Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Устойчивость по первому приближению 5
1. Характеристические показатели 6
2. Спектр линенйной однородной системы 13
3. Правильные системы 20
4. Дискретный аналог теоремы Перрона 32
5. Оценка матрицы Коши для правильной системы 37
6. Дискретный аналогтеорсмы Ляпунова 41
7. Дискретный аналог контрпримера Перрона 44
Глава II. Устойчивость потоков 47
Глава III. Неустойчивость 51
1. Дополнение к контрпримеру Перрона 51
2. Методы триангуляции 54
3. Неустойчивость по Красовскому 64
4. Неустойчивость по Ляпунову 68
Вспомогательные результаты 76
- Спектр линенйной однородной системы
- Оценка матрицы Коши для правильной системы
- Неустойчивость по Красовскому
- Неустойчивость по Ляпунову
Введение к работе
Метод первого приближения является одним из центральных в теории устойчивости движения. Эта методика широко используется для изучения непрерывных и дискретных систем (см. например монографии Г- Шустера [1], Ф. Муна [2]> Ю-И- Нсймарка и П.С. Лайда [3], а также публикации
[4-7]).
Для непрерывных систем дифференциальных уравнений
хорошо известны критерии устойчивости по первому приближению Ляпунова [8], Персидского [9], Малкппа [10], Четаспа [11], Масссра [12], Красопского [13] и различные тис обобщения.
Некоторые аналоги и развитие этих результатов для дискретных систем приведены в монографиях ILB, Бромберга [14], ILB. Гаишуна [15], J.R LaSallc [16], S, Elyadi [17] и других авторов.
При исследовании устойчивости по первому приближению наряду с методом построения функций Ляпунова широко используется метод характеристических показателей. Для непрерывных систем А-М, Ляпуновым показано, что если
липеііпая система первого приближения является правильной и все ее ляпуновские показатели отрицательны, то нулевое решение исходной системы асимптотически устойчиво-
В 1930 году О, Перрон [18] показал, чіто требование правильности системы первого приближения является существенным. Он привел пример системы с неустойчивым по Ляпунову решением, линеаризация вдоль котоіюго является неправильной и имеет отрицательные ляпуновские показатели.
Существуют также критерии неустойчивости, использующие метод характеристических показателей Ляпунова- Такие критерии были получены ИХ- Чстасвсм [11].
Для дискретных систем развитие аппарата характеристических показателен и критериев устойчивости по первому приближению подробно изложено в диссертации В.Б. Дсмн-довича-
Спектр линенйной однородной системы
Рассмотрим дискретную систему и ее фундаментальную матрицу (под фундаментальной матрицей будем понимать матриц; , столбцы которой являются базисом пространства решений) Лемма 2 (первенство Ляпунова). Пусть все решения системы (9) обладают характеристическими показателями +со (пли -характеристическими показателями — оо). Тогда для любой фундаментальной системи решений Y{t) выполнено следующее неравенство, где ay - сумма характеристических по7:азателей решений фундаментальной системы Y{t) Доказатсльство. Рассмотрим определитель Вронского Здесь сумма берется по всем перестановкам из п элементов 1---П, а (—I)5 - четность перестановки равная ±1. Используя теоремы о характеристических показателях суммы (1) и про пзвсдспия (2), получим С другой стороны, фундаментальную матрицу решений системы (9) ложно представить в виде где С - постояная пеособая матрица. Тогда t-i В силу своііства (2) характеристических показателеіі имеем Если для матрицы линейной системы (9) справедливы следующие ограничения: то каждое нетривиальное решение системы (9) имеет конечный характеристический показатель. Доказательство. Любое нетривиальное решение системы (9) можно записать п виде Тогда, учитывая условие (1), имеем Отсюда налучим Из услооиіі теоремы и неравенства (14) по лемме 2 для любой фундаментальной системы Y(t) имеем Отсюда, учитывая (1 ї), получим Что и требовалось доказать, м Следствие. Если матрица линеішоіі системы (9) удовлетворяет условиям то каждое нетривиальное решение системы (9) имеет конечный характеристический показатель. Доказательство. Учитывая неравенство из (1G) получим Следовательно для нормы фундаментальной матрицы имеем оценки и в силу монотонности характеристических показателей { свойство 2) для характеристического показа системы (9) справедливы следующие ограничения: то каждое нетривиальное решение системы (9) имеет конечный характеристический показатель. Доказательство. Любое нетривиальное решение системы (9) можно записать п виде Тогда, учитывая условие (1), имеем Отсюда налучим Из услооиіі теоремы и неравенства (14) по лемме 2 для любой фундаментальной системы Y(t) имеем Отсюда, учитывая (1 ї), получим Что и требовалось доказать, м Следствие. Если матрица линеішоіі системы (9) удовлетворяет условиям то каждое нетривиальное решение системы (9) имеет конечный характеристический показатель.
Доказательство. Учитывая неравенство из (1G) получим Следовательно для нормы фундаментальной матрицы имеем оценки и в силу монотонности характеристических показателей { свойство 2) для характеристического показателя исособого решения получим Следствие доказано ш Лемма 3(о линейной независимости векторов с различными характсристичсскилш показателями) Вектора х (), k = 1,,.,ш, обладающие различными конечными характеристическими показателями, линейно независимы. Доказательство. Пусть Предположим, что существуют Cfc такие, что Рассматривая только с . ф 0 и перенумеровав соотвстстоующнм образом вектора, придем к соотношению р 2ckx{k){t) Е= 0, ejt Тогда, воспользовавшись свойствами Л , получим что противоречит исходному предположению Q;,_i ар Лемма доказана. Определение 5. Множество характеристических показателей, отличных от ±сх , всех решений дискретной системы будем называть ее спектром. Лемма 4(о числе характеристических показателей). Если матрица A(t) удовлетворяет условиям: то спектр линейной дискретной системы (10) состоит теля исособого решения получим Следствие доказано ш Лемма 3(о линейной независимости векторов с различными характсристичсскилш показателями) Вектора х (), k = 1,,.,ш, обладающие различными конечными характеристическими показателями, линейно независимы. Доказательство. Пусть Предположим, что существуют Cfc такие, что Рассматривая только с . ф 0 и перенумеровав соотвстстоующнм образом вектора, придем к соотношению р 2ckx{k){t) Е= 0, ejt Тогда, воспользовавшись свойствами Л , получим что противоречит исходному предположению Q;,_i ар Лемма доказана. Определение 5. Множество характеристических показателей, отличных от ±сх , всех решений дискретной системы будем называть ее спектром. Лемма 4(о числе характеристических показателей). Если матрица A(t) удовлетворяет условиям: то спектр линейной дискретной системы (10) состоит из конечного числа элементов
Оценка матрицы Коши для правильной системы
Введем следующие обозначения: где as - характеристическое число, соответствующее столбцу x sK Предположим, что Тогда в силу теоремы Перрона Рассмотрим матрицу Коши г (, С учетом обозначений получим Отсюда и из (38), следует, что Тогда получим следующую оценку матрицы Коши Докажем вспомогательное утверждение — аналог леммы Гронуолла в дискретном случае. Лемма 9. Если для неотрицательных последовательностей {u(t)} и {v(t)} существует число С 0 такое, что то имеет место неравенство Доказательство. Так как «(()) С, то Оценим теперь w(t + l) в предположении, что для u[t) оценка верна- Из условия следует, что Отсюда її из (40) получим Следствие 1. Если последоватслыюсти {u()}o% {?J(0}8 удовлетворяют условиям лелшы, то Следствие 2. Если для С 1, 0 г 1, m 1 выполнено то существует и(()У такое, что Доказательство. Предположим По условию г 1 и, следовательно, Тогда, используя следствие 1, можно выбрать «(0) такое, TITO u(t)f 1 для всех L Теперь докажем неравенство (43) по индукции. Пусть тогда из ( 12) получим Если то Пусть система (46) - правильная. Фундаментальную матрицу системы (46) можно записать п следующем виде t Y{t) = l[A{t-j)9 Y(0) = L В силу ограничений (45) на матрицу A(t) характеристические числа системы можно представить, как -оо Лі .,. ап +оо. Перепишем систему в виде x{t) = Y(t)x(0) + Y(t) J2 Y& + 1Г (" п)- ( 17) Докажем следующую теорему. Теорема. Пусть для матрицы A{t) выполнены условия: (3) линейная система (46) является щхівильной и се xajxiKmc-ристические показатели отрицательны Тогда существует к 0 такое, что если еде т 1, то решение x(t) = 0 возмущоашй сисгаелгы системы (44) асилттотичес-ки устойчиво. Доказательство Из (47), (48) следіует, что Так как по условию ап —(і О, то существует число су такое, что Воспользовавшись оценкой матрицы Коиш для правильной системы, получим Введем обозначение Тогда Так как (50) верно для любого Е (), а (т — 1) и а положительные числа, то выберем є таким, чтобы выполнялось следующее неравенство 7. Дискретный аналог контрпримера Перрона Покажем, что если уравнения первого приближения зависят явно от Ї, то отрицательность ляпуиовских экспонент не является достаточным условием для устоіічивости решения ИСХОДНОЙ системы. Для непрерывного случая такоіі контрпример построен п [18]. Рассмотрим дискретную систему и рассмотрим вопрос об устойчивости нулевого решения этой системы. Покажем, что у лннеарнзованой дискретной системы ляпуповские экспоненты меньше нуля и нулевое решение - асимптотически устойчиво, а [«шение исходной системы -неустойчиво. Линеаризованная дискретная система имеет следуюнщіі вид асимптотически устойчиво по Ляпунову а ляпуповские показатели системы (52) —а, 1 — 2а меньше нуля так, как Покажем, что решение системы (51) неустойчиво по Ляпунову. Для этого оценим снизу 1 — sin hi(f0 + 1) & Оцепим снизу второй сомножитель в выражении (54) для 2/(/)-
Для всех к имеем и дл. Если для С 1, 0 г 1, m 1 выполнено то существует и(()У такое, что Доказательство. Предположим По условию г 1 и, следовательно, Тогда, используя следствие 1, можно выбрать «(0) такое, TITO u(t)f 1 для всех L Теперь докажем неравенство (43) по индукции. Пусть тогда из ( 12) получим Если то Пусть система (46) - правильная. Фундаментальную матрицу системы (46) можно записать п следующем виде t Y{t) = l[A{t-j)9 Y(0) = L В силу ограничений (45) на матрицу A(t) характеристические числа системы можно представить, как -оо Лі .,. ап +оо. Перепишем систему в виде x{t) = Y(t)x(0) + Y(t) J2 Y& + 1Г (" п)- ( 17) Докажем следующую теорему. Теорема. Пусть для матрицы A{t) выполнены условия: (3) линейная система (46) является щхівильной и се xajxiKmc-ристические показатели отрицательны Тогда существует к 0 такое, что если еде т 1, то решение x(t) = 0 возмущоашй сисгаелгы системы (44) асилттотичес-ки устойчиво. Доказательство Из (47), (48) следіует, что Так как по условию ап —(і О, то существует число су такое, что Воспользовавшись оценкой матрицы Коиш для правильной системы, получим Введем обозначение Тогда Так как (50) верно для любого Е (), а (т — 1) и а положительные числа, то выберем є таким, чтобы выполнялось следующее неравенство 7. Дискретный аналог контрпримера Перрона Покажем, что если уравнения первого приближения зависят явно от Ї, то отрицательность ляпуиовских экспонент не является достаточным условием для устоіічивости решения ИСХОДНОЙ системы. Для непрерывного случая такоіі контрпример построен п [18]. Рассмотрим дискретную систему и рассмотрим вопрос об устойчивости нулевого решения этой системы. Покажем, что у лннеарнзованой дискретной системы ляпуповские экспоненты меньше нуля и нулевое решение - асимптотически устойчиво, а [«шение исходной системы -неустойчиво. Линеаризованная дискретная система имеет следуюнщіі вид асимптотически устойчиво по Ляпунову а ляпуповские показатели системы (52) —а, 1 — 2а меньше нуля так, как Покажем, что решение системы (51) неустойчиво по Ляпунову. Для этого оценим снизу 1 — sin hi(f0 + 1) & Оцепим снизу второй сомножитель в выражении (54) для 2/(/)- Для всех к имеем и я достаточно больших і существует 0 т t такое, что ехр(-(ш -Ь 2) ній \\\{т + 2) + 2a) ехр{( + lj-c" ). Отсюда н следовательно, Поскольку доя больших t (5G) верно V5 0 и то y(t) не ограничена на бесконечности л, следовательно, ігепозмуїцсиное решение системы (56) неустойчиво. В этой главе будут приведены результаты, которые дают ответ на вопрос об устойчивости потока решении дискретной системы. Пусть X(t) -фундаментальная матрица линейной системы Введем в рассмотрение сингулярные числа матрицы X(t). Определение 12- Сингулярные числа а?(X (t)) матрицы X[t) определим как квадратный корень из собственных значений матрицы
Неустойчивость по Красовскому
Рассмотрим приведенную дискретную систему в общем виде где F(tix(t)) удовлетворяет равенству F(/,0) = 0 Расширяя понятие экспоненциальной устойчивости па случаи нулевого экспоненциального показателя, введем следующее определение-Определение 14, Тривиальное решение x(t) = 0 системы (83) назовем устойчивым по Красовскому, если сущест-вуют числа ІЇ 0 и є 0 такие, что для любого решения x(t,Xo) с начальными данными \хц\ е, для всех выполняется оценка где х — евклидова норна вектора х« Число Я не зависит от выбора вектора хц из шара {\х\ є}. Запишем систему (83) в следующем виде где A(t) — ограниченная на [1), +оо) (и х «)-матрнца. Предположим, что для всктор-функцпи f{t,x) в некоторой окрестности 12(0) точки х = 0 выполнено неравенство Вместе с системой (85) рассмотрим ее линейную часть и фундаментальную матрицу системы (87) где z (t) —лпнеііно независимые решения. Теорема 8. Если выполнено неравенство то решение x(t) = 0 системы (85) неустойчиво no Красовс-кому. Доказательство. Воспользуемся методом триангуляции Перрона-Винограда, Сделаем согласно (70) замену в системе (85) и получим Здесь Согласно лемме 11 B(t) является верхпстрсугольиоії матрицей с диагональными элементами W(t), удовлетворяющими условию Не умаляя общности, в (88) можно считать, что супремум достигается при к = п. Тогда из соотношении (88) и (91) следует существование числа // 1 такого, что при достаточно больших t выполнена оценка Для последнего уравнения системы (89) получим равенство Предполагая выполненной оценку (84), из условия (86) и унитарности U(t) получим соотношение Из оценки (92) следует существование числа р такого, что Выберем начальные данные уц так, чтобы н число S удовлетворяло соотношениям Из неравенства и 1 следует существование необходимого 5. Отсюда получим Используя (93) и оценку (97), получим соотношение что противоречит предположению о выполнении неравенства (84), Следовательно, решение xt = О нсустоіічиво по Кра-совскому.
Теорема доказана, Пусть для некоторых чисел С О, (і О, П[, .., aH-it где /3 a; (j = 1,,м?і — 1), выполнены следующие неравеис7пва: 3) если 7 2, mo П HOI С П dct l(j), Vt 1. ТЪгда решение x(t) = О систоелш (#5,) неустойчиво no Ля nyilOQlJ. Доказательство. Используя метод триангуляции Перрона-Винограда сделаем в системе (85) замену и отделим последние уравнение. Получим систему из п— \ уравнении: с фундаментальной матрицей Здесь Из унитарности матрицы U(t) следует, что J(0I = lHjJ(0I-Тогда из условия теоремы 2) получим Отсюда из условия 1) и леммы 12 получим существование положительного числа 0 такого, что выполнено неравенство Для п = 2 эта оценка получается из (99) без условия 1) Всрнемся теперь к системе (85) и сделаем следующую замену Здесь положительное число d удовлетворяет услооию где a = max аК После замены (101) получим систему ,7 = 1.-,11-1 где Из условия (8G) следует, что для любого числа р существует окрестность Ф(0) точки у = 0 такая, что Следовательно, по теореме 11 существуют матрица Я(i)3 ограниченная на [0, +со), и положительные числа р\ л / 2, для которых выполняются следующие соотношения Для скалярного уравнения в силу соотношсішГі (100) имеем оценку Тогда по следствию из теоремы 11 существуют ограниченная на [0,+оо) последовательность h(t) и положительные числа /rj п Ри для которых верпы следующие соотношения при достаточно большом числе и будет функцией Ляпунова для системы (103), удовлетворяющей условиям теоремы Ляпунова о неустойчивости. Обозначим
Тогда систему (22) можно записать в виде ограниченная последовательность, д и ІГ таковы, что Введем обозначения: где положительные величины H,K,q,kJi - супремумы по t соответствующих норм. Их конечность следует из ограниченности Л (0,//(0. М0 ДО-Отсюда получим оценку При достаточно большом со и достаточно малом р (ржи ) имеем —р\ а —с О, Тогда найдется положительное число б такое, что Из этого неравенства и из соотношения (107) следует, что для функции V{t y) выполнены ссе условия теоремы Ляпунова о неустойчивости. Следовательно, нулевое решение у{1) = 0 неустойчиво по Ляпунову. Поскольку (і 0 и U(t) —унитарная матрица, решение x(t) = 0 исходной системы также неустойчиво по Ляпунову Теорема доказана.
Неустойчивость по Ляпунову
Из условия (8G) следует, что для любого числа р существует окрестность Ф(0) точки у = 0 такая, что Следовательно, по теореме 11 существуют матрица Я(i)3 ограниченная на [0, +со), и положительные числа р\ л / 2, для которых выполняются следующие соотношения Для скалярного уравнения в силу соотношсішГі (100) имеем оценку Тогда по следствию из теоремы 11 существуют ограниченная на [0,+оо) последовательность h(t) и положительные числа /rj п Ри для которых верпы следующие соотно выполнены ссе условия теоремы Ляпунова о неустойчивости. Следовательно, нулевое решение у{1) = 0 неустойчиво по Ляпунову. Поскольку (і 0 и U(t) —унитарная матрица, решение x(t) = 0 исходной системы также неустойчиво по Ляпунову Теорема доказана. Рассмотрим нормальную фундаментальную матрицу X(t) линейной системы н введем обозначения Здесь Xj — полный спектр рассматриваемой линейной системы. Матрнцоіі Коши называется матрица вида Х(1)Х(т) 1. Докажем следующий результат: Теорема 10. Для любого числа є 0 существует число С 0 такое, что выполнены неравенства Доказательство. Введем обозначения: Из определении Aj,3?j() и из правила обращения матриц следует, что где Ли(0 - соответствующие миноры. Отсюда, для некоторого числа L 0, получим Введем обозначения: Из неравенства и соотношения (111) следует оценка \X{t)-l\ Loxp[(S + ns)t - Dt] = Li ехр[(Г + 2пє)і]. (112) Здесь L\ — некоторое достаточно большое число. Рассмотрим следующие соотношения Учитывая ограниченность при t 0 вектор-функции Xj(t)t получим оценку для некоторого достаточно большого чиста L%. Поскольку из соотношений (112) н (113) для і т имеем: Аналогично получается соотношение (110), Теорема доказана, Матричным уравнением Ляпунова в дискретном случае будем называть уравнение относительно симметричной матрицы //() Здесь P(f) и G(t) — п х тьматрицы, ограниченные при f 0, и Обозначим через X{t) (фундаментальную матрицу системы Если для некоторых постоянных а 0, С 0 и 7 0 справедлива оценка то решением уравнения (114) будет матрица Этот факт проверяется подстановкой (117) в уравнение (114) с привлечением тождества Сходимость суммы (117) следует из оценки (116), Кроме того, из оценки (11G) следует неравенство
Так как G(t) - ограничена, то существует число R 0, для которого шения при достаточно большом числе и будет функцией Ляпунова для системы (103), удовлетворяющей условиям теоремы Ляпунова о неустойчивости. Обозначим Тогда систему (22) можно записать в виде ограниченная последовательность, д и ІГ таковы, что Введем обозначения: где положительные величины H,K,q,kJi - супремумы по t соответствующих норм. Их конечность следует из ограниченности Л (0,//(0. М0 ДО-Отсюда получим оценку При достаточно большом со и достаточно малом р (ржи ) имеем —р\ а —с О, Тогда найдется положительное число б такое, что Из этого неравенства и из соотношения (107) следует, что для функции V{t y) выполнены ссе условия теоремы Ляпунова о неустойчивости. Следовательно, нулевое решение у{1) = 0 неустойчиво по Ляпунову. Поскольку (і 0 и U(t) —унитарная матрица, решение x(t) = 0 исходной системы также неустойчиво по Ляпунову Теорема доказана. Рассмотрим нормальную фундаментальную матрицу X(t) линейной системы н введем обозначения Здесь Xj — полный спектр рассматриваемой линейной системы. Матрнцоіі Коши называется матрица вида Х(1)Х(т) 1. Докажем следующий результат: Теорема 10. Для любого числа є 0 существует число С 0 такое, что выполнены неравенства Доказательство. Введем обозначения: Из определении Aj,3?j() и из правила обращения матриц следует, что где Ли(0 - соответствующие миноры. Отсюда, для некоторого числа L 0, получим Введем обозначения: Из неравенства и соотношения (111) следует оценка \X{t)-l\ Loxp[(S + ns)t - Dt] = Li ехр[(Г + 2пє)і]. (112) Здесь L\ — некоторое достаточно большое число. Рассмотрим следующие соотношения Учитывая ограниченность при t 0 вектор-функции Xj(t)t получим оценку для некоторого достаточно большого чиста L%. Поскольку из соотношений (112) н (113) для і т имеем: Аналогично получается соотношение (110), Теорема доказана, Матричным уравнением Ляпунова в дискретном случае будем называть уравнение относительно симметричной матрицы //() Здесь P(f) и G(t) — п х тьматрицы, ограниченные при f 0, и Обозначим через X{t) (фундаментальную матрицу системы Если для некоторых постоянных а 0, С 0 и 7 0 справедлива оценка то решением уравнения (114) будет матрица Этот факт проверяется подстановкой (117) в уравнение (114) с привлечением тождества Сходимость суммы (117) следует из оценки (116), Кроме того, из оценки (11G) следует неравенство Так как G(t) - ограничена, то существует число R 0, для которого
