Содержание к диссертации
Введение
1 Итерационные процессы фейеровского типа 13
1.1 Фейеровские отображения и их свойства 13
1.2 Фейеровские процессы и их свойства 20
1.3 Фейеровские процессы для счетных систем выпуклых неравенств 22
1.4 Счетные несовместные системы линейных неравенств 25
2 Континуальные системы линейных и выпуклых неравенств 33
2.1 Предварительные результаты 33
2.2 Основная теорема 36
3 Структурированные системы линейных и выпуклых неравенств 41
3.1 Примеры структурированных систем 41
3.2 Основной тип континуальной системы (тип W) 42
3.3 Интервально заданная система линейных неравенств 48
3.4 Случай системы, объединяющей конечное число подсистем типа W 51
4 Синтез фейеровских отображений с несовпадающими пространствами их образов и приложения 54
4.1 Постановка вопроса 54
4.2 Общий случай синтеза конечной последовательности Mj- фсйеровских отображений, j — 1,. ,т 57
4.3 Анализ ситуации отображений <рі(хі), і = 1,...,п, (pa(xi,... ,хп) 58
4.4 Синтез отображения <р(х,у, г) из отображений ip\(х,у), 4.5 Частные реализации синтеза фсйеровских отображений из 4.2 61 4.6. Синтез фсйеровских отображений, заданных А- разделяющими парами . 66 4.7 Применение к решению вогнуто-выпуклых игр 69 Список литературы 75 Введение к работе В диссертации рассматривается применение фсйеровских методов к решению континуальных систем линейных и выпуклых неравенств. В основе лежит построение фсйеровских операторов (отображений из R" в R", либо из R" в 2R"), которые порождают последовательности, сходящиеся к решению соответствующей системы неравенств. Проблематика такого рода возникла из работ [5, б], посвященных конечным системам линейных неравенств. В этих работах были исследованы методы циклического проектирования и проектирования на наиболее удаленное полупространство из числа полупространств, определяемых неравенствами рассматриваемой системы. Некоторые обобщения методов проектирования были рассмотрены в работах [9,10, 11], а также в серии работ И.И.Еремина [1]-[4]. В последних были предложены принципиальные обобщения, введено понятие фейеровского оператора, расширена терминологическая и понятийная база для методов фейеровского типа, доказан ряд основополагающих теорем, что в совокупности позволило говорить о создании теории фейеровских отображений и порождаемых ими процессов. Дадим определение М-фейеровского отображения. Пусть U С Rn и М ф 0. Отображение Т Є {Rn —> Rn} называется М- фейеровским, если Т(у)=у, \\Т{х)-у\\<\\х~у\\, У уеМ, УхМ. Здесь и далее под ||a;j| понимается евклидова норма элемента х. Класс таких отображений относительно множества М обозначается через Fm- Отображения Т G Fm обладают рядом замечательных свойств. От- метим некоторые из них: 1. Если М допускает хотя бы одно Т Є Fm, то есть Fm ф 0, то множество М является автоматически выпуклым и замкнутым. 2. Если Т из Fm непрерывен, то {x^+i — T(xk)}%L0 -> х Є М при произвольном начальном хо Є R". 3. Если Tj FMp j = 1,..., m и M := П^М,, то T := ^ afTj Є і^, otj > 0, ^ otj = 1, а также 7\(... (Tm(x)) Є Fm- Системы неравенств, к которым применяется фейеровская технология, могут быть классифицированы по признакам: линейные и выпуклые; конечные, счетные и континуальные. В настоящей диссертации исследуются методы решения континуальных линейных и выпуклых систем неравенств, причем в основу построения соответствующих операторов кладется одна из базовых конструкций, предложенная ранее И.И.Ереминым [7]. Эту конструкцию можно описать следующим образом (схема экстремальной релаксации). Пусть дана система выпуклых неравенств /а(х)<0, aeJ, (0.0.1) где fa(x)—выпуклые на Rn функции, J— произвольное множество индексов (конечное, счетное, континуальное). Положим d{x) :=sup/+(;r), f+(x) :=max{/(x),0}. Обозначим J(x) := {a\ d(x) = /+(*)} Построим отображение (оно же-оператор для решения системы (0.0.1)): Т(х) := х, если d(x) < 0, иначе Т(х) := {х - ^7 h dfa(x), а Є J(x)}, (0.0.2) где Л Є (0,2) (коэффициент релаксации), dfa(x)— субдифференциал выпуклой функции fa(x) в точке х. Обратим внимание на то, что если d(x) > 0, то h из dfa(x) из (0.0.2) отличен от нуля. Сама структура отображения (0.0.2) говорит о том, что оно, вообще говоря, не является однозначным. В этой ситуации требуются некоторые ограничения, которые обеспечивают смысловую корректность этого отображения (например, достижимость операции sup/* (х)), а также свойство для Т, родственное непрерывности, а именно свойство замкнутости. Это свойство здесь понимается в следующем смысле: {хк} ~> х\ {ук} -» у', уй Є Т(хк) =>к'е Г(х'). (0.0.3) Основная теорема о сходимости итерационного процесса для континуальной системы выпуклых неравенств будет связана с конструкцией оператора вида (0.0.2) [Глава 2]. Ниже кратко изложено содержание диссертации по главам и параграфам. В 1.1 и 1.2 первой главы даются необходимые определения и свойства фейеровских отображений и порождаемых ими процессов, которые используются в дальнейшем. В числе важных фактов приведена теорема о сходимости последовательности, порождаемой замкнутым отображением ПРИ произвольном начальном хо = R", при этом предел последовательности принадлежит множеству М. В 1.3 рассматривается вариант организации итерационного процесса решения совместной счетной системы выпуклых неравенств fj{x) <ї 0) J = 1, 2, . . . , ИСХОДЯ ИЗ рекурреНТНОГО СООТНОШСНИЯ Xk+i 5<4(:к) — субдифференциал выпуклой функции dk(x). В приведенном соотношении при В заключительном 1.4 первой главы рассматривается процесс для счетной, вообще говоря, несовместной системы линейных неравенств над гильбертовым пространством Н и доказывается теорема о его сходимости к точке квадратичной аппроксимации этой системы (теорема 1.4,1) при дополнительном ограничении х Є S С Н, где 5— выпуклый компакт. В главе II излагается обоснование основной теоремы 2.2.1, которая устанавливает сходимость специально сконструированного итерационного процесса xjt+i Є PrS(fk (хк) к некоторому решению х системы 1а{х) < 0, Vor Є J, xS. В приведенной системе {fa(%)} — выпуклые на Rn функции для всех а ./, S — выпуклое замкнутое множество из R", J — произвольное множество индексов (конечное, счетное или континуальное). Как видно из выписанной системы, ее отличие от совместной счетной системы выпуклых неравенств /j(aO<0, J = 1,2 рассмотренной в первой главе, заключается в числе неравенств системы, а также в наличии дополнительного ограничения на область изменения аргумента х: х Є S. Континуальная мощность множества индексов неравенств системы приводит к необходимости наложения дополнительных условий, выполнение которых гарантирует сходимость итерационного процесса к решению такой системы. Среди таких условий - представление индексного множества J цепочкой его подмножеств Jk : Л с J2 с ... с Л с ..., при этом (J Jfc = J, а также предположение о достижимости супремума се- (*) мейства функций fa{x) в каждой точке х : d(x) := sup fa(x) < +00, \/ж. Параграф 2.1 посвящен доказательству лемм, необходимых для обоснования основной теоремы и построению соответствующего итерационного фейеровского процесса. В леммах 2.1.1 и 2.1.2 изучается поведение последовательности значений rffc(xfc) вспомогательных функций dk{x) и последовательности субградиентов hk Є ddf.{xk) при стремлении {х&} к некоторой точке х . Указанные вспомогательные функции и их субградиенты участвуют в построении итерационного фейеровского процесса d+{xh)хк+ї :- Prs{xk - Afc * - hk), сходящегося к решению континуальной системы неравенств. Именно поэтому знание свойств последовательности значений rfjt(x^) и субградиентов hk Є ddk{xk) необходимо для проведения доказательства основной теоремы сходимости. В 2.2 раскрывается смысл основной теоремы о сходимости итерационного фейеровского процесса к решению системы выпуклых неравенств (конечной, счетной или континуальной) и приводится доказательство сходимости. В качестве следствия формулируется утверждение о сходимости фейеровского процесса (1.3.3), изученного в главе I, к решению счетной системы выпуклых неравенств (1.3.4). В приведенной системе {fa(%)} — выпуклые на Rn функции для всех а ./, S — выпуклое замкнутое множество из R", J — произвольное множество индексов (конечное, счетное или континуальное). Как видно из выписанной системы, ее отличие от совместной счетной системы выпуклых неравенств рассмотренной в первой главе, заключается в числе неравенств системы, а также в наличии дополнительного ограничения на область изменения аргумента х: х Є S. Континуальная мощность множества индексов неравенств системы приводит к необходимости наложения дополнительных условий, выполнение которых гарантирует сходимость итерационного процесса к решению такой системы. Среди таких условий - представление индексного множества J цепочкой его подмножеств Jk : при этом (J Jfc = J, а также предположение о достижимости супремума се ( ) мейства функций fa{x) в каждой точке х : Параграф 2.1 посвящен доказательству лемм, необходимых для обоснования основной теоремы и построению соответствующего итерационного фейеровского процесса. В леммах 2.1.1 и 2.1.2 изучается поведение последовательности значений rffc(xfc) вспомогательных функций dk{x) и последовательности субградиентов hk Є ddf.{xk) при стремлении {х&} к некоторой точке х . Указанные вспомогательные функции и их субградиенты участвуют в построении итерационного фейеровского процесса сходящегося к решению континуальной системы неравенств. Именно поэтому знание свойств последовательности значений rfjt(x ) и субградиентов hk Є ddk{xk) необходимо для проведения доказательства основной теоремы сходимости. В 2.2 раскрывается смысл основной теоремы о сходимости итерационного фейеровского процесса к решению системы выпуклых неравенств (конечной, счетной или континуальной) и приводится доказательство сходимости. В качестве следствия формулируется утверждение о сходимости фейеровского процесса (1.3.3), изученного в главе I, к решению счетной системы выпуклых неравенств (1.3.4). Глава III посвящена изучению систем линейных и выпуклых неравенств, имеющих особенности в своей структуре. Такую специфику целесообразно учитывать при построении фейеровских операторов. В 3.1 приведены примеры структурированных систем. Особое место занимает так называемый основной тип континуальной системы (тип W): где V — компакт из Rfc, а функция f(z) :— /Q(x) выпукла по х для всех а Є V и непрерывна по z :— [х, а] Є R" х ГїА Для нахождения решения системы неравенств типа W строится отображение В 3.2 показывается, что приведенное выше отображение является замкнутым и фейеровским относительно множества решений континуальной системы неравенств типа W (теорема 3.2.1). Учитывая содержание леммы 1.2.4, данный факт позволяет сделать вывод о сходимости рекуррентного процесса, порожденного отображением р(х), к некоторому решению системы типа W (следствие 3.2.1). Также рассматривается вариант континуальной системы неравенств типа И7 с дополнительным требованием на область изменения аргумента: х S. В этом случае формируется обобщенное отображение Доказано (теорема 3.2.2), что последовательность {х }, порождаемая соотношением Xk+i ф{%к) при произвольном начальном XQ Є R/\ сходится к решению системы типа W с дополнительным ограничением х Є 5. Для иллюстрации континуальных методов в 3.3 рассмотрен случай ин-тервально заданной системы линейных неравенств. В анализе такой ситуации возникает интересная задача максимизации кусочно-линейной функции на параллепипеде. Приведен алгоритм решения этой задачи. В 3.4 изучен случай системы, объединяющий конечное число подсистем типа W. Система в данном случае имеет вид Здесь Vj,Vj играет роль индекса а в рассмотренной ранее системе типа W. Конструирование итерационного процесса, решающего такую систему, требует модернизации функций невязки, приобретающих. Укажем связь между фейеровскими отображениями и порождаемыми ими последовательностями. Приведенные в данном параграфе факты и их доказательства могут быть найдены в работе [7]. Также будет указана характеристика точек множества, относительно которого всегда может быть построена фейеровская последовательность. Лемма 1.2.1 Пусть (р -Рд/ и последовательность {хь} рекуррентио порооїсдена соотношением х +і Є p{xk) при произвольном начальном XQ. Если {хь} П М 0, то {хи] — М-фейеровская. Следствие 1.2.1 Пусть последовательность {xk} задана (при произвольном начальном XQ R") рекуррентным соотношением где /— выпуклая функция, Хк Є [5,2 — 8], 5 0, hk df(xk). Пусть М :— {х : f(x) 0}. Тогда, если {xk} П М = 0, то {ж } — М-фейеровская последовательность. Лемма 1.2.2 Л/сли ж , ж" — ?ее различные предельные точки М -фейеровской последовательности {xk} то любая точка у Є М леоісит в гиперплоскости, являющейся геометрическим местом точек, равноудаленных от х и х". Доказательство, Из определения М-фейеровской последовательности следует, что V у Є М выполняются равенства inf \\хь — у\\ = \\хг — г/ = \\х" — у\\, то есть (х — у, х — у) = [х" — у, х" — у). Преобразование этого равенства дает (х" — х , у) = \\х"\\2 — \\% \\2- Это означает, что все точки у Є М принадлежат гиперплоскости (х" — х ,х) — 7 :— \\х"\\2 ІІ ІР; полученной как геометрическое место точек, равноудаленных от х и х". Следствие 1.2.2 Пусть (р Є FM, последовательность {хк} рекуррент-но порождена соотношением xt±\ Є (xk) при произвольном начальном XQ и пусть М — множество телесное. В этом случае {х } - % Rn. Символом {xk} обозначим множество предельных точек последовательности {Хк}. Лемма 1.2,3 Если {х } — М-фейеровская последовательность и {хк} Г\М ф 0, то {хк} - Xі Є М. Доказательство. Предполагая противное, то есть существование предельной точки х" ф х , с помощью леммы 1.2.2 приходим к выводу, что все точки у Є М равноудалены от х и х". Поэтому взяв у := х , получим противоречие. Лемма 1.2.4 Если отображение р Є FM является замкнутым, то последовательность {хь}, порожденная рекуррентно включением Xk+i Є р{хк) при произвольном XQ Є R, сходится к х Є М. Доказательство. Если {х } П М ф 0, то заключение леммы следует из определения М-фейеровского отображения. В случае {xk}dM = 0 покажем, что М-фейеровская последовательность {жд.} сходится к элементу х Є М. Так как последовательность {хк} ограничена, выделим подпоследовательность {х } - х так, что {x .+i} — х". Точки х ,х", очевидно, являются предельными точками последовательности Хк. Поэтому, если х Є М, то, согласно лемме 1.2.3, Хк — х . Если же xf . My то в силу замкнутости ц имеем х" Є р{х ) то есть V у Є М : \\х" — у\\ \\xf — у\\, что противоречит равпоудалепности точек множества М до х\ х" (лемма 1.2.2). Лемма доказана. Следствие 1.2.3 Если выполнены условия теоремы 1.1.2, то последовательность {хк} генерируемая отобраоїсепием (1.1.10) из примера 1.1.2 (при произвольном начальном хо R") : Xk+i Є Prs p(xk), сходится к некоторой точке из М. 1.3 Фейеровские процессы для счетных систем выпуклых неравенств Некоторые частные реализации фсйеровских методов применительно к счетным системам выпуклых неравенств были рассмотрены в работах [7] и [15]. Ниже излагается метод построения сходящегося фейеровского процесса для счетной системы выпуклых неравенств fj{x) О, j = 1, 2,..., m,..., при этом используются функции невязки dk{x) = max fj(x). Результат о сходимости специально конструируемого фейеровского процесса к решению счетной системы будет получен как частный случай более общей ситуации. Опишем ее. В целях рассмотрения фейеровских процессов для бесконечных систем выпуклых неравенств введем понятие нестационарного фейеровского отображения. Операция взятия максимума по а. Є V функций /«(ж) лишь идентифицирует тот индекс Ос, на котором этот максимум достигается. О сложности или простоте реализации такой операции можно говорить только в конкретных ситуациях. Обсуждать ее сложность в общем случае не имеет смысла. Положим J(x) := {ах d{x) = fax{x)}- Построим многозначное отображение ip(x): здесь A G (0,2). Как уже ранее отмечалось, для любого х такого, что d(x) 0, субградиент h из (3.2.2) отличен от нуля. Отображение (3.2.2) будем записывать и таким образом: Ситуация, когда индексный параметр а трактуется как элемент из пространства со своей топологией, формально содержится в общих предположениях относительно системы (2.1.1), рассмотренной выше. Однако делая уточнения относительно параметра а и свойств функции f{z) = fa(x), z = [х, а], обеспечиваем возможность установления топологических свойств отображения (3.2.2), например, его замкнутость. Это свойство весьма важное, ибо оно, в частности, обеспечивает сходимость итерационного процесса, порождаемого этим отображением, к решению системы (3.2.1) (см. лемму 1.2.4). Теорема 3.2.1 При перечисленных условиях 1)—4) отображение (3.2.2) является М-фейеровским и замкнутым отображением. Доказательство. Что касается М-фейеровости отображения (3.2.2), то достаточно сослаться на лемму 1.1.3. Следует только пояснить, что из h Є dxfax{x) следует h Є dd{x). Проверим это. Пусть у -— свободная переменная. В силу выпуклости функции fax(x) выполняется неравенство Для замкнутости р(х) нужно доказать: Включение Ук Є ф{хк) означает, что где hk выбрано согласно (3.2.2), то есть А& Є dxfak{xk), &k — сокращение для ах при х = Xk- При компактности V можно считать {(} —» а Є V (иначе от последовательностей {хк}, {ук\ можно было бы перейти к подпоследовательностям с обеспечением необходимой сходимости для соответствующей подпоследовательности последовательности {а&}). Возможны два случая: 1. d{x ) 0. Докажем сначала ограниченность последовательности {hk}. Поскольку неравенство (hk,x — Xk) fak(x) fak{x}:) выполняется для любых х, то , hk положив х = Xk + тг;—п"» получим что в силу условия 2) дает требуемую ограниченность последовательности {hk}- Это позволяет (по схеме перехода к подпоследовательностям) считать, что {hk} —У h , при этом h Є dxfa (x ) согласно условию 3). Кроме того, h! ф 0. Действительно, если h! — О, то из выполняющегося для всех х неравенства (h ,x — х ) fa (x) — fa {x )) вытекает fa (x ) fa (x). Но поскольку d(x ) — fa {x ) 0 и по условию 4): Зра : fa {pa ) 0, то при х = ра имеем противоречие. Итак, доказано h! ф 0. Переход к пределу в (3.2.3) дает соотношение которое, согласно определению отображения (р(х), показывает, что у Є р(х ). 2. d+(x ) = 0. Рассмотрим поочередно два подслучая: 2.1. В{х } С {xk} 3+(хк.) = 0. Это соответствует тому, что последовательность {х } целиком лежит в множестве М. Учитывая, что в этом случае fi{xkj) = хкр получаем: ykj = (p{xkj) = xki -ь х , откуда следует у = р(х ) — ж , то есть у (р(х ). 2.2. Эк : d(xk) 0, V к к. Тогда d(x ) = f {x ) 0. Как и выше, показывается \Ы Є dxfa (x ) = h ф 0] и, следовательно, справедливо соотношение (3.2.4), что влечет у р{х ). Теорема доказана. Следствие 3.2.1 Последовательность {хк} С Rn, порождаемая ре-куррентно включением хк+\ Є р{хк) при произвольном начальном XQ, сходится к некоторому решению системы (3.2.1) (см. лемму 1.2А). Рассмотрим систему (3.2.1) с дополнительным требованием х Є S, то есть здесь S — выпуклое замкнутое множество из R". Это как раз и есть система (2.1.1). Напишем обобщение отображения (3.2.2): Справедлива Теорема 3.2.2 Пусть система (3.2.5) совместна и выполнены условия теоремы 3.2.1. Тогда последовательность {х }, порождаемая соотношением Xk+i Є ф(хк) при произвольном начальном хо R", сходится к решению системы (3.2.5). Доказательство следует из того, что поскольку отображение ір{х) замкнуто, а операция проектирования Рг$(у) непрерывна, то их суперпозиция Рг$((р(х)) (:= М Рг$(у)) реализует замкнутое отображение. Поэтому в силу леммы 1.2.4 теорема справедлива. Рассмотрим стандартную игру Г двух лиц с нулевой суммой, олределяемой множествами стратегий х Є М С R" и у N С Rm 1-го и 2-го игроков соответственно и платежной выпукло-вогнутой функцией F(x,y), Функция F(x,y) интерпретируется как выигрыш 1-го игрока (проигрыш 2-го игрока). Принцип гарантированного результата, примененный к рассматриваемой игре, приводит к задачам поиска Если t := v = v = F(x,y), , то общее значение v и v , то есть t, называется ценой игры, ж, у — оптимальными стратегиями игроков, {х, yt t} — решением игры (см., например, [16]). Как известно, решение игры Г сводится к решению континуальной системы выпуклых неравенств (см., например, [16]): F{x,v) , Vv Є ЛГ, x Є M\ F(w,y) t, Vw Є M, yeN. (4.7.1) Связь между игрой Г и системой (4.7.1) такова: z — [х, у, Ї] — решение игры Г тогда и только тогда, когда z - решение системы (4.7.1). В системе (4.7.1) сделаем переобозначения: Тогда система (4.7.1) запишется в виде Прежде чем построить для множества решений М системы (4.7.2) отображение р(-) Є Fjj, повторим, применительно к системе (4.7.2), схему формирования синтезирующего отображения в ситуации наличия геометрических ограничений х Є М,у Є N. Вернемся к системе (4.7.2). Как уже было сказано, решение игры Г сводится к решению этой системы. Перепишем ее в виде i#W) 0, хЄМ, VveN; (4.7.3)i; F\y, t) 0, yGN, Уте M. (4.7.3)2. Выделим также подсистемы — это подсистемы (4.7.3)і и (4.7.3)2, только без требований х Є М и у N. Для подсистем (4.7.3)5 и (4.7.3)2 введем невязки Є?І(ГЕ,) и d,2(y,t): Обозначим здесь Ai Є (0,2), Аг Є (0,2). Обозначим через av(x,t) и {3w(y,i) коэффициенты перед [—hi , 1] и [h\o , —1]. Тогда фі( ) и г( ) могут быть переписаны в виде Таким образом, основные фейеровские операторы (pi(x,t) и (f2(y,t), соответствующие подсистемам (4.7.3)11 и 4.7.3)2 систем (4.7.3)i и (4.7.3)г, построены. Теперь требуется встроить в них требования х Є М и у N, а затем синтезировать в итоговый оператор. Введем операторы которые являются непрерывными М- и ЛГ- фейеровскими соответственно. Отображения l(0 V t ) можно синтезировать по схеме, рассмотренной в 4.1. А именно, положим где х\, ї\ и у2, І2 имеют то же истолкование, которое имело место в предыдущих параграфах, в частности, в 4.1: Напомним, что /Ї„ Є dxF(x,v) и % Є dyF{w,y) (см. формулы (4.7.7) и (4.7.8)). Осталось записать итоговый синтезирующий оператор Перед формулировкой заключительной теоремы сведем воедино все ограничения на игру Г, которые дают сходимость итерационного процесса, порождаемого отображением $а(х,у, t), к решению игры: 1. М и N — выпуклые компакты, М с R", N С Rm; 2. F(x,y) — непрерывная по [х}у] Є Rn х Rm функция, вогнутая по х и выпуклая по у; 3. Отображения [х,у] — dxF(x,y), [х,у] — dyF(x,y) замкнуты. Теорема 4.7.1 При сделанных выше предположениях 1 — 3 Va(x,y,t) eF%, где М — множество векторов-троек [ж, у, ї\ Є Rn х Rm х R, являющихся решениями игры Г. Отсюда следует, что любая последовательность {zk := [xk, ybfc]}o", порождаемая (при произвольном начальном z = [ж0, у0, t0]) рекуррентным соотношением zk+l a(zk), сходится к решению игры Г. Обоснование сформулированного утверждения, по-существу подготовленное предыдущими теоремами, разобьем на ряд пунктов. 1) Разрешимость игры Г обеспечивается условиями 1 и 2 (это известный результат — см., например, [16]). 2) Отображения pi(x,t) и ір2(у}і), то есть (4.7.6) и (4.7.7), соответствующие системам (4.7.3)5 и (4-7.3)[], построены точно так же, как отображение (3.2.2) для системы (3.2.1) (разница лишь в обозначениях). Замкнутость отображения (3.2.2) обеспечивалась условиями 1)—4) (теорема 3.2.1). Применительно к системам (4.7.3)5 и (4-7.3) эти условия выполняются в силу предположении 1 - 3. Пояснений требует лишь условие 4) для ситуации общей системы (3.2.1) (см. п.3.2.), которое, например, для системы (4.7.3)5 запишется так: VvNB[x,t\:Fil)(x,t) 0, то есть — F(x,v) + t 0. ОчсвидЕЮ, для любых х и V соответствующие t выбираются тривиально. Точно так же дело обстоит и с системой (4.7.3)[ . Сказанное позволяет утверждать (в силу теоремы 3.2.1), что отображения Pi(x,t) и ip2{y,t) замкнуты. Итак, показано, что где Fixipi(-) — символ для обозначения множеств точек неподвижности отображений ipi(-), коими являются множества решений систем (4.7.3)5 и (4-7.3)!].Фейеровские процессы для счетных систем выпуклых неравенств
Счетные несовместные системы линейных неравенств
Случай системы, объединяющей конечное число подсистем типа W
Синтез фсйеровских отображений, заданных А- разделяющими парами
Похожие диссертации на Решение бесконечных систем выпуклых неравенств фейеровскими методами
