Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА1. 21
1.1 Пространство Стоуна булевой алгебры. Основные понятия и факты . 22
1.2 Определение пространств Стоуна некоторых булевых алгебр 27
ГЛАВА2. 34
2.1 Пространство B1,1 36
2.2 Пространство B1,2 46
2.3 Пространство B1,3 62
2.4 Пространства B2,1, B2,2 и B2,3. 68
Литература
- Пространство Стоуна булевой алгебры. Основные понятия и факты
- Определение пространств Стоуна некоторых булевых алгебр
- Пространство B1,2
- Пространства B2,1, B2,2 и B2,3.
Пространство Стоуна булевой алгебры. Основные понятия и факты
Понятие пространства Стоуна булевой алгебры имеет важное значение в теории бикомпактных расширений.
Максимальное бикомпактное расширение топологического простраства, называемое расширением Стоуна-Чеха, основано на конструкции пространства Стоуна. Особое место в теории бикомпактных расширений занимают максимальные бикомпактные расширения Стоуна-Чеха дискретных пространств, являющиеся пространствами Стоуна булевых алгебр подмножеств дискретных пространств.
Этим расширениям посвящены работы У. Рудин [25], З. Фролика [14, 15], М.Е. Рудин [22–24], К. Кунена [16–18], Я. ван Милла [19–21], В.И. Малыхи-на [7], А.А. Грызлова [5, 11, 12].
Развитие теории бикомпактных расширений вызвало потребность в рассмотрении и изучении бикомпактных расширений дискретных пространств, являющихся пространствами Стоуна других булевых алгебр.
М. Белл [10] построил пространство Стоуна булевой алгебры, для которого подространство свободных ультрафильтров несепарабельно, но удовлетворяет условию Суслина. Это пространство является бикомпактным расширением счетного дискретного пространства.
Используя расширение М. Белла, Я. ван Милл [19] и А.А. Грызлов [11] доказали существование новых типов точек в пространстве , тем самым решив несколько важных проблем теории бикомпактных расширений.
В силу актуальности расширения М. Белла, для теории бикомпактных расширений, возникла задача подробного его изучения.
Исследованию расширения М. Белла посвящены работы А.А. Грызлова, Е.С. Бастрыкова и Р.А. Головастова [4, 6, 13, 26, 27]. В этих работах изучена внутренняя структура этого пространства, получены различные типы его точек и их свойства. Доказано, что в расширении Белла существуют как сходящиеся последовательности, так и копии пространства .
Пространство, построенное М. Беллом, является пространством Стоуна булевой алгебры
Рассматриваемые булевы алгебры представляют собой основные характерные варианты булевых алгебр подобного типа. В работе рассмотренны следующие вопросы, выясняющие строение и свойства указанных пространств Стоуна. Какова внутренняя структура указанных пространств Стоуна. Каковы взаимосвязи этих пространств между собой. Как связаны эти пространства с такими широко известными пространствами, как и канторовым совершенным множеством. Каким свойством обладают сходящиеся последовательности и копии про-странсвта в этих пространствах. Какая взаимосвязь между открыто-замкнутыми подмножествами пространств и подмножествами гомеоморфными . Какими необходимыми характеристиками можно описать множества, го-меоморфные . Каковы кардинально-значные характеристики указанных пространств, каковы число Суслина и плотность подпространств свободных ультрафильтров. Решению этих вопросов посвещена настоящая диссертация.
Определение пространств Стоуна некоторых булевых алгебр
Первый параграф посвящен пространству B1,1. Результаты данного параграфа опубликованы в [26, 27]. Данное пространство было первым среди пространств такого типа, которые были рассмотрены нами. Оно было построено М. Беллом [10], как пример пространства Стоуна, подпространство свободных ультрафильтров которого удовлетворяет условию Суслина, но не сепарабельно.
Пространство построенное М. Беллом можно рассматривать как бикомпактное расширение дискретного пространства фиксированных ультрафиль 9 тров. Кроме указанных свойств подпространство свободных ультрафильтров обладает другими интересными свойствами.
В хорошо известном пространстве (Зсо замыкание любого счетного подмножества си гомеоморфно всему (Зсо. В данном пространстве ситуация кардинально иная.
Основным результатом этого параграфа являются теоремы 2.3 и 2.4 в которых выделяются подмножества, замыкание которых гомеоморфны (Зсо и подмножества OXi, являющиеся сходящимися последовательностями в б ЗЗід. Сходящиеся последовательности и копии (Зсо представляют особый интерес, поскольку являются крайними вариантами бикомпактных расширений счетных множеств. Акцент на данные свойства делается и при изучении последующих пространств.
Теорема 2.3 Пусть семейство {CSi: і Є си} такое, что {s : і Є со} — бесконечная строгая антицепь в OXi и X = {ХІ : і Є си} такое, что ХІ Є [CSi]. Тогда [X] гомеоморфно (Зсо.
Теорема 2.4 Пусть А = {,Si : і Є си} бесконечная цепь на 9ti. Тогда А является сходящейся последовательностью в б ЗЗід. Показано, что копий (Зии и сходящихся последовательностей в 5 Від достаточно много. Теорема 2.5 Пусть Q = {х Є S%$11: х предел сходящейся последовательности точек 9ti}, /І = {А : А С О і, [А] гомеоморфно (Зси}. Тогда Q всюду плотно а семейство /І является и-сетью в S &\ 1. Также приведены результаты А.А. Грызлова, которые описывают подмножества O i, замыкания которых гомеоморфны (Зш и сходящиеся последовательности в O i.
Теорема 2.6 [13] Если множество А С OXi такое, что \[А] \А\ = 1, тогда существует конечное множество К С А такое, что А\ К — цепь. Теорема 2.7 [13] Если замыкание [А] множества А С OXi —копия (Зш, тогда А — объединение конечного числа антицепей. Также важным результатом является описание предельных точек цепей и антицепей в терминах центрированных систем множеств. Теорема 2.8 Если = {Сп\м} —максимальная центрированная система элементов семейства { Стгм : к Ті, М С ш } , то п{ С ,м : С \м Є } I = 1 Теорема 2.9 Если = {G} —максимальная центрированная система элементов семейства \ G = O i \ I I Ст,- : Т С Ті, Т о; mo h{G :Ge =1. На основании данных теорем выделены два класса точек S B\ ь так называемые и- и /-точки. м-точки — суть точки S B\ ь которые имеют базу окрестностей в 5 23 , состоящую из множеств вида С М, а -точки —суть точки S B\ ь которые имеют базу окрестностей в S B\ ь состоящую из множеств вида ( Tti \ [J Стг) .
В [4] доказана теорема 2.10, которая показывает, что -точки являются предельными точками цепей элементов из 0 1. В [6] доказана теорема 2.11, определяющая предельные точки антицепей из 9ti в терминах центрированных систем множеств. Второй параграф посвящен изучению свойств пространства S Bi . Результаты данного параграфа опубликованы в [28, 29]. Отличительной чертой данного пространства от б ЗЗід является то, что произвольный элемент s Є 9І2 имеет ровно 2 продолжения на следующий шаг. Прежде всего показано как связаны пространства б ЗЗід и S Bi . Теорема 2.12 Существует гомеоморфизм ф: [УІо]я -, -, — S%$-\ о такой, что ф\ух2 — тождественное отображение. Под [А]5 8іі понимаем замыкание множества А в пространтсве б ЗЗід. Отметим, что [О ЗЯЗц нигде не плотно в б Від.
Отсюда следует, что в пространстве SV&ip бесконечные цепи из 9І2 являются сходящимися последовательностями, а замыкания бесконечных строгих антицепей гомеоморфны (Зш. Однако, в отличии от пространства 5 Від, здесь пределы цепей являются изолированными точками в S B\2, а замыкания строгих антицепей являются открытыми множествами, что доказывается в следующей теореме. Теорема 2.13 Для пространства S B iy2 следующее верно: 1) А = {,Si Є УІ2 - і Є х } — полная цепь. Тогда А є 23і,2, [А] является открыто-замкнутым множеством в S Biy2 и [А]\ А состоит из одной точки. 2) Если А = {sn = f\n: п Є М}— цепь, где f Є Р2 и М С ш такое, что \М\ = \си \ М\ = си. Тогда [А] не является открыто-замкнутым множеством в S Bi. 3) А = {ТТ(П) : п Є М С ш} — строгая антицепь. Тогда А Є Ві;2 и [А] является открыто-замкнутым множеством в S Bіу2 и гомеоморфно (Зш.
Основное внимание в данном параграфе уделено изучению свойств открыто-замкнутых подмножеств пространства S B iy2.
Основным результатом данного параграфа является теорема 2.15, дающая критерий подмножества 9І2 замыкание которого является открыто-замкнутой копией (Зш.
Теорема 2.15 Пусть А С УІ2, \А\ = си. Замыкание [А] является открыто-замкнутой копией (Зш тогда и только тогда, когда А есть объединение конечного числа строгих антицепей из 9І2.
С другой стороны, приведен Пример 2.1, в котором строится подмножество 9І2 замыкание которого является не открыто-замкнутой копией (Зш. Также приведен Пример 2.2, в котором строится подмножество 9І2 замыкание которого открыто-замкнуто, не содержит изолированных точек и не гомеоморфно (Зш.
Для неизолированных точек из S B\2 доказана следующая теорема.
Теорема 2.14 В любой окресности Ох произвольной неизолированной точки из нароста х Є S Bi2 содержится открыто-замкнутая копия (Зш. Также как и в пространстве б ЯЗід здесь через центрированные системы множеств определяются и- и /-точки. Рассмотрено соотношение понятий и- и /-точек в пространствах SV&ip и б ЯЗід.
Теорема 2.18 Если х Є SV&ip, тогда х не является и-точкой в пространстве б ЗЗід. Следствие 2.9 Если является -точкой из B1,2, тогда не является -точкой в пространстве B1,1. Теорема 2.19 1) Если х является 1-точкой в SV&ip, тогда х является 1-точкой и в объемлющем пространстве б ЯЗід. 2) Если х является 1-точкой в SV&ip, тогда для любого X С OXi такого, что [Х]5 8і і \ = {ж} выполнено \Х \ ОТ21 Также приводятся результаты описывающие связь полных цепей и полных антицепей из 9І2 Теорема 2.16 Для пространства S Biy2 справедливо: 1) Если {ТТ(П): п Є си} — полная строгая антицепь, то множество 5 2 \ С-к = {tn: п Є со} — полная строгая цепь и tn = тт(п + 1)п+і для всех п Є со. 2) Пусть 9 2 = {t Є 5 2: істе = n + 1} для всех п Є со. Если }ТТ(П): п Є Ml таково, что \ Щ \ СЖ\ЛЖ\ = 1 для всех п Є со, то {7г(п): п Є М} — полная строгая антицепь. В третьем параграфе рассмотрено пространство S%$i . Результаты данного параграфа поданы в печать [31]. Отличительной чертой данного пространства от предыдущих простраств является то, что произвольный элемент s Є 91з имеет счетное число продолжений на следующий шаг. Как следствие этого, в данном пространстве фиксированный ультрафильтр не является изолированной точкой, а множество свободных ультрафильтров является всюду плотным.
Пространство B1,2
Рассматриваются свойства пространств Стоуна нескольких булевых алгебр. Основной упор делается на рассмотрение замыканий различных счетных подмножеств подпространств фиксированных ультрафиль-ров исследуемых пространств Стоуна.
Первый параграф посвящен пространству B1,1 построенному М. Бел-лом. Доказано, что замыкания бесконечных антицепей из N1 гомеморфно , а бесконечные цепи из N1 являются сходящимися последовательностями. Также описаны предельные точки цепей и антицепей из N1 в терминах центрированных систем множеств.
Во втором параграфе рассматривается пространство B1,2. Доказано, что оно вложимо в B1,1 в качестве нигде не плотного подмножества. Как и в пространстве B1,1 замыкания бесконечных антицепей из N2 гомеморфно , а бесконечные цепи из N2 являются сходящимися последовательностями. Однако предельные точки цепей здесь являются изолированными точками подпространства свободных ультрафильтров, а замыкания антицепей являются открыто-замкнутыми копиями .
Основным результатом данного параграфа является теорема 2.15, дающая критерий такого подмножества N2, замыкание которого является открыто-замкнутой копией . Также приведены пример подмножества N2, замыкание которого является не открыто-замкнутой копией , и пример подмножества N2, замыкание которого открыто-замкнуто, не содержит изолированных точек и не гомеоморфно .
Третий праграф посвящен пространству B1,3. Отличительной его чертой от предыдущих пространств является то, что фиксированный ультрафильтр в данном пространстве не является изолированной точкой, а множество свободных ультрафильтров является всюду плотным. Описаны точки данного пространства как ультрафильтры обладающие базисами определенного вида. Основными результатами для данного пространства являются теорема 2.21, дающая оценку числа Суслина подпространства свободных ультрафильтров B 1,3, и теорема 2.22 о плотности B 1,3.
В четвертом параграфе рассматриваются пространства B2,1, B2,2 и B2,3. Описаны точки пространства B2,3, как ультрафильтры обладающие базисами определенного вида. Установлено соотношение данных пространств с канторовым совершенным множеством. Доказано, что пространства B 2,1, B 2,2 и B2,3 гомеоморфны канторову совершенному множеству. 2.1 Пространство S%$\д.
В данном параграфе расматривается 5 Від, построенное Беллом [10]. Данное пространство изначально было первым объектом нашего изучения пространств Стоуна булевых алгебр. Здесь приведены результаты Белла о том, что нарост S B\1 удовлетворяет условию Суслина, но не сепарабелен. Данные результаты доказаны Беллом на основании леммы о представлении булевой алгебры Від в виде счетного объединения 2-сцепленных семейств множеств.
Также приведены результаты о существовании в 5 23ід сходящихся последовательностей и открыто-замкнутых копий (Зш. Полученные результаты опубликованы в [26], [27].
Получаем X С [Ся-] и при этом (911 \ С ) является непустым открыто замкнутым в S B\ 1 множеством, котрое не пересекается с X. Лемма 2.1 [10] Алгебра Від является счетным объединением 2-сцепленных семейств. Доказательство. Покажем, что ЯЗд 1 = {U Є 23ід: \U\ = си} есть объединение счетного числа 2-сцепленных семейств. Для каждого j Є си и s Є OXi, такого что clom s 2j — 1 определим B(jys) = {U Є ЯЗд 1: найдется конечное ІІГ С Ті и L Є expjTi, такое что s Є (Г Отг: 7Г Є К}) П (П{9Ті \ С : 7Г Є L}) Є expw [/"}. Покажем, что каждое B(jys) является 2-сцепленным семейством. Зафиксируем j Є си и s Є OXi такие, что dams 2j — 1. Пусть t/"o, і Є B(jys). Тогда существует конечное і Є Ті и Lj Є expfT\ (і = 0, 1), такие что s Є Di = (П{Стг: 7Г Є І І}) П (n{9ti \ Ст,-: 7Г Є Lj}) Є expJJi (і = 0,1). Теперь построим h Є Pi такое, что {/in: п ioms} С Do П Di. Строить h Є Pi будем по индукции по n dom s. Пусть h\dom s = s. По построению имеем h I dom s Є А) П Di. Предположим, что мы определим /in для n dom s так, что /гп Є DQC\DI. Определим h\n+i как продолжение h\n на n + 1 так, что h\n+i Ф (7Г(П): 7Г Є Ьо U Li}.
Это возможно, поскольку существует п + 2 различных продолжений /гп на п + 1, а Lo U Li\ 2j п + 1 п + 2. Так что найдется требуемое продолжение h\n до /in+i. Итак, h Е Pi с нужным нам свойством {h\n: п doms} С Do П Di построено, и следовательно, DQ П Di = о;. Остается показать, что %$ ц = U{B(j,s): j Є condoms 2j — 1}. Это следует из того, что, во-первых, всякое бесконечное U Є ЯЗід, \U\ = х , cо держит некоторое бесконечное множество D, являющееся пересечением эле ментов или дополнений элементов из -Від, и, во-вторых, всякое бесконечное подмножество О і содержит элементы со сколь угодно большими областями определения.
Пространства B2,1, B2,2 и B2,3.
Прежде всего выясним соотношение пространств S Biyi и StBip Лемма 2.2 Пусть Від = {G} — булева алгебра расширения Белла. Тогда семейство {G П 7У2: G Є ЯЗід} — это булева алгебра Ві;2. Доказательство. Нетрудно видеть, что семейство {G С\ N% . G Є ЯЗід} есть булева алгебра на 9І2- Покажем, что {G П 9І2: G Є ЯЗід} = Ві,2- Для этого достаточно заметить, что для всякого s Є 9І2 выполняется:
Доказательство. Расмотрим произвольную точку нароста х Є [9t2]s 8n \ 2- Точка х = {G Є Від: ж Є [G Sn} это ультрафильтр в булевой алгебре ЯЗід. Тогда х = {G П УІ2 - G Е х} является ультрафильтром в Я3і;2, то есть точкой расширения StBip Определим отображение ф по правилу:
Отображение 0 является отображением «на». Пусть = {С}— ультрафильтр в Bi 2- Тогда І П {[С1 ? Ві, G Є } = 1. Действительно, если бы нашлись х,у Є П{[С1 ? В : G Є }, ж Ф у, то t? L J - - 1,1 l a нашлись бы nGx Є x:Gy Є у (хиу можно рассмотривать как ультрафильтры на ЯЗід) такие, что Gx П Gy = 0. В силу того, что [Gx]sfs11 и [Gy]sfs11 — открыто замкнутые множества, получаем: G x = СЖП9І2 ф 0 и G = СУП9І2 ф 0, G X,G Є Я3і;2 и G ., G Є , что невозможно.
Положим ж = n{[G/l ?«Bi і : G Є }. По определению отображения (/ имеем: Анналогично доказывается и взаимная однозначность отображения 0. Непрерывность ф очевидна. Таким образом ф: [9t2]s 8n — 5 1,2 искомый гомеоморфизм. Таким образом S Biy2 вложимо в б ЯЗід как замкнутое множество. При этом S Bi является нигде не плотным в б Від, в силу вида базисных окрес-ностей.
Оказалось, что в наросте данного пространства есть изолированные точки, а в самом пространстве есть открыто-замкнутые копии (Зш.
Теорема 2.13 Для пространства S B іу2 следующее верно: 1) А = {,Si Є УІ2 - і Є х } — полная цепь. Тогда А є 23і,2; [А] является открыто-замкнутым множеством в S Biy2 и [А]\ А состоит из одной точки. 2) Если А = {sn = f\n: п Є М}— цепь, где f Є Р2 и М С си такое, что \М\ = \ии \ М\ = си. Тогда [А] не является открыто-замкнутым множеством в S Bi 3) А = {ТТ(П) : п Є М С ш} — строгая антицепь. Тогда А Є Я3і;2 и [А] является открыто-замкнутым множеством в S Bіу2 и гомеоморфно (Зии.
Доказательство. 1) Покажем, что А Є 23і,2. Для этого построим 7Гі, 7Г2 Є Т2 такие, что А = G7ri \ Съ2.
Определим 7Гі(г) = Sj, для всякого і Є си. 7Г2(0)(0) = (so(0) + l)mod 2 и K2(i)\i = Sj_i, 7Г2(і)(і) = (sj(i) + l)mod 2, при і 0 (другими словами 7Г2(і)— это продолжение Sj_i на і отличное от Si). Из построения очевидно, что А = С7,1 \С\2.
В теореме 2.4 доказано, что бесконечная цепь из OXi есть сходящаяся последовательность. Поскольку S Biy2 вложимо в S Biyi как замкнутое множество, и в силу Теоремы 2.12 получаем, что [А] \А состоит из одной точки. Поскольку А Є 23і,2, то [А] является открыто-замкнутым множеством в StBip.
Требуемое равенство выполнено в силу построения, так как С 0\ , UC j , вырезает из Стгі все продолжения элементов антицепи, оставляя только их. В теореме 2.3 доказано, что замыкание бесконечной строгой антицепи из OXi гомеоморфно (Зии. Отсюда и из Теоремы 2.12 следует, что [А] гомеоморфно (Зии. Поскольку А Є і,2, то [А] является открыто-замкнутым множеством в
Заметим, что согласно пункту (1) доказанной теоремы, предел цепи из 9І2 есть изолированныя точка нароста S Bl 2.
Для неизолированных точек нароста доказан следующий результат. Теорема 2.14 В любой окресности Ох произвольной неизолированной точки из нароста х Є S B\2 содержится открыто-замкнутая копия f3cu.
Доказательство. Рассмотрим произвольную базисную окресность неизолированной точки нароста Ох = IC , \ I J CJ, Т С То, Т си. Докажем, что найдется бесконечная строгая антицепь {SJ: І Є си} С C \ II Grr = G.
ТГЄТ Поскольку ж точка нароста, то G = си. Введем обозначение, s + 1— это множество продолжений s на dom s + 1, то есть s + 1 = {t Є 9 2: dom s = s, dom = dom s + 1}.
Разобъем G = / эж U Vb U Uox, где / эж = {s Є G: s + 1 П G = 0}, Vox = {s Є G: s + 1 П G = 2}, Uox = {s Є G: s + 1 П G = 1}.
Докажем, что если 1 эх = ш, то теорема верна. Заметим, что Щ = {t Є 5 2: dom = п} конечно для всех п Є си. Тогда найдется бесконечное МСш такое, что / эж П Щ ф 0 для всех п Є М, М = {пі,П2,... ,nj,...}.
В качестве Si выбираем произвольный элемент из Іох П ОТ . В итоге получаем бесконечную строгую антицепь {,Si: і Є си} С /0ж С G. Далее будем считать, что / эж конечно.
Теперь рассмотрим Vox. Если оно конечно, то Uox = си и найдется щ такой, что dom s щ для всех s Є Iox U Ьж. Тогда для всех m щ выполнено ОТ П G = 91 П /ож. Рассмотрим произвольное s Є ОТ П G, при m по. Поскольку s є /ож, то s + 1 = {sfysff}, где s Є Uox иS" G [J C . Так как s є G и s" G, то найдется тт Є T такое, что s" = ЇЇІ(ТП + 1).
Заметим, что для различных Si,S2 Є ОТ П G при т щ найдутся различные 7г , 7Г;/ Є Т такие, что si 7r (m + 1) и S2 ЇЇ"{та + 1), то есть 0Т П G Т для всех m щ. При этом для любого s Є ОТ П G при m щ найдется s Є 0Т+ П G, которое является его продолжением.
Таким образом G \ {s Є G: dom s no} представляет собой не более Т бесконечных цепей. Согласно пункту 1 теоремы 2.13 нарост G состоит из конечного числа изолированных точек. Это противоречит тому, что х не изолированная точка. Осталось рассмотреть случай, когда \Vox\ = ш. Возможны два варианта:
Определим A = [J Ai. Согласно теоремам 2.3 и 2.12 [А] гомеоморфно (3LU, при этом открыто-замкнутым в SB\ оно быть не может, так как в противном случае Д согласно теореме 2.15, можно было бы предстваить в виде конечного объединения строгих антицепей, то есть количество элементов антицепи имеющих один и тот же dom не превосходило бы количества строгих антицепей. А это не возможно, в силу того, что для любого п Є си найдется і(п) Є си: 4j(n) п, а все элементы А имеют одинаковый dom.
Замечание 2.1 Согласно теореме 2.14 нарост нашего пространства представим следующим образом: S B\ 2 = [ UB], где Л—множество всех изолированных точек нароста, В объединение наростов отрыто-замкнутых копий (Зии, А и В открытые подмножества StBip и А П В = 0. По теореме 2.14 имеем [В] = S%$1 2 \ А и, в силу приведенного примера 2.1, [А] ф S%$12 \ В.
В качестве А\ возьмем {7г(1)}. Пусть построены АІ для всех і п, тогда в качестве первого элемента цепи А \ возьмем то продолжение 7г(п + 1), для которого выполнено условие (3), далее нетрудно достроить цепь до нужной длинны (Aj+i = і + 1) с выполнением условия (2).
Все элементы цепи АІ, за исключением последнего, имеют в качестве одного продолжения на следующий шаг другой элемент АІ, а в качестве второго продолжения элемент из дополнения к данной цепи. И только оба продолжения последнего элемента цепи, не будут элементом данной цепи. вторых продолжений последних элементов наших цепей.
Согласно теореме 2.15 [А] не гомеоморфно f3co. Заметим также, что А не содержит ни одной бесконечной цепи, а значит в силу теорем 2.6 и 2.12, А = [А] \ А не содержит изолированных точек. В итоге мы получили подмножество 9І2, замыкание которого открыто в S Biy2 и не гомеоморфно (Зш, а нарост не содержит изолированных точек.
