Введение к работе
Актуальность темы. Теория оптимального управления дифференциальными уравнениями с частными производными в значительной степени развивалась как обобщение теории оптимального управления системами обыкновенных дифференциальных уравнений. Отсюда, в частности, возникает традиционное распределенное управление, входящее в правые части систем; отсюда же вытекают и попытки распространения на задачи оптимального управления системами с распределенными параметрами традиционных методов исследования, идущих от систем с сосредоточенными параметрами. Вторым основным направлением изучения задач оптимального управления уравнениями с частными производными является применение к данным объектам общих методов анализа оптимизационных задач (функционально-операторные модели и методы оптимизации, принцип Лагранжа, методы решения абстрактных задач оптимального управления и т.п.). В этой связи отметим работы А.Г.Бутковского, О.В.Васильева, Ф.П.Васильева, В.А.Дыхты, А.И.Егорова, К.А.Лурье, М.М.Новоженова, Д.А.Овсянникова, Т.К.Сиразетдинова, В.А.Срочко, В.И.Сумина, М.И.Сумина, А.В.Фурсикова, В.А. Якубовича, N.U.Ahmed, H.O.Fattorini, J.-L.Lions, X.Li, K.L.Teo, S.Tzafestas, J.Yong и др.
He отрицая практическую важность и значимость указанных подходов, укажем вместе с тем на техническую сложность реализации распределенных управлений (в каждой точке пространства и в каждый момент времени) и актуальность исследования специальных типов задач - при сосредоточенном управлении, входящем в правые части и начально-краевые условия дифференциальных уравнений.
В последнее время значительно повысился интерес к изучению составных задач управления, в которых технологический, природный или экономический процесс описывается дифференциальными уравнениями разного типа в отдельных областях изменения независимых переменных, либо правые части или начально-краевые условия определяются из управляемых систем обыкновенных дифференциальных уравнений на границе области.
Кроме того, во многих реальных проблемах искомые управления являются гладкими функциями. Это требование вытекает из физической сути исследуемых задач. Вместе с тем, существующие методы оптимального управления, основанные на использовании принципа максимума Л.С.Понтрягина, его следствий и модификаций, ориентированы на классы разрывных управлений.
Таким образом, актуальными являются: проблема разработки математического аппарата исследования задач поиска оптимальных сосредоточенных управлений, входящих в правые части и начально-краевые условия дифференциальных уравнений с частными производными, и проблема построения специальных методов оптимизации для случая гладких управляющих воздействий.
Объектом исследования в диссертационной работе являются задачи оптимального управления системами полулинейных гиперболических уравнений первого порядка. Этот выбор вызван, с одной стороны, многочисленными приложениями подобных задач к техническим, социально-экономическим и экологическим процессам, а с другой - наличием удобного математического аппарата (характеристики, интегральные представления решений и т.п.) для этого класса уравнений. В рамках данных систем описываются явления возбуждения и
распространения волн, кристаллооптика и электромагнитные колебания, динамика популяций, процессы тепло- и массопе-реноса в химических реакторах и др.
Цели и задачи диссертационной работы - исследование задач оптимального управления системой полулинейных гиперболических уравнений первого порядка с неоднородностью, определяемой из управляемой системы обыкновенных дифференциальных уравнений, оптимизационных задач с управляемыми дифференциальными связями на границе достаточно общего вида; получение неклассических условий оптимальности граничных управлений в классе ограниченных и измеримых, а также гладких управляющих воздействий; построение итерационных методов улучшения допустимых управлений; оценка эффективности методов путем проведения численных экспериментов для прикладных химико-технологических задач.
Методы исследования основаны на использовании неклассических формул приращения целевых функционалов; нестандартных вариаций, обеспечивающих гладкость допустимых управлений. В работе использован аппарат математического анализа, теории оптимизации и управления, вычислительных методов. Численные расчеты на персональных компьютерах проводились с использованием системы MATLAB 7.0.
Научная новизна.
1) Впервые исследованы задачи оптимального управления гиперболическими системами с неоднородностью, определяемой из управляемой системы обыкновенных дифференциальных уравнений, с точки зрения получения неклассических условий оптимальности вариационного типа в классе ограниченных и измеримых управляющих воздействий.
2) Впервые исследованы в классе гладких допустимых
управлений задачи оптимального управления гиперболически
ми системами с неоднородностью, определяемой из управля
емой системы обыкновенных дифференциальных уравнений,
а также задачи оптимального управления начально-краевыми
условиями гиперболических систем с граничными условиями
общего вида. На основе применения нестандартных вариаций,
сохраняющих гладкость допустимых управлений, установлены
необходимые условия оптимальности.
3) Разработаны итерационные методы решения задач опти
мального управления гиперболическими системами для ука
занных проблем, доказаны теоремы о сходимости, проведены
расчеты для ряда иллюстративных примеров, осуществлена
численная реализация метода для прикладной задачи оптими
зации процессом ректификации в колонне.
Основные результаты диссертации, выносимые на защиту:
необходимые и достаточные условия вариационного типа в задаче оптимального управления полулинейной гиперболической системой первого порядка с неоднородностью, определяемой из управляемой системы обыкновенных дифференциальных уравнений в классе ограниченных и измеримых управлений (теорема 5.1, пункт 1.5, глава 1);
необходимые условия оптимальности гладких управлений для указанного выше типа задач оптимального управления (теорема 2.2, пункт 2.2; теорема 3.1, пункт 2.3, глава 2); конструктивные варианты методов улучшения допустимых управлений (пункт 2.4, глава 2);
необходимые условия оптимальности гладких граничных управлений для задач оптимального управления начально-краевыми условиями гиперболических систем с достаточно об-
щей формой дифференциальных связей на границе (теорема 7.1, пункт 2.7, глава 2) и методы улучшения (пункт 2.8, глава
2);
- численная реализация методов улучшения гладких граничных управлений для решения прикладной задачи исследования процесса ректификации в насадочной колонне(пункт 3.3, глава 3).
Личный вклад автора. Основные результаты, включенные в диссертационную работу, получены соискателем лично. В совместных работах с научным руководителем Аргучинцеву А.В. принадлежит идея применения к рассмотренным в диссертации задачам общей методики гладкого варьирования.
Теоретическая и практическая значимость. Полученные в диссертации теоретические результаты представляют интерес в теории управления сложными динамическими системами. Предлагаемые методы и подходы открывают новые возможности для эффективного решения прикладных задач оптимального управления системами дифференциальных уравнений с частными производными гиперболического типа, в частности, для задач техники (управление пучками заряженных частиц, лазерная физика, химическая технология), экономики (управление основными производственными фондами с учетом их возрастной структуры), экологии (динамика популяций, распространение эпидемий и наркотиков, процессы возбуждения и распространения гравитационных волн). Вычислительные методы апробированы в рамках разработанных программ для системы MATLAB 7.0.
Некоторые разделы диссертации используются в учебном процессе кафедры методов оптимизации (дисциплины специализации, курсовые и дипломные работы).
Апробация работы. Основные результаты, включенные
в диссертационную работу, докладывались на следующих конференциях и семинарах:
XLIII Международная научная студенческая конференция «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2005 г.);
ежегодная научная студенческая конференция Иркутского государственного университета (Иркутск, 2005 г.);
IV Всероссийская конференция «Математика, информатика, управление» (Иркутск, 2005 г.);
III Межвузовская конференция «Математика и проблемы ее преподавания в вузе» (Иркутск, 2007 г.);
- Международная конференция «Дифференциальные
уравнения и топология», посвященная 100-летию со дня
рождения Л.С.Понтрягина (Москва, 2008 г.);
Международная конференция «Оптимальное управление: теория, методы и приложения», посвященная 70-летию со дня рождения профессора О.В. Васильева (Иркутск, 2009 г.);
семинары кафедр методов оптимизации, вычислительной математики и механики Иркутского государственного университета (2006-2010 гг.).
Результаты диссертации являются составной частью исследований, выполняемых в Иркутском государственном университете в рамках следующих НИР, в которых соискатель является официальным исполнителем:
- грант Российского фонда фундаментальных исследова
ний, проект 08-01-00709 «Качественные и конструктивные ме
тоды исследования неклассических задач вариационного ис
числения и оптимального управления проект», 2008-2010 гг.;
- грант международного конкурса РФФИ-Белорусского
фонда фундаментальных исследований, проект 06-01-81016
«Конструктивные методы решения задач оптимального управ-
ления системами гиперболического типа», 2006-2007 гг.;
- Федеральная целевая программа «Исследования и разра
ботки по приоритетным направлениям развития науки и тех
ники», НИР «Информационно-математическое обеспечение ре
шения прикладных задач оптимального управления», государ
ственный контракт от 26.10.2005 № 02.442.11.7043, 2005 г.;
Федеральная целевая программа «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг., НИР «Операторно-дифференциалыше системы: начально-краевые задачи, методы оптимального управления и их приложения», государственный контракт от 20.05.2010 № П 696, 2010-2012 гг.;
Федеральная целевая программа «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг., НИР «Оптимальное управление начально-краевыми условиями сложных динамических систем и приложения», государственный контракт от 02.06.2010 № П 1115, 2010-2012 гг.;
- грант поддержки научно-исследовательской работы аспи
рантов и молодых сотрудников Иркутского государственного
университета, тема 111-02-000/8-02 «Исследование составных
задач оптимального управления, возникающих при моделиро
вании химико-технологических процессов», 2008 г.
Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 10 работ, в которых отражено ее основное содержание. В число указанных работ входят 3 статьи [1]-[3] в журналах из «Перечня ведущих научных журналов и изданий, выпускаемых в Российской Федерации, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертации на соискание ученых степеней доктора и кандидата наук». В работах [1]-[5], [9] научному руководителю Аргучинцеву А.В принадлежит идея применения общей методики, основанной на исполь-
зовании специальных вариаций гладких допустимых управлений.
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 170 наименований. Общий объем диссертации составляет 131 страницу, включая 9 рисунков.
