Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Исследование дифференциальных неравенств с. а. чаплыгина для построения интегральных оценок 24
1.1. Построения интегральных оценок для линейных дифференциальных уравнений 25
1.2. Исследование продолжимости оценок С. А. Чаплыгина для однородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 32
1.3. Развитие теоремы сравнения для уравнений в частных производных типа Лапласа 38
ГЛАВА 2. Использование дифференциального уравнения ляпунова высокого порядка для исследования устойчивости 43
2.1. Развитие теорем об устойчивости движения методом векторных функций Ляпунова 44
2.2. Применение дифференциального уравнения Ляпунова высокого порядка к исследованию задач устойчивости 49
2.3. Развитие методов анализа равномерной асимптотической устойчивости линейных нестационарных систем 60
ГЛАВА 3. Применение векторных функций ляпунова для анализа устойчивости 66
3.1. Двухэтапныи метод применения скалярных и векторных функций Ляпунова для анализа устойчивости 67
3.2. Исследование структуры устойчивых возмущений методом векторных функций Ляпунова 70
3.3. Применение векторных функций Ляпунова для исследования устойчивости одного класса уравнений 74
ГЛАВА 4. Модификация систем сравнения в методе беллмана- бейли с помощью оценок высокого порядка 78
4.1. Способ Бейли построения векторной функции Ляпунова и системы сравнения 79
4.2. Исследование алгебраических неравенств метода Беллмана —Бейли 82
4.3. Модификация систем сравнения с помощью оценок высокого порядка 86
4.4. Сравнение модифицированного алгоритма нахождения системы сравнения с классическими результатами 99
Заключение 101
Литература 104
- Исследование продолжимости оценок С. А. Чаплыгина для однородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
- Применение дифференциального уравнения Ляпунова высокого порядка к исследованию задач устойчивости
- Исследование структуры устойчивых возмущений методом векторных функций Ляпунова
- Исследование алгебраических неравенств метода Беллмана —Бейли
Введение к работе
Актуальность проблемы, цели и основные результаты исследований.
В настоящее время, для исследования математических моделей управляемых процессов широко применяются нелинейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Задачи такого рода возникают при управлении механическими, элеетроэнергетическими, экономическими системами, а также при управлении технологическими процессами [7,8,9,12,17]. Дальнейшее развитие методов исследования устойчивости нелинейных систем может способствовать решению многих задач управления динамическими объектами, созданию алгоритмического и программного обеспечения. Одним из основных подходов для анализа устойчивости нелинейных систем самой различной природы и формы описания является метод векторных функций Ляпунова. Трудности, связанные с построением функций Ляпунова и анализом динамических свойств, определяют актуальность дальнейшего развития метода и получения на его основе новых критериев устойчивости нелинейных систем дифференциальных уравнений. В современных исследованиях метод векторных функций Ляпунова охватывает большое количество практических приложений.
Для заданных математических моделей исследование динамических свойств методом векторных функций Ляпунова содержит этапы получения вспомогательных теорем, называемых теоремами сравнения, вывода теорем о динамических свойствах, построения векторной функции Ляпунова и соответствующей ей системы сравнения, проверки условий теоремы и получения соответствующих количественных оценок. Несмотря на наличие единого подхода к построению доказательств теорем сравнения, получение теорем о динамических свойствах при помощи векторных функций Ляпунова остается нетривиальной задачей, требующей дополнительных творческих усилий. Наиболее трудными остаются задачи, связанные с разработкой способов построения векторных функций Ляпунова и систем сравнения, которые удается решить лишь для частных случаев и для отдельных классов систем. В связи с этим, нахождение практических способов решения прикладных задач на основе метода векторных функций Ляпунова, их алгоритмизации, эффективной программной реализации на вычислительных машинах и приложения к конкретным системам управления остается одной из наиболее востребованных и сложных задач. Одним из важных направлений метода векторных функций Ляпунова является исследование математических моделей управляемых процессов. Во многих случаях это приводит к анализу устойчивости стационарных режимов сложных динамических систем. Такие системы имеют составную структуру и представляют собой объединение нескольких более простых подсистем, взаимосвязанных между собой. Характерной чертой сложных систем является многоразмерность, т.е. высокая размерность описывающих эти объекты систем уравнений. Многоразмерность приводит к трудностям как аналитическим, так и вычислительным, и вынуждает искать специальные пути, позволяющие понизить размерность на отдельных этапах исследования. Основным методом анализа устойчивости сложных систем является прямой метод Ляпунова. Главная трудность, связанная с применением этого метода, заключается в проблеме нахождения функций Ляпунова. Данная задача становится особенно сложной, если рассматриваемая система имеет высокий порядок. Поэтому для исследования устойчивости многосвязных систем применяется метод декомпозиции [10], позволяющий из исходных уравнений выделить изолированные подсистемы меньшей размерности. Такой подход упрощает построение скалярных функций Ляпунова для каждой изолированной подсистемы и может оказаться более эффективным для исследования устойчивости. Для применения описанного подхода Р. Беллмаиом и В. М. Матросовым был предложен метод векторных функций Ляпунова [6, II], который получил глубокое развитие в трудах А. А. Воронова, А. А Мартынкжа, Д. Д. Шильяка, С. Лила, Л. Т. Груйича, Ф. Бейли, В. Лакшмикантама и многих других авторов [5,7,9-12,17]. Необходимо отметить, что методы и алгоритмы анализа устойчивости этих систем существенно усложняются в случае нелинейных и нестационарных уравнений для подсистем и связей между ними. Вопрос построения векторной функции Ляпунова для таких систем оказывается наиболее сложным и при этом дополнительные условия монотонности, предъявляемые к правым частям системы сравнения затрудняют его применение. В этой области проведены исследования лишь для некоторых классов систем дифференциальных уравнений [4,13].
Несмотря на ослабление общих требований к векторной функции Ляпунова, большинство теорем о динамических свойствах предполагают наличие дифференциальных условий применительно к ее компонентам. Полная производная векторной функции Ляпунова в силу уравнений исследуемой системы должна удовлетворять системе дифференциальных неравенств, обладающей свойством квазимонотонности, Такие ограничения соответственно переносятся на систему сравнения и выражаются в терминах ее правой части, создавая дополнительные сложности дл поиска векторной функции Ляпунова.
Отмеченные трудности классического метода векторных функций, связанные с построением функционалов Ляпунова и анализом динамических свойств систем дифференциальных уравнений, определяют актуальность дальнейшего развития классических подходов метода векторных функций Ляпунова для построения на их основе новых способов качественного исследования и нахождения количественных оценок, характеризующих динамику системы. К важным направлениям развития метода векторных функций Ляпунова следует отнести подходы, применяющие дія исследования динамических свойств функции Ляпунова совместно с ее производными высших порядков. В определенных случаях это может привести к системам сравнения, правые части которых не требуют условий квазимонотонности. Значительный интерес представляет анализ разнообразных классов дифференциальных и интегральных неравенств, составляющих основу теории сравнения и метода векторных функций Ляпунова. В основу метода сравнения положено сопоставление поведения решений дифференциальных неравенств с поведением соответствующих решений уравнений сравнения, имеющих общие начальные данные. Решения системы сравнения образуют верхние или соответственно нижние оценки для решений исследуемого дифференциального неравенства, в зависимости от его знака. Следуя В. М. Матросову [7], это можно рассматривать как обобщение понятия математической модели. В общепринятом смысле математическая модель функционирует подобно системе, которую она моделирует, тогда как решения уравнения сравнения хотя и приближенно соответствуют решениям исходного уравнения, но в любой момент времени остаются по одну сторону от них, позволяя анализировать динамические свойства и строить количественные оценки. Таким образом, можно говорить об односторонней модели, которая оправдала свою значимость во многих прикладных исследованиях. С помощью метода сравнения, обобщенного на случай векторных дифференциальных неравенств, получен ряд критериев устойчивости сложных систем.
В связи с отмеченными трудностями применения, учитывая теоретическую и практическую значимость рассматриваемого подхода, целью диссертационной работы является проведение исследований, направленных на развитие математической теории метода векторных функций Ляпунова и построения на её основе новых критериев для исследования динамических свойств систем дифференциальных уравнений.
Целью работы также является исследование некоторых классов дифференциальных неравенств, изучаются вопросы о продолжимости соответствующих интегральных оценок. Важным результатом работы является модификация критериев устойчивости сложных систем. При этом основное внимание в работе уделяется следующим направлениям исследований: модификациям способа построения оценок для решений линейных дифференциальных уравнений, позволяющих с помощью выбора начальных данных упростить их нахождение и расширить класс допустимых функций; нахождению критерия продолжимости интегральных оценок для однородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, основанного на структуре решений соответствующих характеристических уравнений; исследованию граничных условий для построения оценок решений уравнения s частных производных типа Лапласа, позволяющему применять более широкий класс функций и модифицировать классические результаты; построению критериев устойчивости решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений, применяющих уравнение Ляпунова высокого порядка и позволяющих избежать условий квазимонотонности уравнений сравнения; дзухэтаппому применению скалярных и векторных функций Ляпунова для исследования устойчивости и анализа структуры устойчивых возмущений; модификациям метода Беллмана - Бейли для исследования свойств устойчивости сложных систем различных классов, основанным на применении оценок высокого порядка для компонент векторной функции Ляпунова;
Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения по диссертации в целом и списка литературы, состоящего из 99 публикаций.
В первой главе проводятся исследования, направленные на развитие теории дифференциальных неравенств типа С. А. Чаплыгина [3] применительно к методу сравнения. Основной задачей исследований является модификация способов построения оценок для решений линейных дифференциальных уравнений и нахождение критериев их продолжимости. Полученные результаты позволяют определить класс дифференциальных неравенств, для которых соответствующие уравнения сравнения не требуют свойств квазимонотонности, характерных для метода векторных функций Ляпунова. Такой подход, применительно к теории сравнения, позволяет строить новые критерии для исследования динамических свойств систем дифференциальных уравнений. Рассматриваются приложения исследований к дифференциальным уравнениям в частных производных.
Вторая глава диссертации посвящена исследованию устойчивости положения равновесия систем обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью производных функций Ляпунова высших порядков. Рассматривается применение дифференциального уравнения Ляпунова высокого порядка к исследованию задач устойчивости. На основе результатов первой главы о продолжимости решений дифференциальных неравенств и свойства монотонности для линейных дифференциальных уравнений [93] найдены критерии устойчивости, не требующие условий квазимонотонности применяемых уравнений сравнения. Разработанные критерии применяются для анализа равномерной асимптотической устойчивости одного достаточно общего класса систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Проведено сравнение полученных результатов с некоторыми подходами к исследованию устойчивости.
В третьей главе диссертации рассматривается двухэтапный метод, последовательно применяющий скалярные и векторные функции Ляпунова для исследования устойчивости решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Разработаны критерии устойчивости, не применяющие метод сравнения и условия квазимонотонности, что позволяет ослабить требования к производной векторной функции Ляпунова, по сравнению с некоторыми подходами метода векторных функций. Изучены способы построения устойчивых возмущений. Проведено аналитическое исследование их структуры в общем виде и выполнен анализ устойчивости решений достаточно широкого класса систем дифференциальных уравнений. Найденные критерии устойчивости позволяют использовать внутреннюю структуру исследуемых уравнений, так как поиск компонент векторной функции Ляпунова осуществляется для выделенных групп переменных.
Четвертая глава посвящена разработке модификаций метода Беллмана-Бейли для исследования устойчивости сложных динамических систем. Изучаются системы дифференциальных уравнений с выполненным процессом декомпозиции. Для изолированных подсистем предлагается применять функции Ляпунова, удовлетворяющие совместно с градиентом и своими производными оценкам высокого порядка, позволяющим учитывать некоторый класс нелинейных и нестационарных возмущений. Рассматриваются некоторые алгебраические неравенства и следствия из них, основанные на свойствах однородных функций. На основе полученных результатов для производных векторных функций Ляпунова строятся новые оценки, позволяющие модифицировать некоторые способы исследования устойчивости методом Беллмана - Бейли. Найдены критерии устойчивости для различных классов взаимосвязей между уравнениями подсистем. Проводится сравнение разработанных модификаций метода с некоторыми результатами, подтверждающее эффективность найденных критериев.
Основными результатами, которые получены в итоге проведенных исследований и выносятся на защиту* являются следующие:
Развиты методы построения оценок для решений линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Модифицированы методы построения интегральных оценок для одного класса уравнений в частных производных.
Найдены критерии устойчивости решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием производных функции Ляпунова высших порядков. Построен класс уравнений сравнения не обладающих свойством квазимонотонности.
Получены модификации некоторых подходов для исследования равномерной асимптотической устойчивости решений линейных нестационарных систем обыкновенных дифференциальных уравнений» применяющие метод Н. Г. Четаева исследования устойчивости неустановившихся движений.
Предложен двухэтапный метод применения скалярных и векторных функций Ляпунова для анализа устойчивости. Аналитически описана структура устойчивых возмущений. Найдены критерии для исследования устойчивости, позволяющие использовать внутреннюю структуру исследуемых уравнений.
Найдены модификации метода Беллмана - Бейли для анализа устойчивости решений сложных динамических систем с различными типами взаимосвязей. Выполнен анализ алгебраических неравенств, применяемых для построения систем сравнения,
Выполнено сравнение разработанных методов с некоторыми подходами для исследования устойчивости решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений, подтверждающее работоспособность и эффективность найденных критериев.
Практическая ценность результатов диссертации заключается в новых возможностях для исследования систем обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью метода сравнения и векторных функций Ляпунова. Найденные критерии анализа устойчивости позволяют применять дифференциальные неравенства, не требующие выполнения условий квазимонотонности, и ослабить ограничения на правые части соответствующих систем сравнения. Разработанные методы позволяют расширить аппарат для исследований. Предлагаемые модификации способа Беллмана - Бейли дополняют ряд критериев для анализа устойчивости сложных динамических систем, и в тех случаях, когда некоторые известные методы не применимы, позволяют судить об устойчивости. Двухэтапный метод применения скалярных и векторных функций Ляпунова представляет новый способ исследования устойчивости. Результаты исследований неравенств типа С. А. Чаплыгина оказались применимы к важным классам дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных.
Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы обсуждались на семинарах кафедры теории управления факультета прикладной математики - процессов управления СПбГУ и представлялись на конференциях: XXXIV научной конференции «Процессы управления и устойчивость» г. Санкт-Петербург, 2003 г. межвузовской конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» г. Самара, 2003 г. международной математической конференции «Еругинские чтения IX» г. Витебск, Белоруссия, 2003 г. международной математической конференции «Еругинские чтения Vllb) г. Брест, Белоруссия, 2002 г.
Публикации. Основное содержание диссертационной работы отражено в 6-й печатных работах.
Общая формализованная постановка исследуемых задач.
Пусть дана следующая система обыкновенных дифференциальных уравнений. —- = X,{t,xltx3 х„), / - 1,л. (1)
Предположим, что система (I) имеет нулевое решение и функции Xt(x,t) определены, непрерывны и удовлетворяют условиям Липшица ПО X в области
Г = {(х,0| |И| < Я, / > О, Я = const > 0 }, А-, (0,0 = 0.
В области Г рассмотрим определенные, непрерывные и непрерывно дифференцируемые по своим аргументам вещественные функции. Введем для них обозначения Vy{ux\ K(t,x), ..., Vk{ux)t Vt(t$) = 0,/ = U. Определим вектор к = (^,...л )\
Найдем dV,{(,x) (i) a> U dxj
Классические подходы метода векторных функций Ляпунова требуют выполнения дифференциальных условий относительно компонент функции V = fMMUx)) + Wfax). (3)
В зависимости от знака функций Wt(t-,x) уравнения (3) применяются [6] для построения дифференциальных неравенств и соответствующей системы сравнения
Пусть система сравнения имеет нулевое решение. Метод сравнения позволяет сопоставить его свойства устойчивости с аналогичными свойствами пулевого решения уравнений (1). Существуют различные модификации такого подхода [15].
Предположим, что правые части уравнений (1) имеют непрерывные в Г частные производные порядка к~\. Функцию V будем считать скалярной, непрерывной и непрерывно дифференцируемой по своим аргументам в области Г до порядка к включительно. Тогда можно построить скалярный аналог уравнения (3), для производных функции V высших порядков dkV{t,X)'(U = f(<>V>Vil)>->Vit~l)) + П*,х), (4)
Та oxt at
В зависимости от знака функции W{t,x) можно получить скалярное дифференциальное неравенство и построить соответствующее ему уравнение сравнения /(/,0) = 0.
Основные результаты метода векторных функций Ляпунова для исследования устойчивости решений систем дифференциальных уравнений (1) были получены, когда функции /, и f уравнений (3), (4) принадлежат классу квазимонотонных функций. В векторном случае, условие квазимонотонности выполняется, если каждая из функций ft(t,V) не убывает по внедиагональным переменным V, {нфі). В случае скалярной функции V и уравнения (4), квазимонотонность / требуется относительно переменных V' }t di ' dt2 ""' di{k~2) '
Ограничения, связанные с условиями квази монотонности переносятся на соответствующие уравнения сравнения и выражаются в терминах их правой части, что осложняет поиск векторных функций Ляпунова и построение дифференциальных неравенств.
Известны случаи, когда для исследования устойчивости системы уравнений (1) можно избежать применения условий квази монотонности. В работе [7] рассматривается признак устойчивости с линейными дифференциальными неравенствами и соответствующими уравнениями сравнения d2y(t,x) „dV(tyx) ., „, ч ^ п dr dt d"y ^,dy }2 IF = ~2ba - k y' b > 0, к > 0,/) > к.
Приведенные выше рассуждения определяют первую задачу исследований диссертационной работы. Требуется провести дальнейший анализ теории дифференциальных неравенств и найти новые критерии устойчивости системы (1), не требующие свойств квазимонотонности.
Метод векторных функций Ляпунова оправдал свою практическую значимость для исследования сложных динамических систем. Если для системы (1) возможно провести декомпозицию и выделить взаимосвязи между подсистемами, то дальнейший анализ устойчивости может быть выполнен методом Беллмана-Бейли [10, И]. В работе Ф. Бейли рассматриваются дифференциальные уравнения с линейными связями для подсистем —і- = /(/,*,) + Ци„ (5) :г,єЛ\ и, є Rr', у, є It*, и є R\ і = U. Дальнейшие исследования [7] рассматривают обобщения уравнений (5) и позволяют модифицировать найденные критерии устойчивости и формулы для систем сравнения с помощью более гибких методов проведения дифференциальных оценок. При этом существенно используются структурные особенности сложных систем, а именно структура внутренних связей. Рассмотрим следующую многосвязную систему дифференциальных уравнений с нелинейными взаимосвязями для подсистем - = №*,) + ZG0(t,x)Xj, (6) л I yfJ = sup GtJ{i%x) I і = Tjc.
Результаты Беллмана - Бейли [10,11] и некоторые их модификации [7] применяют алгебраические неравенства, основанные на свойствах однородных функции ~а=2 + bz < --=2 + ї h\ P Aa{p-\) a>0,b>0, z>0, p>\.
Для каждой изолированной подсистемы предполагалось существование функции Ляпунова, удовлетворяющей вместе с градиентом и полной производной условиям dV,f(x,) + щ«.х,)./,о,х,) < -с,3и\ dV,(t,x,) c,4F«. сч > 0.
Дальнейшее развитие математического аппарата составляет второе направление исследований диссертационной работы. Требуется с помощью оценок более высокого порядка для векторной функции Ляпунова cJxT їУ.іґ^їсЛхГ, ^^ + vr^t).^Y,)< -с,,иг + ^(owr, WAUxt) * cA*th сч > 0, |^(0 < М, - > 1, гут є N. и модификаций неравенства (7) найти способы построения систем сравнения в зависимости от структуры внутренних связей уравнений (6). Необходимо выполнить сравнение с известными результатами.
Третью задачу исследований, проводимых в диссертационной работе, составляет разработка новых методов анализа устойчивости решений дифференциальных уравнений (1), основанных на двухэтапном применении скалярных и векторных функций Ляпунова. Требуется получить критерии устойчивости, не применяющие квазимонотонных дифференциальных систем сравнения. С помощью найденных методов исследования необходимо построить класс возмущений, не нарушающих устойчивости нулевого решения системы (1). Учитывая сложность поиска функций Ляпунова и общие трудности построения дифференциальных неравенств с нужными свойствами, необходимо разработать метод исследования устойчивости, позволяющий комбинировать применение скалярных и векторных функций Ляпунова.
Одновременно с поставленными задачами, применяя результаты, полученные в диссертации, проводится исследование устойчивости решений конкретных классов систем дифференциальных уравнений. Исследования в области дифференциальных неравенств применяются к уравнениям в частных производных. Выполнено сравнение построенных критериев с результатами некоторых исследований, подтверждающее эффективность и работоспособность найденных способов анализа устойчивости. В диссертационной работе рассматриваются новые подходы для исследования устойчивости решений систем дифференциальных уравнений (1).
Приведенные выше направления развития метода векторных функций Ляпунова, теории дифференциальных неравенств и теории сравнения определяют основные исследования, проводимые в диссертации. Дальнейшее их уточнение и конкретизация осуществляются в соответствующих разделах работы.
Обзор публикаций по теме исследований.
Исторически, современная постановка задачи устойчивости движения принадлежит великому русскому математику и механику, академик}' А. М. Ляпунову. Многие фундаментальные результаты теории устойчивости были получены им. Созданная теория нашла многочисленные применения в самых различных областях естествознания. В своей знаменитой работе «Общая задача об устойчивости движения» [1], созданной в 1892 году, он предложил новые, строго обоснованные, общие методы решения задач, связанных с устойчивостью движений. Один из них основан на разложении решений исследуемой системы в ряды специального вида. Второй метод, так же называемый прямым методом Ляпунова, получил наибольшее распространение, благодаря своей эффективности, и является основным методом исследования устойчивости движений нелинейных систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями. В трудах В. И. Зубова, Н. Г. Четаева, К. П. Персидского, Е. А. Барбашина, Н. II. Красовского, В. В. Румянцева, И. Г. Малкина и работах многих других выдающихся ученых, теория устойчивости получила свое дальнейшее развитие [18-28]. Исследование ограниченности, асимптотического поведения решений нелинейных дифференциальных уравнений можно найти в работах Т. Йошизавы, В. А. Плисса, Н. Руша, Ж. Мавина, Н. Батья и других авторов [29-33]. Метод функций Ляпунова распространен на задачи анализа разнообразных динамических свойств решений дифференциальных уравнений и более общих систем. В исследованиях В. И. Зубова, А. А. Красовского Е. Я. Смирнова, А. М. Летова, А. И. Лурье, В. М. Кунцевича, А. X. Гелига, Г. А. Леонова, В. А. Якубовича, М. А. Айзермана и многих других ученых [25,27,34 - 46,56] метод применялся для качественного анализа нелинейных систем и нашел глубокие, эффективные приложения к ряду проблем экономики, механики, физики, техники, теории управления и анализа устойчивости. Во многих работах предлагаются модификации теорем метода функций Ляпунова применительно к конкретным динамическим свойствам и математическим описаниям систем. Дальнейшим обобщением метода, объединяющим его с теорией дифференциальных неравенств типа С. А. Чаплыгина [3,47], являются работы Дж. Хейла, Т. Важевского, Г. И. Мельникова, К. Кордуняну, A. А. Красносельского, Я. Д. Мамедова, В. Лакшмикантама, Г. Антосевича и других авторов [49 - 53]. Исследования в этом направлении привели к определенной унификации доказательств, формированию и развитию метода сравнения с функционалами типа Ляпунова, с помощью которого получается большинство классических и современных теорем в области обыкновенных дифференциал ьиык уравнений, и метода функций Ляпунова, в частности теорем об устойчивости движения. Основной трудностью в применении метода функций Ляпунова к конкретным задачам, даже при таком подходе с модифицированными функциями, остается, как и во времена Ляпунова, трудность построения функции или функционала Ляпунова, удовлетворяющих условиям той или иной теоремы. В этой ситуации, хотя для ряда классов нелинейных систем предложены эффективные способы построения функций Ляпунова [54], значительный интерес представляет дальнейшее развитие метода в направлении ослабления требований к функциям Ляпунова, расширения класса используемых функций. Это может быть достигнуто при использовании нескольких функций типа Ляпунова, каждая из которых удовлетворяет менее жестким требованиям, чем в соответствующей теореме с одной функцией, что облегчает проблему их построения. Первые результаты в этом направлении были получены Н. Г, Четаевым, B. М. Матросовым, Г. И. Мельниковым, К. Кордуняну [18, 55]. С помощью такого подхода проведено большое количество исследований для задач устойчивости консервативных, диссипативных, гироскопических систем, динамике реакторов, нелинейных систем регулирования [9,56,78]. В работах Р. Беллмана и В. М. Матросова [6,11] была выдвинута идея векторной функции Ляпунова, удовлетворяющей конечномерному дифференциальному неравенству типа Чаплыгина-Важевского [47], и получены первые теоремы об устойчивости [55, 57 58]. Здесь, наряду с исходной системой вводится вспомогательная система, которая называется системой сравнения и описывается обыкновенным конечномерным дифференциальным уравнением. С использованием аналога требований Ляпунова и условий квазимонотонности Важевского доказано, что из свойств устойчивости системы сравнения следуют аналогичные свойства исследуемых уравнений. Такие теоремы получили название теорем сравнения с векторными функциями Ляпунова. В работах В. М. Матросова, В. Лакшмикантама, В. В. Румянцева [59-62] теоремы сравнения с векторными функциями Ляпунова доказаны для задач условной устойчивости, ограниченности и устойчивости относительно части переменных. Вопросы устойчивости, ограниченности и модификации теорем сравнения для различных классов дифференциальных уравнений обсуждаются в работах С. К. Персидского, Г. А. Егорова, Н. Руша, К. Пейффера, Ф. Хартмана, [63 - 67]. В цикле статей В. М. Матросова [68, 69] методом векторных функций Ляпунова были получены теоремы сравнения для задач существования и единственности решений нелинейных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве с неограниченными разрывными операторами, их непрерывной зависимости от начальных данных, возмущений правых частей и параметров, а также условия диссипативности, конвергенции. Это направление было продолжено в исследованиях В. Лакшмикантама, С. Лиила, Л. Хатвани, П.С.Громовой [70-72]. Найдены теоремы сравнения для управляемых систем в задачах стабилизируем ости, экспоненциальной инвариантности и ограниченности, существования оптимального управления. Дальнейшее развитие метода подытожено в работах С. Ы. Васильева, А. И. Москаленко, Л. Ю. Анапольского, Р. Руша [9,15,73-79]. Появилась возможность применять различные модификации требований к векторным функциям Ляпунова, в зависимости от изучаемого свойства. Такой подход позволяет строить теоремы сравнения в зависимости от динамических свойств исследуемых систем. Результаты проведенных исследований оказалось возможным объединить в виде основной идеи принципа сравнения. Согласно этому принципу, если существуют векторные функции Ляпунова, удовлетворяющие подходящим условиям, то различные динамические свойства исходных уравнений вытекают из соответствующих динамических свойств системы сравнения. В такой общей интуитивной форме принцип сравнения впервые был сформулирован в работах В. М. Матросова [68,69]. П. Хабетсом и К. Пейфферо.м [80, 81] указано представление структуры доказательств в методе сравнения с векторными функциями Ляпунова для дифференциальных уравнений. Метод сравнения оказалось возможным распространить на анализ более сложных динамических и других свойств, определения которых описываются практически произвольными кванторными формулами применительно к абстрактной динамике систем, абстрактной теории управления и математической теории систем. Основные концепции этих теорий, охватывающих многие классы моделей реальных систем, позволили установить для них принцип сравнения в алгоритмической форме. Он определяет алгоритмы вывода формулировок и доказательств теорем сравнения с векторными функциями Ляпунова по определениям изучаемых свойств, открывая новое направление в области искусственного интеллекта, названное алгоритмизационным подходом к выводу теорем [76, 82 - 84]. Метод сравнения явился первым строгим и универсальным методом анализа свойств различных систем, фактически независимо от их сложности, природы и формы математического описания, особенно эффективным в динамике систем и теории управления. Использование теорем сравнения сводит задачу анализа устойчивости или других динамических свойств к построению векторной функции Ляпунова и существенно более простому анализу соответствующих свойств системы сравнения. Некоторые общие случаи рассмотрены в работах Р. И. Козлова, Е. В. Воскресенского, А. А. Мартынюка, А. Ю. Оболенского [48, 85 - 87]. Для построения векторных функций Ляпунова и систем сравнения можно использовать некоторые классические результаты исследований А.М.Ляпунова, А. С. Землякова, К. П. Персидского [1,88,23]. На этой основе разработана первая группа способов построения векторных функций Ляпунова и систем сравнения. В работе [7] приводятся алгоритмы построения векторных функций Ляпунова, систем сравнения и количественных оценок применительно к нелинейным системам, описываемым дифференциальными и разностными уравнениями.
Прикладную значимость метод векторных функций получил в работе Ф. Н. Бейли [10], в которой была предложена идея исследования устойчивости сложных нелинейных систем на основе их декомпозиции и последующего оценочного агрегирования. Благодаря дальнейшим исследованиям в трудах В. М. Матросова, Д. Д. Шильяка, Л. Т. Груйича, А. А. Пионтковского, Л. Д. Рутковской, В. Д. Фурасова, А. А. Мартынюка и других авторов [89 - 92] это второе направление выросло в теорию устойчивости сложных динамических систем.
Итерационные процессы улучшения декомпозиции представляют третью группу способов построения векторных функций Ляпунова, систем сравнения и оценок, разработанную к настоящему времени. Каждый из рассмотренных подходов эффективен для своей области приложений и может оказаться более приемлемым по сравнению с другими известными методами анализа устойчивости нелинейных систем.
Таким образом, сделан существенный шаг в развитии качественной теории дифференциальных уравнений А. М. Ляпунова и А. Пуанкаре, позволяющий исследовать разнообразные свойства решений без их интегрирования. Разработан общий метод исследования свойств решений нелинейных сложных систем.
Исследование продолжимости оценок С. А. Чаплыгина для однородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами
В настоящее время, для исследования математических моделей управляемых процессов широко применяются нелинейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Задачи такого рода возникают при управлении механическими, элеетроэнергетическими, экономическими системами, а также при управлении технологическими процессами [7,8,9,12,17]. Дальнейшее развитие методов исследования устойчивости нелинейных систем может способствовать решению многих задач управления динамическими объектами, созданию алгоритмического и программного обеспечения. Одним из основных подходов для анализа устойчивости нелинейных систем самой различной природы и формы описания является метод векторных функций Ляпунова. Трудности, связанные с построением функций Ляпунова и анализом динамических свойств, определяют актуальность дальнейшего развития метода и получения на его основе новых критериев устойчивости нелинейных систем дифференциальных уравнений. В современных исследованиях метод векторных функций Ляпунова охватывает большое количество практических приложений. Для заданных математических моделей исследование динамических свойств методом векторных функций Ляпунова содержит этапы получения вспомогательных теорем, называемых теоремами сравнения, вывода теорем о динамических свойствах, построения векторной функции Ляпунова и соответствующей ей системы сравнения, проверки условий теоремы и получения соответствующих количественных оценок. Несмотря на наличие единого подхода к построению доказательств теорем сравнения, получение теорем о динамических свойствах при помощи векторных функций Ляпунова остается нетривиальной задачей, требующей дополнительных творческих усилий. Наиболее трудными остаются задачи, связанные с разработкой способов построения векторных функций Ляпунова и систем сравнения, которые удается решить лишь для частных случаев и для отдельных классов систем. В связи с этим, нахождение практических способов решения прикладных задач на основе метода векторных функций
Ляпунова, их алгоритмизации, эффективной программной реализации на вычислительных машинах и приложения к конкретным системам управления остается одной из наиболее востребованных и сложных задач. Одним из важных направлений метода векторных функций Ляпунова является исследование математических моделей управляемых процессов. Во многих случаях это приводит к анализу устойчивости стационарных режимов сложных динамических систем. Такие системы имеют составную структуру и представляют собой объединение нескольких более простых подсистем, взаимосвязанных между собой. Характерной чертой сложных систем является многоразмерность, т.е. высокая размерность описывающих эти объекты систем уравнений. Многоразмерность приводит к трудностям как аналитическим, так и вычислительным, и вынуждает искать специальные пути, позволяющие понизить размерность на отдельных этапах исследования. Основным методом анализа устойчивости сложных систем является прямой метод Ляпунова. Главная трудность, связанная с применением этого метода, заключается в проблеме нахождения функций Ляпунова. Данная задача становится особенно сложной, если рассматриваемая система имеет высокий порядок. Поэтому для исследования устойчивости многосвязных систем применяется метод декомпозиции [10], позволяющий из исходных уравнений выделить изолированные подсистемы меньшей размерности. Такой подход упрощает построение скалярных функций Ляпунова для каждой изолированной подсистемы и может оказаться более эффективным для исследования устойчивости. Для применения описанного подхода Р. Беллмаиом и В. М. Матросовым был предложен метод векторных функций Ляпунова [6, II], который получил глубокое развитие в трудах А. А. Воронова, А. А Мартынкжа, Д. Д. Шильяка, С. Лила, Л. Т. Груйича, Ф. Бейли, В. Лакшмикантама и многих других авторов [5,7,9-12,17]. Необходимо отметить, что методы и алгоритмы анализа устойчивости этих систем существенно усложняются в случае нелинейных и нестационарных уравнений для подсистем и связей между ними. Вопрос построения векторной функции Ляпунова для таких систем оказывается наиболее сложным и при этом дополнительные условия монотонности, предъявляемые к правым частям системы сравнения затрудняют его применение. В этой области проведены исследования лишь для некоторых классов систем дифференциальных уравнений [4,13]. Несмотря на ослабление общих требований к векторной функции Ляпунова, большинство теорем о динамических свойствах предполагают наличие дифференциальных условий применительно к ее компонентам. Полная производная векторной функции Ляпунова в силу уравнений исследуемой системы должна удовлетворять системе дифференциальных неравенств, обладающей свойством квазимонотонности, Такие ограничения соответственно переносятся на систему сравнения и выражаются в терминах ее правой части, создавая дополнительные сложности для поиска векторной функции Ляпунова. Отмеченные трудности классического метода векторных функций, связанные с построением функционалов Ляпунова и анализом динамических свойств систем дифференциальных уравнений, определяют актуальность дальнейшего развития классических подходов метода векторных функций Ляпунова для построения на их основе новых способов качественного исследования и нахождения количественных оценок, характеризующих динамику системы. К важным направлениям развития метода векторных функций Ляпунова следует отнести подходы, применяющие дія исследования динамических свойств функции Ляпунова совместно с ее производными высших порядков. В определенных случаях это может привести к системам сравнения, правые части которых не требуют условий квазимонотонности. Значительный интерес представляет анализ разнообразных классов дифференциальных и интегральных неравенств, составляющих основу теории сравнения и метода векторных функций Ляпунова.
Применение дифференциального уравнения Ляпунова высокого порядка к исследованию задач устойчивости
В основу метода сравнения положено сопоставление поведения решений дифференциальных неравенств с поведением соответствующих решений уравнений сравнения, имеющих общие начальные данные. Решения системы сравнения образуют верхние или соответственно нижние оценки для решений исследуемого дифференциального неравенства, в зависимости от его знака. Следуя В. М. Матросову [7], это можно рассматривать как обобщение понятия математической модели. В общепринятом смысле математическая модель функционирует подобно системе, которую она моделирует, тогда как решения уравнения сравнения хотя и приближенно соответствуют решениям исходного уравнения, но в любой момент времени остаются по одну сторону от них, позволяя анализировать динамические свойства и строить количественные оценки. Таким образом, можно говорить об односторонней модели, которая оправдала свою значимость во многих прикладных исследованиях. С помощью метода сравнения, обобщенного на случай векторных дифференциальных неравенств, получен ряд критериев устойчивости сложных систем. В связи с отмеченными трудностями применения, учитывая теоретическую и практическую значимость рассматриваемого подхода, целью диссертационной работы является проведение исследований, направленных на развитие математической теории метода векторных функций Ляпунова и построения на её основе новых критериев для исследования динамических свойств систем дифференциальных уравнений. Целью работы также является исследование некоторых классов дифференциальных неравенств, изучаются вопросы о продолжимости соответствующих интегральных оценок. Важным результатом работы является модификация критериев устойчивости сложных систем. При этом основное внимание в работе уделяется следующим направлениям исследований: модификациям способа построения оценок для решений линейных дифференциальных уравнений, позволяющих с помощью выбора начальных данных упростить их нахождение и расширить класс допустимых функций; нахождению критерия продолжимости интегральных оценок для однородных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами, основанного на структуре решений соответствующих характеристических уравнений; исследованию граничных условий для построения оценок решений уравнения s частных производных типа Лапласа, позволяющему применять более широкий класс функций и модифицировать классические результаты; построению критериев устойчивости решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений, применяющих уравнение Ляпунова высокого порядка и позволяющих избежать условий квазимонотонности уравнений сравнения; дзухэтаппому применению скалярных и векторных функций Ляпунова для исследования устойчивости и анализа структуры устойчивых возмущений; модификациям метода Беллмана - Бейли для исследования свойств устойчивости сложных систем различных классов, основанным на применении оценок высокого порядка для компонент векторной функции Ляпунова; Диссертационная работа состоит из введения, четырех глав, заключения по диссертации в целом и списка литературы, состоящего из 99 публикаций. В первой главе проводятся исследования, направленные на развитие теории дифференциальных неравенств типа С. А. Чаплыгина [3] применительно к методу сравнения. Основной задачей исследований является модификация способов построения оценок для решений линейных дифференциальных уравнений и нахождение критериев их продолжимости. Полученные результаты позволяют определить класс дифференциальных неравенств, для которых соответствующие уравнения сравнения не требуют свойств квазимонотонности, характерных для метода векторных функций Ляпунова. Такой подход, применительно к теории сравнения, позволяет строить новые критерии для исследования динамических свойств систем дифференциальных уравнений. Рассматриваются приложения исследований к дифференциальным уравнениям в частных производных. Вторая глава диссертации посвящена исследованию устойчивости положения равновесия систем обыкновенных дифференциальных уравнений с помощью производных функций Ляпунова высших порядков. Рассматривается применение дифференциального уравнения Ляпунова высокого порядка к исследованию задач устойчивости. На основе результатов первой главы о продолжимости решений дифференциальных неравенств и свойства монотонности для линейных дифференциальных уравнений [93] найдены критерии устойчивости, не требующие условий квазимонотонности применяемых уравнений сравнения. Разработанные критерии применяются для анализа равномерной асимптотической устойчивости одного достаточно общего класса систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Проведено сравнение полученных результатов с некоторыми подходами к исследованию устойчивости.
Исследование структуры устойчивых возмущений методом векторных функций Ляпунова
Рассмотрим систему (3.1.1) с возмущением в виде непрерывной векторной функции Предположим, что система (3.2.1) имеет нулевое решение и удовлетворяет некоторым условиям существования и единственности. Найдем условие на правые части, при которых имеет место устойчивость. Рассмотрим векторную функцию Ляпунова Пусть система уравнений (3.2.2) І7 = Ч ,У) at имеет устойчивое нулевое решение и существует положительно определенная функция V(t,y), удовлетворяющая теореме Ляпунова об устойчивости w Рассмотрим вектор N{t,x), ортогональный градиенту функции W(tbV). Таким образом Теорема 3.3 Пусть система дифференциальных уравнений (3.2.2) устойчива по Ляпунову и выполнены условия: 1. Существует положительно определенная функция V{t,y), удовлетворяющая равенству (3.2.3). Вектор возмущения F(t,x) в системе уравнений (3.2.1) удовлетворяет условию: Тогда, нулевое решение системы (3.2.1) устойчиво по Ляпунову. Если разность (3.2.4) определенно полооїсительиа, то устойчивость нулевого решения системы (3.2.1) будет асимптотической. Доказательство. Полная производная векторной функции Ляпунова справедливы равенства: Для примера, рассмотрим следующую систему дифференциальных уравнений Предположим, что система имеет нулевое решение, и правые части удовлетворяют некоторым условиям существования и единственности решений. Теорема 3.4 Предположим, что функции gt неотрицательны, а возмущения ft задаются равенствами принимает только неотрицательные значения, тогда нулевое решение системы дифференциальных уравнений (3.3.1) устойчиво. В случае положительной определенности функции (3.3.2), устойчивость пулевого решения уравнений (3.3.1) будет асимптотической. Доказательство. Рассмотрим векторную функцию
Ляпунова имеет устойчивое нулевое положение равновесия. Действительно, рассмотрим определенно положительную квадратичную форму в виде суммы квадратов Вычислим полную производную функции V в силу уравнений (3,3.3) и воспользуемся теоремой Ляпунова об устойчивости. олучим Выберем вектор N(t,x), ортогональный градиенту квадратичной формы и выбором функций qt и g,, может быть сделана неотрицательной (устойчивость) или определенно положительной (асимптотическая устойчивость). Поиск соответствующих функций (/, и gt может рассматриваться как выбор допустимого управления. Таким образом, в соответствии с теоремой 3.3, для возмущений /п получим следующие выражения: Одним из важных результатов применения векторных функций Ляпунова к исследованию устойчивости движений, описываемых сложными динамическими системами, является метод Беллмана - Бейли [10,11]. В основу метода положен следующий принцип. В процессе декомпозиции сложная система представляется в виде нескольких взаимосвязанных подсистем, в какой-то мере слабо связанных между собой или связанных по определенному закону, обусловленному структурой системы. При этом существенно используются структурные особенности сложных систем, а именно структура внутренних связей. Для найденных подсистем строятся скалярные функции Ляпунова, с оценками Н. Н. Красовского [25] для экспоненциальной устойчивости. Выбирая найденные функции в качестве компонент, строится векторная функция Ляпунова, удовлетворяющая некоторой системе дифференциальных уравнений, называемой [7] системой сравнения. Из свойств устойчивости такой системы можно судить об аналогичных свойствах исходной системы. С помощью такого подхода удается избежать технических трудностей, обычно возникающих при непосредственном применении второго метода Ляпунова к исследованию систем высокого порядка. В данной главе рассматривается модификация систем сравнения в методе Беллмана - Бейли с использованием векторных функций Ляпунова, компоненты которых удовлетворяют оценкам более высокого порядка с учетом некоторого класса нелинейностей для изолированных подсистем. Приводятся результаты вычислительного эксперимента, подтверждающие эффективность найденных модификаций для построения уравнений сравнения, позволяющих исследовать устойчивость движений сложных динамических систем.
Исследование алгебраических неравенств метода Беллмана —Бейли
Следовательно, условие устойчивости матрицы А является достаточным для экспоненциальной устойчивости нулевого решения системы дифференциальных уравнений (4.1.1). Существенным является вопрос о разбиении многомерной системы на подсистемы. Характер декомпозиции определяется возможностью построить обладающие определенными свойствами функции Ляпунова для каждой из полученных, в результате разбиения исходной системы, индивидуальных подсистем. Если известно, что имеется экспоненциальная устойчивость по некоторым группам переменных, то целесообразно разбиение на подсистемы, определяемые этими группами. Иногда оказывается полезным провести некоторое преобразование координат. Существуют различные методы проведения декомпозиции, приводящие к своим достаточным условиям устойчивости. Исследование устойчивости методом векторных функций Ляпунова базируется на теории дифференциальных неравенств типа Чаплыгина [3]. Согласно такому подходу, поведение дифференцируемой функции (/(/), удовлетворяющей неравенству; at сопоставляется с поведением соответствующих решений вспомогательной системы сравнения: at v(0 = u(t0),v(t)eRk. При этом существенно, что компоненты векторной функции F являются неубывающими функциями по совокупности внедиагс;нальных I переменных. Таким образом, правые части системы сравнения принадлежат классу квазимонотонных функций [47].
Для построения таких уравнений применяются алгебраические неравенства, основанные на свойствах однородных функций вида: В рассматриваемых модификациях метода, предлагаются к использоваїшю некоторые модификации неравенств, связанные с увеличением порядка однородности: L(x,y) = ахп + bx"-pyp + су", т-р 0. Такой подход позволяет модифицировать формулы (4.1.4), и в некоторых случаях оказывается эффективным для построения уравнений сравнения. Лемма. Пусть для чисел тир выполнены условия т-р О, тр 0. Тогда для любых положительных чисел а, х и у справедливо неравенство Доказательство. В силу положительности значений х и у неравенство (4.2,1) можно Тогда Найдем точки подозрительные на экстремум для правой части (4.2.2). Для этого, найдем корни уравнения Таким образом Рассмотрим вторую производную правой части неравенства (4.2.2) относительно z В силу неравенств полученное значение г0 доставляет минимум правой части неравенства (2), так как вторая производная является неотрицательной функцией. Подставим найденное значение г0 в неравенство (4.2.2) и найдем условие для коэффициентовпредставим неравенство (4.2.3) в виде Таким образом, для параметров а и b справедливо неравенство (4.2.3), как частный случай неравенства (4.2.1).И Результаты Беллмана - Бейли [1] и некоторые их модификации [7] основаны на применении следующих неравенств. Следствие 2. Д.w произвольных значений а 0, Ь 0, справедливы неравенства Для значения p = 2 будет справедливо неравенство (4.2.4), а для произвольного значения р 1 получим формулу (4.2.5). И Предположим, что в результате декомпозиции системы высокой размерности найдено к подсистем и выделены взаимосвязи между ними. Пусть функция F удовлетворяет некоторым условиям существования и единственности, причем /-(/, 0) = 0. Декомпозицию необходимо выполнить так, чтобы компоненты вектора подсистемы с номером і не входили в качестве компонент в состав векторов состояний Xj других подсистем, т.е. чтобы система разделялась на неперкрывающиеся подсистемы. В этом случае Анализ устойчивости решений найденных уравнений может быть выполнен модификациями метода Беллмана - Бейли. Рассмотрим следующую многое вяз ную систему дифференциальных уравнений с
