Введение к работе
Актуальность темы. Теория векторных расслоений и связанная с ними топологическая /f-теория играют важную роль как в самой топологии, так и в других разделах математики. Это давно уже ставшая классической область математики была в основном развита в конце 50-х — начале 60-х годов в работах Дж. Адамса, М. Атьи, Р. Ботта, Ф. Хирце-бруха и других авторов1. Тогда же было замечено, что комплексная и вещественная Л"-теории являются примерами т.н. обобщённых теорий когомологий. С тех пор было построено множество интересных примеров таких теорий, среди них — теории, связанные с группами единиц в кольцах обобщённых теорий когомологий с достаточно хорошим умножением. Например, рассмотрим мультипликативную группу G(X) сумм вида 1 + х, х Є Кс{Х), где Кс — приведённый комплексный .ЙТ-функтор. Известно2, что G(X) является нулевым членом некоторой теории когомологий. Легко видеть, что группа G(X) представляется Я-пространством BU, т.е. пространством BU со структурным отображением p.: BU х BU -> BU, определённым с помощью тензорного перемножения виртуальных расслоений виртуальной размерности 1. Тогда приведённое утверждение эквивалентно тому, что //-пространство BU является бесконечнократным пространством петель3. Это же верно и для пространства BSU, т.е. данное пространство представляет гомотопический функтор со значениями в категории абелевых групп, который является нулевым членом некоторой обобщённой теории когомологий. Однако само определение этой группы (как группы виртуальных 5С/-расслоений виртуальной размерности 1) является довольно формальным, было бы интересно получить интерпретацию элементов этой группы (а также групповой операции) в терминах каких-либо известных геометрических объектов. Это, в частности, открывало бы перспективу приложения данной теории, например, к гладким многообразиям. В данной работе такая интерпретация полу-
'см. например следующие монографии, переведённые на русский язык: Атья М. К-теория. — М.: Мир, 1967; Каруби М. ЯГ-теория. Введение. — М.: Мир, 1981; Хьюз-моллер Д. Расслоенные пространства. — М.: Мир, 1970.
2Segal G. Categories and cohomology theories// Topology. - 1974. V. 13, - P. 293-312.
3 Адаме Дж. Ф. Бесконечнократные пространства петель. — М.: Мир, 1982.
чена с помощью некоторого специального класса расслоений со слоем матричная алгебра (или, что приводит к эквивалентной теории, проективное пространство).
К теме данной работы можно подойти также с другой стороны. Хорошо известно, что любое векторное расслоение над компактной базой является подрасслоением тривиального расслоения. Естественно спросить, верно ли аналогичное утверждение, например, в случае расслоений со слоем матричная алгебра. Точнее верно ли, что произвольное локально тривиальное расслоение со слоем матричная алгебра является (в случае компактной базы) подрасслоением тривиального расслоения со слоем матричная алгебра, при этом таким, что вложение в тривиальное расслоение является послойным гомоморфизмом матричных алгебр как алгебр с единицей? Этот вопрос кажется ещё более естественным, если обратить внимание на аналогию между операциями взятия ортогонального дополнения к подпространству в случае пространств с метрикой и взятия централизатора центральной простой подалгебры в центральной простой алгебре4. Оказывается, что ответ на приведённый вопрос существенно зависит от того, требуем ли мы, чтобы ранг дополнительного подрасслоения (в смысле тензорного произведения) к данному в тривиальном расслоении был взаимно прост с рангом данного расслоения или нет.
Цель работы. Изучить гомотопический функтор со значениями в категории абелевых групп, определяемый с помощью специального класса расслоений со слоем матричная алгебра, в частности, построить и изучить его представляющее Н-пространство, связи с классической К-теорией и характеристические классы.
Методы исследования. В работе использованы методы гомотопической топологии, в частности, аппарат теории препятствий, а также результаты теории классифицирующих пространств и К-теории.
Научная новизна работы. Все основные результаты диссертации являются новыми. В ней получены следующие результаты:
1) Введён и изучен новый класс расслоений со слоем матричная алге-
*по поводу свойств центральных простых алгебр см. монографию Пирс Р. Ассоциативные алгебры. — М: Мир, 1986.
бра.
-
С помощью расслоений этого типа определяется гомотопический функтор со значениями в категории абелевых групп. Доказано, что представляющим пространством этого функтора является индуктивный предел матричных грассманианов со структурой Н-пространства, определяемой тензорным умножением алгебр.
-
Изучены связи получающейся теории с классической К-теорией. Получена геометрическая интерпретация структуры Я-пространства BSU в терминах введённых в работе плавающих расслоений на алгебры.
-
Построены и изучены характеристические классы плавающих расслоений на алгебры.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Её результаты могут быть полезны специалистам в области топологической /ґ-теории, теории кобордизмов а также алгебраической геометрии.
Апробация работы. Содержащиеся в диссертации результаты докладывались на семинаре кафедры Высшей геометрии и топологии "Алгебраическая топология" под руководством проф. М. М. Постникова, на семинаре кафедры Высшей алгебры "Кольца и модули" под руководством проф. А. В. Михалёва, на международной конференции, посвященной 90-летию со дня рождения Л. С. Понтрягина. Результаты диссертации также неоднократно обсуждались на семинаре "Топология и анализ" под руководством профессоров И. К. Бабенко, А. С. Мищенко, Ю. П. Соловьёва и Б. В. Троицкого, к. ф.-м. н. А. А. Ирматова и В. М. Мануйлова.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора, список которых приведён в конце автореферата.
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, трёх глав, разбитых на семь параграфов, и заключения. Список литературы содержит 31 наименование. Общий объём работы 72 страницы.
