Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Методы решения некоторых стохастических задач типа затраты-выпуск 24
1. Некоторые вспомогательные формулы 25
2. Условия существования математических ожиданий моментов компонент решений стохастических систем Леонтьева.Спектральный метод и метод замены переменных 27
3. Предельные теоремы типа закона больших чисел для решений стохастических систем Леонтьева.Метод интегральных представлений 35
4. Предельные теоремы общего вида для решений стохастических моделей леонтьевского типа.Метод интегральных представлений 44
Глава 2. Методы решения некоторых задач линейного стохастического программирования 59
1. Распределение отношений компонент векторов-решений некоторых систем линейных неравенств сослучайными коэффициентами 61
2. Применение метода ортогонализации в задачах линейного стохастического программирования 68
3. Метод интегральных представлений решения задач линейного стохастического программирования 73
4. Эмпирический метод решения задач линейного стохастического программирования 88
Глава 3. Методы качественного анализа некоторых оптимизационных задач типа затраты-выпуск 100
1. Некоторые вспомогательные результаты.Условия оптимальности и соотношения двойственности 103
2. Исследование зависимости эффективности межот раслевых систем от величин ошибок 105
3аключение 114
Литература 116
- Условия существования математических ожиданий моментов компонент решений стохастических систем Леонтьева.Спектральный метод и метод замены переменных
- Предельные теоремы общего вида для решений стохастических моделей леонтьевского типа.Метод интегральных представлений
- Применение метода ортогонализации в задачах линейного стохастического программирования
- Некоторые вспомогательные результаты.Условия оптимальности и соотношения двойственности
Введение к работе
Плановое руководство общественным производством требует широкого использования познанных законов общественного развития с точки зрения анализа количественных взаимосвязей в народном хозяйстве. Такое руководство невозможно без конкретного знания важнейших количественных соотношений, свойственных социалистической экономике,и народнохозяйственных пропорций социализма. Особенно актуальными вопросы управления экономикой стали в настоящее время,когда на первый план выдвинута задача повышения эффективности и качества планирования,улучшения всего хозяйственного механизма. Экономико-математические модели,используемые в качестве инструмента совершенствования планирования,в настоящий момент приобретают решающее значение.
Основные идеи математической экономики характерны именно для централизованной, плановой экономики социалистического способа производства. Стремление к нахождению и достижению оптимальных хозяйственных решений в рамках всего народного хозяйства внутренне присуще социалистическому обществу L 2, W ].
Широкое применение методов математического программирования в экономике и других науках выявило недостаточность имевшегося научного задела в этой области и требует дальнейшего развития численных методов для различного класса задач. Л.В.Канторович указывает,что "необходима дальнейшая разработка эффективных методов решения задач линейного программирования с большим числом переменных и ограничений,разработка более эффективных методов для решения специальных классов задач, создание новых методов для стохастического программирования" ?] . Настоящий этап в применении экономико-математических методов знаменуется переходом ко все более сложным и масштабным задачам, связанным с созданием системы оптимального функционирования народного хозяйства. Укрупнение объекта управления является показателем успехов, с одной стороны,оптимального планирования, с другой, - таково настоятельное требование комплексного подхода к управлению экономикой СЮЗ. Усложнение моделируемой системы выражается в росте размерности оптимизационных задач, что обусловливает актуальность исследований,направленных на разработку эффективных методов и алгоритмов решения задач большой размерности и, в первую очередь,задач линейного программирования большой размерности. О трудностях,которые возникают при решении линейных задач большой размерности, свойственных большинству практически важных экономических задач и прежде всего задачам оптимизации межотраслевого баланса и линейным макроэкономическим задачам, отмечал В.М.Глушков С 92.
При разработке планов для сложных экономических систем помимо необходимости решать задачи большой размерности, возникают проблемы иного рода, а именно, повышение адекватности экономико-математических моделей,учитывая неопределенность и случайность исходной информации. Исходная информация для планирования, проектирования и управления в экономике,как правило, недостаточно достоверна. Планирование производства обычно ведется в условиях неполной информации об обстановке, в которой будет выполняться план и реализоваться произведенная продукция. Научно-технический прогресс, непрерывный рост и постоянное изменение общественных потребностей,нестабильность климатических условий, стихийные бедствия,открытие новых месторождений сырья,работа автоматических устройств, сопровождаемая непредвиденными случайными помехами, статистические закономерности которых не всегда могут быть определены и учтены при вычислении управляющих воздействий и т.п. причины и обусловливают существование фактора неопределенности. Фактические значения таких экономических показателей,как коэффициенты материало-,трудо- и фондоемкости, цены на мировом рынке, параметрыхарактеризующие потребление населения в большой степени подвержены влиянию факторов,не зависящих от плановых органов,они носят в той или иной степени случайный характер.Игнорирование факторов неопределенности при составлении перспективных народнохозяйственных планов ведет к нарушению сбалансированности экономики страны не только в отдельные годы планового периода,но и в среднем за достаточно длинный период и вследствие этого к снижению конечных народнохозяйственных результатов.
Мощным инструментом планирования и экономического анализа межотраслевых пропорций народного хозяйства являются математические модели межотраслевого баланса,основы которых заложены в работах советских экономистов при разработке баланса народного хозяйства СССР за 1923/24 хозяйственный год. Огромный вклад в создание и развитие баланса (система затраты-выпуск) внес В.Леонтьев [ЗіЗ как средство анализа взаимозависимости различных секторов экономики.
Рассмотрим простейшую модель типа затраты-выпуск.Пусть X. - годовой уровень общего выпуска отрасли и , Is і,и ^ X. - - количество продукции отрасли і ? поглощаемое ежегодно отраслью /, і = і ,П. ^ h. - количество продукции иэ идущее на внешнее потребление.Тогда общий баланс выражается в виде П линейных уравнений J-1 J
Так как каждая отрасль располагает лишь одним способом производства,то X l; = Д.. 5С . Сі, / = І7^-)і гДе J" - коэффи- J . У J d J циенты затрат l -го продукта на единицу выпуска і -й отрасли,иначе называемые технологическими коэффициентами. Тогда п ж. = Z І .. *. + Ь. Січ.а) или в векторно-матричной форме ( Г- 2)2 * & ,
Е«(j у ^ , * »с^,..., aj, ? - а4,..., ьа).
А так как почти все модели, построенные исходя из нужд практикитобычно оказываются моделями типа Леонтьева или Неймана, то знание свойств этих моделей и их математической теории является чрезвычайно существенным. Однако большие трудности при подготовке точной исходной информации, что вообще говоря принципиально невозможно, препятствуют широкому внедрению этих систем в практику.Параметры рассматриваемой экономической системы могут быть известны плановому органу лишь с точностью до вероятностного распределения, и поэтому представляет интерес рассмотреть межотраслевые модели с учетом вероятностного характера исходной информации. Леонтьев пишет, что коэффициенты модели "представляют собой средние величины не только потому, что каждый из них касается целой группы промышленных отраслей с более или менее различной структурой издержек производства,но также потому,что эти соотношения отражают целый ряд видов техники,используемой одновременно в канадой отдельной области производства, от самых старых,еще не используемых видов, до самых новейших,только что введенных на наиболее совершенных предприятиях" 1311 . Коэффициенты межотраслевого баланса по самой природе являются средними значениями, а потому для точного описания объекта необходимо заменить их более общей характеристикой - определить законы их распределения.В работе C3D] отмечается, что жизнеспособность метода в будущем зависит от того, насколько эффективными будут модели и методы, созданные для учета стохастического характера исходной информации. В подчеркивается, что "от применения теории стохастических процессов в экономической науке мокно кое-чего ожидать... Эпоха детерминистических моделей скоро отойдет в прошлое". Однако,несмотря на большую важность,исследования в этом направлении носят эпизодический характер.
Впервые попытка рассмотреть системы Леонтьева со случайными коэффициентами сделана в статье Р.Куанта [*?к37 где было начато исследование по приближенным оценкам моментов для матрицы 2" системы (I) при а =2.В работе 1?5] он утверждает, что статистические эксперименты, проделанные для.матрицы малых порядков, хорошо согласуются с логарифмически нормальным законом рас-пределения координат вектора X при достаточно широких предположениях о законах распределения для элементов матрицы прямых затрат.Весьма интересными представляются работы Ершова Э.Б.Й4,25]7 где при малых отклонениях коэффициентов прямых затрат от известных математических ожиданий получены приближенные формулы для нахождения первых и вторых центральных моментов вектора объемов продукции и матрицы полных затрат по тем же моментам для матри-цы 2 и вектора -^ предполагаемых независимыми. Приве- денные результаты характеризуют модель межотраслевого баланса как весьма устойчивую относительно возмущений,вызываемых случайным поведением элементов матрицы 2 . Большая работа проведена Самознаевым М.Д. по изучению фа'кторов неопределенности и устойчивости решения народнохозяйственных межотраслевых моделей
Стохастическим межотраслевым моделям посвящены работы С^З ЦтГ-^9] Ястремского А.И. Автор предлагает в качестве стохастического аналога модели Леонтьева модель вида
Л II*- 2^)л-М* * пгіп, приводятся критерии стохастической продуктивности стохастического, аналога, изучаются свойства моделей,как частные случаи общей стохастической модели производства.
В работе С^ЗД было проведено экспериментальное исследование с помощью метода Монте-Карло вероятностных характеристик решения полудинамической межотраслевой модели при условии, что некоторые параметры модели случайны. В работах С 5" 9 7 ^Іі рассматриваются динамические модели затраты-выпуск экономических регионов Италии со стохастическими переменными.
В С 5-?] для общих систем линейных уравнений с многомерным нормальным законом распределения для коэффициентов при неизвестных и правых частей строятся доверительные области, соответствующие Еыбору в качестве статистики некоторого скаляра, имеющего Y -распределение с Л-степенями СЕОбОДЫ.
Когда в матрице 3 элементы к < п. столбцов содержат случайные ошибки, в С ^93 предлагается метод Монте-Карло для пересчета коэффициента матрицы полных затрат.
Статистические модели межотраслевого баланса производственных мощностей в вероятностной постановке приводятся в С 3 ЧЗР там же описаны методика и результаты экспериментов на основе реальной информации,дан сравнительный анализ детерминированных моделей и моделей в вероятностной постановке.
Нетрудно заметить,что результатов по изучению стохастических систем леонтьевского типа получено немного. Это объясняется большими вычислительными трудностями,которые возникают при решении таких задач. Однако, благодаря тому, что в последнее время появились новые методы изучения случайных матриц, систем линейных алгебраических уравнений со случайными коэффициентами,некоторые трудности удалось преодолеть при решении стохастических задач Леонтьева.
В диссертационной работе для стохастических задач типа за-траты-выпуск впервые применены такие методы как спектральный, мартингальный и метод интегральных представлений.
Отметим,что во многих случаях практически невозможно получить точные коэффициенты матрицы прямых затрат - уже при сборе информации происходит влияние всякого рода "помех".Кроме того, в задачах экономики часто приходится сталкиваться с ситуациями, когда порядок рассматриваемой системы высок. Поэтому возникает интерес в изучении предельного поведения решения систем типа затраты-выпуск.
В первой главе диссертационной работы найдены условия существования математических ожиданий моментов компонент решений стохастических систем Леонтьева,приведены некоторые асимптотические методы решения задач типа затраты-выпуск со случайными коэффициентами.Основной метод доказательства предельных теорем первой главы базируется на использовании интегральных представлений для детерминантов,приведенных в I.
Для стохастической системы Леонтьева (I) найдены условия существования математических ожиданий моментов компонент реше-ний, т.е. Н II а II 5 где s "yC:et20 9 если существует pip- плотность вектора та.
Теорема I.2.I. Если для некоторого ( У —,—=- л. І" О и 0 w где Q, СХ ) - плотность распределения элементов матрицы 2 d X = Л da.. ис вероятностью 1 Sp S 2 ^ С ^ <*>
В 3 при некоторых условиях доказано, что распределение компонент вектора-решения системы Леонтьева (I) сближается по вероятности с:соответствующими компонентами вектора-решения сие-темы С I ~ Л. w у X ~ h л где под матрицей Л S понимаем матрицу, составленную из математических ожиданий И. Jt.. .
Представляет большой интерес задача описания общего вида предельных распределений. Для этого необходимо сделать некоторые' предположения об элементах матрицы ^ ., . Эти ограничения обусловлены самим характером экономических задач и заключаются в том,что для всякого /г векторы С Л ,; „ ;; 1 1>, і і \z a составленные из элементов матрицы 2 - і '^ ^a независимы и предельно постоянны. Тогда при некоторых естественных предположениях распределение решения системы С I" ш / х„= -^ П. П. = Ь сближается при П. —* <эо с распределением решеті п. ния системы уравнений, коэффициенты которых неслучайны,за иск- лючением диагональных и этот результат приведен в 4 главы I. Обозначим ^У i*ur J J J J ^ J ei У J
Теорема 1.4.I. Пусть случайные векторы ^, s ^ J -^ # с«о — ч 1 г v 1^лг>=іч1 )для каждого значения а независимы и компоненты (, , _% у ^ ) каждого вектора являются мар- 4 с5 pi ' « irp / ^ ^ тингал-разностями, т.е. .М СД , , )=0 где Ы, ^ - ус-ловное математическое ожидание при фиксированной минимальной <5-алгебре, относительно которой измеримы случайные величины
5 *і. (9-і ^51 ' ^ is > шествуют конечные дисперсии ? р-1 у случайных величин - л р i^, + 7* J Urn. = o i + ^iP+ #/»i J pi if» L P = 0 a J
4 сЖ? ілг itna « ft —* * n—*> <* *.. + 0 ) + ILfe>V Ui " ,,Ъ1 0 1-і L J = 0. ton jJm P[\MCI*ZIJ\>&}'1, п. Л—* аю jsl eJ ^ __
Тогда почти для всех значений U. 9 i-4,& 9 ^1" Челые числа от 1 до а = 0 где 2,- . ; ..... 2 ; - компоненты вектора-решения сле-дующей стохастической системы Леонтьева
Таким образом, из теоремы І.4.І видно, что случайные помехи "сгущаются" на диагонали матрицы А. , Кроме того, суммы ft» _ ^ J L=i«n- удобны для применения предельных теорем, в частности, они могут сходиться по вероятности к детерминированным постоянным.
Вторая глава диссертационной работы посвящена асимптотическим методам решения задач линейного стохастического программирования, изучению предельного поведения решения задач линейного программирования при случайной матрице удельных затрат, случайных векторе ограничений и целевой функции и большом порядке системы.
Задача линейного программирования формулируется следующим образом: найти значения вектора зе . удовлетворяющие услови-
ЯМ , „* -*
А* 6 ь, у 0
14 и доставляющие оптимум целевой функции ( С ^) —* min. C'maxV (2)
В обычных задачах линейного программирования предполагается; что все параметры, т.е. коэффициенты целевой функции, матрицы условий и вектора ограничений, являются известными числами -они достоверны и свободны от ошибок. Однако на практике оказывается,что на поведение системы в целом большое влияние оказывают множество случайных факторов, и экономические данные подвержены различного рода ошибкам. Л.В.Канторович указывал ZZ?19 что для построения более полных моделей оказывается необходимым выйти за пределы линейного программирования, в частности, а таком направлении,как учет неопределенности - случайного характера исходных данных.
Термин "стохастическое программирование" появился в начале 50-х годов, когда Данциг,Чарнес,Купер СіЗЗ стали анализировать задачи линейного программирования со случайными параметрами, о помощью которых более полно описывались реальные ситуации оптимального планирования.
В настоящее время этот раздел математического программирования интенсивно развивается. Моделям и методам стохастического программирования посвящены работы [ 370,23,1{3, k2 , k6-,&iy&b? б,бЗ,?2,?3]7обзор прямых и непрямых методов стохастического программирования дан в C
15 в жесткой постановке относятся,например, задачи в Г 9,53,58, 86t&3j. Так, в L5#J для определения распределения 3L и СЭ предлагается аппроксимация, в которой пренебрегают членами, содержащими "ошибки"(отклонения от математических ожиданий) второго порядка. В ГіЮЗ отмечается, что аппроксимация, основанная на отбрасывании членов, содержащих "ошибки" второго порядка, является слишком грубой. Кроме того, в С 582 Не Учитывается, что при различных реализациях случайных коэффициентов может изменяться набор базисных векторов.
В [5"3J коэффициенты Q,. k и С * являются функциями одного или нескольких стохастических параметров Тг . Дана вычислительная схема решения задачи непрерывного планирования,когда Ь> и С і - линейные функции одного стохастичес-кого параметра с известной функцией распределения.После определения областей оптимальности в пространстве случайных параметров может быть найдена функция распределения и математическое ожидание оптимального значения целевой функции.
В С >б ,ёй J рассматривается следующая задача с критерием типа квантиля: найти 3L максимизирующий & при условии
А Я Ь , Л>0,
Р [сх S} <*L, 0 * oL 4 , где С - случайный вектор с известным математическим ожиданием f[Q и дисперсионной матрицей V = С 1^ -)~ ( (С С. — -Ес.Хс. - с.))), **~, /'«^.
Возможна постановка стохастической задачи \^5 UJ со случайным вектором С где требуется максимизировать вероятность того, что значение С 32 будет не меньше некоторого фикси- рованного числа *
В работах Z 1? Ь7 3e?6Q,#37$*fj анализируются задачи с вероятностными ограничениями, т.е. задачи, в которых ограничения должны выполняться с заданной, достаточно высокой вероятностью.
Большое количество исследований посвящено многоэтапному стохастическому программированию^, в частности, двухэтапным задачам стохастического программирования(например, 2.2 j^O к 3 Ц,62,91,923 )
Исследованию различных сторон вопроса стохастической устойчивости задач математического программирования посвящены работы
Сї-.б,80,823.
Условия существования математических ожиданий моментов компонент решений стохастических систем Леонтьева.Спектральный метод и метод замены переменных
В 4 для задач линейного стохастического программирования (2) применен эмпирический метод. Учитывая, что на практике рас-пределение элементов матрицы А. и компонент Еекторов 4 и
С неизвестны, а имеются только наблюдения этих векторов и матрицы, исходную стохастическую задачу представляем в виде эмпирического аналога, т.е. используем эмпирические наблюдения A. L. г. к=ГИ . Доказано,что решение эмпирической за-дачи сходится по вероятности к решению первоначальной задачи при увеличении размерности ее до бесконечности.
Третья глава посвящена исследованию зависимости эффективности стохастических межотраслевых систем фиксированной размерности от величин ошибок. На эффективность моделируемой системы в некоторых случаях оказывают влияние не только средний уровень случайных удельных выпусков,но и их разбросы. При исследовании зависимости использовались условия оптимальности и соотношения двойственности.Доказано,что величина ковариации коэффициента удельных выпусков пропорциональна увеличению эффективности системы при малом увеличении интенсивности способа с меньшим разбросом соответствующего коэффициента удельных выпусков.
Для оптимизационной стохастической задачи типа затраты-Еы-пуск - случайная матрица прямых затрат, з . 0 - удельный вес -й продукции в составе конечной продукции, В - удельные затраты труда, - величина трудовых ресурсов, St - интенсивность технологических способов, показано, что оптимальное значение функционала задачи (3) увеличивается на величину Ц-і)С0і» C&fa (lir), Ufc Liw)) }Q 1} где У - интенсивность применения дополнительного технологического способа, LL - решение двойственной к (3) задачи.
Разработанные в диссертации методы оптимизации могут использоваться при решении многих задач экономики: планировании- народного хозяйства, управлении многономенклатурным производством,задач оптимального распределения ресурсов,производственных мощностей и других, теории управления стохастическими системами, стохастической оптимизации.
Методы,разработанные в диссертационной работе для стохастической балансовой матричной модели типа затраты-выпуск используются при обосновании плановых показателей в системе планирования и управления предприятием (завод "Орбита"),что подтверждено актом внедрения.
Основные результаты диссертации докладывались на П Всесоюзной научно-технической конференции "Применение многомерного статистического анализа в экономике и оценке качества продукции" (г.Тарту,І98І г.), на научном семинаре "Матема тические аспекты моделирования народного хозяйства" (г.Львов, ноябрь 1983 г.),на УІ Всесоюзном семинаре "Неопределенность информации в планировании и управлении народным хозяйством" (г.Таллин, ноябрь 1983 г.),на республиканской школе-семинаре "Системология и междисциплинарные исследования"(пос.Ворохта Ивано-Франковской обл., апрель 1983 г.),на семинаре "Стохастические модели и методы в экономике" кафедры экономической кибернетики КГУ в 1983 г.,на республиканском семинаре "Статистический анализ и оптимизация стохастических систем" при Киевском государственном университете в 1984 году. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в работах С 13 - іб Л С 5М53
Как уже отмечалось во введении, исходная информация в моделях леонтьевского типа может считаться согласованной лишь на стадии получения ею показателей по данным народнохозяйственного плана, т.е. тогда, когда модель затраты-выпуск имеет задачу отразить ход процесса расширенного воспроизводства,но не определить основные показатели этого процесса. Эти показатели должны рассматриваться не как детерминированные,а как включающие информацию характеризующую степень содержащейся в них неопределенности. При решении многих задач леонтьевского типа значения матриц ] находят по ее выборочным значениям и в большинстве случаев элементы выборочной матрицы можно считать значениями некоторых случайных величин. Поэтому нужны результаты для распределений решений стохастических задач типа затраты-выпуск.Кроме того, иногда вместо матрицы CU подставляется ее оценка s-n - некоторые значения независимых случай-ных матриц,полученных в результате проведения экспериментов.Отметим,что точное определение законов распределения для валового выпуска продукции і -й отрасли и матрицы полных затрат (Im d і ,а также их математических ожиданий наталкивается даже при простейших законах распределения для матрицы .
Предельные теоремы общего вида для решений стохастических моделей леонтьевского типа.Метод интегральных представлений
Пусть есть некоторая процедура Еыбора решений неравенства ІІ02. и эти решения каким-либо образом можно упорядочить. Тогда в этой сумме для каждой пары А/, , & L выбираем решение Ф и берем минимум по всем возможным.
Можно показать,что если существует единственное решение задачи (2.4.17),то для любого случайного g решения зада чи (2.4.18) при выполнении некоторых условий, аналогичных при веденным выше,выполняется 5 5 ПРН П. — & с
Б первой главе диссертационной работы проводилось исследование предельного поведения решения стохастической системы типа затраты-выпуск.Для решения такого класса задач были впервые применены методы интегральных представлений,спектральный,мартнн-гальный при условии, что размерность системы стремится к бесконечности.
Рассматриваемая ранее стохастическая модель типа затраты-выпуск является аналогом балансовой модели, в которой имеют одинаковый ЕЄС как дисбалансы по разным видам продукции,так и дисбалансы, связанные с перевыполнением и недовыполнением заданий по конечной продукции. Поэтому представляет интерес анализ опти мизационных стохастических задач типа затраты выпуск,иначе называемые межотраслевыми задачами. Приведем наиболее характерные постановки таких задач 25 J ,
Простейшая оптимизационная стохастическая межотраслевая модель. Найти такие детерминированные величины СС . и - интенсивность применения W-vo способа в от расли / , t удельные затраты труда на производство / -ой продукции у-способом, и - величина трудовых ресурсов, &1- У 0 удельный вес 1-ой продукций в составе конечной продукции. Необходимо выбрать такой план производства валовой продукции чтобы выполнялось ограничение по труду и максимизировалось математическое ожидание числа комплектов конечной продукции. потребления таким образом,чтобы с вероятностью I выполнялись балансы производства и потребления,не превышался лимит по труду и максимизировался целевой функцией потребления.
Модель с коррекцией валовых выпусков .В этих моделях план производства известен лишь с точностью до вероятностного распределения, т.е. он выбирается как вектор-функция от состояния природы.Модель функционирует на протяжении двух промежутков времени. Тогда если Т1 С})у К Г? -множества производственных способов отрасли / в первом и втором периодах соответственно, f # иг Удельные затраты Ф -го невоспроизводимого ресурса на производство продукции способом ТІГ9 величина фонда потребления в заданных пропорциях,то задачу можно сформулировать следующим образом. Найти такой детерминированный план производства в первом промежутке и случайный план
Интерес представляет исследование межотраслевых задач методами качественного анализа.Как влияют малые погрешности технологических коэффициентов на тот или иной технологический способ? Какой из множества технологических способов нужно выбрать,чтобы увеличить эффективность системы? Эти и другие вопросы очень часто возникают при анализе задач межотраслевого баланса. Этим вопросам и посвящена третья глава данной работы.
Но предварительно мы долены дать некоторые разъяснения относительно условий оптимальности и соотношений двоистеєнности для задач стохастического межотраслевого баланса.
Имеется ряд исследований, в которых изучаются условия оптимальности и двойственные соотношения в стохастическом программировании.Характерной чертой этих работ(например, Г , %& - #3 ) .является то, что вероятностная экстремальная задача рассматривается как задача в функциональном пространстве U } с операторными ограничениями. Работа С -1 посвящена условиям оптимальности и маргинальным свойствам задач стохастического программирования в пространстве Up получение которых основано на соотношениях двойственности.
Применение метода ортогонализации в задачах линейного стохастического программирования
Такті образом, величина ковариации коэффициента матрицы прямых затрат, в "новом" способе для которого имеется "конкурент" с меньшей дисперсией, и оценки соответствующего ингредиента имеют важный смысл. Эта величина пропорциональна увеличению эффективности системы при малом увеличении интенсивности способа с меньшим разбросом соответствующего коэффициента удельных выпусков. Чем меньше разброс коэффициента 0L, тем больший прирост эффективности получает система.
Диссертационная работа посвящена изучению свойств и методов решения некоторых стохастических задач типа затраты-выпуск и линейного программирования. Основными результатами работы являются: 1. Для стохастических систем затраты-выпуск большой размерности впервые применены такие методы как спектральный,мартингаль-ный,метод интегральных представлений. 2. Для стохастических систем затраты-выпуск,а также для систем линейных алгебраических уравнений найдены условия существования математических ожиданий компонент-решений. 3. Исследован вопрос о влиянии малых погрешностей коэффициентов прямых затрат на решение системы затраты-выпуск.Доказано, что при некоторых условиях исходную стохастическую систему мошго свести к детерминированной. 4. Доказаны предельные теоремы общего вида для решений стохастических систем леонтьевского типа. Показано, что при некоторых естественных предположениях распределение стохастической системы леонтьевского типа сблияаетоя при увеличении порядка системы до бесконечности с распределением решения системы, коэффициенты которых неслучайны, за исключением диагональных. 5. Исследована зависимость эффективности оптимизационных стохастических задач типа затраты-выпуск от разбросов случайных коэффициентов системы. Чем меньше разброс коэффициента удельных выпусков,тем больший прирост эффективности получает система. 6. Для систем линейных алгебраических неравенств, случайные элементы матрицы условий которых распределены по симметричному устойчивому закону,показано,что отношение компонент вектора-решения будет распределено так же как и отношение двух независимых случайных величин,распределенных по симметричному устойчивому закону с характеристическим показателем eL (Q 6ol ). 7. Доказаны предельные теоремы для систем линейных алгебраических неравенств со случайными независимыми коэффициентами: получен аналог закона арктангенса. 8. Для решения задач линейного стохастического программирования применен метод интегральных представлений,который дает возможность при некоторых условиях свести исходную стохастическую задачу к детерминированной. 9. Для решения задач линейного стохастического программирования применен эмпирический метод, благодаря которому решение стохастической задачи линейного программирования можно свести к виду, удобному для решения большинства практических задач большой размерности.
Некоторые вспомогательные результаты.Условия оптимальности и соотношения двойственности
Мощным инструментом планирования и экономического анализа межотраслевых пропорций народного хозяйства являются математические модели межотраслевого баланса,основы которых заложены в работах советских экономистов при разработке баланса народного хозяйства СССР за 1923/24 хозяйственный год. Огромный вклад в создание и развитие баланса (система затраты-выпуск) внес В.Леонтьев [ЗіЗ как средство анализа взаимозависимости различных секторов экономики.
Рассмотрим простейшую модель типа затраты-выпуск.Пусть X. - годовой уровень общего выпуска отрасли и , Is і,и X. - - количество продукции отрасли і поглощаемое ежегодно отраслью /, і = і ,П. h. - количество продукции иэ идущее на внешнее потребление.Тогда общий баланс выражается в виде П линейных уравнений
А так как почти все модели, построенные исходя из нужд практикитобычно оказываются моделями типа Леонтьева или Неймана, то знание свойств этих моделей и их математической теории является чрезвычайно существенным. Однако большие трудности при подготовке точной исходной информации, что вообще говоря принципиально невозможно, препятствуют широкому внедрению этих систем в практику.Параметры рассматриваемой экономической системы могут быть известны плановому органу лишь с точностью до вероятностного распределения, и поэтому представляет интерес рассмотреть межотраслевые модели с учетом вероятностного характера исходной информации. Леонтьев пишет, что коэффициенты модели "представляют собой средние величины не только потому, что каждый из них касается целой группы промышленных отраслей с более или менее различной структурой издержек производства,но также потому,что эти соотношения отражают целый ряд видов техники,используемой одновременно в канадой отдельной области производства, от самых старых,еще не используемых видов, до самых новейших,только что введенных на наиболее совершенных предприятиях" 1311 . Коэффициенты межотраслевого баланса по самой природе являются средними значениями, а потому для точного описания объекта необходимо заменить их более общей характеристикой - определить законы их распределения.В работе C3D] отмечается, что жизнеспособность метода в будущем зависит от того, насколько эффективными будут модели и методы, созданные для учета стохастического характера исходной информации. В подчеркивается, что "от применения теории стохастических процессов в экономической науке мокно кое-чего ожидать... Эпоха детерминистических моделей скоро отойдет в прошлое". Однако,несмотря на большую важность,исследования в этом направлении носят эпизодический характер.
Впервые попытка рассмотреть системы Леонтьева со случайными коэффициентами сделана в статье Р.Куанта [ к37 где было начато исследование по приближенным оценкам моментов для матрицы 2" системы (I) при а =2.В работе 1?5] он утверждает, что статистические эксперименты, проделанные для.матрицы малых порядков, хорошо согласуются с логарифмически нормальным законом рас-пределения координат вектора X при достаточно широких предположениях о законах распределения для элементов матрицы прямых затрат.Весьма интересными представляются работы Ершова Э.Б.Й4,25]7 где при малых отклонениях коэффициентов прямых затрат от известных математических ожиданий получены приближенные формулы для нахождения первых и вторых центральных моментов вектора объемов продукции и матрицы полных затрат по тем же моментам для матри-цы 2 и вектора - предполагаемых независимыми. Приведенные результаты характеризуют модель межотраслевого баланса как весьма устойчивую относительно возмущений,вызываемых случайным поведением элементов матрицы 2 . Большая работа проведена Самознаевым М.Д. по изучению фа кторов неопределенности и устойчивости решения народнохозяйственных межотраслевых моделей
Стохастическим межотраслевым моделям посвящены работы С З ЦтГ- 9] Ястремского А.И. Автор предлагает в качестве стохастического аналога модели Леонтьева модель вида
приводятся критерии стохастической продуктивности стохастического, аналога, изучаются свойства моделей,как частные случаи общей стохастической модели производства.
В работе С ЗД было проведено экспериментальное исследование с помощью метода Монте-Карло вероятностных характеристик решения полудинамической межотраслевой модели при условии, что некоторые параметры модели случайны. В работах С 5" 9 7 Іі рассматриваются динамические модели затраты-выпуск экономических регионов Италии со стохастическими переменными.
В С 5-?] для общих систем линейных уравнений с многомерным нормальным законом распределения для коэффициентов при неизвестных и правых частей строятся доверительные области, соответствующие Еыбору в качестве статистики некоторого скаляра, имеющего Y -распределение с Л-степенями СЕОбОДЫ.
