Введение к работе
Актуальность темы исследования. Тема работы связана с важными и взаимосвязанными разделами математики: геометрией ткани, номографией, проблемами приведения уравнений к каноническим формам.
«Геометрия тканей», как направление в дифференциальной геометрии, появилась на рубеже 20-30-х годов прошлого века в трудах виднейшего геометра, руководителя Гамбургской математической школы Вильгельма Бляшке, его многочисленных учеников и сотрудников. Однако и до настоящего времени остаётся большое число вопросов, на которые не получены ответы. Формулируя нерешённые проблемы, относящиеся к тканям, в том числе, образованными поверхностями, В.Бляшке [1] назвал фундаментальной проблему отыскания необходимых и достаточных условий спрямляемости тканей, т.е. условий, при выполнении которых ткань была бы топологически эквивалентна ткани, образованной плоскостями. При этом отметил, что "...непосредственное нахождение условий спрямляемости представляется безнадежным. Несколько более доступным кажется доказательство следующего предложения об однозначности", аналогичное гипотезе Гронвэлла (F.H.Gronvall (1912 г.)): "'Образованная поверхностями ткань, не являющаяся шестиугольной, допускает (с точностью до коллинеаций) не больше одной реализации в виде ткани из плоскостей". В.Бляшке ставит также вопросы о проективной классификации тканей, видах их уравнений, о преобразованиях, допускаемых уравнениями тканей.
В.Бляшке установил, что «Учение о тканях тесно связано с «номографией», которую применяют в технике, для того чтобы графически представить функциональную зависимость» [1]. Так, если из уравнений семейств поверхностей в трёхмерном пространстве, образующих 4-ткань в некоторой области G,
tj (х, у, z) = tj = const., (j = 1 - 4),
исключим переменные x,y,z, то получим зависимость f(tl,t2,t3,t4) = 0, связывающую четыре поверхности ткани Т, принадлежащих различным семействам, проходящие через одну точку в области G.
Если задана ткань Т и указаны значения параметра tt, отвечающего поверхностям каждого семейства, то Т представляет собой «номограмму» полученной зависимости. Такие пространственные «номограммы» не нашли широкого практического применения. Если же ткань Т спрямляется, то двойственным образом спрямлённой ткани будет «номограмма из выравненных точек», имеющая большое научное и техническое приложения. В.Бляшке заключает [1], «что столь необходимая для техники номография может быть включена в наше учение о тканях».
«Номография» как наука появилась раньше «Геометрии тканей». Но и до настоящего времени остаются нерешёнными немало ключевых теоретических и практических проблем, поставленных в 1912 г. Гронвэллом [2].
Многие вопросы, относящиеся к «Геометрии тканей», или к «Номографии», часто удаётся решить путём приведения заданных уравнений к той или иной канонической форме. В.Бляшке уделяет этому вопросу особое внимание, поскольку все ткани с одним и тем же уравнением ткани "эквивалентны в малом относительно рассматриваемого топологического преобразования" [1].
Для уравнений с тремя переменными решение отдельных вопросов указанных проблем, относящихся как к тканям, так и к номографии, можно найти в работах Т.Гронвэлла, Н.А.Глаголева, С.В.Бахвалова, Г.С.Хованского, П.В.Николаева, М.В.Пентковского, С.В.Смирнова, Г.Е. Джемс-Леви, М.А.Акивиса, В.В.Гольдберга и др. авторов. Однако и до последнего времени остаются нерешенными некоторые вопросы общей проблемы.
Вопросы спрямляемости 4-ткани, образованной поверхностями, и связанные с ними проблемы номографирования уравнений с четырьмя переменными, также привлекают внимание исследователей. Следует назвать В.Бляшке, Н.А.Глаголева, С.В.Смирнова, Е.Н. Кузьмина, О.В. Ермолову, Г.С. Хованского, Л.Я. Нейшуллер, Е. Goursat, M.Czyzykowski, J. Wojtowicz, B.B. Казьмина, M.D. Ocagne, E.Hosel, M.Maria, Т.Н.Солнцеву, C.H. Буланова, Ю.И. Боголюбова, Р.Петрова, И.С.Глазырину и др.
К вопросу приведения уравнений со многими переменными к каноническим формам, в частности, разделению переменных по одному или на различные пары, обращались в своих работах Н.А.Глаголев, Г.С.Хованский, Л.Я. Нейшуллер, Bal Lascu, Ю.И. Боголюбов, Е..Goursat, A.M. Бухвалов, Нгуен Ши Туэн, Р.И.Новобранова, О.В. Ермолова, Г.М.Плотникова, Г.С. Прокопьев, Мазаева Г.А. и др.
Остановимся на актуальности проблем, которым посвящена работа. Нередко приходится слышать, что в век компьютерных технологий номография и основанные на ней методы численного анализа давно утратили свою актуальность, а теория тканей не нашла широкого резонанса среди математиков-профессионалов и не имеет достаточно интересных приложений.
В ответ заметим, что номография и компьютеры не перекрывают друг друга, а скорее дополняют. Один из ведущих руководителей номографического направления в СССР Г.С.Хованский [7] отмечал, что основными проблемами теоретической номографии являются проблемы представимости и единственности. Исследования в этом направлении представляют особый интерес в связи с возможностью использования компьютеров для реализации найденных алгоритмов.
Номограммы дают, в частности, возможность строить на плоскости геометрические изображения зависимостей с числом переменных более трёх, что способствует наглядному исследованию влияния каждой переменной на результат. Они до сих пор являются удобным инструментом для эффективного анализа и прогнозирования во многих научно-исследовательских работах различного профиля. Этого и в настоящее время не удаётся получить с помощью компьютеров. И до сих пор в стране (естественно, и за рубежом) не исчезли исследователи, занимающиеся и практической номографией, и раз-
решением многих теоретических её проблем, поскольку сила номографии -в её методах, что, в частности, использовано в диссертации.
В «Геометрии тканей» с использованием номографических методов соискателю удалось решить немало проблем, связанных со спрямляемостью тканей, в том числе, решить проблемы единственности. На этом пути была опровергнута приведённая выше гипотеза, сформулированная в 1912 г. в трудах Гронвэлла, и продолженная в 50-х годах В.Бляшке [1]. Этот факт изложен в диссертации.
На сайте 1019 опубликована заметка от 16 августа 2006 г. следующего содержания:
"В 1955 году известный немецкий математик Вильгельм Бляшке опубликовал статью, в которой изложил основы новой области математики - так называемой геометрии сетей. За полвека, прошедшие с тех пор, теория Бляшке нашла ряд важных применений в физике и экономике. Тем не менее, один из главных результатов геометрии сетей (так называемая проблема ранга для планарных сетей) оставался недоказанным.
И только сейчас профессор New Jersey Institute of Technology (Технический институт штата Нью-Джерси) Владислав Гольдберг совместно с Максом Акивисом из израильского университета им. Бен-Гуриона и Валентином Лычагиным из самого северного университета в мире - университета Тромсё в Норвегии - нашли решение этой задачи. Решение потребовало огромных вычислений: ученые использовали для этого современные компьютерные
программы ".
Цель работы. Работа посвящена решению теоретических и практических проблем геометрии тканей для уравнения с четырьмя переменными. В.Бляшке [1] указывает, что решение проблемы спрямляемости ткани в общем виде, или, что то же, возможности построения номограмм из выравненных точек, наталкивается на большие вычислительные трудности. Естественны, поэтому, попытки решить вопрос до конца в отдельных частных случаях, имеющих к тому же важное прикладное значение. В диссертации подробно рассматриваются
шестиугольные пространственные ткани, спрямляемые четырьмя пучками плоскостей с попарно пересекающимися осями (назовём их Т0),
и нешестиугольные ткани, спрямляемые связкой плоскостей и тремя пучками плоскостей, причём оси двух пучков принадлежат одной плоскости, направляющая связки плоскостей и ось третьего пучка принадлежат другой плоскости. Эти ткани обозначим Tj (у =1-4)).
Проводится проективная классификация рассматриваемых тканей. Ставится цель найти не только условия спрямляемости этих тканей, но и указать эффективные методы решения проблемы. Рассматривается задача об условиях и методах приводимости уравнений тканей к каноническим формам. Исследуется также вопрос о возможных преобразованиях найденных канонических уравнений ткани. Во всех случаях исследуется проблема единственности.
Отметим, что все поставленные вопросы доведены в диссертации до практической реализации.
Кроме описанных тканей проведена проективная классификация и указаны условия спрямляемости более сложных шестиугольных тканей, образованных
двумя пучками плоскостей двух переменных с осями, расположенных в одной плоскости, и связками плоскостей двух других переменных, являющиеся касательными плоскостями к одной конической поверхности;
либо четырьмя связками плоскостей, являющиеся касательными плоскостями к двум коническим поверхностям, направляющие которых расположены в разных плоскостях.
Рассмотрены нешестиугольные ткани, спрямляемые связками плоскостей двух переменных, являющиеся касательными к одной конической поверхности, пучком и связкой плоскостей двух других переменных. Проведена их проективная классификация, указаны условия такой спрямляемости ткани.
Методы исследования. Основными методами исследования явились: классические теоретические номографические методы, методы геометрии тканей, многие разделы классических областей математики, теория непрерывных групп преобразований, методы проективной и дифференциальной геометрии, дифференциальные уравнения в частных производных, формы Пфаффа, теория графов.
Отметим следующее. В приведённых исследованиях много говорится о двойственных образах спрямлённых тканей - о номограммах, поскольку лексика, терминология, алгебра, графическое изображение, наконец, достаточно разработанная номографическая теория, часто более наглядны и удобны в изложении материала работы. Другими словами, с одной стороны, используя номографические методы, удалось найти много неизвестного в геометрии тканей, с другой стороны, используя различные алгебраические многообразия геометрии тканей, найдено немало новых результатов в теоретической и практической номографии.
Научная новизна и практическая ценность. Все представляемые к защите результаты получены автором. Их новизна, в частности, для тканей, характеризуется тем, что впервые:
-
Проведена проективная классификация рассматриваемых типов тканей.
-
Получены аналитические условия шестиугольности и нешестиуголь-ности тканей.
-
Найдены эффективные условия спрямляемости рассматриваемых тканей.
-
Приведены конечные формулы (в квадратурах) вычисления неизвестных функций, составляющие уравнения изучаемых тканей.
-
Для рассмотренных тканей исследованы проблемы единственности.
-
Аналогичные вопросы решены для соответствующих номограмм нулевого и первого жанров и некоторых типов номограмм второго-четвертого жанров.
7. Дано описание, наглядное изображение, указаны условия спрямляемости, решены проблемы единственности значительного количества шестиугольных и нешестиугольных пространственных 4-тканей.
Как было сказано, диссертационная работа является результатом собственных исследований автора. Вместе с тем следует отметить, что направления исследований по теме были предложены автору моим учителем профессором П.В. Николаевым (1902-1970 г.г.) [3],[6].
Объём и структура работы. Диссертация объёмом 278 страниц состоит из введения, четырёх глав, 15 параграфов, 64 авторских теорем, 16 следствий, 13 таблиц. Список литературы содержит 127 наименований. В работе приведены примеры.
Нумерация теорем, следствий даётся тремя цифрами в квадратных скобках, например, теорема [2.3.6] - теорема шестая третьего параграфа второй главы. Формулы имеют ту же структуру в обозначениях с использованием круглых скобок, например, (3.2.37). Нумерация рисунков и таблиц сквозная.
