Содержание к диссертации
Введение
1 Свойства и структура N-групп 24
1.1 Доказательство теоремы А 24
1.2 Вспомогательные сведения 27
1.3 Доказательство Теоремы В 33
1.3.1 Формулировки лемм и доказательство Теоремы В 33
1.3.2 Доказательство лемм 38
1.4 Доказательство следствий 49
2 Простейшая система с запаздывающим переключением 55
2.1 Введение 55
2.2 Доказательство теоремы Е 56
3 Уравнение Ши Сонглина 61
3.1 Фазовый портрет и общие сведения 61
3.2 Подробные выкладки 63
3.2.1 Исследование окрестности нуля 63
3.2.2 Задача в новых переменных 68
3.2.3 Возвращение к исходным переменным 75
3.3 Алгоритм решения фактор-системы 76
3.4 Формальная нормальная форма 77
3.4.1 Ответ 77
3.4.2 Алгоритм нахождения формальной нормальной формы 78
- Вспомогательные сведения
- Формулировки лемм и доказательство Теоремы В
- Исследование окрестности нуля
- Алгоритм решения фактор-системы
Введение к работе
Актуальность темы.
Диссертация посвящена исследованию свойств некоторых динамических систем малой размерности. В ней рассматриваются как системы с хаотическим поведением, так и системы, имеющие, в некотором смысле, упорядоченные решения. Как известно, понятие хаоса не строгое и существует много различных определений хаотического поведения. В данной работе упоминаются прежде всего такие формы хаоса, как минимальность, эргодичность и неустойчивость. Порядок обычно рассматривается как наличие определенной структуры, однако в физике под упорядоченным движением часто также понимаются периодические процессы. В данной работе рассмотрено три динамические системы малой размерности с хаотическими и упорядоченными свойствами.
Первая из рассматриваемых динамических систем относится к теории действий групп диффеоморфизмов на окружности. Для начала напомним несколько определений.
Определение 1. Действие группы G на пространстве X называется минимальным^ если любое замкнутое инвариантное множество либо пусто, либо совпадает со всем пространством X.
Легко проверить, что в случае минимального действия каждая орбита всюду плотна в X.
Определение 2. Мера /і на пространстве X называется квазиинвариантной для действия группы G, если её образ под действием любого отображения из группы абсолютно непрерывен относительно исходной меры /І.
Заметим, что на окружности мера Лебега является квазиинвариантной для любой группы С^-гладкой группы отображений.
Определение 3. Действие группы G на пространстве X называется эргодичным относительно квазиинвариантной меры /і, если любое измеримое инвариантное множество имеет меру ноль или его дополнение имеет меру ноль.
Для диффеоморфизмов окружности, как было уже сказано, естественно рассматривать эргодичность относительно меры Лебега.
Одним из известных вопросов теории динамических систем является следующая
Гипотеза. Рассмотрим копечпо-порождёппую группу G с Diff2^1). Если её действие минимально, то оно эргодично относительно меры Лебега.
Эта гипотеза была сформулирована в конце 60-х-начале 70-х годов XX века многими авторами, включая Ж. Эктора и Э. Жиса. Однако, даже для случая одного диффеоморфизма окружности (G — Z) эта гипотеза не является очевидным следствием классификационной теоремы Пуанкаре. Дело в том, что сопряжение между минимальным диффеоморфизмом и соответствующим иррациональным поворотом может не быть абсолютно непрерывным — поэтому эргодичность поворота не влечёт за собой эргодичность в смысле меры Лебега исходного отображения.
Тем не менее, с помощью значительно более тонких рассуждений, в случае одного диффеоморфизма гипотеза была доказана — одновременно и независимо — А. Б. Катком1 и М. Эрманом2.
Для случая более богатой (не обязательно сохраняющей какую-нибудь меру) динамики, основной идеей, лежащей в основе доказательств эргодичности, является идея экспоненциального растяжения (и, более общо, растяжения с контролем искажения):
Теорема (опубликовано А. Навасом3, идея доказательства восходит к Д. Салливану). Пусть группа G С Diff^S4) действует на окружности минимально, и выполнено условие
VxeS1 ЗдєС: д'(х) > 1.
Тогда действие G эргодично относительно меры Лебега.
Отметим, что препятствием к применимости этой техники является наличие нерастяжимых точек.
Определение 4. Точка х Є S1 называется нерастяжимой (для действия группы G), если
VgeG \д'{х)\<1.
Множество нерастяжимых точек мы будем обозначать через NE = NE(G).
ХА. Б. Каток, Б. Хасселблат. Введение в теорию динамических систем с обзором последних достижений. Пер. с англ. под ред. А. С. Городецкого. М.: МЦНМО, 2005.
2М. Herman. Sur la conjugaison differentiable des diffeomorphismes du cercle a des rotations. Publ. Math, de VIHES49 (1979), 5-234.
3A. Navas. Sur les groupes de diffeomorphismes du cercle engendres par des elements proches des rotations. L'Enseignement Mathematique 50 (2004), 29-68.
Замечание 1. Определение нерастяжимой точки зависит от выбора системы координат. Однако, как следует из работы Деруана,Клепцына и Наваса\ хотя заменой координат можно сделать конкретную точку растяжимой, но на орбите, тем не менее, всегда останется хотя бы одна нерастяжимая точка. С другой стороны, логично предполагать, что вместе с группой диффеоморфизмов нам заданы так же координаты на окружности. Поэтому далее мы всегда будем предполагать, что система координат выбрана и зафиксирована.
Наличие нерастяжимых точек не противоречит минимальности действия (даже аналитической!) группы диффеоморфизмов: примерами служат стандартное действие PST^Z) и (для гладкого случая) гладкая реализация Жиса-Сержиеску5 группы Томпсона.
Отметим, что все известные на текущий момент примеры минимальных действий с нерастяжимыми точками отличаются от этих двух незначительными модификациями.
В частности, все они обладают следующим свойством: нерастяжимые точки являются односторонне изолированными неподвижными для некоторых элементов группы. Более точно, для них выполняется следующее
Определение 5. Нерастяжимая точка х Є NE(G) обладает свойством односторонней изолированной неподвижности, если найдутся g+}g~ Є G, такие, что g+(x) = g~(x) = х7 и х — изолированная справа (соответственно, слева) точка Fix(g+) (соответственно, Fix(g-)).
Определение 6. Конечно-порождённая группа G С Diff2^1) называется N-группой, если её действие минимально, множество NE(G) непусто, и всякая нерастяжимая точка х Є NE(G) обладает свойством односторонней изолированной неподвижности.
Оказывается, для таких групп всё ещё возможно построить процедуру растяжения с контролем искажения.
Теорема (Деруан, Клепцын, Навас4). Действие N-группы эргодично относительно меры Лебега.
4В. Deroin, V. Kleptsyn, A. Navas, On the question of ergodicity for minimal group actions on the circle, Moscow Math. Journal, 2009, 9, 2, 263-303
5E. Ghys & V. Sergiescu. Sur un groupe remarquable de diffeomorphismes du cercle. Comment. Math. Helvetia 62 (1987), 185-239
Отметим также, что одним из следствий является конечность множества NE.
Более того, оба вышеупомянутых примера (гладкая реализация группы Томпсона и PSLzib)) обладают рядом других интересных свойств: они порождаются (в определённом смысле) нестрого-растягивающей «марковской» динамикой, и для них показатель Ляпунова растяжения равен нулю. Естественный возникающий в связи с этим вопрос — а любая ли N-группа обладает такими свойствами? И можно ли найти аналогичную структуру в произвольной N-rpynne?
Первая глава настоящей работы посвящена ответам на эти вопросы — исследованию N-rpynn.
Следующей системой, которая рассмотрена в данной работе, является простейшая одномерная система с запаздывающими переключениями. Часто в физических задачах возникает необходимость рассмотрения системы обыкновенных дифференциальных уравнений с кусочно-непрерывной правой частью. Эту задачу можно переформулировать, рассматривая конечное число динамических систем, называемых базовыми системами^ сменяющих друг друга при достижении траекторией некоторого критического множества. Для описания систем с таким поведением Вожелем6 были предложены «бушующие системы» (systemes deferlants). Система Вожеля (называемая в русскоязычной литературе системой с переключениями) задается двумя автономными системами в Мп, которые сменяют одна другую, когда точка x{t) в фазовом пространстве достигает заданного в нем "критического множества" К. Эти системы были описаны и исследованы самим Вожелем, а общий случай А.Д. Мышкисом и А.Я. Хохряковым7.
В своей работе8 А.Д. Мышкис ввел общие системы с запаздывающим переключением. Здесь смена систем происходит в каждый момент времени t: для которого на критическое множество К попадает точка x(t — г), где г = const > 0 фиксированный для всей системы параметр запаздывания, а в качестве начального условия задается значение решения на временном интервале длины h и номер начальной системы. Такая конструкция позволяет описывать физические системы, которые обладают саморегулировкой: имеется некоторое устройство, изменяющее
6Vogel Т., Sur les systemes deferlants. Bull. Soc. Math. France. 1953. 81. No. 1. P. 63-75.
7Мышкис А. Д., Хохряков А. Я., Бушующие динамические системы. I. Особые точки на плоскости. Матем. сб. 1958. 45. Вып. 3. С. 401-414.
8Мышкис А. Д., Системы с запаздывающим переключением. Автом. и телемех. 2000. Вып. 12. С. 48-52.
саму систему в зависимости от текущего ее состояния (например реле с температурным датчиком), причем время срабатывания такого устройства универсально и не равно нулю.
В качестве простейшего примера системы с запаздывающим переключением в работе Мышкиса9 была рассмотрена одномерная система на прямой с двумя сменяющими друг друга базовыми системами следующего вида:
(!)*(*) = ! ,,
(2) ад = -i u
Критическое множество состоит из двух точек К = {0,1}. Для корректной постановки задачи также задается непрерывная начальная функция х = tp(t) при — 1 < t < 0, причем (/9(0) = 0, (/?() Ф 0(—1 < t < 0); начинать движение будем по первой базовой системе (k = 1). Это фактически соответствует движению по первой базовой системе из нуля при условии, что только что было совершено попадание в критическое множество и других попаданий в прошлом не было.
В упомянутой работе рассмотрено поведение системы (1) при г Є [0, -] U [|, оо), а именно доказана следующая
Теорема. Решение поставленной выше задачи (1) с критическим множеством К = {0,1} и параметром запаздывания т обладает следующими свойствами:
при 0 < т ^ 1 решение системы периодично и имеет 2 переключения на наименьшем периоде;
при 1 < т < | решение системы периодично и имеет 4 переключения на наименьшем периоде;
при 2 < т решение системы после 2 переключений уходит на оо;
при т = | решение системы периодично начиная с момента времени t = 7j и имеет 2 переключения на наименьшем периоде;
при т = Tk решение системы периодично и имеет 4к+2 переключений на наименьшем периоде;
при Tk+i < т < Tk решение системы периодично и имеет 2к + 2 переключений на наименьшем периоде;
9Myshkis A.D., The simplest system with retarding switching and 2-point critical set. Functional Differential Equations. 2003. 10. No. 3-4. pp. 535-539.
где Tk = 64fc_1 — убывающая последовательность, ті = 2 u 7 —> | при
к —> оо.
Это не совсем типичное поведение решений для конечно-параметрического семейства непрерывных динамических систем на прямой, однако запаздывающее переключение в данном случае «размывает» фазовое пространство и позволяет обойти строгий порядок точек, который обуславливает простую классическую непрерывную динамику на прямой. Заметим здесь также, что под «хаотичностью» и «упорядоченностью» часто понимаются свойства одной и той же системы, зависящей от параметра, причем при одних значениях система может обнаруживать хаотические свойства, а при других — упорядоченные, что и происходит в рассматриваемой системе.
Во второй главе диссертации исследован оставшийся промежуток г Є (з? 2)' пРичем выявлен новый тип поведения решения. Тем самым завершено исследование этой системы.
Третья динамическая система относится к теории квадратичных векторных полей на плоскости. Вторая часть 16-ой проблемы Гильберта посвящена вопросу расположения и количества предельных циклов для полиномиальных векторных полей на плоскости. До сих пор нет никакой оценки их количества даже для квадратичных векторных полей. Долгое время считалось, что это число не превосходит трех. В 1979 году Ван Мин-Шу и Чен Лан-Сун в своей работе10 показали существование квадратичного векторного поля на плоскости, у которого имеется не менее четырех предельных циклов. В 1980 году Ши Сонглин11 опубликовал конкретный пример векторного поля с не менее, чем четырьмя предельными циклами, задаваемого следующей системой
Г х = Хх — у — 10ж2 + (5 + 5)ху + у2, , ,
\ у = х + х2 + (-25 + 8є - 96)ху. ^ '
Требуемое возмущение было указано автором явно:
5 = -1(Г13, є = -1(Г52, А = -1(Г200. (3)
Ши Сонглин показал, что при указанном возмущении в уравнении (2) имеется не менее 4 предельных циклов: один вокруг точки (0,1) (этот цикл
10Chen Lan-Sun, Wang Ming-Shu, The relative position, and the number of limit cycles of a quadratic differential system.— Acta Math. Sinica, 1979, 22, 751-758
uShi Songling, A concrete example of the existence of four limit cycles for plane quadratic systems .— Scientia Sinica, 1980, 23, №2, p.153-158.
имеется и в невозмущенной системе), и три вокруг (0,0).
Естественно возникает в связи с этим вопрос: «А сколько на самом деле предельных циклов в уравнении (2)»? Ответу на этот вопрос, а так же точной локализации предельных циклов уравнения Ши Сонглина посвящена третья глава данной диссертации.
Цель работы.
Целью работы является изучение различных вопросов хаотического и упорядоченного поведения динамических систем малой размерности.
Методы исследования.
В работе используются как классические методы растягивающей динамики и техника контроля искажения (Дж. Салливан), теория идеалов Баутина и теория нормальных форм в приложении к квадратичным векторным полям, так и их видоизмененные аналоги, приспособленные для решения поставленных задач.
Научная новизна работы.
Результаты работы являются новыми. В диссертации получены следующие результаты:
Обнаружена внутренняя структура минимальных действий N-групп диффеоморфизмов окружности. Эта структура напоминает марковскую растягивающую динамику и порождает все действие группы с точностью до конечного числа отображений.
Для С2-гладких N-групп показана сингулярность стационарных мер.
Для С2-гладких групп при дополнительных ограничениях показано, что показатель Ляпунова растяжения этой группы равен нулю.
Завершено описание простейшего примера одномерной системы с запаздывающим переключением и двухточечным критическим множеством.
Показано, что уравнение Ши Сонглина имеет ровно четыре предельных цикла, не пересекающих малый отрезок по оси ординат. Предельные циклы вокруг начала координат локализованы в узких кольцевых областях.
Теоретическая и практическая ценность.
Работа носит теоретический характер. Полученные результаты относятся к различным разделам теории динамических систем малой размерности. Примененные в диссертации методы позволяют эффективно их использовать для продвижения в соответствующих разделах теории динамических систем малой размерности.
Апробация работы.
Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях:
на семинаре «Динамические системы» под руководством д. ф.-м. н., профессора Ю. С. Ильяшенко (механико-математический факультет МГУ им. М. В. Ломоносова) неоднократно в 2004 — 2010 гг;
на семинаре кафедры «Прикладная математика-1» под руководством д. ф.-м. н., профессора А.Д. Мышкиса (МИИТ), 2008 г.;
на конференции «Топологические и вариационные методы нелинейного анализа и их приложения», Воронеж, 2005;
на конференции «Singularities of planar vector fields, bifurcations and applications» (Люмини, Франция), май 2009 г.;
на Украинском математическом конгрессе, посвященном 100-летию со дня рождения Боголюбова, (Киев, Украина), август 2009 г.
Публикации.
Результаты диссертации опубликованы в работах, список которых приведён в конце автореферата [1-4].
Структура и объем работы.
Вспомогательные сведения
Взяв так построенные интервалы /+ и J+ для всех нерастяжимых точек, и аналогичные интервалы в левых окрестностях, мы получаем набор интервалов и соответствующих им отображений, для которых выполнено заключение (iii) теоремы А.
Теперь, дополнение к объединению U таких интервалов — компакт, отделенный от множества нерастяжимых точек, поэтому
Неравенство д {х) 1 выполнено автоматически и в некоторой окрестности точки х, которую можно выбрать так, чтобы производная д в ней была отделена от единицы. Тем самым, мы имеем открытое покрытие S1 \ U, из которого, в силу компактности, можно выделить конечное подпокрытие. Следовательно, S1\U можно разбить на интервалы 1г, каждому из которых соответствует отображение дг с іпі єд д[{х) 1. Осталось положить Л := minjinf g д[{х).
Наконец, отметим, что поскольку множество C?(NE) всюду плотно, можно выбрать интервалы /г- с концами из этого множества (опять-таки, мы воспользуемся этим позднее). Мы получаем разбиение окружности, удовлетворяющее заключениям (ii) и (iii) теоремы, хотя, быть может, не удовлетворяющее свойству (і) — марковости. Мы будем называть его предварительным разбиением.
Заметим теперь, что каждая из граничных точек построенных интервалов за конечное число итераций процедуры растяжения переходит в нерастяжимую. Действительно, с одной стороны, для нерастяжимой точки ж , в её образе д(х ) под действием некоторого отображения д Є G производная любого отображения д Є G не может превосходить 1/д (х ) — в противном случае, композиция д о д будет растягивать в ж . С другой стороны, при итерировании процедуры растяжения ни одна точка, кроме нерастяжимых, не может бесконечно оставаться в прилегающих к нерастяжимым точкам интервалах — а в силу условий (іі) и (ііі), для растягивающей композиции, в которой точка провела п итераций вне этих интервалов, её производная в этой точке не меньше AQ.
Поэтому процедура растяжения для граничных точек (как принадлежащих орбитам нерастяжимых) не может продолжаться бесконечно, и, значит, заканчивается попаданием каждой такой точки в какую-либо из нерастяжимых.
Подразобьём теперь предварительное разбиение, добавив к его концам все их образы при итерациях (предварительной) процедуры растяжения. При этом, если подразбиваемый интервал не примыкает к нерастяжимой точке, мы оставляем отображение, соответствующее его частям, тем же, что и для исходного интервала.
Наконец, для каждого интервала /+, примыкающего (для определённости, справа) к одной из нерастяжимых точек ж , мы дополнительно подразобьём его -прообразами {g i(x + 5)}=fco+1 его правой точки g k(x + S), выбрав п достаточно большим, чтобы ближайшая к х точка была бы таким прообразом. После этого, оставим на примыкающей к х части I интервала /+ отображение д+, а каждому из оставшихся по-динтервалов I С 1+ сопоставим отображение д+ , где к+(1) определено условием р+ С J+. Аналогично поступим со всеми примыкающими к нерастяжимым точкам слева интервалам. Легко видеть, что при этом продолжает выполняться свойство (И), поскольку при итерации, следующей за покиданием нового интервала, точки оказываются там же, где и при следующей за покиданием /+ итерации при предварительной процедуре.
С другой стороны, добавив образы граничных точек предварительного разбиения, мы обеспечили марковское свойство (і). Действительно, на каждом из интервалов нового разбиения соответствующее ему отображение является композицией соответствующих отображений для предварительного разбиения, поэтому образы граничных точек нового разбиения продолжают ему принадлежать — что и означает выполнение свойства (і).
Итак, новое разбиение удовлетворяет всем свойствам (і)-(ііі), и теоре ма А доказана.
В этом пункте мы напомним основные понятия и факты, касающиеся контроля искажения. Большинство из них являются классическими для одномерной динамики, так что мы ограничимся лишь упоминанием формулировок и определений. Более детальный обзор и доказательства могут быть найдены, к примеру, в [8, 9]. Наконец, как и было указано во введении, мы будем считать, что система отображений из теоремы А выбрана и зафиксирована.
Формулировки лемм и доказательство Теоремы В
Тогда, длины \д+ (J+)\ стремятся к нулю, поэтому из оценки из леммы 1.1 на норму искажения следует, что для некоторого fcj при всех к к\ имеет место неравенство (д+) (х) С Для всех х Є 9+k(J+)- Следовательно, точка с энергией, меньшей С, не может попадать при применении к ней процедуры растяжения в правую окрестность д+ 1(1+).
Взяв максимум таких чисел к\ по всем (правым и левым) окрестности точкам х Є NE, обозначим его через к . Тогда при итерациях процедуры растяжения для точки с энергией, меньшей С, не применяется подряд более к — 1 соответствующих интервалам if отображений gf, а производная после композиции, в которой п раз применяются отображения gj, не меньше Ад. Поэтому процедура растяжения переводит точку с энергией, меньшей С, в нерастяжимую за не больше, чем к [logA С] итераций. Но точка однозначно восстанавливается по своему образу и последовательности применяемых отображений, поэтому таких точек не больше, чем где s — число различных отображений среди ді, І ЄТ. В следующем разделе, как и при доказательстве теоремы А, нам неоднократно потребуется работать в правой (либо левой) окрестности одной из нерастяжимых точек. В этом случае мы будем обозначать через х саму нерастяжимую точку, через /+ прилегающий к ней справа интервал разбиения, а через д+ = gj+ — соответствующее отображение. Кроме того, мы будем обозначать соответствующую фундаментальную область через J :— g+(I+) \ 1+, а ее прообразы под действием д+ через Jk := g+k(J). Также, нам при этом будет полезно следующее замечание, легко следующее из того, что д +(х ) = 1: Замечание 1.2. Отношение длин соседних образов фундаментальной области стремится к единице: Д4",1 1. Доказательство. Очевидно следует из того, что g +(x ) = 1. Основными инструментами при доказательстве теоремы В будут процедура растяжения и функция энергии. А именно, соотношение (1.2.2) можно рассматривать как соотношение на диффеоморфизм д Є G при заданной функции энергии Е. Это соотношение оказывается достаточно «жестким»: так, предложение 1.3 ниже утверждает, что среди сохраняющих данный марковский отрезок диффеоморфизмов, являющихся ограничениями элементов G, тождественный оказывается С -изолированной точкой. Поэтому (см. лемму 1.4) отображений из заданного марковского интервала в заданный с известной оценкой на искажение может быть лишь конечное число. Далее, «увеличение» с помощью процедуры растяжения позволяет получать отображения с оценкой на норму искажения — а контроль энергии при этом ограничивает множество возможных интервалов (см. лемму 1.6). Теперь сформулируем необходимые для доказательства теоремы В леммы. Предложение 1.3 (о тождественности). Существует є 0, такое что, если для некоторого / интервал І Є Т 0, а для отображения g Є G, g(I) = I и distci(g\iAd) є mo g\i — id. Лемма 1.4 (о конечности). Пусть I — марковский интервал, Г С S1. Тогда для любого С О есть лишь конечное число диффеоморфизмов g : I — I , являющихся ограничениями отобраэюений из G, для которых г](9,1) С. Лемма 1.5 (о стабилизаторе). Пусть х Є NE. Тогда существует такой конечный набор отображений hi,..., hs є G, hj(x ) = x , что любое отображение g Є G с g{x ) = x в некоторой правой окрестности U = [х ,х + S), представимо в виде g\u = h3 о д+ для некоторых j Є {1,..., s}, к Є Z. Иными словами, g+ является подгруппой Глава 1. Свойства и структура N-rpynn 35 конечного индекса в стабилизаторе Stab(x ), рассматриваемом как подгруппа группы правых ростков. Кроме того, отобраоюения hj коммутируют с д+ в достаточно малой правой окрестности х . Лемма 1.6 (об образе растяжения). Для любой константы С 0 существуют С, EQ, EQ, обладающие следующим свойством. Если для некоторого интервала J С S1 существует g Є G, переводящее J в марковский интервал I = g(J) Є X с r](g, J) С, то на некотором шаге п процедуры растяжения г) v(Gn j, J) С и) Энергия концов интервала Gnjj(J) не превосходит EQ Hi) \Gn,j(J)\ о Доказательство теоремы В. Предположим сначала, что каждая нерастяжимая точка является единственной нерастяжимой точкой на своей орбите. Рассмотрим разбиение первого уровня Х\. Его отрезки накапливаются к нерастяжимым точкам и только к ним. Поэтому сначала мы научимся описывать поведение g в правой и левой окрестностях каждой из этих точек.
Пусть точка х нерастяжимая. Тогда д(х ) Є G(NE), и за конечное число по итераций последовательность растяжений правой окрестности точки д(х ) переведет саму точку д(х ) в нерастяжимую. В силу сделанного предположения, тем самым G\„,sn (д(х )) = х .
Исследование окрестности нуля
Поэтому (аналогично рассуждениям из [18]), для і2-итераций меры Лебега, логарифм плотности на каждом интервале из X оказывается равномерно липшицевым.
Значит, как следует из применения процедуры Крылова-Боголюбова, у R есть абсолютно непрерывная инвариантная мера с липшицевым на каждом марковском интервале логарифмом плотности (возможно, на некоторых интервалах при этом плотность обращается в тождественный ноль).
Более того, такая мера \± — поскольку отображение R растягивающее — эргодична. Наконец, в силу построения траектория типичной начальной точки х носитель этой меры пересекает.
С другой стороны, функция Т : S1 \ UQ — N времени возвращения в окрестности любой точки, переходящей в нерастяжимую, имеет особенность по меньшей мере вида 1/х. Кроме того, каждая граничная точка марковского интервала по построению за конечное число Д-итераций переходит в нерастяжимую, поэтому либо в ней, либо в одном из её R-образов у функции Т будет иметься такая особенность. Наконец, особенность вида 1/х у функции Г и абсолютная непрерывность с отделённой от нуля плотностью у меры \х означает расходимость интеграла:
Поэтому, по теореме Биркгофа-Хинчина, для почти любой по мере /л, и, следовательно, по мере Лебега точки х, Для доказательства теоремы D, дадим следующее определение: Определение 1.5. Высотой представления в окрестности U точки х отображения д Є G, G\u = G U),n h3 GU,m, называется число т, а глубиной — число п. Отметим, что техника теоремы В может быть применена и к самим отображениям hi, допуская дальнейшее подразбиение: Ии = GhjiUij), Ч, и ,ти, mj О, (J Uitj = Li. (1.4.2) Это влечёт следующее Предложение 1.7. Пусть Т С С? — фиксированное конечное множество. Тогда найдётся М 0, такое, что если g Є Т, а отображение g в окрестности некоторой точки х допускает представление высоты т, то композиция g о g в (быть мооюет, меньшей) окрестности той же точки допускает представление высоты, не большей т + М . Доказательство. Выберем и зафиксируем какие-нибудь представления всех отображений из Т, и пусть М\ — максимальная из высот всех выбранных представлений, Mi :— max;jiriij. Тогда в окрестности точки д(х) итерируя, если нужно, процедуру подразбиения для соответствующих отображений hi, можно найти для д представление высоты т с п т! п + max(Mi, М2). Соответственно, в окрестности точки х, Наконец, композиции hi о Gk,g(x) о hj с 0 k max(Mi, М2) образуют конечный набор отображений. Обозначив через М наибольшую из высот их представлений и подставив такое представление в (1.4.3), получаем искомое утверждение. Докажем теперь теорему D. Доказательство. Зафиксируем симметричную систему Т образующих группы G, и применим к ней предыдущее предложение. Тогда для любой точки х любая композиция д = /і о о fs отображений /і,..., /5 Є Т в окрестности этой точки может быть представлена как 9 = Gn]g{x) hi Gm,x, где С :— maxxesi тахг дг h {(х). Отметим, что мы здесь воспользовались условием кусочной аналитичности, а, точнее, его следствием из замечания 0.3, чтобы гарантировать, что производная отображения Gn x) в точке д(х) будет отделена от 0: теоретически, для итераций С2-гладкого отображения, остающихся в окрестности нерастяжимой точки, такая производная могла бы быть сколь угодно близкой к 0. Итак, где m Ms. Тем самым, Ms итераций отображения R мажорируют по силе рас тяжения любую композицию из s образующих, и утверждение теоремы немедленно следует из теоремы С. В классической одномерной непрерывной динамике не наблюдается сложных эффектов в силу ограничений, налагаемых размерностью. Рассмотрение систем с переключениями на прямой не сильно влияет на эти ограничения (см. [4]), но добавление небольшого запаздывания существенно меняет картину: критическое множество становится «проницаемым» для траекторий системы, что влечет за собой в каком-то смысле дополнительную степень свободы. В итоге поведение даже простой системы с запаздывающим переключением на прямой становится нетривиальным. В настоящей работе рассмотрено поведение решений системы (1) при г Є [4/3,3/2), т. е. в случае, не рассмотренном в [19]; как было там отмечено, это поведение получилось более сложным чем при г Є (3/2, оо), в частности, был обнаружен новый тип поведения решения. Таким образом, в итоге поведение решений системы (1) с критическим множеством К = {0,1} описано при любом значении запаздывания т 0.
Алгоритм решения фактор-системы
Фазовый портрет уравнения (0.0.2) представлен на рисунке 3.1 (более подробный разбор имеется в [2]). У него имеются две особые точки: (0,1) и (0, 0), причем в невозмущенном уравнении первая из них — это фокус по линейным членам, а вторая — сверхмедленный фокус (т.е. отображение Пуанкаре для него не тождественно, но касается в нуле тождественного отображения с максимально возможной для квадратичного векторного поля степенью касания). В возмущенном же уравнении обе точки становятся фокусами по линейным частям. Кроме того, имеется прямая без контакта, на которой поле горизонтально. Эта прямая задается уравнением
Рассматривая уравнение (0.0.2) на проективной плоскости, можно увидеть, что бесконечно удаленная прямая является инвариантной (на ней лежит ровно одна особая точка типа седло). С другой стороны, верхняя полуплоскость относительно прямой / является поглощающим множеством. Поэтому предельные циклы не могут пересекать I. Наконец, напомним, что любой предельный цикл квадратичного векторного поля охватывает ровно одну особую точку. Следовательно, в уравнении Ши Сонглина предельные циклы либо охватывают точку (0,1), либо охватывают точку (0, 0) и пересекают отрезок [0, 0.04] по оси Оу. Ши Сой-глин показал в своей работе [22], что вокруг точки (0,1) имеется хотя бы один цикл (за счет наличия раскручивающегося фокуса в поглощающей области легко указывается мешок Бендиксона), а вокруг точки (0, 0) существует не менее 3 циклов. В 2002 году Жангом Пинггуангом была опубликована статья [24], в которой была доказана следующая Теорема 3.1 (Zhang Pingguang). Если у квадратичного векторного поля два фокуса по линейным частям, то вокруг одного из них имеется не более одного предельного цикла. Из этой теоремы следует, что по крайней мере для возмущенного уравнения Ши Сонглина в верхней полуплоскости относительно прямой I существует ровно один предельный цикл.
Тем самым, для подсчета количества предельных циклов в примере Ши Сонглина необходимо исследовать только циклы, окружающие точку [0,0]. Любой такой цикл пересекает положительную полуось Оу ниже прямой I в точке [0, уо] суо 0.04. В ходе дальнейшего исследования мы укажем вокруг начала координат три кольцевые области, содержащие по одному предельному циклу. Найдем многочлен U(r, (р) с указанными ранее свойствами. Для упрощения вычислений нахождение этой функции производится в 2 этапа. Для начала рассмотрим полином 18-й степени К(х, у), состоящий из первых членов ряда решения фактор-системы для уравнения (0.0.2) при Л = 0 (на самом деле для локализации предельных циклов достаточно восьмой степени; большая степень необходима для того, что бы отодвинуть верхнюю границу области, в которой нет предельных циклов). В этом случае линейная часть уравнения (0.0.2) - типа центр, и фактор-система (0.1.1) разрешима на уровне формальных рядов. Подробно фактор-система и особенности вычисления ее решения описаны в [10]. Запишем многочлен К(х,у) в полярных координатах: где rhj(ip) = rrij{ettp, е гч ) — соответствующие тригонометрические многочлены. Функция М(г, р) - это алгебраический многочлен по г и три гонометрический многочлен по р. Допуская вольность речи, будем по-прежнему называть его многочленом.
Производная Ли для полученной функции М(г, (р) имеет вид: (3.2.4) где ve s векторное поле для уравнения (0.0.2) при А = 0, G(m) - многочлен 9-й степени, состоящий из первых членов ряда д из правой части фактор-системы (0.1.1), причем j3j - это коэффициенты формальной нормальной формы поля (подробно вопрос связи фактор-системы и формальной нормальной формы освещен в [10]), a Q(r,(p) - остаток, содержащий члены порядка 19 и выше, который появляется из-за того, что М(г, (р) - конечный отрезок формального ряда. Перепишем правую часть (3.2.4), пользуясь разложением (3.2.3): где g(m) = 2Pim2 + 2/?2m3 + 2/Ззт4 - первые три монома многочлена G{m). В остаток К (г, ф) собрано все остальное. Коэффициенты формальной нормальной формы / подсчитаны в символьном виде для общего произвольного квадратичного векторного поля с особой точкой в начале координат типа центр. Алгоритм и результаты этого подсчета отнесены в раздел 3.4.
