Содержание к диссертации
Введение
1'Полиномы Гильберта и Гильберта-Самюэля и системы линейных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами 9
1.1 Введение 10
1.2 Формальные решения системы 12
1.3 Символ системы как алгебраическое многообразие 16
1.4 Символ системы и ее формальные решения 18
1.5 Символ системы и ее аналитические решения 20
1.6 Пример: Гармонические функции 27
2 Сходимость формальных решений систем дифференциальных уравнений в частных производных 28
2.1 Введение 29
2.2 Формулировка результата 31
2.3 Упорядоченная полугруппа Z>0 34
2.4 Доказательство Теоремы 2.2.1 39
2.4.1 Леммы о мажорировании 40
2.4.2 Формулировка условий специального случая 41
2.4.3 Замена координат 42
2.4.4 Построение мажорирующего уравнения 45
2.4.5 Построение мажорирующего ряда 45
2.4.6 Завершение доказательства теоремы 47
2.5 Примеры и замечания 47
2.5.1 Пример. Случай одного уравнения 47
2.5.2 Пример. Необходимость условий теоремы 48
2.5.3 Случай нескольких неизвестных функций 49
Полином Гильберта для систем линейных дифференциаль ных уравнений в частных производных 50
3.1 Введение 51
3.2 Свойства полугруппы Z>0 53
3.3 Отображение Грёбнера и базисы дифференциальных идеалов 56
3.4 Формальные решения системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных 60
3.4.1 Формальные решения системы как функционалы на кольце дифференциальных операторов 61
3.4.2 Существование формальных решений 63
3.5 Теорема сходимости и ее следствия 65
3.6 Примеры и замечания 67
3.6.1 Условие а), наложенное на упорядочивание -<, и сходимость формальных решений 67
3.6.2 Случай нескольких неизвестных функций 68
3.6.3 О пространстве решений в точках "плохой" гиперповерхности Е 68
3.6.4 Алгебраический смысл функции Гильберта системы
Вывод
Список литературы
- Символ системы как алгебраическое многообразие
- Доказательство Теоремы 2.2.1
- Построение мажорирующего ряда
- Формальные решения системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных
Введение к работе
Диссертация состоит из трех глав. Наиболее сильные результаты получены автором в теории сходимости формальных решений систем дифференциальных уравнений в частных производных [1], их изложению посвящена глава 2. В ней исследуется один из вариантов классического вопроса о сходимости формальных решений систем дифференциальных уравнений в частных производных. Мы формулируем и доказываем необходимые и достаточные условия сходимости заданного (найденного любым методом) формального решения системы дифференциальных уравнений в частных производных. Наш критерий сходимости формальных решений применим к системам дифференциальных уравнений (в т.ч. и нелинейных) разрешенным относительно старших производных (в смысле некоторого полного упорядочения множества производных функции многих переменных) и, что особенно важно, "почти разрешенным относительно старших производных". Он утверждает, что формальный ряд, являющийся формальным решением системы, сходится, если и только если сходится определенная частичная сумма этого ряда. Наша теорема обобщает теорему сходимости Рикье [15] и следствия работы Паламодова [8], касающиеся сходимости формальных решений (более подробно история вопроса и мотивировки наших результатов изложены в предисловии к главе 2).
Символ системы как алгебраическое многообразие
Опишем теперь пространство AQ(S) полиномиальных решений системы. Лемма 1.2.2. Имеет место естественный изоморфизм Ao(S) 0if n/T-DiTnY. (1.7) Через X Difn обозначен наименьший идеал в кольце Difn содержащий идеал X (кольцо Difn мы рассматриваем как подкольцо кольца Difn).
Доказательство. В силу Леммы 1.2.1 мы можем отождествить простран ство (Difn/X Difny с векторным подпространством в кольце многочле нов С[х]. Сравнивая (1.4) и (1.5) получаем, что при этом отождествлении A0(S) = (DiTn/I-DiTnT.
Важно отметить, что в лемме выше и далее в тексте все векторные пространства отождествляемые естественным образом с пространством формальных рядов рассматриваются с топологией покоординатной сходимости, а их факторпространства с индуцированной топологией.
Символ системы как алгебраическое многообразие В этом параграфе мы напомним определение символа системы уравнений (5) и некоторые алгебраические понятия, которые потребуются нам далее. Введем в рассмотрение пространство (Сп) = { = (i,..., п)(г, хз) = 53г} двойственное пространству независимых переменных. Рассмотрим изоморфизм колец pr:Si};- qKi ,...,&]] (1.8) рг(да) = Г
Символом (или полным символом) системы (S) мы называем аффинное алгебраическое множество (многообразие) М в пространстве (Сп) , соответствующие идеалу рг{Х) кольца C[i,..., п]. Точнее, аффинным алгебраическим многообразием М мы называем пару (М,рг(1)), где М есть множество общих нулей многочленов составляющих идеал рг{Х).
Такое определение не является общепринятым, но оно наиболее удобно для наших целей. Алгебраическое многообразие М, вообще говоря, является особым, приводимым и имеет вложенные компоненты. В случае, когда идеал рг(1) прост, получаем классическое определение аффинного алгебраического многообразия (см., например, [6]). Все используемые алгебраические понятия и утверждения естественным образом обобщаются на рассматриваемый случай (см., [6] и [4]).
Напомним некоторые необходимые понятия алгебраической геометрии. Аффинным координатным кольцом (или кольцом регулярных функций) алгебраического многообразия М называется RM = C[]/pr(X) (его элементы называются соответственно регулярными функциями).
Локальным кольцом точки 5 многообразия М называется локализация аффинного координатного кольца RM ПО мультипликативной системе состоящей из регулярных функций не обращающихся в ноль в точке S (см., например, [6]). Это кольцо мы будем обозначать через 0$,м- Кроме того, через OSM мы будем обозначать формальное пополнение кольца 0,м по максимальному идеалу (см., например, [6]). Следующую выражение также можно считать определением кольца О м 65,M = m-Wpr(Z)-m-5]]. Через pr(Z) С[[ — 6]] в формуле выше обозначен наименьший идеал кольца С[[ — 5}] формальных рядов с центром в точке 5, содержащий все многочлены составляющие идеал рг{Х) (мы считаем, что кольцо многочленов С[] естественным образом вложено в кольцо формальных рядов С[[ — 5]]). Для каждой точки 6 Є М определен естественный гомоморфизм колец Ям - бш. (1.9)
Действительно, многочлен есть функция определенная на всем аффинном пространстве, следовательно, мы можем разложить его в ряд в окрестности точки 5 и рассмотреть как элемент кольца О м 1.4 Символ системы и ее формальные решения
В этом параграфе формальные решения системы (5) интерпретируются как линейные функционалы на аффинном координатном кольце алгебраического многообразия М. Изучаются пространства струй формальных решений.
В терминах аффинного координатного кольца многообразия М, мы, очевидно, можем проинтерпретировать изоморфизм (1.6) следующим образом Лемма 1.4.1. Следующие пространства изоморфны F(S) #м. (1.10) Для целых неотрицательных і положим Ft(S) = F(S)/(f gd4f-g = о(хг)) (1.11) - пространство г-струй формальных решений. Выражение о(хг) понимается как ряд составленный из мономов ж", показатели которых удовлетворяют неравенству \а\ г.
Доказательство Теоремы 2.2.1
Наше доказательство основано на методе мажорант. Рассмотрим кольцо C[[?/i,...,yi\] - формальных рядов от некоторых переменных yi7... ,уі. ПустьДБєС ь..., ]].
Определение 2.4.1. Будем говорить, что формальный ряд А(у) = Т ае 1 0ааУа усиливает (мажорирует) ряд В (у) = J2aezl 0 ya, если для любого элемента а полугруппы Z 0 выполнены следующие два условия
Идея доказательства заключается в построении сходящего ряда мажорирующего данное формальное решение. Точнее, этот мажорирующий ряд строится по решению некоторого уравнения, грубо говоря, мажорирующего каждое уравнение исходной системы. Мажорирующие уравнение оказывается обыкновенным дифференциальным уравнением, для доказательства существования решения которого применима стандартная теорема существования и единственности.
В пункте 2.4.1 доказываются необходимые подготовительные леммы о мажорировании.
В пунктах 2.4.2 - 2.4.5 теорема доказывается для специального случая -уравнения системы линейны относительно производных старшего порядка, а главные производные имеют один и тот же порядок. В пункте 2.4.2 формулируются условия разбираемого специального случая. В пункте 2.4.3 система с помощью замены координат приводится к виду, по которому легко выписать нужное нам мажорирующее уравнение. В пункте 2.4.4 мы предъявляем мажорирующее уравнение, и устанавливаем существование аналитического решения этого уравнения. В пункте 2.4.5 мы строим по решению мажорирующего уравнения некоторый сходящийся ряд и, опираясь на Лемму 2.4.1 пункта 2.4.1, доказываем, что полученный ряд мажорирует исходное формальное решение системы. И, наконец, в пункте 2.4.6 мы завершаем доказательство теоремы, сводя общий случай к разобранному.
В первой из двух лемм данного пункта формулируется необходимый нам вариант утверждения о том, что свойство мажорирования выдерживает операцию композиции.
Рассмотрим голоморфные функции f\ и /2 определенные в окрестности О пространства п+т = {(х\,..., хп, i,..., т):г, f, Є С]. Предположим, что разложение в ряд функции fi усиливает разложение функции . Фиксируем набор из т + 1 элемента полугруппы Пусть далее, w = ) waxa Є К о [[x]] ж z = 2 zax x Є [[x]] некоторые ряды, и предположим, что выполнены следующие два условия для всех а - «о выполнено \za\ wa; для любого i(l г т) верно wa% = zai = 0.
В этом случае, корректно определены ряды W Є Mj o[M] результат подстановки в разложение функции /2 вместо переменных г рядов daiw ((1 і т)) и Z Є С[[ж]] - результат подстановки в разложение функции /і вместо переменных г рядов da%z ((1 г га)). Лемма 2.4.1. Для любого f3 - 0 верно \dpZ\o\ c W o.
Доказательство. Пусть Z — J2a Zaxa и W = J2a Waxa- Имеем 9/ji?o = filZp и 9 H o = (3\Wp есть суммы по одному и тому же набору индексов произведений вида соответственно; в формулах (2.4) и (2.5) выше а,в3 Є Z 0, 5 = (5і,..., 5т) Є Z0, а через f?a5\, j = 1, 2, обозначены коэффициенты разло жений в ряды функций f3. Отметим, что а + вг=(3 ,аов формулах (2.4) и (2.5), следовательно, в силу условий выше, каждое слагаемое в (2.5) больше или равно модуля соответствующего слагаемого в (2.4). Откуда получаем утверждение леммы. Доказательство следующей, несложной, леммы можно найти в [10]. Лемма 2.4.2. Предположим, что ряд А{х) = Y aezn ааха абсолютно схо-дится в точке xi = = хп = р 0 и М - положительное число большее абсолютной величины любого члена ряда А(р). Тогда разложение в степенной ряд в окрестности нуля функций Fi(x) = п_ж /А_д. /р\ и F2 = {1_{Х1+М+Хп)/р) усиливают ряд А(х).
Без ограничения общности можно считать коэффициенты za при а Є Z 0\J ряда z равными 0. Действительно, по условию ряд естественным образом из них составленный определяет некоторую аналитическую функцию ср в окрестности начала координат. Рассматривая новую неизвестную функцию z = z — ср, получаем требуемое.
Построение мажорирующего ряда
Доказательство. Индукция по размерности п. Выделим последнюю координату хп в Z 0, т. е. положим Z 0 = Z Q1 + Z- o- Очевидно, что: 1) сечение октанта горизонтальной плоскостью хп = с, с Є Z o есть октант в полугруппе Z Q1 (после стирания последней координаты хп = с);. 2) проекция октанта из Z 0 есть октант в Z Q1 Рассмотрим произвольный Z g-идеал % Переходим к индукции. Спро ектируем объединение бесконечного числа октантов X с Z 0 на коорди натную плоскость Z Q1- Полученное объединение (п — 1)-мерных октан тов по индукции совпадает с объединением лишь конечного числа из них. Пусть это будут октанты с вершинами Ъ1,... ,Ък, (Ъг = Ъ\,..., Ъгп_г). По построению эти октанты — проекции n-мерных октантов с некоторыми вершинами Ь\ (Ьг = 6 ,... ,6 _1}Ь ). Пусть максимальная из последних координат Ъгп этих вершин равна с Є Z 0. Все точки Z Q-идеала X, для которых последняя координата не меньше чем с, лежат в объединении ок тантов Оп(Ъг). Остальные точки Z o-идеала X лежат на конечном числе сечений хп = 0, хп = 1,..., хп = с — 1. Каждое из этих сечений по индук ционному предположению покрывается конечным числом [п — 1)-мерных октантов. Теперь видно, что Z Q-идеал X состоит из конечного числа ок тантов Оп(Ьг) и конечного числа 77,-мерных октантов, вершины которых лежат на конечном числе сечений.
Полугруппа Z 0 имеет 2П координатных полугрупп: для каждого подмножества 7 отрезка натурального ряда {1, ...,п} определена подполугруппа Z oCO, состоящая из целых точек a = (ai,..., an), для которых аг = 0, і Є 7 и аг 0, г . 7. Среди полугрупп Z o(7) есть нулевая полугруппа (при J = {1,..., п}) и полугруппа ZJ0 (при 7 = 0). Подмножество Z 0 назовём сдвинутой координатной подполугруппой, если оно имеет вид а + Ъ {Т), где а Є Ж;0 некоторый элемент. Доказательство. 1) Предположим сначала, что Z 0-Hflean является октантом Оп(а) с вершиной а. Представим дополнение Z 0\On(a) в виде объединения сдвинутых полугрупп. Для каждой ненулевой точки а в Z 0 определим точку 7г(а) по следующему правилу: если а = (ai,...,an) и аг = = аг-і = 0, аг 0, то 7г(а) = (oi,..., a»_i, аг - 1, al+h .. .ап). Очевидно, что октант с вершиной 7г(а) содержит октант с вершиной а, причем их разность Оп(7г(а)) \ Оп(а) является сдвинутой координатной полугруппой. Для целой точки a = (ai,...,an) справедливо равенство п1(а) = 0, где I = \\а\\ = \аг\. Получаем требуемое разложение:
2) Всякий Z 0-Hfleaji X является объединением конечного числа октан тов. Предположим, что теорема верна в том случае, когда Z Q-идеал X равен объединению к октантов. Докажем теорему для (к + 1) октанта. Имеем X = Zo(JOn(a), где 2о — объединение к октантов. По индукции дополнение Z 0 до XQ есть объединение сдвинутых координатных полу групп. В каждой сдвинутой координатной полугруппе С дополнение до пересечения с октантом С \ [С f] Оп(а)) в свою очередь разбивается в объ единение сдвинутых координатных полугрупп (см. шаг 1 доказательства этой теоремы). Утверждение доказано.
В этом параграфе для кольца линейных дифференциальных операторов определяется отображение Грёбнера и с его помощью исследуются идеалы в этом кольце.
Рассмотрим произвольную область U пространства Сп с координатами жі,..., хп. Рассмотрим некоторое подкольцо В кольца 0(U) голоморфных функций в области U, содержащее 1 и замкнутое относительно операции дифференцирования.
Обозначим через Difs кольцо линейных дифференциальных операторов в области U с коэффициентами лежащими в В. Пусть d Є Difs тогда d = 2 Ъада, где Ъа{ф 0) Є -В и suppd - конечное подмножество ctSsupp d полугруппы Z 0; через да мы обозначаем оператор дифференцирования я 1 "я сп- Конечное множество suppd будем называть носителем оператора d. Фиксируем на полугруппе Щ0 отношение порядка - , удовлетворяющие следующим условиям: а) для любых элементов а и (3 полугруппы, модули которых удовлетво ряют неравенству \а\ \(3\, верно неравенство а - /5; б) отношение - согласовано с операцией сложения на Z 0; то есть для любых элементов полугруппы а, /3 и 7, неравенство а - /3 влечет неравен ство а + 7 - (3 + 7)
Формальные решения системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных
Рассмотрим Z o-идеал Grb(X(S)). В силу Предложения 3.2.1, мы можем представить Z g-идеал Grb{X{S)) в виде конечного объединения октантов Grb(l(S)) = ui=10(7l). (3.15)
Выберем элементы si,..., si идеала T(S) такие, что Grb(si) = уг для каждого і. Обозначим через Г мультипликативную систему в кольце А порожденную 1 и старшими коэффициентами операторов s% (то есть коэффициентами въ при производных дъ). Кроме того, через Е мы обозначим аналитическую гиперповерхность, заданную уравнением s7l s7/ = 0. Предложение 3.3.1 непосредственно влечет Предложение 3.4.2. Элементы si,...,si порождают идеалХ(Б)-Вг/т-1А-Другими словами, в области С/\Е рассматриваемая система (S) эквивалентна системе уравнений составленной только из уравнений s%z — 0, где индекс і изменяется от 1 до I. Назовем носителем supp/ формального (сходящегося) ряда / = X)aeZn fa(x U)a ПОДМНОЖЄСТВО ПОЛугрупПЫ supp/ = {aGZ5ol/a O}. (3.16) Теорема 3.4.1. Пусть и Є U \ Е. Тогда имеет место изоморфизм векторных пространств FU(S) {/ Є С[[х - и}] supp / С ZJ0 \ Grb(Z)}. (3.17) Доказательство. Рассмотрим свободный Г_1А-модуль MI(S) с базисом {да}, аЄЩ0\ Grb(l(S)). Очевидно, что LU(MI) {fe С[[х - и}] supp / С ZJ0 \ Grb(X(S))}. (3.18) Но, в силу Предложения 3.3.2, имеет место изоморфизм Г_1А-модулей MI Difr-iA/T XiS). (3.19) Так как и Є /" \ Е, все функции мультипликативной системы Г С А отличны от 0 в точке и, следовательно, по Лемме 3.4.2 получаем FU(S) Lu(DifA/l(S)) L Difr-iA/T- S)). (3.20) Объединяя (3.18), (3.19), (3.20) получаем утверждение теоремы. Для целых неотрицательных г положим FuAS) = Fu(S)j(f gUf-g = о((х - «))) (3.21) пространство г-струй формальных решений в точке и Є U. Функцию H(u,i) = dimFUji(S) натурального аргумента г назовем функцией Гильберта системы (S) в точке и. Следствие 3.4.2. Функция Гильберта Н(и, і) одна и та оке для всех и Є U \ Е, и является многочленом для достаточно больших г.
Доказательство. В силу (3.17) выполнено dimF S) = {а Є ZJ0 \ Grb(l(S))\ \а\ г}, (3.22) откуда получаем первое утверждение (для конечного множества А через \А\ мы обозначаем число его элементов). В силу Предложения 3.2.2, мы можем представить Z 0 \ Grb(I(S)) в виде Zg0 \ Grb(l(S)) = Ui=1{a, + 2 о(Д)}. (3.23) Но для каждой сдвинутой координатной полугруппы a& + Z o (- функция очевидно, является многочленом при і а&. Следовательно, функция Гильберта Н(и, г) = X i=i - (,1,)(0 является многочленом при г max& а&. Доказательство закончено. Предположим, что формальный ряд z(x) = ]Г) ааха удовлетворяет следу-ющей конечной системе дифференциальных соотношений d z = і і(ж, daz), а - 7i дъг = і (ж, 9а;г), a - jk Fi,...,Fk - голоморфные функции переменных xi,... ,хп и производных daz с показателями а удовлетворяющими неравенствам правого столбца выше. Рассмотрим подмножество / = и =10(7г) полугруппы Z 0. Теорема 3.5.2. Предположим что укорочение z(x) = ]Г) ааха ряда аеЩ0\1 z имеет ненулевой радиус сходимости. Тогда и формальное решение z имеет ненулевой радиус сходимости. Эта теорема, очевидно, является частным случаем Теоремы 2.2.1 главы 2. Пусть AU(S) пространство ростков аналитических решений системы в точек и. Объединяя утверждения Теорем 3.5.2 и 3.4.1, получаем Теорема 3.5.3. Для произвольной точки и Є / \ Е имеет место изоморфизм векторных пространств Au {fe С{(х -и)}\ supp / с Zg0 \ Grb{X{S))}. (3.24)
Доказательство. Рассмотрим систему линейных дифференциальных уравнений, состоящую из уравнений s\z — О,..., s\z = 0, где s% выбран ные выше элементы идеала 1(S) такие, что равенство Grb(s%) = -уг вы полняется для каждого г. В силу Предложения 3.4.2 в области U \ Е эта система эквивалентна исходной системе (S). Разрешим каждое уравнение stz = 0 относительно старшей (в смысле нашего упорядочения) производ ной 7г (мы можем это сделать в виду выбора гиперповерхности Е).
