Введение к работе
з
Актуальность темы. Теория управления входит в число важнейших разделов современной науки, поскольку она используется во всех процессах, допускающих внешнее воздействие со стороны человека. Исследование различных биологических, физических и технических моделей приводит к необходимости рассматривать сложные системы дифференциальных уравнений. Основными особенностями таких систем являются высокая размерность, большое количество параметров и существенно нелинейный характер уравнений.
На любую реальную систему влияет значительное количество внешних факторов. Учет этих факторов приводит к необходимости предусматривать стабилизирующие управления, так как практическое применение имеют только устойчивые режимы функционирования объектов.
Для решения большинства практических задач теории управления необходимо определять условия, при которых гарантирована устойчивость программных движений рассматриваемых систем. При этом, чем точнее определены указанные условия, тем менее жесткими становятся ограничения на стабилизирующие воздействия. На практике снижение подобных требований приводит к уменьшению расхода топлива, экономии материальных и человеческих ресурсов. Важную роль в исследованиях имеет и получение наиболее точных оценок отклонений переходных процессов от установившихся движений. Для решения этой задачи используют различные методы нахождения экстремума функций, например, методы и алгоритмы линейного и нелинейного программирования. К сожалению, большая часть подобных алгоритмов определяет только общий способ решения задачи. Вместе с тем, для практического применения важно разрабатывать алгоритмы, приводящие к получению оценок в явном виде.
Одним из основных методов исследования устойчивости нелинейных систем является второй метод Ляпунова, базирующийся на использовании специально построенных функций. Предложенный A.M. Ляпуновым метод был в дальнейшем значительно развит в работах Е.А. Барбашина, В.И. Зубова, Н.Н. Красовкого, И.Г. Малкина, А.А. Мартьшюка, К.П. Персидского
4 и других ученых. Вместе с тем, общие конструктивные способы построения функций Ляпунова отсутствуют, а наиболее полные результаты получены только для линейных стационарных систем. Поэтому любые новые подходы и расширение области применимости метода функций Ляпунова заслуживают внимания.
Таким образом, актуальность темы диссертации определяется недостаточной изученностью критических случаев сложных систем дифференциальных уравнений в части определения условий устойчивости и получения оценок решений.
Цели и задачи исследования. Получение новых условий устойчивости нелинейных систем в критических по Ляпунову случаях, нахождение наиболее точных оценок решений существенно нелинейных систем дифференциальных уравнений.
Методы исследования. Для решения поставленных в диссертационной работе задач используются методы теории управления, теории устойчивости, теории графов, различные методы оптимизации, в частности, методы линейного программирования.
Научная новизна. Полученные условия устойчивости и оценки решений являются новыми или уточняют известные результаты.
Достоверность и обоснованность. Достоверность результатов исследования подтверждается логической последовательностью рассуждений, математической строгостью приведенных доказательств.
Практическое значение. Полученные в диссертационной работе результаты могут быть использованы при проектировании объектов, описываемых существенно нелинейными системами дифференциальных уравнений. Они могут применяться для определения допустимых границ значений параметров систем и условий на возмущения. С помощью разработанных методов можно строить стабилизирующие управления и получать оценки времени переходных процессов.
5 Положения, выносимые на защиту
Уточнены известные и получены новые условия устойчивости по первому, в широком смысле, приближению для нелинейных систем со специальной структурой.
Разработаны алгоритмы нахождения наиболее точных оценок решений широкого класса существенно нелинейных сложных систем. В общем случае задача сведена к задаче линейного программирования, в важных частных случаях предложены конструктивные алгоритмы нахождения оценок.
Найдены условия устойчивости в критических по Ляпунову случаях для ряда нелинейных систем, находящихся под воздействием постоянно действующих возмущений.
Получены новые условия диссипатнвиости для некоторых классов обобщенных Вольтерровских моделей динамики популяций.
Проведен анализ устойчивости положения равновесия сложной механической системы, описывающей взаимодействие связанных нелинейных осцилляторов.
Предложены способы построения стабилизирующих управлений для некоторых классов нелинейных управляемых систем.
Апробация работы. Основные положения научной работы докладывались на следующих конференциях:
6-й международной конференции «Дифференциальные уравнения и их приложения» (Саранск, 2004).
2-й международной научной школе «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (Саранск, 2005).
Международной конференции «Устойчивости и процессы управления», посвященной 75-летию В.И.Зубова (Санкт-Петербург, 2005).
3-ей Всероссийской научной конференции «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2006).
5. 40-й научной конференции аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость» (Санкт-Петербург, 2009).
Работа поддержана РФФИ в рамках гранта 08-08-92208 ГФЕН_а.
Публикации. По материалам диссертации опубликовано семь работ, одна из которых в издании, входящем в перечень ВАК рецензируемых научных журналов.
Структура и объём диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы; она включает 108 листов машинописного текста, 6 рисунков, список цитируемой литературы состоит из 60 наименований.
