Содержание к диссертации
ВВЕДЕНИЕ
§ I. Классические кооперативные игры. Понятие оптимальных решений» 7
§ 2. Непрерывные отображения систем множеств, непрерывные отношения, их ядра и решения (гл.1 ). 12
§ 3. Приближенные методы нахождения ядра (гл.П) 21
§ 4 Приближенные методы Е кооперативных играх. Ациклические игры (гл.Ш) 29
§ 3. Покрытия и их применение в кооперативных играх (гл.ІУ) 37
§ б. Обобщение понятия покрытий. УСЛОЕИЯ существования решений. Решение игры четырех лиц. Пространства и
ГЯАВА I. НЕПРЕРЬВНЬЕ ОТНОШЕНИЯ В ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВАХ, ИХ ЯДРА И РЕШЕНИЯ НЕЙМАНА-МЭРГЕНШТЕРНА § I. Отношения. Ядро и решение Неймана-Моогенштерна 49
§ 2. Топологии подмножеств. 53
§ 3. Непрерывные отношения в топологических пространствах и их свойства 60
§ 4. Связь непрерывности отношений с непрерывностью некоторых отображений 66
§ 3. Устойчивость ядер и решений непрерывных отношений. 71
ГЛАВА П. СХОДИМОСТЬ ПРОСТРАНСТВ С ОТНОШЕНИЯМИ. ПРИМЕНЕНИЕ К БЕСКОАЛИЦИОННЫМ ИГРАМ И ЗАДАЧАМ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ
§ I. Сходимость пространств с отношением. 77
§ 2, Сходимость и устойчивость ядер и решений
§ 3. Сходимость бескоалиционных игр 32
§ 4, Устойчивость ситуаций равновесия в играх с непрерывными функциями выигрышей 37
§ 5. Некоторые классы игр с разрывными функциями выигрышей, шлющие ситуации равновесия 89
§ б. Общие многокритериальные задачи свертки критериев 96
§ 7. Сходимость многокритериальных задач 102
ГЛАВА Ш. ОБЩИЕ КООПЕРАТИВНЫЕ ИГРЫ
§ I. Общие кооперативные игры, отношение доминирования. 107
§ 2. Сходимость кооперативных игр. Условия непустоты ядра 112
§ 3. -решения кооперативных игр и их сходимость,
§ 4. Существование решений для некоторых классов игр. • 124
§ 5. Ациклические игры 133
§ б. Доказательство теоремы 3.5 139
ГЛАВА ГУ. МГОД ПОКРЫТИЙ В РАЗЛИЧНЫХ ТЕОРЕТИКО-ИГРОВЫХ ЗАДАЧАХ § I. Покрытия. Условия не пустоты ядра для классических
кооперативных игр 151
§ 2. Применение покрытий к теории Ц -устойчивости
§ 3. Применение метода покрытий к вопросу существования
решений (ДН") -игры 157
§ 4. Применение покрытий к вычислению IV-ядра 152
§ 5. Пример Еыпуклой игры специального вида 1о4
§ б, Обобщенное IV-ядро и максимальное покрытие. • Г70
§ 7. Покрытия Е играх без побочных платежей 174
ПЛАВА У. ОБОБЩЕННЫЕ ПОКРЫТИЯ. РЕШЕНИЕ ИГР ЧЕТЫРЕХ ЛИЦ
§ I. Обобщенные покрытия и их свойства Г73
§ 2. Необходимые условия совпадения ядра и решения. 137
§ 3. Необходимые и достаточные условия совпадения ядра решения в терминах обобщенных покрытий 195
§ 4.. Обобщенные покрытия и решение игры четырех лиц с не
пустым ядром 201
§ 5. Доказательство теоремы 5,3 211
§ 5. Пространства игр. Некоторые гипотезы 222
ЛИТЕРАТУРА 230
Введение к работе
Актуальность теории игр до недавнего времени в основном определялась тем влиянием, которое она оказывала на смежные области науки. Такие понятия теории кооперативных игр как ядро и решение Неймана-Моргенштерна получили широкое распространение в теории графов, математической статистике, теории многокритериальной оптимизации. Ядра графов, і «базы, полный класс решающих функций являются реализациями этих понятий.
В последнее время появились и важные практические приложения теории кооперативных игр. Так Институтом Системных Исследований в Вене в 1 80 г. была закончена разработка теоретико-игровой модели распределения капиталовложений между 18 муниципалитетами юга Швеции при строительстве трубопровода для снабжения их пресной водой.
Темой работы является исследование ядер и решений не только в кооперативных играх, но и в других более общих или близких к ним задачах.
Цель работы - дальнейшее развитие теоретико-игрового аппарата. Пока еще основным в теории кооперативных игр является аппарат линейной алгебры. Покрытия (двойственные переменные) получили специальное теоретико-игровое содержание и стали основным инструментом исследования кооперативных игр. В работе сделано дальнейшее обобщение этого понятия.
Идея рассмотрения дискретных вариантов кооперативной игры принадлежит Нейману. Проведенное в работе исследование сходимости ядер и решений, которую ранее не изучали, потребовало приспособления к теории игр аппарата топологии пространств множеств. Идея приближения ядер позволяет доказать, новые теоремы существования ситуаций равновесия в бескоалиционных играх и в сочетании с вомбинаторными исследованиями структуры множества исходов получить наиболее общие теоремы о существовании решений кооперативных игр.
Все изучаемые в работе методы могут быть применены для фактического нахождения ядер и решений, хотя разработка таких алгоритмов не входила в цели работы. Некоторые решения построены; например, с помощью обобщенных покрытий описаны решения игр четырех лиц с непустым ядром.
Новизна работы состоит в первую очередь в разработке новых методов теоретико-игрового анализа и введении новых понятий, таких как сходимость пространств с отношениями и обобщенные покрытия. Эти новые методы и понятия применяются в основном к уже поставленным в теории игр задачам существования ядер и решений. Большинство полученных в работе результатов являются новыми. На защиту выносятся основные результаты глав Ш,1У и У.
Структура работы следующая. Работа состоит из введения и пяти глав, главы состоят из параграфов, нумерация параграфов своя в каждой главе. Почти весь текст работы, кроме введения, разбит на леммы, утверждения или теоремы. Утверждения, обычно приводят к теоремам, но имеют и самостоятельное значение; теоремы, по мнению автора, имеют большую значимость, чем утверждения. Доказательства наиболее трудных теорем 3.5 и 5.3 вынесены в отдельные параграфы. Нумерация определений, лемм, утверждений и теорем двойная, следствия имеют простую нумерацию, отдельную для каждой теоремы, к которой они относятся. Примеры имеют сквозную нумерацию. Те утверждения, которые не принадлежат автору, не имеют нумерации, им сопоставляется либо фамилия автора, либо номер статьи, из которой они взяты. Исключением являются утверждения § 2 гл.1, которые, хотя и получены автором, не могут считаться новыми, так как в литературе имеются весьма близкие к ним утверждения.
Список литературы содержит 97 названий.
Основные те о ре игровые понятия, использованные в работе, можно найти в монографиях и обзорах [I5j , [28j, [49j , 53j,
Некоторые результаты кандидатской диссертации автора, опубликованной в виде статьи [5j входят в § І гл.ІУ, все остальные результаты работы не входят в кандидатскую диссертацию»
Основные результаты главы I опубликованы в статьях [10] и [16] , главы П-в [IOj, [II], дів} и 18j, главы Ш - в [IOj, [I3j , [1 ц и [I8J, главы ІУ - в [31, ] • [5], [7j и [20j, главы У - в [8j [18] и [I9j
