Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Меры ограниченной векторной вариации
1. Обозначения и основные определения 43
2. Квазирадоновы и квазирегулярные меры 51
3. Интегральные представления и продолжение мер 62
4. Произведение мер и теорема Фубини 71
Глава II. Применение к ваз и радо новых мер
1. Проективный предел и бесконечное произведение векторных мер 80
2. Векторная проблема моментов 94
3. Преобразование Фурье мажорируемых отображений .120
4. Лифтинг кпа-зирадоновых мер 143
Глава III. Нижняя оценка числа соверпюнных кодов. Метод орбит и перечисление совершенных кодов
1. Обозначения и основные определения 152
2. О нижней оценке числа совершенных двоичных кодов .154
3. Перечисление орбит пространства {0,1}" порождаемых группой Sym(#") 158
4. Перечисление совершенных двоичных кодов длины 15 169
Глава IV. Несистематические совершенные двоичные коды
1. Предварительные сведения 193
2. Конструкция несистематических расширенных кодов .194
3. Несистематические расширенные коды длины 16 207
4. Примеры 212
Литература 221
- Интегральные представления и продолжение мер
- Преобразование Фурье мажорируемых отображений
- О нижней оценке числа совершенных двоичных кодов
- Конструкция несистематических расширенных кодов
Введение к работе
Данная диссертация состоит из двух независимых частей. Это объясняется тем, что автор долгое время, начиная со студенческих лет, занимался различными вопросами классического функционального анализа. В 1997 году диссертант заинтересовался теорией кодирования и в течение последних шести лет активно занимается исследованиями в этой области. Более подробно содержание диссертации излагается во введении. Диссертация состоит из введения к первой части, введения ко второй части и четырех глав. В каждой части по две главы. Используется тройная нумерация теорем и других утверждений. Например, теорема IV.3.1 означает ссылку на первую теорему из третьего параграфа четвертой главы.
Результаты диссертации, представленные к защите, опубликованы в работах [115-135]. Работы [115-121] написаны в соавторстве с А. Г. Кусраевым.
Автор выступал по теме диссертации на научных семинарах. В частности, на семинаре лаборатории функционального анализа, на семинаре по теории кодирования и семинаре по дискретному анализу лаборатории дискретного анализа Института математики СО РАН. Результаты диссертации докладывались также на:
- XII школе по теории операторов в функциональных пространствах (Тамбов, 1987г.).
- Сибирской конференции по прикладной и индустриальной матема тике (Новосибирск, 1994г.),
III Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (ИНПРИМ - 98. Новосибирск, 1998г.),
II Сибирской конференции по исследованию операций (Новосибирск 1998г.),
Международной Сибирской конференции по дискретному анализу и исследованию операций (Новосибирск, 2000г.),
IV молодежной школе по дискретной математике и ее приложениям (Москва, 2000г.),
VII Международном семинаре по дискретной матетатике и ее приложениям (Москва, 2001г.),
XIII Международной конференции по проблемам теоретической кибернетики (Казань, 2002г.).
Введение к первой части
В современной теории векторных мер можно выделить два направления, слабо связанных друг с другом.
Первое направление - изучение мер со значениями в нормированных или в локально выпуклых пространствах - начиная с классических работ С. Бохнера, И. М. Гельфанда, Н. Данфорда и Б. Петтиса второй половины 1930-х годов. В настоящее время оно представляет собой красивую теорию с богатыми приложениями и хорошо освещено в монографической литературе, см. книги Н. Динкуляну [64], Дж. Ди- етеля и Дж. Улья [63] о векторных мерах, а также соответствующий том из трактата Н. Бурбаки.
Второе направление изучение мер. принимающих значения из упорядоченного векторного пространства. Здесь вместо топологии используется сходимость, связанная с порядком, а роль топологической полноты играет порядковая полнота. Такие меры как самостоятельный объект исследования возникли, по видимому, в связи с вопросом об аналитическом представлении линейных операторов в полуупорядоченных пространствах, см. монографию Л. В. Канторовича. Б. 3. Вулиха и А. Г. Пмнскера [23]. Разумеется, меры со значениями # в векторных решетках неявно появлялись гораздо раньше, как напри мер, гомоморфизмы абстрактных булевых алгебр и спектральные ха рактеристики самосопряженных операторов в гильбертовом простран стве. Именно, изучение самосопряженных операторов с позиций порядкового анализа приводит к понятиям меры и интеграла со значениями в упорядоченном векторном пространстве, см. монографии А. И. Плеснера [44], Б. 3. Вулиха [14].
Начиная с 1950-х годов, под влиянием теории упорядоченных векторных пространств для булевых мер стали рассматриваться вопросы, характерные для классической теории меры (В. И. Соболев, Б. 3. Ву-лих, Д. А. Владимиров и др.). Меры со значениями, в векторных решетках с тех же позиций интенсивно изучал М. Райт в серии публикаций с конца 1960-х годов. После этих работ интерес к мерам в упорядоченных пространствах резко возрос. За истекший период в этом направлении накоплен весьма богатый материал.
В настоящей работе предлагается единый подход к указанным выше двум направлениям в теории меры на основе фундаментальной концепции решеточно нормированного прост.ранст,ва (РНП). Дело в том, что специальными случаями решеточно нормированного пространства являются как нормированные и локально выпуклые пространства, так и векторные решетки. Поэтому все встречающиеся в математической литературе векторные меры являются мерами со значениями в РНП. Понятие решеточно нормированного пространства впервые появилось в работе Л. В. Канторовича [18].
В качестве отправной точки к такому подходу было взято понятие радоновой меры. Радоновой мерой, заданной на борелевских пол-множествах топологического пространства X. обычно называют меру, значения которой на любом борелевском множестве FC-X можно аппроксимировать значениями на компактных подмножествах Л" С X. На основе понятия радоновой меры строится теория интегрирования в хорошо известном трактате Н. Бурбаки [7]. Дальнейшее развитие эта теория получила в книге Л. Шварца [99].
Но при переходе от скалярных мер к мерам со значениями в частично упорядоченном пространстве возникают существенно новые нюансы. Здесь следует подробнее остановиться на свойстве слабой cr-дистрибутивности /і-пространства.
Говорим, что на Л -пространстве F выполняется закон слабой (7, оо)-дистрибутивности, если для любой ограниченной последовательности убывающих к нулю направленностей {х( : Є г} (г Є N) справедливо равенство
Если эти равенства справедливы для любых убывающих к нулю последовательностей {хі : Є N}. то говорим, что на F выполнен закон слабой сг-дистрибутивности.
Для Л"-пространств счетного типа это свойство эквивалентно хорошо известному принципу диагонали. Можно также отметить, что многие «хорошие» Л -пространства, например, такие как лебегово пространство Лі (/і), этому свойству удовлетворяют. В исследованиях Л. В. Канторовича [77], К. Маттеса [88], М. Райта [109, 111, 112, 113, 114], Д. Фремлина [71], С. Хураны [80, 81], Б. Ричана [95], Т. Панчепа-гесана и Ш. Паледа [90] было показано, что Л -пространства со свойством слабой -дистрибутивности являются экстенсорами. Это означает, что линейные секвенциально о-пепрерывные операторы со значениями в таких пространствах продолжаются с векторной решетки на борелевскую надстройку, меры продолжаются с алгебры множеств на сг-алгебру, в таких пространствах можно строить теорию интегрирования по классической схеме Даниэля. Причем это свойство является характеристическим, т. е. оно не только достаточно, но и необходимо для реализации вышеуказанных конструкций (см. [110, 111, 114]).
Тем не менее, в последнее время интенсивно развивается функциональный анализ па базе произвольного порядково полного упоря доченного пространства. Прежде всего, это булевозначный анализ векторных решеток, см. [31, 34]. Фундаментальную роль в этом подходе играет теорема Гордона [15], в которой утверждается, что расширенное А -пространство «изображает» вещественные числа в подходящей булевозначной модели. Никаких дополнительных ограничений на & -пространство в этой теории не налагается. Исходя из всего этого следует ожидать, что какой-то фрагмент теории меры можно развивать для произвольных Л -пространств. В данной диссертации как раз предпринята такая попытка.
В первую очередь следует отказаться от свойства радоновости. Оказывается, что в этой ситуации наиболее адекватным является понятие не радоновой, а квазирадоновой меры. Отличие от радоновых мер состоит в том, что аппроксимируются компактными множествами К С X не произвольные борелевские множества, а только открытые множества U С X. Определение квазирадоновости для положительных мер, принимающих значения в пространстве непрерывных функций на экстремально несвязном компакте, было введено М. Райтом [109]. (На самом деле М. Райтом используется термин «квазирегулярная мера», так как для мер, заданных на борелевской алгебре компактного пространства, понятия квазирегулярности и квазирадоновости тождественны.)
Классическим примером / -пространства, на котором не выполняется закон слабой т-дистрибутивности, является пространство ,/f (R), всех борелевских функций на вещественной прямой, факторизованное по идеалу функций, равных нулю вне некоторых множеств первой категории (см. [70]).
Глава I посвящена общим свойствам квазирадоновых мер, принимающих значения в о-по.тмом решеточно нормированном пространстве. В параграфе 1 вводятся обозначения, даются определения, приме ры, и отмечаются основные свойства решеточно нормированных пространств.
Решеточно нормированное пространство — это тройка (У, -, F), где Y - векторное пространство, F — векторная решетка, а : Y — F+ — отображение, удовлетворяющее аксиомам:
(1) ж = 0 = х = 0; (2) \\х\ = \\\\х\ (Л Є R); (3) \х + у\ И + ІУІ (х,уЄУ).
Пусть (У, \-\,F) — решеточно нормированное пространство. Линейный оператор Т : Е —» Y называется мажорируемым, если существует положительный оператор U : Е — F такой, что \Те\ U(\e\) (є Є Е). Оператор U называется мажорантой опрератора Т. Наименьшую мажоранту оператора Т обозначаем через \Т\. Понятие мажорируемого оператора появилось во второй половине 1930-х годов в работах Л. В. Канторовича [19, 21, 22, 78]. Оно имело двоякую мотивировку — теоретическую, обусловленную развитием общей теории операторов в полуупорядоченных пространствах (см. [18, 19, 20]) и прикладную, связанную с приближенными методами анализа (см. [21, 22, 78]). Теория мажорируемых операторов, как самостоятельное направление, сформировалась в 80-ые годы в работах А.Г.Кусраева и С. С. Кутате-ладзе [31, 34. 35, 36, 84], и их учеников [24, 25, 32, 33]. Автор диссертации тоже принимал участие в изучении мажорируемых операторов (доказательство формылы для вычисления порядково непрерывной составляющей мажорируемого оператора [32], формула для нахождения мажорантной нормы и теорема о существовании крайнего продолжения мажорируемого оператора [25]).
Пусть задана алгебра / подмножеств из множества X. Говорят, что мера /і : л/ — Y имеет ограниченную векторную вариацию, если существует положительная мера v : .с/ — F+ такая, что /v(-4) //(.4) (.4 Є .с/). Наименьшая мера v. удовлетворяющая этому неравен ству, называется векторной вариацией меры и и обозначается через //. Теория банаховозначных мер ограниченной вариации излагается например в [63, 64]. Векторная вариация мер со значениями в пространстве Канторовича рассматривалась в [14] (гл. VIII, 9). Меры ограниченной векторной вариации со значениями в решеточно нормированном пространстве были определены в [32].
В параграфе 2 даются основные определения радоновой (квазирадоновой) и регулярной (квазирегулярной) меры.
Пусть X — вполне регулярное топологическое пространство; 3?х (соответственно &х) — семейство всех открытых (замкнутых) подмножеств X. Пусть я/ - алгебра подмножеств множества X и Е Є я/ Рассмотрим два направленных множества Хе — {К : К Є ХхГ\?у К С Е} и &Е — {G : G Є &х П .с/, G С Е}, элементы которых считаются упорядоченными по включению.
Мера [і : л/ —ь Y называется радоновой (квазирадоновой), если для любого Е Є &f (для любого Е 3?х П в/) справедливо равенство /i(E) = o-\im{u(K) : Л Є ХЕ).
Мера ц, : stf — Y называется регулярной (квазирегулярной), если для любого Е Е .с/ (для любого Е Є х П .с/) выполняется равенство ц{Е) = o-\im{u{G) : G Є .?Е} Наименьшую алгебру (сг-алгебру), порожденную семейством множеств . обозначаем через 21( ) (соответственно, через (7)).
Теорема 1.2.2. Пусть мера //: : s/ — Y. имеющая ограниченную векторную вариацию. удовлет.воряет. одному из следующих двух условий:
1. .с/ = 21( Л-П s/):
2. .с/ = E( .v Г\/) и ft Є F-bca(.c/.l").
В этом, случае мера // является квазирадоновой {квазирегулярной) т.огда и тюлько т.огда. когда, векторная вариация // квазирадонова (квазирегулярна).
В отличие от скалярного случая, для векторных мер этот факт становится нетривиальным.
Теорема 1.2.3. Если мера и : и/ — У, имеющая ограниченную F-вариацию, квазирадонова, то ограничение ji на алгебру &{&х П &/) является а-аддитивной мерой.
Для радоновых мер такой факт верен на всей борелевской сг-алгебре. Для вещественнозначных мер (зарядов), заданных на борелевской алгебре компактного пространства X. это свойство отмечалось еще в пионерской работе А. Д. Александрова (см. [3], теоремы 2 и 5).
В теореме 1.2.5 доказано, что если на Л -пространстве F выполняется закон слабой (сг, оо)-дистрибутивности, то свойства квазирадо-новости и радоновости (а также квазирегулярности и регулярности) эквивалентны. Теорема 1.2.6 является обобщением теоремы Улама о том, что любая борелевская мера на польском пространстве радонова (см. [10], гл. I, теорема 3.1).
В параграфе 3 доказана основная теорема об интегральном представлении мажорируемого оператора квазирадоновой мерой.
На вполне регулярном топологическом пространстве X рассмотрим векторную решетку функций S? С С ь{Х). Слабейшую топологию, в которой непрерывны все функции из if, будем обозначать через 3?{). Если 3?(3?) совпадает с исходной топологией ЗГх на X. то говорят, что S? порождает топологию S?x Теорема 1.3.1. Пусть векторная решетка. У С С ь(Х) содержит, единичную функцию 1\ и порождает, типологию &х Для мажорируемого оператора Т : Л? —» У существует, единственная квазирадонова о -аддитивная мера и : 3\ — У. удовлетворяющая условию Tf = ffcl,i (feSf) тогда и только тюгда, когда \Т\(1Х) = У{М\т\9 ge ,g хк} к є хх\ Далее доказывается теорема о продолжении квазирадоновой меры с плотной алгебры на борелевскую сг-алгебру.
Алгебра С2 называется плотной, если выполняются условия:
(а) для любого V Є д/ П & существует функция у? Є S(s ) П Сь(Х) такая, что V = {х Є X : ір(х) 0};
(б) векторная решетка f — S(s/) П Сь(Х) порождает 3?х Теорема 1.3.2. Пусть квазирадонова а-аддитивная мера ц$ : #/- У определена на плотной алгебре я/ = 21(.5 П sf). Тогда существует единственная квазирадонова а -аддитивная мера и : 5&х — Y, продолжающая /J.Q.
Это векторный вариант теоремы Прохорова для квазирадоновых мер (для скалярных радоновых мер ее доказательство имеется в [10], гл. I, теорема 3.4). По-видимому, в такой формулировке она ранее не встречалась в известной автору литературе. Обычно в таких теоремах о продолжении -аддитивных мер со значениями в упорядоченном пространстве предполагается выполнение в пространстве образов закона слабой (ег, оо)-дистрибутивности или слабой ег-дистрибутивности (см. [90, 96, 111]). На самом деле свойство слабой а-дистрибутивности А"-пространства F необходимо для того, чтобы можно было продолжить любую положительную а-аддитивную F-значную меру с произвольной алгебры множеств на порожденную сг-алгебру. В этом случае продолжение осуществляется классическим методом Каратеодори. В теореме 1.3.2 продолжение меры //.о методом Каратеодори невозможно. Теоремы 1.3.1 и 1.3.2 являются основным инструментом для всего дальнейшего изложения. Более ранние варианты этих теорем имеются в [115. 116].
В следствиях 1.3.2, 1.3.3 и 1.3.4 приводятся некоторые классы квазирадоновых мер. Примеры, построенные в леммах 1.3.1 и 1.3.2, показывают, что все условия, налагаемые на меры в теореме о продолжении 1.3.2, являются существенными.
Следующая теорема является модификацией теоремы о представлении 1.3.1 на случай, когда решетка функций не содержит единицы.
Теорема 1.3.3. Пусть топологическое пространство X локально компактно и мажорируемый оператор Ф : Cq(X) — Y удовлетворяет неравенству ф(/) ьц/Hoo (/ є Со(х)+) при некотором Ь Є F+. Тогда существует, единственная квазирадо-нова а -аддитивная мера и : 8х — У такая, что 4f)=Jfdu (feCo(X)).
Теорема 1.3.3 необходима в главе II для построения решений векторной проблемы моментов Гамбургера (теорема П.2.3), а также при доказательстве мажорантного аналога теоремы Бохнера (теорема II.3.4).
В параграфе 4 строится тензорное произведение двух квазирадоновых мер.
Теорема 1.4.2. Пусть X и Xі — полные по Чеху топологические пространства и j.i : 3х У, [ х1 — У — квазирадоновы а-аддитивные меры. Тогда существует их произведение и 0 // : 42 — Z, являющееся квазирадоновой а-аддитивной мерой. Для вектврных вариаций справедливо неравенство \ и Zu \ U tG-/ l- Если умножения х и о связаны, кросс-равенством, т.о \и (?) и \ = \и\ О \и \.
Произведение борелевских мер на локально компактных пространствах, принимающих значения в монотонно полном упорядоченном векторном пространстве, построено в [113]. Для А"-пространств этот 1-1 результат содержится в теореме 1.4.2. Теорема 1.4.2 дает, в частности, существование тензорного произведения банаховозначных мер ограниченной вариации (см. [65, 66, 82]).
Затем определяется интеграл от векторнозначной функции по век- торной мере. Для корректности такого определения небходимо требо вать, чтобы интегрируемая функция была (г)-пределом ступенчатых векторнозначных функций.
Доказывается один вариант теоремы Фубини.
Обозначим через Ш{Х х Xі) пространство вещественных функций на А х А , являющихся равномерными пределами функций ЛнаХх п Xі. представимых в виде h = д%д\, где gi : X — R и д : Xі — R — ограниченные измеримые по Борелю функции. Теорема 1.4.3. Пусть h Є Jt{X х X ). Тогда Jhdfie ЩХ, У), f h dfi Є ЩX, У) и j(Jhdfi)x dfi = J h d(n /0 = J dn (jh dfj, ).
Класс функций Ш(Х x Xі) не очень широк, но когда пространства Аг и X компактны, имеем место включение С(Х х А ) С {Х х А" ). Пример 1.4.4 показывает, что теорема Фубини для произвольных ограниченных измеримых функций не верна.
Теорема 1.4.3 используется в главе II при доказательстве векторной теоремы Бохнера (теорема П.3.4).
Все результаты первой главы получены в [115, 116, 117] в соавторстве с А. Г. Кураевым. а также в [124]. Они изложены в обзорной статье [121]. Часть результатов этой главы включена также в монографию [84].
1Г)
В главе II рассматриваются некоторые применения квазирадоновых мер. В параграфе 1 строится проективный предел согласованной последовательности квазирадоновых мер //„, заданных на полных по Чеху пространствах Хп (п Є N).
Теорема II. 1.1. Для любой согласованной последовательности квазирадоновых и -аддитивных мер ип : 38 п — У (п Є N) существует проективный предел a = lim//n, являющийся единст.венной квазирегулярной мерой из 3оо в У, для которой /і„ = /і о тт 1 (п Є N).
Как оказалось, в случае, когда на А -пространстве F не выполняется закон слабой ( т, оо)-дистрибутивности, проективный предел не обязательно будет квазирадоновой мерой (тем не менее, свойство т-аддитивности проективного предела сохраняется). Этот факт является главной отличительной особенностью теории квазирадоновых мер.
В отличие от проективных пределов последовательностей мер при изучении проективных пределов несчетных направленностей мер возникают существенные трудности. Например, даже если все отображения 7rf : Хр — Ха (а,/3 Є А: а в) являются отображениями «на», отображения 7га : Х - Ха не обязаны быть таковыми (см. [108]). Если все пространства Ха компактны, то таких патологий не возникает.
Теорема И.1.3. Пуст.ь даны система LYa,7rf ) , в которой \ Ja,/3eA все Ха компактны, и согласованная направленность квазирадоновых мер ца : 3 а — У {а Є -4). Тогда существует, проективный предел и = lim //.Q, являющийся единст.венной квазирадоновой мерой из 38 в У, для кот.орой ра = и о тг"1 (cv Є А).
Эта теорема усиливает результат Ю. Ричана, полученный для положительных мер со значениями в пространстве, на которой выполняется закон слабой счетной дистрибутивности (см. [96]. теорему 2.5).
J С
Далее строится бесконечное произведение квазирадоновых мер. В теореме II.1.5, являющейся следствием теоремы П.1.1, утверждается существование бесконечного произведения. В следствии П. 1.2 этот факт формулируется для бесконечного произведения спектральных мер.
Теорема П.1.6. Для К-пространства F с фиксированной порядковой единицей 1 следующие условия эквивалентны:
3. на F выполняется закон слабой (сг, оо)-дистрибутивности;
4. для любых о-полного К -нормированного пространства Y с F-значной нормой, сист.емы \Хп, 7г"+1) полных по Чеху топологических пространств и согласованной последовательности квазирадоновых о -аддитивных мер р.п : 38п — У их проективный предел lim /хп является квазирадоновой мерой на 38 ;
для любой последовательности локально компактных пространств (Zn)„GN и любой последовательности квазирадоновых спек тральных мер \п : 3?п — F их бесконечное произведение (g Л„. явля-ется квазирадоновой мерой на 38 .
Эта теорема показывает, что отсутствие квазирадоновости у бесконечного произведения квазирадоновых F-значных мер характеризует /(. -пространства F, на которых не выполнен закон слабой ( т, оо)-дистрибутивности.
Аналогичную характеристику имеют А -пространства. на которых не выполнен закон слабой сг-дистрибутивности.
Теорема П.1.7. Пуст.ъ В — о-полная булева алгебра. Следующие условия эквивалентны:
6. ма В выполняется закон слабой о-дистрибутивности;
7. для любой последовательности спектральных мер Л„ : . — В
бесконечное произведение Л„ является квазирадоновой спектраль-ной мерой на борелевской а-алгебре прост.ранст.ва RN.
Известно, что свойства слабой (сг, оо)-дистрибутивности и слабой о -дистрибутивности /і -пространства F эквивалентны свойствам продолжения мер и линейных отображений. Точнее, слабая а-дистрибутивность эквивалентна тому, что любая сг-аддитивная F-значная мера продолжается с любой алгебры множеств на порожденную сг-алгебру. Сооответственно. любой положительный секвенциально непрерывный линейный оператор, принииающий значения в F, продолжается с массивной векторной подрещетки некоторого А -пространства на бэров-скую надстройку. Свойство слабой (сг. оо)-дистрибутивности ответственно за то, чтобы было возможным дальнейшее продолжение на борелевскую сг-алгебру или борелевскую надстройку. Эти результаты получены в серии работ [23, 77, 88, 90, 95, 109, ПО, 111, 114]. Свойства, близкие к свойству слабой сг-дистрибутивности, изучались И. И. Ша-маевым [59, 60]. Продолжение мажорируемых операторов с векторной подрешетки на борелевскую надстройку получено в [115] (теорема 1.3.3) и в [36] (теорема 4.5.1). Теоремы II. 1.6 и П.1.7 добавляют к этому списку еще один критерий слабой сг-дистрибутивности (слабой (а, ос)-дистрибутивности).
Топологическое пространство называют радоновым, если в нем любая борелевская (вещественно-значная) мера является радоновой (см. [99]. часть II, определение 8). Например, пространство R является радоновым. Из общих свойств таких пространств следует в частности, что счетное произведение метризуемых радоновых пространств есть радоново пространство (см. обзор [72]. стр. 63. свойство (d)). Если по аналогии мы попытаемся ввести понятие квазирадонового пространства, то далеко не все привычные свойства радоновых пространств переносятся на квазирадоновы пространства (например, про странство R не будет квазирадоиовым). В частности из теорем П.1.6 и II. 1.7 следует, что класс квазирадоновых пространств существенно уже класса радоновых пространств. Тем не менее, пространство R, а также любое (Т-компактное метрическое пространство является квазирадоновым.
Неквазирадоновы произведения спектральных мер применяются далее в доказательстве теоремы фон Неймана о функциях от элементов произвольного / -пространства.
Теорема ІІ.1.11. Для любого Ка-простуанст.ва F с порядковой единицей и любой последовательности {хп)пе . элементов из F существуют элемент х Є F и последовательность функций (fn)neN т.акие, что хп = fn{x) (п Є N).
Классическая теорема фон Неймана [89] получается следствием этой теоремы, т. к. любая последовательность коммутирующих операторов в гильбертовом пространстве порождает коммутативную алгебру фон Неймана, являющуюся Л -простраиством относительно естественного порядка в пространстве операторов.
Теорема II.1.12 сводит проверку закона слабой "-дистрибутивности произвольного Ка-пространства к проверке этого закона в некоторых пространствах функций вещественного переменного.
Результаты этого параграфа опубликованы в двух работах [116, 117] в соавторстве с А. Г. Кусраевым. а также в [122]. Более ранняя версия имеется в [115].
В параграфе 2 изучается векторная проблема моментов. Классическая задача о нахождении борелевекой меры по известной момент-ной последовательности (именуемая проблемой моментов (см., например. [4, 23. 27])). продолжает привлекать внимание и в настоящее время. Об этом свидетельствуют недавние публикации [67, 97. 98].
Одно из интересных обобщений указанной задачи связано с рассмотрением векторной или операторной моментной последовательности [6, 13, 26, 47, 97, 98, 100, 105].
Легко видеть, что понятие позитивной последовательности можно сформулировать и для последовательности векторов из упорядоченного пространства. Основная идея состоит в том, что в этом же духе можно дать понятие мажорируемой последовательности векторов из решеточно нормированного пространства. Здесь рассматривается следующая векторная постановка: по заданной последовательности ІУк)Т=о из решеточно-нормированного пространства У требуется найти F-значную борелевскую меру на R, для которой k-ft момент совпадает с ук, к Є Z+ — {0,1, 2,...}. Стоит особо выделить два частных случая векторной проблемы моментов, в которых Y является пространством Канторовича.
Пусть Т — самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве (не обязательно ограниченный). Требуется отыскать спектральную меру //, для которой Тк = j \к fi(d\) (kZ+).
R
Как видно, это переформулировка задачи о спектральном разложении.
Пусть теперь {ук)] -о — последовательность случайных величин на вероятностном пространстве (Q.S.P). Требуется найти случайную меру (fu)UQ на борелевской ст-алгебре . такую, что равенства R выполняются для почти всех jj Є П. Под случайной мерой понимается семейство счетно-аддитивных мер (//w) gq. для которого отображение //(.)(#) : i- fL-{B) ( Є О) измеримо для любого В Є - р. Случай ной мере (//ы)ып однозначно соответствует векторная мера /і, определяемая тем условием, что f(E) — класс эквивалентности измеримой функции //(.)(51).
Сначала эта задача решается для наиболее простого случая — проблемы моментов Хаусдорфа. Вводится понятие мажорируемости по Хаусдорфу.
Последовательность векторов (yk)T-i из У называется мажорируемой по Хаусдорфу, если существует последовательность (s ) _0 Q F такая, что E(-i) cJy +/ (-i) cJ A+, (щі Z+).
4-=0 Л:=0
Теорема II.2.1. Для данной последовательности (г/ )ь=о из Y СУ ществует. единственная борелевская мера а : [0,1] — У ограниченной векторной вариации, удовлетворяющая равенствам і yk = f\ku(d\) (fcGZ+) о тогда и только тюгда, когда последовательность (ук)Т=о мажорируема по Хаусдорфу.
Определение мажорируемости по Хаусдорфу было предложено А. Г. Кусраевым. Теорема II.2.1 получена в совместной работе [118].
В случае, когда Y = F и F является / -пространством со свойством слабой сг-дистрибутивности, аналог теоремы II.2.1 был недавно получен в [67]. Свойство слабой а-дистрибутивности, а также свойство секвенциальной о-компактности порядковых интервалов, требуются в [67] для доказательства векторного варианта теоремы Хелли. Наш подход, использующий теорему 1.3.1. позволяет снять эти ограничения на пространство F. Следует еще отметить, что в теореме П.2.1 но считать теорему II.2.1 усилением основного результата (теоремы 4) из [67].
Затем решается проблема моментов Гамбургера для позитивной последовательности из / -пространства F.
Последовательность (s jt)L0 из F называется позитивной по Гамбургеру, если Ё 8k+i(rkai О (Ы=о С R, п Є Z+).
к,1=0
Здесь возникают некоторые сложности. Во-первых, поскольку F не /і -пространство, нельзя применять теорему Канторовича о продолжении положительного оператора. Во вторых, из за того, что решение проблемы моментов Гамбургера может быть неоднозначным, возникает проблема «склеивания» некоторого семейства решений скалярных задач в одно решение векторной задачи. Поэтому сначала рассмотрено решение более простого случая — проблемы моментов Гамбургера в А -пространстве без анализа случаев неоднозначной разрешимости. Оказалось, что метод доказательства, предложенный в [23], может быть реализован и в векторном случае.
Теорема П.2.2. Пусть F является К -пространством. Для данной последовательности (s .-o из F существует, положительная борелевская мера и : &-ц —» F такая, что sk = fukfi{du) (A-GZ+), тогда и, только т.огда. когда последоват.ельност.ь ($h)fLu позитивна по Гамбургеру.
При переходе от Л -пространства к А -пространству F теорема П.2.2 остается верной, но прежнее ее доказательство теряет силу. Можно, конечно, вместо теоремы Канторовича применить для построения меры теорему Хелли (см. [4, 67]). Но в этом случае необходимо выполнение на пространстве F закона слабой сг-дистрибутивности, что для нас нежелательно.
После ряда подготовительных лемм (леммы II.2.1 - П.2.4) дается полное решение проблемы моментов в произвольном Ка-пространстве.
Для комплексного числа Л по формулам (2.4)-(2.8) определяются центр С Є F и радиус R Є F векторного круга Вейля—Гамбургера К(Х). Одна из идей, дающих решение задачи, состоит в том, параметры круга Вейля—Гамбургера задаются здесь не через ортогональные полиномы (см. [4]), а через величины, более удобные для задач в упорядоченных векторных пространствах.
Другая идея состоит в том, что удалось найти подходящий аналог теоремы Канторовича о тотальном продолжении положительного линейного оператора. Именно, специфика задачи позволяет усилить свойство линейности продолжаемого оператора. В результате чего решается вспомогательная задача о продолжении линейного отображения, действующим в модуле над некоторым, специально построенным кольцом.
Обозначим через sjf проекцию последовательности Sk на компоненту {i?}rfd, а через sj? на компоненту {Я}(1- дополнительную к {R}dd. Заметим, что для позитивной последовательности (.sj.)l0 все ее элементы лежат в компоненте {so}dd В {so}dd можно однозначно ввести частичную операцию умножения, взяв $ц в качестве единицы. Рассмотрим миноры
0-1 = 0, 9п
«о 1 Si
Sn
5 гі+і
(neZ+)
Ч„ .S„+ . . . H-in
i:\
Легко видеть, что п Є F и {&n i)dd Э {&п} (п = 1,2,...). Обозначим через 7ГП оператор проектирования на компоненту {@n_i}ddn{% n}d.
Теорема II.2.3. Для позитивной последовательности (б ) _0 и комплексного числа А Є С \ R определим по формулам (2.3)—(2.9) оператор U, векторы С, R и круг К00(Х). Тогда имеют место следующие утверждения.
1. Для любого w К,7Л(\) существует такая положительная мера [L : 3yi - F, являющаяся решением проблемы моментов для (s q, что
= ll -x du) w I \
ки Х
Обратно, для любого решения и : . — F этой проблемы моментов вектор w принадлежит К ІХ).
2. В любой ненулевой главной компоненте Е С {R}dd решение про блемы моментов для проекций sjf на Е не единственно.
3. В компоненте {R}d проблема моментюв для проекций (s ) Lq имеет, единственное решение Uq : 38ц — F.
4. Справедливо равенство 7Tq о yi = 0 и для, любого п 1 выполняется {@n-\}dd С\ {S nY С {R}d, при этом мера пп о//.() представляется суммой п дизъюнктных спектральных мер. Если имеются два различных представления
п т
Е
(п) чг- (т)
Mi = L v)
в виде суммы дизъюнктных спектральных мер (//" )"=1 и (vj )1jL.l. то т = п и существует, такая мат,рица порядковых проекторов {Щз)1}=1, что
TTij о тг/jt = 0, TTji о пИ = 0 {j фк).
Е nij = Е ji = тг»м к = Е Kij / У (/ = і,2,...,»).
При решении скалярной проблемы моментов вырожденные случаи обычно не рассматриваются, но решение вырожденной векторной проблемы моментов уже имеет интерес. Например, хорошо известная в теории упорядоченных пространств теорема Фрейденталя ([14], теорема IV.10.1) является частным случаем одной из таких вырожденных проблем моментов Гамбургера.
Далее, дается определение мажорируемой последовательности по Гамбургеру и доказывается, что такая последовательность представляется квазирадоновой мерой. Для получения этого результата необходимо наложить на моментную последовательность кроме условия мажорируемое еще одно дополнительное условие (условие Харди). Это условие обеспечивает плотность пространства полиномов и гарантирует единственность решения.
Теорема II.2.4. Пусть в секвенциально о-полном решеточно нормированном пространстве (У, , F) с нормирующем Ка-пространством F дана последовательность (yk)kLo- Допустим, что последовательность (s.)l0 С F удовлетворяет условиям
Е Ук+ік гі\ Е sk+lak J k)f=0 С R, п Є Z+)
,/=0 k, /=0
и при некотором а є R. a 0, в Ка-пространстве F сходится положительный ряд
w- (223)
Тогда существует, такая борелевская мера ft : . — Y ограниченной векторной вариации, что
yk. = J\kMdX) (keZ+).
Если //j - еще одно решение данной проблемы, моментов и еаХ Ii(//i), т.о щ = и.
Решается также проблема моментов Гамбургера в монотонно полном частично упорядоченном пространстве, не являющемся векторной решеткой.
Теорема II.2.5. Пуст.ь Y — монотонно полное частично упорядоченное векторное пространство. Пусть (s Lq С Y — позитивная по Гамбургеру последовательность, для которой при некотором а О сходится ряд (2.23). Тогда существует единственная положительная борелевская мера v : (R) - F такая, что
sk = J\kv{d\) (keZ+). к
Известно, что пространство всех ограниченных самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве относительно естественного упорядочения монотонно полно (см. [47]). Поэтому мы получаем отсюда разрешимость проблемы моментов Гамбургера для позитивной последовательности операторов в гильбертовом пространстве (теорема С. Надя [105]).
Теоремы II.2.2—П.2.5 опубликованы в трех работах автора [123. 124, 125].
Параграф 3 посвящен векторнозначной теореме Бохнера. Вводится понятие положительно определенного отображения, заданного на группе и принимающего значения в комплексном Л -пространстве Fc = F + iF.
Отображение Ф : G — Fc называется положительно определенным, если все элементы вида
Е Cjckt{gjlgk) j,k=i
принадлежат F+ для любых п Є N, (j\.. . . .у,, Є G, С\,.. ., сп Є С.
Такого рода определение для самосопряженных операторов, дей-свующих в гильбертовом пространстве, уже встречалось у Г. Такеути [106], М. А. Наймарка [40] и М. Кристенсена [61].
Далее дается новое определение мажорируемого отображения группы G в решеточно нормированное пространство У (линейное над полем С).
Определение ІІ.3.2. Отображение : G — У называется мажорируемым, если существует положительно определенное отображение ф : G — Fc такое, что
Е CjW(9jl9k)\ Е Чскф{д]1дк)
для любых п Є N, i,... ,дп Є G, С\,..., сп Є С. В этом случае говорим, что ф является мажорантой для р.
Определение мажорируемого отображения дает аксиоматическое (внутреннее) описание важного класса функций 9t(G) (см. [58], теорема 32.10).
В теореме II.3.1 доказано необходимое в дальнейшем неравенство для мажорируемых отображений и установлена его неулучшаемость в случае, если группа G неабелева. Для абелевых групп это неравент-сво можно улучшить и в результате получается мажорантный аналог неравенства Кош и —- Буняковского — Шварца.
Теорема II.3.2. Пусть G — абелева группа и отображение (р : G — У имеет мажоранту ф : G — Fc- Тогда для любых п Є N, (/],... ,gn (Е G. С\ с„, f/i,. . . , dn Є С справедливы следующие нера венства
п I2 ( " - \ / " А
Е Cjdk4 {9k-9j)\ Е CjCkHgk-gj))[ ]Г djd {gk - gj)J.
I " I2 / " \
cM9j)\ (0) f ЧСкф{дк - gj)).
V=i Kj,k=i J
Эти неравенства являются ключевыми в доказательстве основного « результата.
Теорема II.3.4. Для отображения р : G —» У следующие условия эквивалентны:
1. с имеет, о-непрерывную (в нуле) мажоранту,
2. существует единственная квазирадонова о-аддит,ивная мера ц : &х — У такая, что
(9) = fх(дМ х) (дев).
Квазирадоновы меры, в отличие от радоновых мер, обладают некоторыми «неправильными» свойствами. Как отмечалось ранее, они не продолжаются классическим методом Каратеодори. Кроме этого, свойство квазирадоновости теряется при переходе к бесконечным проективным пределам и произведениям. Тем не менее, теорема II.3.4 в какой то мере оправдывает этот класс мер. т. к. из нее следует, что пространство F-qca(. x,y) все квазирадоновых сг-аддитивных мер из 38\ в У изоморфно пространству .#0(G, Fq) всех мажорируемых порядково непрерывных отображений из двойственной группы G в У (см. следствие П.3.2)
Частным случаем теоремы II.3.4 является
Теорема II.3.5. Для отображения -ф : G — Fq эквивалентны следующие утверждения:
(1) г положительно определено и о-непреры.вно в нуле:
(2) существует единственная положттельная квазирадонова, мера,
v Є bca( x, F) такая, что
Ф(д) = J x(g)"(dx) (geG).
x
Для положительно определенных отображений, принимающих значения в коммутативной алгебре фон-Неймана эта теорема доказана в [106] методами булевозначного анализа.
Затем для любого мажорируемого билинейного отображения определяется свертка квазирадоновых мер, порожденная этим отображением, и доказывается, что произведение мажорируемых отображений представляется сверткой мер, представляющих каждый сомножитель (теорема П.3.6). Далее для А -пространственных представлений локально компактной абелевой группы доказан аналог теоремы Стоуна (теорема II.3.7). Построено также преобразование Фурье для положительно определенных отображений в монотонно полном частично упорядоченном пространстве (теорема П.3.8). Результаты этого параграфа получены в работе [120] в соавторстве с А. Г. Кусраевым. Неравества для мажорируемых отображений доказаны в [126].
В параграфе 4 рассмотрена задача о лифтинге квазирадоновых мер.
Пусть 7г : X — П - борелевское отображение пространства X на другое локально компактное пространство П. Скажем, что мера /7 Є qca,(&\.Y) является 7г-лифтингом меры //, Є qca( ji.Y), если // = // о 7Г-1. Для скалярных положительных мер определение лифтинга (поднятия) меры можно найти например в [7]. Мажорируемым квазирадоновым лифтингом будем называть пару линейных операторов L : qca(. n-} ") — qca( X- ) и \L\ : qca(/%b F) — qca(. x, F) обладающих следующими свойствами:
3. L// о л-1 = [і. /.і Є qca( n,l"):
4. \L\ v о тг-1 = /л v Є qca( n );
3. \Ьц\ = L//., fi Є qca( n,F);
4. v Є qca(.#n,»(l)) = \L\u Є qca( x,(l)).
Теорема о существовании лифтинга доказана для векторных мер в случае, когда пространство П паракомпактно, а отображение ж непре рывно и открыто. Основная трудность состоит в том, чтобы сохранить в лифтинге свойство квазирадоновости меры.
Множество S С X называем компактным 7г-сечением, если для любого .т Є П множество SC\n l({x}) одноэлементное и для любого компактного множества К С П существует компактное множество К С X такое, что К Э 5 П 7Г_1(Л").
Лемма ІІ.4.1. Если П - локально компактное паракомпактное пространство и непрерывное отображение 7Г : X — П открыто, то в X существует компактное тг-сечение.
Этот результат позволяет построить мажорируемый лифтинг (под нятие) пространства квазирадоновых мер, заданных на борелевской сг-алгебре .. в пространство квазирадоновых мер, заданных на . х Теорема П.4.2. Пусть X, П - локально компактные пространства, причем прост.ранст.во П паракомпактно а от.ображение п : X — П непрерывно и открытю. Тогда для пары пространств X, П существуют, мажорируемый квазирадоновый ж-лифт,инг
L : qca( n!Yr) - qca( x, ),
\L\ : qca( n,F) —У qca( x, ) Это] результат получается из теоремы о существовании линейного » мажорируемого оператора одновременного продолжения мер (теорема
Н.4.1). В качестве следствия построен линейный оператор одновременного продолжени мажорируемых отображений с замкнутой подгруппы локально компактной абелевой группы на всю группу.
Теорема II.4.3. Существуют линейные отображения І, : .Ж0(Н,У) — Z0(G,Y) и \l\ : M0(H,F) — C0(G,F), обладающие следующими свойствами:
1. ltp(g) = (p(g) (дЄН, рЄ 0(H,Y))]
2. \1\ф(д) = ф(д) (деН, фе 0(H,F);
3. М = СІМ ( ЄД,(Я,У));
4. если ф : Н — F - унитарное представление подгруппы, Н, то Іф — унитарное представление группы G.
Первоначальной мотивировкой этой теоремы служила теорема А. Г. Кусраева [30] (теорема 2) о существовании оператора одновременного продолжения в А"-пространстве регулярных операторов. В этой теореме утверждается, что для любой массивной подрешетки L векторной решетки Е существует порядково непрерывный алгебраический и решеточный изоморфизм S, действующий из Jfr(L,F) в 3fr(E,F), такой, что [L] о S = id F) (здесь [L]—оператор сужения на подпространство L. [Ь]А = А\ , А Є 3fr{E, F)). В [119] методами бу-левозначного анализа получена теорема о существовании линейного оператора одновременного продолжения в пространстве мер ограниченной векторной вариации. Попытка получить подобный результат для мажорируемых операторов к успеху не приводит. Тем не менее теорему II.4.3 можно считать некоторым мажорантным аналогом теоремы 2 из [30].
Теорема о продолжении унитарного представления локально компактной абелевой группы в гильбертовом пространстве была получена в [106] из известного факта о продолжении характеров с помощью булевозначного принципа переноса. Теорема о продолжении положительно определенного отображения имеется в [38. 34.48(c)].
Результаты этого параграфа опубликованы в [119, 127, 128]. Работа [119] написана в соавторстве с А. Г. Кусраевым.
Введение ко второй части
В главах III и IV рассмотрены некоторые задачи теории кодирования. Важную роль в теории кодирования играют совершенные двоичные коды. Двоичным кодом длины п обычно называют подмножество С векторов из линейного пространства {0,1} над полем Галуа GF(2) (пространство {0,1}" называют также двоичным кубом). Для вектора u Є {0,1}" множество его ненулевых координат называем носителем этого вектора и обозначаем через [и]. Число элементов в [и] называем весом вектора и. Векторы, принадлежащие коду С, называются кодовыми словами. Расстояние Хемминга с?(х,у) между векторами х Є {0,1}п и у Є {0,1}" — это число координат, в которых эти векторы различаются. Наименьшее расстояние d между двумя кодовыми словами называется минимальным кодовым расстоянием. Код С с минимальным кодовым расстоянием d называется совершенным, если для любого векторах Є {0,1}" существует единственное кодовое слово у Є {0,1}" такое, что rf(x,y) (d — 1)/2 (параметр е = (с/— 1)/2 обычно связывают с числом ошибок, которые исправляет данный код). В [16, 17, 107] доказано, что нетривиальные совершенные двоичные коды существуют при г/ = 3, а также при с/ = 7 и п — 23 (код Голея).
Далее рассматриваются совершенные двоичные коды с минимальным расстоянием 3. Известно, что такие коды существуют лишь при п = 2к — 1, где к Є N. Код называется линейным, если его слова образую! линейное подпространство. Линейные совершенные коды с минимальным расстоянием 3 называются кодами Хемминга. Су щсствует единственный, с точностью до перестановки координат, код Хемминга длины п, который далее обозначается через Нп. Известны также нелинейные совершенные коды с параметрами кода Хемминга. Число совершенных кодов длины п и кодовым расстоянием 3 обозначим через F(n). Ю. Л. Васильевым [11, 102] была получена следующая оценка:
log2 F(n) 2 - +1) + 2 - +1).
Более высокая оценка получена в [2]:
log2 F[n) 2 -1о ("+1) + log2 6 2 -log n+1).
В параграфе 2 главы III доказывается следующщая:
Теорема III.2.1. При любом п = 2к — 1, к Є N,
log2F(n) 2 -ios n+1) + 2 .
Эта теорема опубликована в работе [130].
Позднее, используя конструкцию К. Т. Фелпса [92], Д. С. Кротовым [28] эта оценка была немного улучшена.
log2 F(n) 2 -l0 +1) + log2 3-2 + 2 - +1).
Важную роль в изучении совершенных кодов играет группа перестановочных автоморфизмов кода Хемминга Sym(Hn). состоящая из всех перестановок координат, оставляющих неподвижным код Нп. В данной работе в качестве основы изучения свойств нелинейных кодов взят метод орбит. А. А. Евдокимов впервые обратил внимание автора на обзорную работу [29], в которой перечислены орбиты булевых функций относительно афинных преобразования булева куба. Остановимся на этом более подробно. Множество всех векторов пространства {0.1}" при действии перестановок из группы Syin(//"") разбивается па непересекающиеся орбиты. В параграфе 3 перечислены все такие орбиты векторов веса не больше семи. Нелинейные коды обычно строятся путем некоторых преобразований кода Хемминга Нп. Поэтому свойства получаемых кодов сильно зависят от свойств группы автоморфизмов Sym(i7n), многие из этих свойств можно получить, изучая представители различных орбит. Метод орбит является достаточно тонким инструментом. Например, этим методом доказана хорошо известная в теории групп теорема Силова о числе примарных подгрупп конечной группы. Метод орбит применялся в [38] для доказательства единственности кода Голея.
С помощью орбитного подхода решены три задачи: (1) задача перечисления кодов длины 15; (2) в терминах орбит получен критерий несистематичности совершенного двоичного кода; (3) получена нетривиальная верхняя оценка порядка группы автоморфизмов нелинейного кода (этот результат на защиту не выносится, см. [53, 54] и работу диссертанта "О порядке грз ппы автоморфизмов совершенных двоичных кодов" Дискрет, анализ и исслед. операций. Серия 1. 2000. Т. 7, N. 4. С. 91-100).
В параграфе 4 решается первая из перечисленных задач. Для этого требуется разложить на орбиты конкретное пространство {0,1}15, состоящее из 215 векторов.
В коде Хемминга Нп рассматривается подпространство Rj. порожденное всеми векторами и веса 3 с г -й координатой, равной единице (носители таких векторов называют кодовыми тройками, или тройками Штейнера). Всевозможные смежные классы вида Rf = fl;9u (и Є Нп) представляют собой совокупность всех /-компонент кода Хемминга Нп. / = 1...., п. Нелинейные коды можно получать из кода Хемминга Нп. сдвигая в нем попарно непересекающиеся компоненты Я" (/ = 1,....15: и Є Нп). Важную роль здесь играет следующая лемма, которая справедлива только для кодов длины 15.
Лемма III.4.1. Если тройка {i,j,k} является кодовой в Н1Ъ, то для любых векторов u,v,w Є Н15 среди компонент Щ, Щ, Щ найдутся две с непустым пересечением.
Поэтому необходимо перечислить все орбиты, представители которых не содержат кодовых троек (лемма III.4.2). Теперь для описания нелинейных кодов небходимо перечислить все наборы из попарно непересекающихся компонент. Таких наборов, в силу запрета, налагаемого леммой III.4.2, остается не так много. Оказалось, что все такие коды разбиваются на пять групп. Первая группа — это коды Васильева, которые здесь называются (1 х 1б)-кодами. Далее идут (2 х 8)-коды, (4 х 4)-коды, (8 х 2)-коды и (5 х 2)-коды. (k х /)-код характеризуется следующим образом. Рассмотрим множество индексов / С {1,..., 15}, число элементов в котором равно одному из чисел 1, 2, 4, 5, 8. При этом, если / = {г і, г г, г з, ц}, то і\ ф г2 Ф г з Ф г 4Ф = 0; если I = {і\,І2іЧ,Ч,ч}, то ііФг гФг зФчФі бФ = 0; если / = {г ь... ,г8}, то дополнение к / является плоскостью Фано (т. е. из /, j . I следует г 9 j . I). Эти условия означают, что множество I является носителем некоторого вектора из соответствующей орбиты, на которые разбивается пространство {0,1}15. Для любого множества индексов /, удовлетворяющего вышеуказанным ограничениям и число элементов к в котором равно одному из чисел 1, 2, 4, 8, существует разбиение кода Хемминга І715 на /-компоненты, в котором для каждого і Є I имеется I = 16/к непересекающихся /-компонент. Это разбиение названо (к х /)-разбиением. Кроме этого, для любого пятиэлементного множества /. с вышеуказанным ограничением, существует тупиковый набор из десяти непересекающихся /-компонент, в котором для каждого і Є I имеется две /-компоненты. Назовем (к х /)-кодом любой код.
получаемый из кода Хемминга Н сдвигами некоторого семейства г-компонент, являющегося частью, либо некоторого (к х -разбиения, либо некоторого тупикового набора из десяти компонент.
Итогом классификации является следующая
Теорема III.4.2. Любой совершеный код С, полученный из кода Хемминга Н сдвигами его непересекающихся компонент, является {к х I)-кодом, где (к х /) может принимать следующие значения: (1 х 16), (2x8), (4x4), (8x2), (5x2). Число различных совершенных кодов, получаемых таким способом, равно 131224 492, и среди них в {0,1} имеется 676 линейных кодов и их смежных классов.
Результаты по перечислению совершенных кодов длины 15 опубликованы в [129, 131].
Были также построены новые разбиения на непересекающиеся компоненты кода Хемминга любой длины п 15, см. [39].
В главе IV изучаются несистематические коды. Совершенный код С длины п = 2к — 1 называется систематическим, если множество всех координат векторов и Є С можно разбить на множество из п — к информационных координат мг, ... щп_к и множество из к проверочных координат u-in_k+l щп, которые являются функциями от информационных координат, т. е. щп_к+1 = /i(«in . -. ,w,-n_J, , Щп = /jk(wt n iui„-k)- В противном случае код С называется несистематическим. Хорошо известно, что код Хемминга Нп является систематическим (см. [38]). Все коды Васильева тоже являются систематическими. Используя этот факт. Ф. Хергерт [73] перечислил все неэквивалентные коды Васильева длины 15. Свойство систематичности применялось в [68] для построения дважды совершенных кодов. Поэтому возник вопрос о существовании несистематических кодов (см. [74]).
Несистематические совершенные двоичные коды любой длины п = 2к — 1 (к 8) впервые были построены С. В. Августиновичем и Ф. И. Соловьевой [1]. М. Ли-Ван и К. Т. Фелпс [94] предложили модификацию конструкции из [1], которая позволяет строить такие коды для всех п 31. Несистематические коды длины п = 15 и п = 31 были найдены в [94] с помощью компьютера. В [49] дана теоретическая конструкция двух неэквивалентных несистематических кодов длины 15.
Для любого кода С длины п можно построить расширенный код С длины п + 1, добавляя к векторам кода С проверку на четность в качестве нулевой координаты. Обратно, если дан расширенный код С, то для любого і — О,..., тг, вычеркивая г -ю координату во всех векторах кода С, можно получить обычный код С1.
Определение IV.2.1. Расширенный код С длины тг = 2к называется систематическим, если существует (к + 1)-элементное подмножество номеров Л" С {0,... , тг} такое, что для любых двух различных векторов u,v Є С носитель их суммы [ифу] не лежит в К. В противном случае расширенный код С называется несистематическим.
Определение IV.2.2. Расширенный код С длины п = 2к называется вполне систематическим, если при любом і Є {0,. .. , п} существует (к + 1)-элементное подмножество К С {0,... . тг} такое, что / Є К и для любых двух различных векторов u, v Є С носитель суммы [и ф v] не лежит в А".
Все рассматриваемые далее коды строятся по следующей схеме. В коде Хемминга Нп выделяется семейство непересекающихся /-компо нент В — (і?"1 /?" "}. Затем в Ни сдвигаются по соответствующим координатам вер компоненты выделенного семейства. Полученное таким способом множество Н"(В) является совершенным кодом.
Обозначим через їв множество всех номеров і таких, что существуют г-компоненты, принадлежащие семейству В. Рассмотрим независимое множество К С {1,..., п}. Положим L(K) = KU((K(BK)\{0}), т. е. в Ь{К) входят все элементы из К и все попарные суммы различных элементов из К. Относительно группы перестановочных автоморфизмов кода Нп векторы и Є {0,1}", носители которых совпадают с некоторым множеством L(K), образуют одну орбиту веса k(k + 1)/2.
Теорема IV.2.1. Пусть для некоторого независимого множества К и семейства В непересекающихся компонент кода Нп множество ІВ является подмножеством множества Ь(К). Тогда код С = Нп(В) является систематическим. Кроме этого, полученный из него расширенный код С является вполне систематическим.
Определение IV.2.3. Говорим, что вектор и Є {0,1}" принадлежит систематической орбите, если существует такой вектор v из максимальной систематической орбиты, что [и] С [v]. В противном случае говорим, что и принадлежит несистематической орбите.
Оказывается, что для любого вектора и из несистематической орбиты существует семейство непересекающихся компонент В такое, что [и] = 1в и код С = Нп(В) является несистематическим. Приведем условия, которым должно удовлетворять семейство В.
(а) Для любого і Є їв существует г -компонента из семейства В, расстояние Хемминга от которой до любой другой г-компоненты семейства больше k + 1.
(ft) При і Є їв множество UB не содержит ни одной г-компоненты. отличной от / -компонент семейства В.
(-/) Для множества Е = Hn\(UB) сумма ЕФ.Е содержит все векторы кода Нп. вес которых не больше к + 1.
(S) Существует такой вектор и из несистематической орбиты, что [и] = 1В.
Теорема IV.2.2. Пусть семейство В непересекающихся {-компонент кода Нп удовлетворяет, условиям (а) — (S). Тогда код С = Нп{В) и полученный из него расширенный код С являются несистематическими.
Таким образом, задача построения несистематических кодов сводится к другой задаче — поиску несистематических орбит пространства {0,1}". Все орбиты веса больше k(k + 1)/2 являются несистематическими. Совершенно неожиданным оказался следующий факт.
Следствие IV.2.1. Все векторы веса меньше 7 принадлежат систематическим орбитам. Для любого п 15 (п = 2к — І) в пространстве {0,1}п существуют, две различные несистематические орбиты веса 7.
Для кодов длины больше 15 все условия (а) — (7) автоматичеки удовлетворяются для семейства #, не содержащего кратных компонент, т. е. для любого индекса і Є їв существует только одна г-компонента, принадлежащая В.
Следовательно, несистематический совершенный код любой допустимой длины п 15 можно получить, если сдвинуть в коде Хеммин-га Нп только семь непересекающихся компонент. Этот результат дает ответ на вопрос, поставленный К. Т. Фелпсом и М. Ли-Ваном в [94].
Найдены все несистематические коды длины 15, которые получаются из кода Н1 сдвигами непересекающихся компонент, и доказано, что получаемые из них расширенные коды являются несистематическими. Раньше несистематичность кодов длины 15 проверялась с помощью компьютера [49. 94].
Рассмотрим семейство непересекающихся г -компонент В из некоторого (8 х 2)-разбиения кода Я15, удовлетворяющее следующим двум условиям:
A. Имеются такие четыре г -компоненты Я"1, Я"2, Я"3, і?"4, непересекающиеся с компонентами семейства В, что множетсво номеров {iiihihiH} является независимым.
B. Множество Is содержит по крайней мере семь элементов.
Теорема IV.3.1. Пусть семейство В непересекающихся {-компонент, из (8 х 2)-разбиения кода Н15 удовлетворяет условиям (А) и (В). Тогда совершенный код С = Н15(В) и полученный из него расширенный код С являют,ся несистематическими. Во всех остальных случаях код С системат.ический, а полученный из него расширенный код С вполне систематический.
Из определения следует, что для любого систематического совершенного кода С построенный из него расширенный код С также будет систематическим. Обратное утверждение неверно. Для любого п = 2к — 1 31 строится пример такого несистематического кода длины п, что полученный из него расширенный код является систематическим (пример IV.4.1). Строится также пример такого система-ческого кода Нп(В), что множество номеров Is сдвигаемых координат семейства непересекающихся компонент В соответствует несистематической орбите (пример IV.4.2). Этот пример оправдывает условия (а)—(5), накладываемые на семейство В при построении несистематических кодов.
в [94] был поставлен следующий вопрос. Верно ли, что в несистематическом коде С для любого /г-элементного множества А имеются такие векторы u,v Є С. что расстояние Хемминга между ними равно 3 и [и р v] С А Пример IV.4.3 дает отрицательный ответ на этот вопрос.
Для совершенного кода С длины п обозначим через ST(C) множество всех таких трехэлементных подмножеств Т С {1,...,га}, что существует пара векторов u, v Є С таких, что [ифу] = Т. Множество ST(C) обычно называется системой троек [1, 94].
Пример IV.4.4 дает ответ на вопрос о минимальном числе троек в несистематическом коде. Оказалось, что если несистематический код С длины га 31, получен из кода Нп сдвигами компонент из семейства В. удовлетворяющего условиям (а) - (6), то минимальное число троек в ST(C) равно tn = (га(га - 1) + 7(га - 1)(га - 3))/6.
Все результаты четвертой главы опубликованы в [132, 133, 134, 135].
Интегральные представления и продолжение мер
Известно, что свойства слабой (а, оо)-дистрибутивности и слабой т-дистри бутив пости -пространства F эквивалентны свойствам продолжения мер и линейных отображений. Точнее, слабая т-дистрибутивность эквивалентна тому, что любая сг-аддитивная F-значная мера продолжается с любой алгебры множеств на порожденную сг-алгебру. Сооотвотственно. любой положительный секвенциально непрерывный линейный оператор, принииающий значения в F, продолжается с массивной векторной подрещетки некоторого / -пространства на бэров-скую надстройку. Свойство слабой (гг. оо)-дистрибутивности ответственно за то, чтобы было возможным дальнейшее продолжение на борелевскую ст-алгебру или борелевскую надстройку. Эти результаты получены в серии работ [23, 77, 88, 90, 95, 109, 110, Ш, 114]. Свойства, близкие к свойству слабой и-дистрибутивности, изучались И. И. Ша-маовым [59. 60]. Продолжение мажорируемых операторов с векторной подрешетки на борелевскую надстройку получено в [115] (теорема 1.3.3) и в [36] (теорема 4.5.1). Теоремы II.1.6 и П.1.7 добавляют к этому списку еще один критерий слабой т-дистрибутивноети (слабой (а, оо) -диет р и бут и в и ости) .
Топологическое пространство называю] радоновым, если в нем любая борелевская (вещественно-значная) мера является радоновой (см. [99]. часть II, определение 8). Например, пространство R является радоновым. Из общих свойств таких пространств следует в частности, что счетное произведение метризуомых радоновых пространств есть радоново пространство (см. обзор [72]. стр. 63. свойство (d)), Если по аналогии мы попытаемся ввести понятие квазирадонового пространства, то далеко не все привычные свойства радоновых пространств переносятся на квазирадоновы пространства (например, про странство R не будет квазирадоновым). В частности из теорем И.1.6 и II. 1.7 следует, что класс квазирадонопых пространств существенно уже класса радоновых пространств. Тем не менее, пространство R, а также любое ст-компактное метрическое пространство является ква-зирадоиовым.
Неквазирадоновы произведения спектральных мер применяются далее в доказательстве теоремы фон Неймана о функциях от элементов произвольного / -пространства. Теорема П.1.11. Для любого Ка-пространства F с порядковой единицей и любой последовательностлі (тп)пЄу(. элементов из F существуют, элемент х Є F и последовательность функций (fn)neN такие, что х„ fn(%) {п Є N). Классическая гГ еорема фон Неймана [89] получается следствием этой теоремы, т. к. любая последовательность коммутирующих операторов в гильбертовом пространстве порождает коммутативную алгебру фон Неймана, являющуюся Л"-пространством относительно естественного порядка в пространстве операторов. Теорема II.1.12 сводит проверку закона, слабой 7-дистрибутивности произвольного / -пространства к проверке этого закона в некоторых пространствах функций вещественного переменного. Результаты этого параграфа опубликованы в двух работах [116,117] в соавторстве с А. Г. Кусраевым. а также в [122]. Более ранняя версия имеется в [115]. В параграфе 2 изучается векторная проблема моментов. Классическая задача о нахождении борелевской меры по известной момент-ной последовательности (именуемая проблемой моментов (см.. например, [4, 23. 27])). продолжает привлекать внимание п в настоящее время. Об этом свидетельствуют недавние публикании [67, 97. 98]. Одно и-з интересных обобщений указанной задачи связано с рассмотрением векторной или операторной моментной последовательности [6, 13, 26, 47, 97, 98, 100, 105]. Легко видеть, что понятие позитивной последовательности можно сформулировать и для последовательности векторов из упорядоченного пространства. Основная идея состоит в том, что в этом же духе можно дать понятие мажорируемой последовательности векторов из решеточно нормированного пространства. Здесь рассматривается следующая векторная постановка: по заданной последовательности (y fLy из решеточно-нормированного пространства У требуется найти У-значную борелевскуго меру на R, для которой к-й момент совпадает с Ук-. к Z+ = {0,1, 2....}. Стоит особо выделить два частных случая векторной проблемы моментов, в которых У является пространством Канторовича. Пусть Т — самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве (не обязательно ограниченный). Требуется отыскать спектральную меру //, для которой
Преобразование Фурье мажорируемых отображений
Пусть {0,1}п - векторное пространство размерности п над полем Галуа GF{2). Сумму векторов u, v Є (0,1}" обозначим через uv. Базисный вектор, в котором і-я координата равна единице, обозначается через е;, а нулевой и единичный векторы через 0 и 1. Для вектора и Є {0,1}" множество его непулевых координат называем носителем этого вектора и обозначаем через [и]. Число элементов в [и] называем весом вектора и. Пусть п. = 2к — 1, к Є N. Множество С С {0, 1}" называется совершенным, кодом длины п с расстоянием 3. если в С имеется 2п к векторов и расстояние Хемминга между любыми двумя векторами из С не меньше 3. Рангом совершенного кода С называется наименьшая размерность таких подпространств L С {0,1 }rt. что С С L Ф и при некотором и Є {0,1}". Совершенный код, являющийся подпространством в {0.1}". называется кодом Хемминга. Рассмотрим следующее представление кода Хемминга. Каждому г — 0... . , п поставим в соответствие вектор {і\,...,ік) Є {0,1} , представляющий число і в двоичной системе счисления. Рассмотрим множество Нп. состоящее из всех векторов и Є {0.1}" таких, что ф{/ і [и]} = 0. Известно, что Н" является кодом Хемминга и любой код Хемминга длины и получается из кода Я некоторой перестановкой координат всех его векторов. Для вектора и веса 3 из кода Я множество [и] называем кодовой тройкой ИЛИ тройкой Штсйпера. Аналогично определяются кодовые четверки, пятерки и т. д.
Сдвигом множества S С {0,1}" по координате і называем множество 5фег-. Подмножество S в совершенном коде С называется {-компонентой этого кода, если множество С [С \ S) U (S ф ег-) является совершенным кодом. Если S\....,Sin - непересекающиеся подмножества кода С такие, что Sp является гр-компонентой кода С для каждого р = I,... , т, то множество является совершенным кодом [92, 2, 48]. В коде Хемминга Я рассматривается подпространство Я;, порожденное всеми векторами и веса 3 с г -й координатой, равной единице. Всевозможные смежные классы вида i?" = Я; фи (и Є Я") представляют собой совокупность всех минимальных по мощности / -компонент кода Хемминга Я", і = 1,.... п. Введем обозначения: Яц = Я,- Ф Rj и Яг-д = Я; Ф Я; Ф Rk- Если множество индексов {г, j. к] является тройкой Штейнера кода Я", то Rj} = Rib = Rjk = Rjjk- В -этом случае множество Яу& является (г. j/, &)-компонеитой, т. е. г-компонеитой, -компонентой и -компонентой, а размерности пространств Яг и Я . равны соответственно (п — 1)/2 и (Зп-5)/4 (см. [2]).
Пусть Sn — группа всех перестановок на множестве {1,...,п} и пусть символом е обозначена тождественная перестановка. Для тг Є 5" и и = «]...?/„ Є {0.1}" полагаем тт(\х) = - Обозначим через Aut({0. 1}") группу всех автоморфизмов пространства {0.1}". т. о. группу всех отображений AZ : {0,1}" -) {0,1}" вида -4 {и) = тг(и) ф v (и Є {0.1}") для некоторых 7Г Є 5". V Є {0,1}". Если С - совершенный код длины га, то подгруппа Aut(C) всех таких автоморфизмов А Є Aut({0,l}"), что А{С) С, называется группой автоморфизмов кода С В Aut(C) рассматриваются также две подгруппы: группа перестановочных автоморфизмов Sym(C) = {Ап тг(С ) = С} и ядро кода Кег(С) - {AJ С v = С}. Для кода і?" группа Aut(//"") является полупрямым произведением группы Sym(#") и группы Kerf/P), изоморфной коду Нп. Группа Sym(Hn) изоморфна группе GLk{1) всех невырожденных квадратных матриц порядка А: над полем GF(2), где к — Iog2(n -f 1). При этом изоморфизме каждой матрице А Є G L (2) ставится в соответствие элемент .4 Є Sym (//"") такой, что перестановка 7г удовлетворяет соотношению Ail = тг(г) , і — 1,..., п (символ t означает транспонирование вектора г = (i\,... , ik) Є {0, l}fc). Пространство {ОД} \ {0} = {1,..., п} можно также рассматривать как конечную (к — 1)-мерную проективную геометрию PGfc_i(2), а группу GLk(2) - как группу всех проективных преобразований в этой геометрии.
Число совершенных кодов длины п и кодовым расстоянием 3 обозначим через F[n). Ю. Л. Васильевым [11, 102] была получена следующая оценка: Позднее появились другие конструкции совершенных кодов, обзор которых имеется в [103. 62]. Однако число новых кодов незначительно отличалось от нижней оценки (2.1). Более высокая оценка была получена в [2]:
Пусть Ni = 2 г и N2 = 2 -Чо&{п+\)_ Известно, что Rijk разбивается на Лг] непересекающихся г-компонент, а код Хемминга Нп — на Д72 непересекающихся {i,j. &)-компонент Rf-k — R f. ф и (и Є Нп). Фиксируем тройку Штейнера {i,j,k} и в коде Хемминга Нп рассмотрим подпространство Р, дополнительное к подпространству R k т. е. R.j.jk DP — {0} и Rjjk (& Р = Нп. Точно так же в компоненте Rijk выделяем подпространство Qk. дополняющее R . Очевидно, размерности пространств Qk и Р равны соответственно log2 N\ и log2 N%, Положив Q\ — Q , в Q занумеруем все подпространства Qi размерности log2 N\ — 1. Поскольку число таких подпространств равно N\ — 1, то можно считать, что I — 2,...N\. Введя обозначение Ql - Qi U ((Qk \ Qi) ф еА), рассмотрим множества Rijk{l) = Qf Ф Rk
О нижней оценке числа совершенных двоичных кодов
Пусть код С получается пз Я10 сдвигами непере секающихся / -компонент из семейства 7? \ іде u(/ Є Я15, q — 1 in и т 16. Обозначим через / множество всех координат г, совпадающих с гч при некотором q — 1.... , m. Возможны следующие случаи: 1. Множество / одноэлементно (/ = { }) Это случай кодов Васи льева. Число таких кодов, которые можно получить из кода Хемминга Я15, равно 15- (216 -1) + 1 = 983026. Среди них есть линейные коды и их смежные классы, являющиеся сдвигами в {0,1}15 различных кодов Хемминга. Число таких кодов равно сумме числа смежных классов кода Я15 и удвоенного числа подпространств в Я15, которые при не котором і являются объединением восьми г-компонент. Всего из кода Я15 получается 466 линейных кодов (вместе со смежными классами). 2. I = {i,j} для некоторых і ф j. Любая компонента Я"4 из рассматриваемого семейства либо является подмножеством множе ства R{ Ф Rj, либо не пересекается с Я; Ф Rj. Это означает, что такое семейство компонент является частью одного (и только одно го) (2 х 8)-разбиения из 210 разбиений. Поэтому общее число со вершенных кодов, порождаемых этим семейством компонент, равно 2 С25 (28 — I)2 = 13 655 250. Среди них содержатся линейные ко ды. Смежные классы линейных кодов, не учитываемые при под счете кодов Васильева, получаются только в случае, когда все во семь г-компонент сдвигаются по направлению і, а остальные восемь j -компонент сдвигаются по направлению j. Число таких случаев рав но 2 С?5 = 210. 3. Либо / — трехэлементное множество, либо / является кодовой четверкой. В этом случае можно считать, что вместе с каждой ком понентой Я.,р в рассматриваемом наборе содержится и антиподаль иая ей компонента (в силу леммы III.4.7 при небходимости ее всегда можно добавить). Можно также положить /j = 8, i i = 10, /;-j — 12. ill = 0 и можно считать, что векторы ti2, щ Є Я7(Іі) имеют вес 4. где [h] = {!.....7}. Так как компоненты Я и Я не пересекаются с R%, то из леммы III.4.4 следует, что 2 Є [щ] и 4 Є [из]. Из леммы III.4.8 следует, что если для вектора v Н1 (Ъ.) веса 4 компонента Щ не пересекается с R"$ и R j-. то 2,4 [v]. Существует только один вектор V2,o Є H7(h) веса 4 такой, что [v2to] — {її 3,5,7}. Добавляя антиподалъные компоненты, т. е. полагая [v o] = {1,...,7} и [v3,o] = {2,4,6}, видим, что все компоненты /?gr, не пересекаются с компонентами Я"0\ R $ (г — 0,1,2,3). Оставшиеся двенадцать 8-компонент, по лемме Ш.4.4 будут пересекаться либо с /2"g, либо с і?"!- Следовательно, любая 8-компонента из первоначального набора совпадает с одной из компонент четверки Я8Г, (г = 0,1,2,3). Так как компоненты J?"Q И І?" не пересекаются, то из леммы III.4.8 следует, что либо 2,4 Є [иг], либо 2,4 є [u3]. В первом случае по этой же лемме имеем 2 [из] и 4 Є [и3]. Действуя таким же образом, найдем еще две четверки компонент /?JO \ R122 (г — 0,1,2,3), которые уже были определены выше при построении (4 х 4)-разбиений. При этом любая 10-компонента из нашего исходного набора совпадает с одной из компонент jRjg1, а любая 12-компонента попадает в четверку компонент Ryf (г — 0,1,2,3). Рассмотрим еще четыре неиспользованых вектора vrg из Н7(Ъ) (г = 0.1.2,3). Действуя точно так же, можно показать, что если в исходном наборе существуют 14-компоненты. то они попадают в четверку компонент Ri\ 3 (jp = 0,1,2,3). Таким образом, мы получили разбиение кода Хемминга Нг5 на компоненты R-2$+& { \s = 0,1,2,3) такое, что первоначальный набор компонент Rj (-1..,. , ) является частью этого разбиения.
Во втором случае 2,4 є [u3]. 4 [иг] и 2 [щ]. В результате получаем второе разбиение кода HU) па компоненты R l g " 0 (v.s = 0,1,2,3). Таким образом, рассматриваемое семейство компонент является частью олного и только олиого (4 х 4)-разбиения. Следовательно, это семейство компонент порождает (4х4)-код. Общее число таких совер 191 шешгых кодов равно 8 (0 (24 - I)3 4- \0\\ (24 - І)4) 53 865 000. 4. Множество I содержи!1 хотя бы одну независимую четверку и не содержит кодовых пятерок. Вектор, носитель которого совпада ет с /. в силу леммы III.4.2 попадает с одну из орбит Of, 0, 0, O j. 0\. По лемме III.4.9 существует единственный вектор и из ор биты 0g, носитель которого содержит I. Можно считать, что [и] = {8... ., 15}. В этом случае аналогично доказывается, что рассматри ваемое семейство компонент является частью одного и только одного (8 х2)-разбиения. Это означает, что такие семейства компонент всегда порождают (8 х 2)-коды, число которых равно 64 (0[ 34 + 0 З5 4 Об2 З6 + j073 З7 + \0\\ З8) = 60108480. 5. Множество / является кодовой пятеркой. В силу леммы III.4.9 можно считать, что / = {1,8,11,13,15}. Аналогично показывается, что такое семейство компонент является частью только одного тупи кового набора. Поэтому коды, порождаемые такими семействами ком понент, являются (5 х 2)-кодами, число которых равно 64 \0\\ З5 = 2612 736. Суммируя, получаем 131224 492 кода, среди которых имеется 676 линейных кодов и их смежных классов. Теорема доказана.
Конструкция несистематических расширенных кодов
Достаточно проверить справедливость условий (а), {{3), (у) и [6). Условие (а) верно в силу того, что при любом г Є їв в (8 х 2)-разбиении имеются только две антиподальные друг другу « -компоненты. Расстояние между ними равно 7, что больше к + 1 — 5.
Убедимся в справедливости условия (/?). В предыдущей главе доказано, что существует 64 различных (8 х 2)-разбиения, которые получаются друг из друга переносами на векторы из Н1Ь. Поэтому без ограничения общности можно рассмотреть первое разбиение, которое приведено в табл. 4. Пусть г-компонента Щь не входящая в это разбиение, входит в объединение семейства В. Если компонента из В пересекается с компонентой Rf, то согласно лемме III.4.7 антиподальная ей компонента так же пересекается с Rf. Всего с компонентой Rf пересекается восемь компонент из семейства В, составляющих четыре анти-подальные пары. Среди них можно выбрать четыре Щр (р — 1,2,3,4). Так как компонента Rf не совпадает ни с одной компонентой Rjp (р = 1,2,3,4) и пересекается с каждой из них, тог «ь 2,«3) 4- Допустим, что г = гіфг гфг з- С помощью перестановки из группы Sym(Hlb), переноса на подходящий вектор из Н15 и замены компонент на анти-подальные, можно добиться того, чтобы выполнялось ii = 8, г 2 = 10, г3 = 12, і 14, vj = 0, [v2] - {2,3,4,5}, [v3] = {1,3,4,6}, при этом либо u = 0, либо [ті] является кодовой четверкой из {1,... ,7}. Мы будем пользоваться критерием непересекаемости компонент, приведенным в лемме III.4.4 из предыдущей главы.
В силу этого критерия в случае u = 0 получаем непересекаемость компонент Щ и Щ . Если [и] = {2,3,6,7}, то компонента Щ попадает в рассматриваемое (8 х 2)-разбиение, что противоречит нашему предположению. Если [u] = {1,2,5,6}, то компоненты Rjp (р — 1,2,3) вместе с Rf попадают в первое (4 х 4)-разбиение, которое приведено в (табл. 3). В оставшихся пяти случаях, когда [и] равно одному из множеств {1,3,5,7}, {2,3,4,5}, {1,2,4,7}, {4,5,6,7}, {1,3,4,6}, компонента Rf не будет пересекаться с одной из компонент Я/ (р = 1,2,3). Поэтому можно считать, что і ф i\ ф г2 Ф h- С помощью перестановки 7г Є Sym(#15) такой,что тг(8) = 8, тг(10) = 10, тг(12) = 12, тг(г) = 9, и переноса на подходящий вектор из Н можно добиться выполнения равенства г — 9. Переходя, при необходимости, к ан-типодальной компоненте, можно опять считать, что вектор и имеет четный вес. Действуя аналогичным образом, мы найдем, что только при [u] = {2,3,6,7} компонента Rf пересекается со всеми тремя компонентами Я/ (р = 1,2,3). Она также пересекается с компонентой Щ\ из рассматриваемого (8 х 2)-разбиения, где V4 = и. Итак, мы показали, что г4. — i\ г 2 ф гз- Поэтому если г Є В и компонента Rf не входит в семейство В, то при выполнении условия (А) компонента Rf не будет входить в объединение компонент семейства В.
Докажем теперь справедливость условия (7). Рассмотрим компоненты R{p [р — 1,2,3,4), которые в силу условия (А) не пересекаются с компонентами семейства В. Осуществляя соответствующую перестановку координат из группы Sym(#15), можно считать, что все гр 8. Для h = {1,..., 7} рассмотрим в Я15 подкод #7(h), состоящий из всех векторов v Є Н15 таких, что [v] С [h]. При любом р = 1,2,3 множества RjP(h) = (Я"4 ф RiP) П Н7(Ъ.) являются -компонентами кода Я7(1і), где jp = І4ір- Каждая такая УР-компонента не содержит нуля и состоит из всех векторов веса 4, в которых jp n координата равна 1, и векторов веса 3, в которых jp-x координата равна 0. В силу независимости множества Оь«2, 3,4} множество J = {ІЬІ2ІІЗ} также независимо. Поэтому для любого вектора v Є H7(h) веса 4 носитель [v] пересекается с J, т. е. принадлежит некоторой компоненте Я,-Р(Ь). То же самое можно сказать про векторы веса 3. Следовательно, компоненты Щ ф Я"р и компонента Я"4 ф Я4, являющиеся объединениями 14-компонент, содержат все векторы кода Н7(Ъ) кроме вектора h. Но компонента Rf состоит только из векторов веса 7 и 8 (факт существования -компоненты, лежащей в двух средних слоях кода Хемминга Я", был обнаружен С. В. Августиновичем). Поэтому
210
объединение U{Rip(B Rff \p = 1, 2,3,4} содержит все векторы кода Н 5 веса меньше семи.
Условие () очевидным образом выполняется, так как из условия (В) следует, что множество Is соответствует орбите Of [3] (лемма 3). Поэтому из теоремы IV.2.3 следует несистематичность кода С и полученного из него расширенного кода С.
Осталось убедиться в систематичности кода С, когда условие (А) не выполняется, а условие (В) выполняется. Только этот случай не был рассмотрен в следствии IV.3.1 Допустим, что Я"р, р — 1,... , г (г 4) — это все компоненты из рассматриваемого (8 х 2)-разбиения, не пересекающиеся с компонентами семейства Б. Множество индексов гр (1 5; Р г) доопределим до четверки ip їв (р — 1,2,3,4) так, чтобы выполнялось равенство г і ф ц ф із Ф ц — 0. В случае г — 0 семейство компонент В совпадает со всем (8 х 2)-разбиением и в этом случае четверка номеров координат с нулевой суммой / = {ii 2,4j4} С I& выбирается произвольным образом. Применяя соответствующую перестановку координат из Sym(#15), можно считать, что все гр 8 (р = 1,2,3,4). Из зависимости множества I следует существование такого вектора v H7(h) веса 3, что гр ф iq Є [v] при любых р ф q. Это означает, что v R " ф Rf" при любых p,q г. Пусть и Є Н1Ь — вектор с носителем [и] = /. Так как u0v f при каждом р г, то отсюда также следует, что и 7?"р ф Rf" для любых p7q г. Для проверки систематичности кода С, рассматриваемого в условии теоремы, возьмем множество номеров /. Пусть u,v Є С и и ф v. Возможны три различных случая.