Содержание к диссертации
Введение
1. Гильбертовы модули над алгебрами и их свойства
2. Алгебры ограниченных операторов гильбертовых модулей
3. Гомотопические свойства гильбертова модуля 1г1А
4. Некоторые приложения S3
Литература 66
- Гильбертовы модули над алгебрами и их свойства
- Алгебры ограниченных операторов гильбертовых модулей
- Гомотопические свойства гильбертова модуля 1г1А
Гильбертовы модули над алгебрами и их свойства
Теория С -алгебр и их представлений в последнее время стала интенсивно применяться в различных вопросах топологии. Наиболее плодотворные применения теории С -алгебр оказались в К -теории. Пожалуй, первые применения техники С -алгебр для решения некоторых вопросов теории векторных расслоений следует искать в работах по теории фредгольмовых операторов. Как известно, фредгольмовы операторы имеют единственный гомотопический инвариант - индекс фредгольмового оператора, который вычисляется как разность размерностей ядра и коядра оператора» Важным методическим наблюдением является тот факт, что для непрерывного семейства фредгольмовых операторов, хотя индекс и является локально постоянной функцией, более тонким гомотопическим инвариантом является пара векторных расслоений, слои которых образованы ядрами и коядрами семейства фредгольмовых операторов. Это наблюдение сделанное М.Атья [І? в 1965 году,и независимо К.Ени-хом [2] в 1964 г., позволило интерпретировать К -группы в терминах фредгольмовых операторов и в терминах эллиптических псевдодифференциальных операторов. В связи с этой проблематикой важное место занимает теорема Кюйпера [3] 1965 г., о том, что группа всех обратимых ограниченных операторов бесконечномерного гильбертового пространства стягиваема. Это в частности означает, что любое векторное локально тривиальное расслоение,слой которого изоморфен бесконечномерному гильбертовому пространству, является тривиальным расслоением. В дальнейшем оказалось,что естественные варианты К -теории в произвольных банаховых категориях, которые исследовал М»Каруби О], [5] 1971 г., в случаях С -алгебр получили интересные приложения. Эти приложения свя - з заны с тем обстоятельством, что некоторые С -алгебры естественно возникают в топологических задачах. Одной из таких задач является задача описания гомотопических инвариантов неодносвяз-ных многообразий. Ряд таких инвариантов удобно описывать в терминах К -теории для групповой С -алгебры фундаментальной группы неодносвязного многообразия. А.С.Мищенко (1970-1978 гг.) [6], [7]» [8] разработал теорию сигнатурных инвариантов неодносвяз-ных многообразий и теорию индекса эллиптических операторов над С -алгебрами для исследования гомотопических инвариантов неод-носвязных многообразий. В частности была разработана теория фредгольмовых операторов над С -алгебрами и построен индекс фредгольмовых операторов над С -алгебрами как элемент К -группы С -алгебры. Г.Г.Каспаров разработал применения техники -алгебр к гомотопическим инвариантам, описывающим расширения -алгебр f9]. Оставался открытым вопрос: какова гомотопическая структура группы всех обратимых операторов бесконечномерного гильбертова модуля над С -алгеброй. От решения этого вопроса зависило, в частности, решение задачи описания гомотопических инвариантов фредгольмовых операторов над С Алгеброй.
Настоящая диссертация посвящена исследованию гомотопической структуры группы обратимых операторов бесконечномерного гильбертового модуля L (А) над С -алгеброй А # Гипотеза, которую проверял автор, заключалась в том, что все гомотопические группы $ЇК((ІІУ (Cz(Aii) тривиальны. В случае, когда алгебра А равна полю комплексных чисел Є , эта гипотеза справедлива и составляет теорему Кюйпера. Обобщение же теоремы Кюйпера на случай произвольной С -алгебры А может быть произведено двумя способами.
Содеражние диссертации. Диссертация состоит из введения и четырех параграфов. В первом параграфе даются основные определения изучаемых объектов, рассматривается вопрос о том для каких модулей над С -алгеброй А существует структура скалярного произведения со значениями в алгебре А Кроме этого изучается вопрос о проективности гильбертовых А -модулей, который необходимо для изучения свойств фредгольмовых А -операторов. А также доказывается ряд свойств гильбертового модуля (А). Новыми являются следующие теоремы.
Алгебры ограниченных операторов гильбертовых модулей
В расщепляется и модуль -допускает гильбертову» структуру ([127, теорема I). Следствие I.I. Пусть А -модуль В допускает свободную резольвенту гильбертовых модулей конечного типа. Тогда модуль В -проективен ([I2J, следствие I). Теорема 1.4. Пусть -автодуальный А -модуль допускающий резольвенту А -модулей. 0 г— в Л- +— где С - свободный модуль конечного типа. Тогда А модуль Е -гильбертов ([12], теорема 2). Свойство 1.2. Если элементы ХЛЄ. t (А) удовлетворяют следующим условиям SC;X = V , - // осл // - 6 «. для некоторого О -У , то гильбертов А модуль 2г (А) допускает ортогональное разложение на прямую сумму 4 (А) і «JJ Ф { x J х , а модуль і Лі изоморфен прямой сумме А $А с образующими X и ь (см. в [I3J, свойство I). СВОЙСТВО 1.3. Пусть Ц,; Ьг. (А) — 1Ь (А) унитарный оператор и 6 Є {г (А) первый базисный элемент в базисе {cj сьг(А) и выполняется следующее равенство X = м C&i) . Тогда суще J. ствует такой элемент Ч Є г (А) , что модуль 8г(А) допускает следующие разложения на прямые суммы 4 (А) -- { хф Ф{х, м , 4 (Ah if, е { Ф J (см. sfl3j, свойство 2). В 2 доказаны следующие новые свойства операторных алгебр гильбертовых модулей. В теореме 2.1 доказано, что пространство А (М) - эндоморфизмов допускающих сопряженный эндомор физм гильбертового модуля АІ является С -алгеброй. Основным результатоя второго параграфа является следующая Теорема 2.2. С - алгебра А ло/., ( (А )) изометрически вкладывается в С -алгебру A -- n J/(jA)). 3 посвящен доказательству основной теоремы диссертации. В случае когда оператор Ч J & (А ) - ?г LA) принадлежит алгебре А " , то оно гомотопируется к виду ( о и ) В общем случае когда оператор Ц ; t ( А-) — вг(А) лежит в алгебре А искомое разложение получается с помощью обобщения свойства 1.3 на случай бесконечной последовательности базисных элементов. 4.посвящается приложениям полученных результатов в теории гильбертовых модулей и фредгольмовых операторов над О -ал - 7 гебрами. Получены следующие результаты. Теорема 4.3. Каждое А расслоение со слоем гильбертового модуля lz(A) , структурной группой QL (L(A)) И базисным пространством X является тривиальным расслоением. Здесь X -топологическое пространство имеющий гомотопический тип с W -комплекса. Теорема 4.4. Имеет место изоморфизм inoleoc: Ji0 (J А) 0(А) Теорема 4.5. Имеет место изоморфизм ІХ,Т А(іг(А))\ К4 (X) Из теоремы 4.4»заключаем, что индекс является единственным гомотопическим инвариантом фредгольмового оператора над С -алгеброй. Результаты четвертого параграфа опубликованы в работе [II]. Научная новизна. Новым в настоящем исследовании является следующее: Доказано тривиальность всех гомотопических групп: Зїк (1/( Bt(A))) =0 Для всех к о, Л, Получены некоторые новые свойства гильбертовых модулей над -алгебрами. Показано, что единственным гомотопическим инвариантом фредгольмового оператора над С -алгеброй является его индекс
Приложения. Полученные результаты могут найти применение в теории фредгольмовых операторов над 6 -алгебрами и в теории гильбертовых модулей над С -алгебрами, которые являются новыми направлениями в топологии и в функциональном анализе. В этом параграфе мы дадим определение гильбертовых модулей, рассмотрим вопрос о том для каких модулей над С -алгеброй А существует структура скалярного произведения со значениями в алгебре А , а также докажем несколько свойств гильбертовых мо-дулей. В начале изложим основные свойства 6 -алгебр, доказательства которых можно найти в работе [1ЧІ. Теорема I.I. Пусть А - С -алгебра, А - инволютивная алгебра, полученная из А -присоединением единичного элемента На А существует единственная норма продолжающая норму на А и превращающая А на С -алгебру. ([ИЬ- предложение 1.3.8). Основываясь на этой теореме предположим, что рассматриваемые нами С -алгебры имеют единицу.
Гомотопические свойства гильбертова модуля 1г1А
С -алгебрами. Определение 4.1. Пусть {M-L\ - счетное семейство гильберто вых А -модулей такое, что /А /Л , т.е. каждый гильбертов мо дуль Л16- изоморфен гильбертовому модулю Д1 над С -алгеброй А . Тогда через обозначим гильбертовую прямую сумму ф Д. , т.е. г (/4)- .Ф/Ч(- "" Пусть j\ --рс 1 (( (Ґ\))-Сг алгебра А -эндоморфизмов, допускающих сопряженные эндоморфизмы. Пусть /Л -гильбертов модуль над -алгеброй А . Обозначим через \_/Л] -класс гильбертовых /I -модулей изоморфных гильберто-вому /4 модулю t\ . Выберем из каждого класса [М] по одному представителю /М , т.е. модуль /М - не изоморфен 4 модулю Ґ\у , если o j » где , j Z. .
Теорема доказана В работах М.Каруби ([4], [5]), А.С.Мищенко ([21]), Ю.П. Соловьева ([22]) исследованы векторные расслоения над С -алгебрами. Следующая теорема относится к теории векторных расслоений над С -алгебрами. Из теоремы 3.1 заключаем, что справедлива следующая теорема#
Теорема 4.3. Каждое локально тривиальное А -расслоение со слоем гильбертового модуля і г (А) , структурной группой (о, L ( ivl А)) и базисным пространством X является тривиальным расслоением. Здесь X - топологическое пространство либо компактное, либо имеющее гомотопический тип С чх/ -комплекса [II].
Прежде чем сформулировать полученные приложения результатов первых трех параграфов к теории фредгольмовых операторов над (2 -алгебрами приведем определение фредгольмового оператора над С -алгеброй данное А.С.Мищенко в работе [іб]. Определению фредгольмового оператора над С -алгеброй предшествует следующая Лемма 4.2. Пусть 2(А МФУ, /Ч Y- замкнутые в Ijh).
Поскольку из следствия 3.3 следует, что каждый допускающий сопряженный изоморфизм гомотопен в классе изоморфных операторов тождественному оператору, то получим, что оператор гомотопен в классе фредгольмовых операторов тождественному оператору. Теорема доказана. Теорема 1 2. Пусть А - С -алгебра. Существует изометрическое представление А в гильбертовом пространстве ( [14], теорема 2.6.1). В силу теоремы 1.2 получаем, что если Н -гильбертово пространство, то каждая замкнутая инволютивная подалгебра 5(И - алгебры непрерывных эндоморфизмов пространства Н , есть С -алгебра, и обратно, каждая С -алгебра изоморфна С - алгебре этого вида.
Определение 1.4, Пусть { MihaT - семейство гильбертовых /\ -модулей. Гильбертовой прямой суммой $ /Ас называется пополнение соответствующей алгебраической прямой сумме по норме, определенный скалярным произведением.
В работе ( 21 ) определена категория М , объектами которой являются гильбертовы С -модули, а морфизмами - гомоморфизмы из банахово пространства Нот д С lAXj А ). Оказывается для категории справедлива следующая Лемма 1.4. Всякий счетно-порожденный гильбертов -модуль является проективным объектом в категории относительно эпиморфизмов ( Г 21]. Теорема 1.3). Лемма 1.5. Свободные модули конечного типа автодуальны. Доказательство. По определению алгебра А является свободным модулем конечного типа. Покажем, что модуль А автодуален, т.е. модуль А изоморфен модулю п O LA/ ) Пусть KJ \ А А произвольный гомоморфизм. Он определяется своим значением в единице. Поэтому соответствие является изоморфизмом. Тем самым мы показали, что модуль А автодуален. Теперь покажем, что модуль Ел = Ф А —Ф_А; - І9 автодуален. Хорошо известно следующее свойство функтора Horn. А именно, How . Поэтому имеет место изоморфизм
Тогда отсюда получаем, что для кавдого функционала J f справедливо равенство F( ),& = " если эс е -e)t , т.е. для любого GS I элемент Fff) ортогонален модулю 1 еъ f , т.е. F( )1 \Cerc . Следовательно, FC -f ) - - Так как модуль Хи f изоморфен модулю , то модуль Е изоморфен ортогональному дополнению модуля Кем. { . Значит модуль Е - допускает гильбертовую структуру, так как она изоморфна прямому слагаемому гильбертова модуля Є . А отсюда «ввиду автодуальности модуля Е получаем, что" - гильбертов.
