Введение к работе
Актуальность темы исследования. k-тканью в геометрии называют совокупность k гладких слоений. Два-ткани или сети кривых интенсивно изучаются примерно с середины XIX века, хорошо изучены их метрические, аффинные и проективные свойства. Позже стали рассматривать ткани, составленные из большего числа слоений, и более сложные объекты — ткани, образованные на гладких многообразиях слоениями различной размерности.
Три-ткани с точностью до локальных диффеоморфизмов начали изучать в двадцатых годах прошлого века на гамбургском геометрическом семинаре Вильгельм Бляшке и его коллеги и ученики: К. Рейдемейстер, Г. Томсен, Г. Бол и др. Они показали, что условие замыкания на криволинейной три- ткани W конфигураций определенного вида, образованных линиями этой ткани, отвечает некоторым тождествам, выполняемым в ее координатной квазигруппе и координатных лупах. Основные результаты этих исследований были опубликованы в [11] и [12]. В середине тридцатых годов появилась работа [23] C. Черна, в которой он методом внешних форм Э. Картана изучает многомерные три-ткани W(r,r,r), образованные тремя семействами r-мерных поверхностей в 2г-мерном пространстве (далее классическая теория тканей). Современный вид классическая теория тканей приобрела в работах М.А. Акивиса, его коллег и учеников [4].
Ткани W(p,q,r), образованные слоениями разных размерностей, начали рассматривать В. Бляшке [9], [10] и Г. Бол [12]. Общая теория тканей, образованных слоениями разных размерностей, построена М. A. Акивисом и В. В. Гольдбергом в работе [3]. Они нашли структурные уравнения ткани W(p, q,r), определили ее первый и второй структурные тензоры, выяснили геометрический смысл обращения нуль первого структурного тензора и его некоторых подтензоров. В работе [14] В. В. Гольдберг определил некоторые специальные классы три-тканей W(p,q,r), названные им трансверсально- геодезическими, шестиугольными и групповыми, и нашел соответствующие тензорные характеристики. Изучение три-тканей, образованных слоениями разных размерностей, продолжилось в работах других авторов, см. например [8], [13]. Однако, вследствие разной размерности слоев, образующих ткань, долгое время не удавалось получить обобщения основных алгебраических и геометрических понятий классической теории тканей для тканей
W(p, q,r). Это было сделано сравнительно недавно Г. А. Толстихиной, результаты которой можно найти в [4].
Ткани W(p,q,r) при различных значениях p, q и r более детально изучали Ю. А. Апресян [5] - [7], Нгуен Зоан Туан [17], [18].
Три-ткани, образованные двумя семействами кривых и одним семейством поверхностей, изучала Н.Х. Азизова [1], [2]. Она рассматривает три-ткань как эквивалент другого геометрического объекта — однопараметрического семейства локальных диффеоморфизмов одной поверхности на другую.
Теория многомерных три-тканей имеет многочисленные приложения в разных разделах математики и физики, см. об этом в [11], [4]. Это важное обстоятельство объясняется тем фактом, что ткань вполне определяется своим уравнением z = f (x,y), связывающим параметры слоев ткани, проходящих через одну точку. Другими словами, три-ткань есть геометрическая модель функции двух переменных, и поэтому теория тканей приложима там, где исследуются функции двух переменных. Например, Е. В. Ферапонтов применяет три-ткани для исследования дифференциальных уравнений гидродинамического типа (см. приложение 2 монографии [4]); Х.О. Кильп — для исследования некоторых квазилинейных систем, в частности, из механики, а также при изучении преобразований Бэклунда [15], [16].
В работах [21], [22] показано, как применять аппарат теории тканей для исследования и классификации обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка. В частности, с помощью дифференциальных инвариантов ткани охарактеризованы линейные уравнения и уравнения Риккати.
В перечисленных выше приложениях авторы рассматривали классическую ткань, образованную слоениями одинаковой размерности. Однако, с более сложными объектами, такими как системы обыкновенных дифференциальных уравнений, связаны ткани, образованные слоениями разных размерностей. Наш подход основывается на том, что система ОДУ имеет геометрически эквивалентный объект — три-ткань W(1, n, 1), образованную двумя семействами кривых и одним семейством гиперповерхностей. Это обстоятельство дает возможность применить теорию тканей и соответствующие дифференциально-геометрические методы для изучения свойств систем ОДУ.
Заметим, что геометрия дифференциальных уравнений исследовалась широко и разными методами, см., например, обзоры [19], [20]. Но систематиче-
ского исследования систем ОДУ с помощью теории тканей не проводилось.
Цель и задачи диссертационного исследования. В настоящей работе с системой обыкновенных дифференциальных уравнений связывается адекватный геометрический объект — три-ткань W(l,n, 1), образованная двумя семействами кривых и одним семейством гиперповерхностей. Цель работы состоит в исследовании свойств систем дифференциальных уравнений с помощью методов теории тканей.
Перечислим основные задачи исследования:
найти структурные уравнения три-ткани W(1,n, 1), их дифференциальные продолжения;
с помощью структурных уравнений описать некоторые классы три-тканей W (1,n, 1);
уточнить и дополнить некоторые результаты, сформулированные в работах [3], [14];
исследовать три-ткани W(1,n, 1), определяемые системами ОДУ, выразить инварианты этой ткани через функции, определяющие систему ОДУ;
охарактеризовать некоторые специальные системы ОДУ в терминах соответствующей три-ткани.
Методы исследования. В теории тканей применяются методы современной математики: тензорный анализ, внешнее дифференциальное исчисление, теория связностей, теория групп Ли, теория расслоенных пространств, методы проективной и аффинной геометрии и т.д. В работе широко используется метод внешних форм и подвижного репера Э. Картана, развитый в работах российских математиков С. П. Финикова, Г.Ф. Лаптева, А.М. Васильева и с успехом примененный М. А. Акивисом и его учениками в теории многомерных три-тканей. Все рассмотрения имеют локальный характер.
Научная новизна. Основные результаты работы, выносимые на защиту, являются новыми. На защиту выносятся следующие результаты.
-
-
Найдены и исследованы структурные уравнения три-ткани W(1,n, 1) и их дифференциальные продолжения.
-
Для основных специальных классов три-тканей W(1,n, 1) (параллели- зуемых, групповых, трансверсально-геодезических, допускающих аффинную связность) доказана достаточность соответствующих тензорных условий.
-
Для системы ОДУ определена три-ткань W(l,n, 1), и инварианты этой ткани выражены через функции, определяющие систему ОДУ.
-
Найдены характеристики в терминах соответствующей ткани для некоторых систем ОДУ специального вида: автономных, почти автономных, с нулевым тензором кривизны и т. д.
Теоретическое и прикладное значение. Результаты, полученные в диссертации, носят теоретический характер. Они могут быть использованы при чтении спецкурсов в рамках специализации по геометрии тканей и дифференциальным уравнениям.
Апробация работы. Основные результаты диссертации были доложены на следующих семинарах и конференциях (в хронологическом порядке):
международная конференция «Геометрия в Кисловодске — 2010» (Кисловодск, сентябрь 2010 г.);
вторая Российская школа-конференция с международным участием для молодых ученых «Математика, информатика, их приложения и роль в образовании» (Тверь, декабрь 2010 г.);
геометрический семинар кафедры геометрии Московского педагогического государственного университета, рук. В.Ф. Кириченко (апрель 2011 г.);
международная конференция «Геометрия в Одессе — 2011» (Украина, Одесса, май 2011 г.);
геометрический семинар кафедры функционального анализа и геометрии Тверского государственного университета, рук. А. М. Шелехов (апрель, октябрь 2011 г.);
The Sixth International Conference on Differential and Functional Differential Equation (Москва, август 2011 г.);
международная школа-конференция для молодежи «Геометрия. Управление. Экономика» (Астрахань, август 2011 г.);
международный геометрический семинар имени Г. Ф. Лаптева «Лаптев- ские чтения — 2011» (Пенза, сентябрь 2011 г.);
геометрический семинар им. Г. Ф. Лаптева кафедры математического анализа МГУ им. М. В. Ломоносова, рук. Л.Е. Евтушик (сентябрь, декабрь 2011).
Публикации. По теме диссертации автором опубликовано 9 печатных работ, из них 5 статей в рецензируемых журналах, 4 тезиса докладов.
Личный вклад автора. Диссертационная работа является самостоятельным исследованием автора. В работе, выполненной в соавторстве, вклад автора составляет приблизительно 70%.
Структура диссертации. Диссертация изложена на 95 страницах печатного текста, состоит из введения, двух глав, включающих 13 параграфов, и списка цитируемой литературы. Список литературы содержит 44 наименования работ отечественных и зарубежных авторов.
Похожие диссертации на Три-ткани, определяемые системами обыкновенных дифференциальных уравнений
-
