Введение к работе
Актуальность теш. Поело знаменитого доклада Р.Калгана на первом конгрессе ШАК в IS6I г. возникла математическая теория процессов управления, бурное развитие которой во многом определялось потребностями науки и техники. Достаточно широкий класс объектов управления описывается системам дифференциальных уравнений следувцего вида
АоХ + А,Х+ А,Х = F(XX)+ bV, т
где Де , Д, , /\г(ккк") , іЬ(пхґ) - постоянные матрицы, у(_ - h.-мерный вектор состояния, Х^ - г-мерный вектор управления- К таким объектам относятся, например, манипуляциогеше роботы, маятниковые систеьы, электрические контуры и гироскопы.
В целом ряде практических случаев при некоторых упро-щаюцих предположениях система 111 допускает расцепление на совокупность скалярных уравнении
х+ 'fCar/Xj = U , 121
Таким образом, решение различных задач управления применительно к уравнении /2/ представляет как самостоятельный научный интерес, так и базу для перехода к изучению более общих систем типа 111.
Существенным моментом является изучение структуры решения уравнения /2/ при U. - О . Такая информация является важной для практического формирования закона управления
в соответствии с поставленной задачо?. Среди указанных решений особый интерес представляет периодические колебания. Вопрос об их налички или отсутствии представляет собой самостоятельную проблему и требует привлечения аппарата качественной теории дифференциальных уравнений.
Цель работа. Для обобщенного уравнения Ролэя с управлением
X 4- к f (ic)-x t $ (*) ~ U,, tc ^ о /з;
І. Провести качественная аналио поведения решений при U-O й) в случае единственного положения равновесия в начале координат ; б) в случае наличия дополнительных положений равновесия в ограниченной части фазогой плоскости; Конкретизируем поставленные задачи:
получить достаточные условия существования и единственности предельного цикла;
изучить асимптотическое поведение предельного цикла при предельней изменении параметра /К.-*- О , К-*-"0 [ ;
найти условия отсутствия продельных циклов в случае наличия седловьк особых точек;
исследовать бифуркационную структуру уравнения /3/ в зависимости от параметра &- ~ у (о);
проиллюстрировать полученные результаты на примере уравнения
.*(*-6x*V + {гЛ^^ж.о, /4/
широко известного в приложениях и являющегося некоторым
обобщением классического уравнения Рэлея и уравнения фффин-га о демпфированием.
Z. Поставить и решить некоторые задачи теории управления применительно к различным классам допустимых управлений;
разработать алгоритм построения программного и стабилизирующего управленні»;
в классе ограничетіьк управлений получить достаточные условия полно!* управляемости;
в случае ограниченности шюаества управляемости построить его верхнего и ниигога. оценку;
в случае наличия двух седловых особых точен при получить условия гомеоморфности мнокестра управляемости открытой топологической полосе.
Научная новизна. Дія уравнения /3/ с единственны:.! положением равновесия в начале координат при к = о , опираясь на некогору) симметрию Функции -(() и ,>[("*) . доказана теорема о существовании и единственности предельного цикла. Методой малого параметра показано, что при К -* О предельный цикл стягивается к некоторой замкнутой траектории поро:здат)цеП гашшьтоновои системы, а при ti ~-" -1- ^^ трансформируется в релаксационное колебание. Приняв в качество параметра CV =-^(0) , удалось найти его бифуркаци-оішое значение ft. — О . При переходе из области положительных значении CL в область отрицательных значений происходит бифуркация рождения предельного цикла из слоя-ного фокуса.
В случае наличия двух седловых точек при и = О докапана теорека о существовании и единственности предель-
- б -
ного цикла при достаточно малых I & I. . Показано существование такого О, < О, что при &< сь*эквивалентная уравнешю /3/ система не имеет предельных циклов, а при С\Г^ СІ <- О игіеет по крайней мере один предельный цикл. Получены некото-рые оценки бифуркационного значения параметра Л и рассмотрены возможные типы бифуркаций цикла.'
Проведено качественное исследование в целом уравнения /4/. С поыоцыо преобразования І^анкаре рассмотрены бесконечно удаленные особые точки. Опираясь_на получению для обобщенного уравнения Рэлея результаты, в терминах коэффициентов К , & , . , о получены условия существования и единственности предельного цикла, а таете его отсутствия.
' При наличии управляющие воздействий указшш алгоритмы построения программного и стабклизирувчего управлений. Дія ограниченных управление достаточные условия полное упраиля- " емоети били получены на основа метода функция Ляпунова как для случая наличия, так и для случая отсутствия автоколебательные свойств у системы. С помощью лиш" уровня некоторой Функции Ляпунова построены верхняя и нижняя оценки для ограниченного множества управляемости. При наличии двух седловке особых точек решена задача о структуре множества управляемости.
Общая методика исследовании. При решении поставленных задач использованы вспомогательные сведения из математического анализа и высшей алгебры. Основной упор сделан на применение методов качественной теории дифференциальных уравнение и математической теории управления.
Практическая ценность. Полученные результати їм гут бить использованы для исследования конкретных управляемое систем, допускао^х колебательные реямин. Среди ній следует преяде всого отметить электрические контура, задаваемые емкостью, индуктивностью и сопротивлением, гироскопические системи, а такде екавші управления бетатроиншаї колебаниями заряженных частиц в поперечной плоскости циклического ускорителя.
Апробация рабо ти. Основные результаты диссертационной работы докладывались на 16,19 и 20 научих коїг^ерсгиріях "Управление динамически: системами" факультета ПМ-ГЇГ и научісве семинарах кафедри теории управления СПб Университета.
Публикации. Осіюзкш результата по теме диссертация опублікованії в работах 1-3.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех основна глаз, зашгачения и списка используемой литература. Объем диссертации составляет 126 страниц. Вйблкогра-фия содержит 52 названия.
