Введение к работе
Актуальность темы. Последние два десятилетия отмечены интенсивными исследованиями многомерных эллиптических систем первого порядка. Первыми важными работами в этом направлении явились работы А.В.Бицадзе [1] и А.А. Дезина [2,3]. А. В. Би-цадзе исследовал свойства трехмерного аналога интеграла типа Коши. А.А.Дезин изучил класс инвариантных эллиптических систем, обобщающих классическую систему Коши-Римана. Им найдены для них нетеровы граничные задачи. Многомерным эллиптическим системам первого порядка посвящен ряд работ Гр.Мойсила и Н. Теодореску [4], А.П. Солдатова [5], А.Д. Джураева [6], B.C. Виноградова [7],Б.В. Пальцева [8],А.И. Янушаускаса [9], М.З. Соломяка [10].Н.Н. Тарханова [11],И.С. Самойленко [12], автора [13 - 33] и др. Эта теория уже нашла многочисленные применения в теории аналитических функций нескольких переменных [6,15,27,29], геометрии векторных полей [25,32], теории многомерных сингулярных интегральных уравнений [1], в теории уравнений с частными производными [7], а также в различных разделах физики [34,35].
Охарактеризуем основные направления и результаты исследований. Рассмотрим вначале общую проблему эллиптичности систем первого порядка, которая формулируется так: каковы должны быть числа тип, для того, чтобы существовали определенные эллиптические системы первого порядка с га неизвестными функциями от п независимых переменных. Опираясь на окончательное решение Дж.Ф. Адамсом [37] проблемы нахождения максимально возможного числа линейно независимых векторных полей на сферах, М.З.Соломяк анонсировал в [10] решение этой проблемы. Однако, во-первых,доказательство теоремы существования до настоящего времени не опубликовано. Во-вторых, в приложениях важно иметь информацию о свойствах таких систем, которую невозможно получить из теоремы существования Соломяка. Поэтому представляется актуальной задача, поставленная А.Гурвицем: построить эллиптические системы первого порядка с любым возможным числом неизвестных функций от любого числа независимых переменных. В диссертации строится класс канонических эллиптических систем, решающий проблему Гурвица. Предложенный метод решения позволяет получить ряд новых результатов и в теории векторных полей и в алгебре. В работе
- г -
вводится и исследуется класс нормальных эллиптических систем первого порядка, которые содержат в себе канонические эллиптические системы, в частности, систему Коши-Римана, систему Моисила-Теодореску-Бицадзе, инвариантные эллиптические системы Дезина и ряд других. Для изучения свойств решений нормальных систем в диссертации применяется аппарат теории дифференциальных форм. В своей монографии А.В.Бицадзе [1] поставил задачу отыскания эллиптических систем с нетеровыми или хаусдорфовыми задачами. Вот почему в работе особое внимание уделено отысканию таких систем. При помощи класса канонических систем удается получить окончательное решение в общем случае задачи построения максимально возможного числа линейно независимых векторных полей на сферах. Полученные ранее отдельные результаты по этой задаче, представленные в монографии Ю. А.Аминова [38,гл.2], дают ее решение лишь для сфер размерности nq-l. где п=2.4.8.16, a q - любое нечетное число. Кроме того в качестве приложения в диссертации приведено конструктивное решение обобщения известной алгебраической задачи "о сумме квадратов".
В диссертации исследуются также комплексные нормальные эллиптические системы первого порядка. В частности, изучен подкласс этих систем, которые порождаются оператором внешнего дифференцирования д . Исследуется также краевая задача Ко-ши следующего типа: найти решение канонической комплексной системы в ограниченной области по краевому условию и=0 на границе области. Задача оказывается нормально разрешимой по Хаусдорфу. Отметим, что для классической системы Коши-Римана на комплексной плоскости этот результат получен в 1993 году Ю. А. Лубинским [39]. Решение задачи Коши дает возможность получить решение подобной задачи для переопределенной неоднородной системы Коши-Римана в теории аналитических функций нескольких комплексных переменных. Следует отметить, что аналогичный результат был анонсирован в 1991 году А.Д.Джура-евым [6]. В диссертации получен также результат о восстановлении решения по своим компонентам. Для инвариантных эллиптических систем аналогичную задачу исследовал А.А.Дезин [2].
Имеется ряд работ общего характера по переопределенным
эллиптическим системам, обзор которых имеется в монографии [40]. В данной работе , ограничившись эллиптическими системами первого порядка, удалось получить ряд конкретных результатов о возможности продолжения решений, о граничных свойствах решений, о границе Шилова для пространства решений и др.
Цель работы. Основной целью работы является построение и изучение класса эллиптических систем первого порядка с любым возможным числом неизвестных функций от любого числа независимых переменных, которые имеют строение, аналогичное строению системы Коши-Римана. При этом главное внимание уделяется изучению некоторых классов этих систем, для которых существуют краевые задачи, нормально разрешимые по Хаусдорфу и которые имеют применения в геометрии векторных полей. Кроме того в работе исследуются переопределенные эллиптические системы первого порядка. Подробно рассматриваются свойства, отличающие их от определенных эллиптических систем: продолжение решений, описание естественных областей существования решений, продолжение решений с остова и др.
Общая методика исследований. Работа основана на методах многомерного комплексного анализа, теории обобщенных функций, теории сингулярных интегральных уравнений, аппарате внешних дифференциальных форм и разработанном автором методе построения эллиптических систем первого порядка с любым возможным числом неизвестных функций и любым числом независимых переменных.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. В частности, впервые построен и исследован класс эллиптических систем первого порядка с любым возможным числом неизвестных функций от любого числа независимых переменных. Исследован класс нормальных эллиптических систем первого порядка. Для этих систем находятся краевые задачи, нормально разрешимые по Хаусдорфу. Для инвариантных эллиптических систем Дезина устанавливаются существование и единственность решения задачи Дирихле в полупространстве. Новизна
работы состоит также в том, что в пространствах любой размерности больше трех строятся примеры эллиптических систем второго порядка, для которых задача Дирихле не является не-теровой. При этом число уравнений в построенных примерах может быть и четным и нечетным. Для переопределенных эллиптических систем первого порядка получена теорема об одновременном продолжении решений. Найден аналог теоремы Гартогса о продолжении решений, а также аналог теоремы Бенке-Штейна. Построенные в работе канонические системы используются для окончательного решения задачи построения максимально возможного числа линейно независимых векторных полей на сферах. Исследованы свойства этих полей.
Теоретическая и практическая ценность. Многие результаты работы нашли применение, как в теории эллиптических систем второго порядка, так и в теории аналитических функций нескольких комплексных переменных. Кроме того в диссертации получены применения полученных результатов в геометрии векторных полей и в алгебре.
Апробация работы. Основные результаты диссертации неоднократно докладывались на различных научных научных конференциях и семинарах: академика РАН, проф. В.А.Ильина, члена-корреспондента РАН, проф. А.А.Дезина, проф. Е.И. Моисеева в Московском государственном университете им. М. В. Ломоносова, члена-корреспондента РАН, проф. А.В.Бицадзе, члена-корреспондента РАН, проф. А.А.Дезина, академика РАН, проф. В.А.Ильина в Математическом институте РАН им. В. А.Стеклова, члена-корреспондента РАН, проф. С.И.Похожаева, проф. Ю. А.Ду-бинского, проф. С.А.Ломова в Московском энергетическом институте.
Публикации. Основное содержание диссертации изложено в 11 работах .
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 242 страницы. Список литературы состоит
из 158 наименований.
