторого параметрического класса и для систем с квазимонотонными нелинейностями (понятие квазнмонтонности вводится и объясняется).
Формулировка задачи абсолютной устойчивости
Рассмотрим систему дифференциальных уравнений где, в отличие от предыдущего параграфа, o(t) є J?", %{t) є Rn\A, Вц С- постоянные матрицы соответствующих размерностей. Без существенного ограничения общности будем считать, что матрица А гурвицева. Более общим случаем является система, линейный блок которой описывается интегральными уравнениями Вольтерра: где М- некоторое множество. В частном случае системы (1.2.1)-(1.2.3) множество ЛГ описано уравнением (1.2.3) и Для системы дифференциальных уравнений (1.2.1)-(1.2.3) эти условия, очевидно, выполнены. Мы будем решать вопрос об абсолютной устойчивости системы (1.2.4)-(1.2.5) в смысле данного ниже определения. Предварительно, следуя статье В.А. Якубовича [94], введем некоторые понятия и обозначения. Вектор-функцию будем называть процессом. Линейное пространство всех процессов будем обозначать через Z. Аффинное пространство всех процессов, удовлетворяющих уравнению (1.2.4), будем обозначать через L. Систему уравнений (1.2.4)-(1.2.5) будем называть парой {Ь,Л1). Процесс z(t) называется устойчивым, если его L2- норма конечна: Пусть Zsi - гильбертово пространство всех устойчивых процессов. Пусть Lsl » LnZsr Ниже рассматривается случай, когда переменные a(t) и (/} удовлетворяют так называемой квадратичной связи (неравенству), к определению которой перейдем. Это неравенство строится так, что для переменных, удовлетворяющих соотношению (1.2.3) или (1.2.5), оно выполнено. Тогда из устойчивости систем с квадратичной связью следует устойчивость исходной системы. Поэтому в дальнейшем рассматриваются системы, состоящие из линейного блока и квадратичной связи. В этом параграфе мы рассмотрим наиболее общий тип квадратичных связей: связи и частотной области. Эти связи определены для устойчивых процессов неравенством где / /0)) 6 «(-fw) -эрмитова матрица-функция и Z(JCO) -преобразование Фурье: Z(KO) = = \z(t)e m dt. Множество всех устойчивых процессов, удовлетворяющих (1.2.8), будем обозначать через AL Иначе говоря, мы рассматриваем системы, для которых линейный блок определен уравснением (1.2.4), а нелинейный блок удовлетворяет требованию: для всех устойчивых процессов справедливо неравенство (1.2.8). Определим понятие абсолютной устойчивости для таких систем. Определение 1.2.1. Пара {Z, іЩ называется абсолютно устойчивой, если вес процессы в этой системе устойчивы и, более того, существует постоянная ОО, не зависящая от сс(-) и у такая что для любого процесса г є Lr\M справедлива оценка z(0FCEla(-)2 + Yb (1.2.9) Для решения задачи об абсолютной устойчивости будет использоваться так называемый квадратичный критерий, который описывается в следующем параграфе. 1.3. Частотное условие и квадратичный критерий абсолютной устойчивости.
Для формулировки основного критерия абсолютной устойчивости необходимо определить процедуру частотного преобразования квадратичных форм, к описанию которой перейдем. Здесь мы следуем статье В.А. Якубовича [95]. Пусть z(t) = Гс(/) /)] -устойчивый процесс,удовлетворяющий уравнению(1.2.4) с ос(/) = 0. Преобразование Фурье, полученное при этих условиях обозначим1 где M{7co) - передаточная матрица-функция, определенная формулой Частотное преобразование квадратичных форм вида определим, подтставив выражение (ЬЗ.1) в эту квадратичную форму. Получим форму 3 /(0,4( Ш)) Далее, формальная подстановка независимой переменной Е, вместо функции ,(їш) дает форму 7\і(й, ,). Эта эрмитова форма аргумента % є С1 с параметром со є R и называется частотным преобразованием квадратичной связи вида (1.3.2). Определим понятие частотного условия. Определение 1.3.1. Пусть Mcz NT Будем говорить, что для пары {L,M} выполнено частотное условие (ЧУ), если существует положительное число 5, такое что У 0,Уює(- , ):Я/ оД)й-5Й2, (1,3.3) частотное преобразование квадратичной формы (1.3.2). Перейдем к формулировке квадратичного критерия абсолютной устойчивости. Для этого нужны еще два определения из статьи В.А. Якубовича [49]. Определение 1.3.2. Пустъ z є Lr\M. Пустьмножество ISL определєно неравенством 1. Здесь н в дальнейшем надстрочный знак тильда- обозначает преобразование Фурье, полученное при условии а(0 s 0, в отличие от общего случая. Предположим, что существует последовательность (/.- 00 « последовательность устойчивых процессов zk є глАТу, таких что z(t)=z (t) при O t Lt .
Тогда множество {zy} называется устойчивым продолжением процесса ze множестве NT Определение 1.3.3. Пусть ЛсЖ, где множество 1\ определено неравенством (1.3.4). Пара (ЦЩ называется минимально устойчивой в множестве Лгу, если каждый процесс z є L,r М имеет устойчивое продолжение в этом множестве. Сформулируем квадратичный критерий, следуя статье В.Л. Якубовича [95]. Теорема 1.3.4 (Квадратичный критерий). Пусть пара {L,M}минимально устойчива в множестве NL, которое определено неравенством (1.3.4). Пусть для tee выполнено ЧУ из определения L3A. Тогда пара {!+$!} абсолютно устойчива. В статье В.А. Якубовича [94] доказано, что если (Ln Ny) с (Ьп АЇ) для некоторых а и любого достаточно большого у, то ЧУ необходимо для абсолютной устойчивости. Проверка минимальной устойчивости требует построения устойчивых продолжений процессов. В некоторых случаях такое построение очевидно. В других случаях требуется вспомогательная теорема, которая будет доказана в следующей главе. Описанный здесь квадратичный критерий абсолютной устойчивости применим к очень широкому классу систем, В следующей главе он будет конкретизирован для более узкого класса и описан в применении к рассматриваемой задаче.
Устойчивость ограниченных процессов
В этой главе мы будем рассматривать систему, линейный блок которой задан уравнением где с(0 є і?, сс(/) є R, l(s) є і? и 4(0 є R скалярные функции. Множество решении уравнения (3.1.1) обозначается через L, и вектор называется процессом. Предполагается, что функции ос(/) и Q(s) удовлетворяют условиям: Пусть нелинейный блок рассматриваемой описывается уравнением где функция (р(а, О, непрерывная относительно каждого аргумента, удовлетворяет секторному условию относительно приращений Таким образом, множество Л/описывается соотношениями (3.1.4) и (3.1.5), а также некоторыми дополнительными условиями, которые будут сформулированы позднее. Напомним, что W(ioi) - частотная характеристика линейного блока, определенная формулой Будем предполагать, как обычно в работах этого направления, что решение системы (3.1.1)-(3.1.5) существует на интервале [0, « ») и с(0 - непрерывная функция, В важном частном случае, когда линейный блок описывается уравнениями х = Ax+B,,a{t) = C x(t) и u. » это условие выполнено . Будем изучать вопрос об абсолютной устойчивости пары {L,№}. Для этого мы будем применять квадратичный критерий (теорему 2.1.2), для чего, в свою очередь, требуется найти квадратичные связи, которым удовлетворяют все процессы из множества М. Мы будем искать квадратичные связи вида где fXz, zT) - вещественная квадратичная форма, zx обозначает переменную со сдвигом аргумента на х О и ту- некоторое множество. Обозначим через Tj дополнение этого множества до положительной полуоси. Полагаем z(t) 0 при t 0. Пусть Л!_. - множество устойчивых процессов, для которых неравенства (3.1.6) выполнены иЛ = pjAL. Было доказано, что множество Ту, если оно не пусто, есть объединение не более чем счетного множества открытых интервалов. Для связей вида (3.1.6) было определено частотное преобразование J(i( , fcj).
Было также введено понятие частотного условия (ЧУ). Мы говорим, что оно выполнено, если если существуют неубывающие функции б (т.), постоянные на каждом интервале, составляющем множество Ту, такие что Г«9{т) 1 и где fj{i(u, ) - частотное преобразование формы fj(z, zxp. Требуется найти условия, гарантирующие абсолютную устойчивость системы в смысле определения 1.2.1. Согласно теореме 2.1.2 эта задача сводится к нахождению квадратичных форм, таких что выполнено частотное условие (3.1.7) и пара {ЦМ} минимально устойчива в множестве Лу. I. См., например, [60]. В этом пункте мы сформулируем два критерия устойчивости для случая, когда функция (р(ст, ) принадлежит классу J7t. Напомним, что любой непрерывной функцииg(x,t) мы сопоставляем множествоТ всех положительных чисел т, таких что g(x,t) принадлежит классу Ят и множество 7 , являющееся дополнением множества Т до открытой положительной полуоси. В силу утверждения 2.2.1 множество Т, если оно не пусто, представлет собой объединение не более чем счетного множества открытых интервалов. Следующий результат можно считать наиболее общим. Теорема 3.2.1. Предположим, что 1. Относительно функций x(t) и 2(/) выполнены следующие условия: 2. Множества М описано уравнением ,(1) = ф(с(ґ), t), и выполнено секторное условие 3. Для функции р(а, /) множество Тне пусто. 4. Существует неубывающая фунщия 8(т), такая что 8(т) = const на каждом интервале, составляющем множество Т; J /9(т) 1 и справедливо частотное неравенство І. Для произвольной функции (или в дальнейшем матрицы-функции) Д/ш) выражение RcAXico)» 0 означает, что су шествует постоя иная 5 0, такая что Vwe R: Re{X-&l} 0 {/-единица или единичная матрица). Тогда o(-) L2(0, ) для всех z(-) є Lr\M w, болегтого, е м/ссшв ет постоянная 00, не зависящая от a(t), такая что справедлива оценка Из этой теоремы сразу получается следующий результат. Следствие 3.2.1а.
Предположим, что 1. Выполнены условия 1 и 2 теоремы 3.2.1; 2. Функция ф(ст, 0 - невозрастающая относительно t при т 0 и неубывающая относительно t при а 0; 3. Cyujecmeyem неубывающая функция 0(т), такая что \ /9(т) 1 и справедливо частотное неравенство (3.2.4), где Z(iu ) определено уравнением (3.2.5). Тогда о(-) є (0, ) -w бсег zt ) є Lr\M и, более того, существует постоянная 00, не зависящая от a(t), такая что справедлива оценка (3.2.6). Если ввести дополнительное требование, что функция ф(а, /) нечетна относительно переменной а, то можно ослабить условие, что функция 9(т) - неубывающая. Получается следующая теорема. Теорема 3.2.2. Предположим, что 1. Выполнены условия 1,2 и 3 теоремы 3.2.1; 2. Функция ф(о, /) нечетна относительно переменной о; 3. Существует функция 9(1) ограниченной вариации, такая что: а) 0(т) = const на каждом интервале, составляющем множество Т; б) VQ[Q(X)] 1; в) справедливо частотное неравенство где 1. Здесь и в дальнейшем JO 6(т)] обозначает полную вариацию функции 6(т) на интервале (0,«). Тогда с(-) є L2(0t ») для всех z(-) є Ьг\Л1 и, более того, существует постоянная 00, не зависящая от a(f), такая что справедлива оценка (3.2.6) По аналогии с теоремой 3.2.1 имеем следствие. Следствие 3.2.2а. Предположим, что 1. Выполнены условия 1 и 2 теоремы 3.2.1; 2. Функция р(ст, /) нечетна относительно переменной О; 3. Функция ф(с, /) - невозрастающая относительно t при о 0 и неубывающая относительно t при о 0 ; 4. Существует функция 8(х) ограниченной вариации, такая что KQ[6(X)] 1 и справедливо частотное неравенство (3.2,7), где Z(rco) определено уравнением (3.2.8). Тогда а(-) є Z,2(0, ») для ecer z(-) є Lc\M и, более того, существует постоянная С 0, независящая от а(/), такая что справедлива оценка (3.2.6). 3.2.1.2. В этом пункте мы сформулируем результаты, двойственные теоремам 3.2.1 и 3.2.2. Мы будем рассматривать функции (р(ст, t), для которых существует число х,такое что для любых чисел о и / 1 из области определения этой функции выполнено неравенство По аналогии с функциями класса Я введем множество Т всех чисел т, для которых это условие выполнено, а также дополнение этого множества до положительной полуоси Т. Нетрудно доказать (см. утверждение 2.2.1), что множество 7\ если оно не пусто, представляет собой объединение не более чем счетного множества интервалов, Сформулируем основной результат.
Сравнение с критериями Зэймса-Фалба, Н.Е. Барабаиова и следствиями из них
Другой результатЗэймса и Фалба, доказанный в статье [99], включает член /(он, соответствующий критерию Попова. Им также принадлежит более абстрактная теория устойчивости, развитая совместно с Фридманом в работе [63]. Нетрудно убедиться, что ограничения (3.3.39) эквивалентны требованию, что функция 0(т) в интегралах Стилтьеса неубывающая. Действительно, в этом случае ее можно представить в виде суммы абсолютно непрерывной функции и функции скачков. Пусть :(х) - производная абсолютно непрерывной компоненты. Предположим, что 8(т) имеет скачки величиной Zj в точках т = bj,j = 1...«. Очевидно, что выполнены условия (3.3.39) Тогда имеем сю т.с частотное неравенство в условии теоремы 3.3.1 сводится к неравенству (3.3.40). Очевидно, что неравенство (3.3.38) эквивалентно требованию V„[B(x)] 1. Если нелинейность нечетна, то ограничения (3.3.39) и условие монотонности функции 6(т) снимаются. В этом случае нужно формально потребовать, чтобы эта функция пс имела сингулярной компоненты. Тогда вышеуказанное рассуждение применимо, т.е. теорема 3.3.2 по существу эквивалентна результату Зэймса и Фалба. Критерий Займса и Фалба был использован в 1987 году Сафоновым и Вайцлером [88] для нахождения численным методом некоторого «оптимального» множителя устойчивости. Они, в частности, доказывают, что их кпитерий с «оптимальным» множителем никогда не слабее, чем критерий Попова. 3.3.3.2. Другие критерии. В 1987 году Н.Е. Барабанов [4] получил следующую форму множителя устойчивости Z(/ro) = 1±/сог + Г((0)), где У(/со) -дробно-рациональная функция, являющаяся преобразованием Фурье от некоторой вещественной функции (г), на которую накладываются ограничения: \\у{щ)\\ й 1 (Имеется в виду норма в Lj) и для всех / y(t) 0. Если нелинейность нечетна, то последнее ограничение снимается. Оно, очевидно, эквивалентно требованию, что функция 9(0 - неубывающая при условии ее абсолютной непрерывности. Критерии теорем 3.3.3 и 3.3.4 можно формально считать более сильными, поскольку в них не требуется непрерывность функции 8(т). Н.Е. Барабанов далее доказывает, что из его результата следует критерий, полученный в 1965 году В.А. Якубовичем [40] и в 1967 году О Ши [86], в котором множитель устойчивости имеет вид I I.E. Барабанов также доказывает, что из его результата следует критерий, полученный в 1968 году Нарендрой и Чо [59], в котором Z(i(o) = i coa0 + I. К результатам О Ши и Нарендры мы вернемся в следующем параграфе при рассмотрении геометрических критериев абсолютной устойчивости. 3.4. Методы проверки частотных условий 3.4.1.
Множители устойчивости и линейные матричные неравенства Ради облегчения языка введем понятие полумонотонной функции. Будем называть функцию tp(a, 0, полумокотоиной относительно переменкой U если она удовлстиоряет одному из следующих двух требований: а) Функция (р(а, /) неубывающая по t при G 0 и певозрастагащая по t при а 0; б) Функция ф(а, 0 невозрастающая по t при а 0 и неубывающая по t при а 0. В этом разделе мы следуем изложению в монографии Бойда и др. [56]. Они рассматривают случай стационарных нелинейностей, но их метод представляется применимым и к случаю полумонотонных по времени нелинейностей. Пусть {AB.C.D} - матричная реализация «модифицированной» передаточной функции ц 1 + W{s), и {A!n,BmCnpDm} - матричная реализация множителя Z(s). Введем матрицы: Тогда частотное неравенство Re{[u,_I + W(i (0)]Z(i(D)} 0 эквивалентно существова- I. Напомним, что W(s) передаточная функция линейного блока рассматриваемой системы. нию матрицы Р, удовлетворяющей матричному неравенству В монографии [56] подробно излагаются различные численные методы решения матричных неравенств, т.е. проверки частотных условий. Напомним, что в 60-ые и 70-ые годы, когда были опубликованы первые частотные критерии, не существовало эффективных методов решения матричных неравенств. Привлекательность частотных условий была как раз в том, что они могли быть легко проверены. Однако и сейчас частотные условия могут оказаться более эффективными если порядок рассматривемой системы не очень высокий. Кроме того, если поставлена задача для некоторого класса систем, то численные методы неприменимы. Из работ, использующих матричные неравенства, отметим книгу Д.Г. Кореневского [13] и совсем недавнюю монографию румынского математика С-И. Никулеску [84]. В первой из них изучаются системы со случайными возмущениями параметров. Во второй рассматриваются системы с запаздыванием в контексте робастного управления. Как указывает В. А. Якубович [50, с.149], многие «задачи робастности и устойчивости неопределенных систем являются по существу перефразировками старых задач об абсолютной устойчвости». 3.4.2. Графические критерии 3.4.2.1. Сравнение критериев в пунктах 3.2.1.1 и 3.2,1.2 с результатами раздела 3.3.1. показывает сходство форм множителей устойчивости для полумонотонных по времени и стационарных пелинейностей. Это обстоятельство делает их совместное рассмотрение целесообразным. Результаты этого пункта не являются новыми для стационарных нелинейностей. Они были получены в различных формах В.А. Якубовичем [40], А.В, Липатовым [18-23] и Н.Е. Барабановым [4,5]. Однако распространение этих графических критериев на случай полу монотонных по времени пелинейностей представляется полезным.
Вспомогательные предложения
В предельном случае a = 0 функция ф(а, /) линейна по а, и частотное условие сводится к результату В.Л. Якубовича [95]. В предельном случае a — « частотное условие сходится поточечно к круговому критерию. Заметим также, что частотное неравенство (4.3.16) может быть переписано в известной из предыдущей главы форме множителя устойчивости. Поэтому для его проверки можно применить геометрический метод, описанный в пункте 3.4.2.4. 4.4. Системы с квазимонотонными нелинейностями 4.4.1, Вспомогательные предложения 4.4,1.1. Вернемся к доказательству леммы 2.2.2 в 2.2. При этом было доказано, что для функций g(x,t), периодических относительно t и неубывающих относительно переменной х справедливо неравенство Напомним, что В этом параграфе мы вместо неравенства (4.4.1) потребуем выполнение более слабого условия; пусть существует положительно полуопределенная квадратичная форма H(u,v) такая, что для всех х, у и t справедливо неравенство Следуя H.E. Барабанову [55], введем определение квазнмонотоппых функций1. Определение 4.4.1. Функция g(x) называется квазимонотонной, если существует 1. Определение немного перефразировано для удобства дальнейших ссылок. положительно полуопределенная квадратичная форма H(u,v), такая что для любых хну где Форма H(u,v) называется определяющей формой. 4.4.1.2. Интегральные неравенства. В этом пункте мы докажем два результата, аналогичые Леммам 2.2.2 и 2,2.3. Они применимы к функциям более общего класса, чем квазимонотонные Лемма 4.4.1. Предположим что 1. Функция g(x,t) задана на множестве {x,t: /є [0, »), х є (a{t)tb(t))}, где a(t) 0 it b(t) 0. 2. Функция g(x,t) кусочно непрерывна относительно аргумента х. 3. Функция g(x,t) непрерывна и периодична с периодом т относительно аргумента t. 4. Существует функция J(uTv), такая что для любых х, у и t выполнено неравенство 5. Для любых чисел хиіиз области определения функции G(x,t) ее значение неотрицательно. Тогда для любого числа Ти любой измеримой функции x(t), такой что для любого ( x(t) є (a(t), 6(/)) ux(t)=0npu t 0, выполнено неравенство т Лемма 4.4,2.
Предположим что 1. Выполнены условия 1-5 леммы 4.4.1; 2. Функция g(x,t) нечетна относительно аргумента х. Тогда для любого числа Т и любой измеримой функции x(t), такой что для любого t Доказательство леммы 4.4.1. Учитывая периодичность функцииg(x,t) и, следовательно, функции G(x,t)f имеем G(y, t) = G(y,t-i). Поэтому неравенство (4.4.4) Положим формально G(0,t)=0 при -т й / 0. Очевидно, что при этом доопределении неравенство (4.4.7) верно также и приу=0, -т t 0. Далее мы следуем тем же рассуждениям, что и при доказательстве Леммы 2.2.2. Прибавляя и вычитая выражение Как и при доказательстве леммы 2.2.2, имеем Неравенство (4.4.5) доказано. Доказательство Леммы 4.4.2. Если функция g(x,t) нечетна относительно л:, то функция Gfo/J четна, т.е. G(-y, t x) - G(y, t- т). Заменой па - неравенство (4.4.7) переписывается в виде: Повторив предшествующие рассуждения, получим неравенство (4.4.6). Лемма доказана. 4.4.2. Критерии устойчивости для квазимонотонных периодических по времени нелинейностей 4.4,2.1. Используя доказанные интегральные неравенства, можно получить критерии устойчивости, аналогичные теоремам 3.2.5 и 3.2.6. Результаты этого пункта представляют собой обобщения этих двух теорем на случай квазимонотонных нелинейностей и были опубликованы в статье [54]. Они также распространяют критерии Н.Е. Барабанова [55] на периодические по времени нелинейности. Заметим, что в этих результатах не предполагается непрерывность нелинейности. Поэтому решение системы (4.1.1)-(4.1.2) понимается в смысле, описанном в монографии Л.Х. Гелига, Г.А. Леонова и В.А. Якубовича [11]. Теорема 4.4.3. Предположим, что 1. Относительно функций a(t) и 1(0 выполнены следующие условия: 2, Множество М описано уравнением (/) ф(о"(0. t), и относительно функции Ф(о, /) выполнены следующие условия: 3. Функция р(0, 0 кусочно непрерывна относительно переменной а с разрывами только первого рода. 4. Функция ф(о\ /) квазимонотонна относительно переменной о с определяющей положительно полуопределенной квадратичной формой H(u,v). 5. Существует последовательность Qk с неотрицательными членами, такая что V 6; 1 и выполнено неравенство А = 0 гс)е // - эрмитово расширение соответствующей вещественной квадратичной формы. Тогда о(-) є L2(0,») Для любого процесса z є LnMu, более того, существует постоянная С 0, не зависящая от a(t), такая что справедлива оценкаа а(ОІІ2 Са( )]2.
Доказательство. Из секторного условия (4,4.12) следует квадратичная связь ((0,0(0) 0, (4.4.15) где о 0(«, 0 " решение уравнения и - до0 + ф(о 0, /). Учитывая периодичность функции (р(о, /) относительно t и ее квазимонотонность относительно О. Получим W(i(a)][] -ei( T]-2H(W(Ha), 1)}. Таким образом, частотное условие приобретает вид: существует последовательность 0„ с неотрицательными членами, такая что V 9к « и выполнено неравенство Минимальная устойчивость проверяется тем же методом, что и при доказательстве теорем в Главе III. Рассмотрим произвольную последовательность tm — ». Пусть Мт = max т(0І и пусть sm - число, для которого при всех t и всех а є [0Д/т] выполнено неравенство ф(5т,0 ІФ(ст,ОІ. Положим Для любого процесса z(f) є Lr\M (необязательно устойчивого) определим продолжение zm(t) как решение системы уравнений (4.1.1) иЕ,(/) = фт(о(0. ) Пусть Tm tm. Докажем, что если функция ф(о, /) квазимоиотонна с определяющей формой H(u,v) то функции фи(ст, /) также квазимонотонны с той же определяющей формой. Для этого нужно доказать, что неравенство справедливо для всех и у. Ради определенности будем считать, что 0 х у. Рассуждения в других случаях аналогичны. При х у Мт неравенство (4.4.22), очевидно, выполнено. С другой стороны, если Мт х у, то левая часть неравенства (4.4.22) обращается в нуль, а правая неположительна. Поэтому оно выполнено. Рассмотрим случай, когла х Мт у. Имеем Таким образом, требуемое неравенство проверено. Из квазимонотонности и периодичности функций рт(о", /) следует, что выполнены все связи. Поэтому можно применить теорему 2.4.1, из которой следует, что процесс zm(t) устойчив. Следовательно, пара (Ь,Щ минимально устойчива, если выполнено частотное неравенство (4.4.14). По теореме 2.1.2 из частотного условия (4.4.14) следует абсолютная устойчивость пары {L,M} и, следовательно, справедливость оценки Теорема доказана. 4.4.2.2. Случай нечетных нелинейностей. Результат предыдущего пункта можно усилить, потребовав нечетность функции р(а, t) относительно переменной с. Теорема 4.4,4. Предположим, что.
