Содержание к диссертации
Введение
1 Доказательство теоремы 1 26
1.1 Случай 1 = 1 27
1.2 Случай I > 1 30
2 Доказательство теоремы 2 35
2.1 Случай коэн-маколеевости 35
2.2 Случай точного функтора 43
3 Доказательство теоремы 3 46
Литература 48
Введение к работе
Настоящая работа, находящаяся на стыке коммутативной и некоммутативной алгебры, посвящена исследованию алгебраического обобщения одной задачи, возникшей в области приложений коммутативной алгебры к линейным уравнениям в частных производных с постоянными коэффициентами. Эти приложения разрабатываются более полувека: инвариантный способ описания системы линейных дифференциальных уравнений
(Dufi + -{ Dimfm = О,
V А»1/і ^ " Dnmfm ~ О,
где fj — функции нескольких вещественных переменных, Dij — дифференциальные операторы, заключается в рассмотрении (левого) модуля М над кольцом дифференциальных операторов (D-модуля), являющегося фактором свободного модуля ранга m по подмодулю, порождённому строками матрицы (Dij). Тогда, рассматривая кольцо гладких (аналитических, обобщённых) функций О как модуль над кольцом дифференциальных операторов, легко увидеть, что пространство гладких (соотв., аналитических, обобщённых) решений нашей системы отождествляется с пространством гомоморфизмов >-модулей Нот(М, О): образующие М переходят в функции fj, которые удовлетворяют системе уравнений, потому что на образующие модуля были наложены соотношения. Но кольцо дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами является кольцом (коммутативных) многочленов от операторов -г первых частных производных по переменным, так что в случае постоянных коэффициентов таким образом получается модуль над кольцом многочленов. Многие содержательные свойства решений системы дифференциальных уравнений естественно переформулируются в терминах коммутативно-алгебраических свойств этого модуля, см., в частности, [19]. В статье [1] рассматривался модуль над кольцом многочленов, сопостав-
ленный таким образом системе Коши-Фуэтэ, задающей кватернионно-дифференцируемые функции. Это модуль Л4п = R4/(An), где Ап — матрица Ui\ - \Un, (Аг) ~ подмодуль, порождённый её столбцами,
(
%і Ці %і *i '
Уі %i Н Z{
Z% "і &і У і
Ц Z{ Уі Х{ J
a R = к[{хи Уі, Zi, *і}"_і], k — поле.
Авторы показывали, что проективная размерность этого модуля равна 2п — 1, и выводили отсюда, что вялая размерность пучка кватернионно-дифференцируемых функций п переменных тоже равна 2п — 1 [1, Theorem 3.1] и что когомологии этого пучка, начиная с (2п — 1)-й, на любом открытом подмножестве в W1 обращаются в нуль [1, Cor. 3.4].
Авторы использовали некоторые понятия и методы коммутативной алгебры, которые мы сейчас напомним. Дальнейшие детали и ссылки см. в разделе 0.1.
Определение. Пусть R — нётерово коммутативное кольцо, М — Я-мо-дуль. Последовательность аі,...,ап є R называется М-регулярной, если (ai,..., ап)М ф М и для і от 1 до п в модуле М/(а\,..., аі-і)М умножение на щ инъективно.
Определение. Пусть R — нётерово коммутативное кольцо, М —. jR-mo-дуль, I С R — идеал, и IM ф М. Длина depth(7, М) любой максимальной М-регулярной последовательности в I называется глубиной М относительно I. При рассмотрении глубины градуированных модулей над кольцом многочленов относительно идеала всех многочленов без свободного члена мы будем опускать указание идеала.
Формула Ауслендера—Буксбаума. Для градуированного модуля М над кольцом многочленов R depth М -f pd М = dim R.
Авторы вычисляли проективную размерность при помощи формулы Аус-лендера-Буксбаума, а не построением резольвенты, так как этот путь они считали слишком сложным. Необходимая для применения формулы Ауслен-дера-Буксбаума глубина этого модуля, равная 2п + 1, вычислялась в [1] посредством явного (при помощи базисов Грёбнера) предъявления Л4п-после-довательности. В статье также была найдена размерность Крулля Л4п, для чего рассматривалось касательное пространство к носителю этого модуля в
0n = Specm R для к = С. Таким образом была доказана коэн-маколеевость этого модуля, то есть равенство размерности Крулля и глубины (определение 0.1.6).
В статье [2] авторы продолжили исследования этого модуля с помощью базисов Грёбнера, найдя (градуированные) числа Бетти (то есть ранги и сте- . пени порождающих для членов градуированной минимальной свободной резольвенты Л4п), ряд Гильберта (то есть размерности однородных компонент модуля) и кратность ЛЛп (то есть асимптотику роста размерности однородной компоненты модуля с ростом степени этой компоненты). Мы напомним точные определения и основные свойства этих понятий в разделе 0.3.
Аналогичные исследования других систем дифференциальных операторов с постоянными коэффициентами проводились в [8], [12], [13].
Как объяснено в начале, в [1] матрица Ап получилась из системы линейных дифференциальных уравнений в частных производных, задающей ква-тернионно-дифференцируемые функции, транспонированием и заменой операторов частных производных по переменным на сами переменные. Однако можно заметить (ср. [2, Introduction]), что матрица Щ есть матрица левого умножения на Х{ — yii — Zij — Uk в базисе 1, г, j, к. Такой взгляд на матрицу Ап позволил, как заметил Е. С. Голод, полностью понять структуру модуля Л4п, в частности, его проективной резольвенты. Комплексифицируем алгебру ква- . тернионов. Так как при замене базиса в алгебре матрица Щ заменяется на сопряженную и в ней происходит линейная замена переменных, то структура модуля Л4.п от этого не изменится. Поэтому изоморфизм Ш <8>ir С — Мг(С) — матричной алгебре — позволяет в базисе из матричных единиц придать матрице U% вид
\
Щ Of
0>і Ьі
сі d{ )
/ V
то есть Мп = М'п ф М'п, где М'п — фактор R2 по столбцам общей 2 х 2п-матрйцы. А про М'п известно [6], что это — коэн-маколеев модуль проективной размерности 2п — 2 + 1 = 2п — 1 и что его минимальная резольвента — это комплекс Игона-Норкотта (называемый в [11] комплексом Буксбаума-Рима, см. раздел 0.2). Это описание резольвенты позволяет упростить доказательства основных результатов из [2], см. главу 3 настоящей работы.
Отсюда возникло следующее обобщение этой задачи. Пусть А — конечно-
мерная ассоциативная алгебра с 1 над полем к с базисом /i,..., /^, а р: А —> Мп(к) — её матричное представление, отвечающее А-модулю М, dimk М — п. Зададим натуральное I и рассмотрим кольцо многочленов R = к[жц,..., Xdi] и модуль Fi(M) над ним (FlR(M), если надо явно указать кольцо многочленов, так как иногда мы будем рассматривать и кольцо многочленов, содержащее некоторые дополнительные переменные), являющийся фактормодулем свободного .R-модуля Rn по подмодулю, порождённому столбцами матриц Id/ = ^ p{fi)xij, j = 1,..., I (Idj , если нам потребуется явно указать алгебру А во избежание путаницы). Мы исследуем вопрос о коэн-маколеевости и размерности модулей Fi(M) и их аннуляторов.
Ответ на этот вопрос оказался связан с классом максимально центральных алгебр, введённым Адзумая в [3, 4]:
Определение [3, 2]. Конечномерная ассоциативная алгебра А над к с
единицей называется максимально центральной алгеброй, если А — прямая
сумма алгебр А{, факторы которых по радикалу просты и
t dimk А{ < t- dimk Z(Ai),
где tl — это ранг Aij rad A{ над своим центром и на самом деле имеет место
равенство. *
Если U одинаковы для всех слагаемых, то будем называть максимально центральную алгебру равноразмерной.
Другие эквивалентные определения этих алгебр приводятся в разделе 0.7. Результаты дальнейшего развития работ Адзумая, приведшего к понятию алгебр Адзумая, см., в частности, в [9].
В настоящей работе доказывается
Теорема 1. Пусть либо I = 1, либо А — максимально центральная алгебра. Тогда
i) Fi(-) есть точный вполне строгий функтор из категории конечномерных А-модулей в категорию градуированных R-модулей и однородных гомоморфизмов степени 0;
2) если 1=1 или А разноразмерна с t% = п, то функтор Fi(-) переводит конечномерные А-модули в коэн-маколеевы R-модули проективной размерности (I — 1)п 4- 1 (что равно 1 при I = 1), а для произвольной максимально центральной А функтор Fi(-) переводит неразложимые конечномерные А-модули в коэн-маколеевы R-модули;
3) при I = 1 для любого М аннулятор Fi(M) — главный идеал.
Имеется обратный результат:
Теорема 2. Если для некоторого I > 1 либо функтор Fi точен, либо для всех неразложимых модулей М модули Fi(M) коэн-маколеевы, то А — максимально центральная алгебра, а если отбросить условие неразлооюимости, то А — равноразмерная максимально центральная алгебра. Более того, для произвольной (ассоциативной с 1) алгебры А для некоторого А-модуля М и некоторого I > 1 модуль Fi(M) коэн-маколеев, если и только если А/ аппМ — равноразмерная максимально центральная алгебра.
Полученная при доказательстве теоремы 1 информация о минимальной резольвенте модулей Fi(M) (лемма 1.9) позволяет найти различные инварианты этих модулей и, в частности, передоказать и обобщить основные результаты статьи [2]:
Теорема 3. Пусть максимально центральная алгебра А равноразмерна и все U равны п. Тогда для любого А-модуля М инварианты Fi(M) получаются умножением на dhrik М/п из инвариантов F\{P) для простого А-модуля Р, где A = A kk — k-алгебра, к — алгебраическое замыкание к. А инварианты модуля Fi(P) имеют следующие значения:
числа Бетти &о = n, Ь\ = In, b{ = (n+"_i) C^l^3) nPu * ^ ^, сосредоточенные в степени 0,1, п+г — 1 соответственно (то есть ранги модулей Fi в минимальной градуированной свободной резольвенте равны 6г- и у каждого Fi все образующие имеют одну и ту же степень, равную О при і = 0, 1 при г = 1, п + г — 1 при і ^ 2);
коэн-маколеев тип t = 6(/_i)n+i =(^)/
ряд Гильберта ^T^dinik Fi(P)ktk, где Fi(P)k — однородная компонента модуля степени к)
Fi(P)(t) = (1 - tf-Vn+1-dimR У2 (ІП) (п - i)tl(l - t)"-1-*;
і=о V г / . .
кратность
е = (dim Д- (/ - 1)п - 2)! lim dimkFl(P)k/kdimR-{l-1)n-2 =
k-teo
Заметим, что рассматриваемым модулям над кольцом многочленов можно при помощи конструкции, описанной в начале введения, сопоставить некоторые системы уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами, что даёт возможность проинтерпретировать полученные результаты в терминах теории уравнений с частными производными. Помимо этого, результаты этой работы могут найти применение в кватернионном анализе: было бы интересным получить из комплекса Игона-НоркОтта, являющегося минимальной резольвентой модуля Л4п из [1], явную ацикличную резольвенту для пучка кватернионно-дифференцируемых функций — аналог комплекса Дольбо в комплексном анализе — и с её помощью дать для теоремы 3.1 и следствия 3.4 из [1] аналитические доказательства, которых не хватает авторам. Заметим также, что в работе [13] авторам удалось исследовать соответствующие модули при помощи базисов Грёбнера только путём компьютерных вычислений при «числе переменных» 2 и 3, так что, возможно, применение в той задаче методов коммутативной алгебры, аналогичных использованным в диссертации, позволит продвинуться дальше.
Случай 1 = 1
Будем обозначать Idi просто Id. Лемма 1.1. Для любого А-модуля М последовательность R-модулей точна. Доказательство. Заметим, что F\(M) = М/ЫМ и что нужно проверить лишь точность в самом левом члене, то есть отсутствие ядра у Id на М. Покажем это от противного: пусть х Є М — ненулевой элемент Кег Id. Тогда (det Ы)х — 0, а так как М — свободный Д-модуль, a R — кольцо многочленов, значит, det Id = 0. Но подставив вместо переменных ХІ такие Q Є к, что Ylifi = Ai мы получим, что det Id(ci,..., CdimA) = det їм = 1, значит, det Id ф 0. Противоречие. Замечание 1.2. На самом деле мы сейчас проверили частный случай критерия точности из предложения 0.2.3, а также доказали, что det Id — регулярный элемент в annFi(M). Значит, dimFi(M) dim і? — 1, но наша точная последовательность — минимальная резольвента F\{M) над R =$ но предложению 0.1.5 F\(M) — коэн-маколеев модуль и pd M = 1, то есть пункт 2 доказан. Докажем точность i i(«). Пусть С = (0 —у А - А — 0) — свободная резольвента Fi(A) над А и над А (по лемме 1.1), тогда для любого А-модуля М Щ(С А М) = Tor?(Fi(A), М), а откуда по лемме 1.1 для любого М Tor (Fi(A), М) = 0. Теперь для любой точной последовательности Л-модулей 0—» М — N —у Р —»0 имеем точную последовательность и требовалось. Докажем, что JFI(-) — вполне строгий функтор в градуированную категорию. Минимальная резольвента F\(M) над R имеет вид и любой однородный гомоморфизм Д-модулей р: F\(M) — Fi(N) продолжается до однородного гомоморфизма их минимальных резольвент: Гомоморфизмы свободных модулей / и д задаются матрицами над R, а так как эти гомоморфизмы — однородные степени 0, то эти матрицы на самом деле над к, то есть / и g происходят из гомоморфизмов векторных пространств /, д: М — N. Из коммутативности диаграммы / о Id = Id о д. Подставив в Id набор щ : aifi = 1л, получим / = д, а подставив всевозможные другие наборы, получим, что / Є НОША(М, N). Так как і і(/) = , то отображение пространств гомоморфизмов сюръективно. Так как при выборе базиса в М и опускании его в k-базис Fi(M)/mFi(M), где m = (х\,... , ЯсИтл)) / и (Я/т) g) (р задаются одной и той же матрицей, то матрицу / можно восстановить по ip и отображение пространств гомоморфизмов инъективно. Замечание 1.3. Для неизоморфных М и N модули F\(M) и F\(N) не изоморфны даже без учета градуировки: однородная компонента степени 0 изоморфизма сама является изоморфизмом. Замечание 1.4. Представив кольцо к[А] как фактор кольца к[А1} но идеалу, порождённому переменными Хц с j 2, мы видим, что так как при этом домножении матрица Idi не изменится, а остальные Idj станут нулевыми. Так как модули Fi(M) порождены в степени 0, элемент HomgrR(Fi(M) Fi(N)) задаётся матрицей из Homk(M, N), то есть функторы Fi(-) и тензорное домножение инъективны на морфизмах. Так как их композиция биективна на морфизмах, получаем, что функтор Fi(-) вполне строг как функтор в категорию градуированных модулей для любой ассоциативной алгебры Асі.
Докажем пункт 3. Сначала заметим, что при расширении основного поля минимальное число образующих аннулятора модуля сохраняется, и далее до конца доказательства пункта 3 будем считать к алгебраически замкнутым. Лемма 1.5. М — простой А-модулъ = - annFi(M) — простой главный идеал. Доказательство. М — простой Л-модуль = М — модуль над простым сла гаемым полупростого фактора алгебры А, то есть модуль kn над Mn(k) со гласно теории конечномерных ассоциативных алгебр ([16, главы 13-14], [17]). То есть F\(M) = Rn/(A): где А = (а ), а - — независимые переменные. А для такого модуля известно, что, так как det А неприводим, (det А) прост и равен annFi(M) ((det Л) С annFi(M), (det Л) — простой идеал высоты 1, а pdflFi(M) = 1 = htannFi(M) 1). Докажем пункт 3 индукцией по длине Л-модуля М. Для 1{М) = 1 это лем ма 1.5. Если 1{М) 1, то найдётся простой подмодуль N С М. Тогда по пунк ту 2 имеем точную последовательность 0 — F\(N) — F\(M) — Fi(P) — 0. Так как 1(Р) 1(М), по предположению индукции annFi(P) = (а) — глав ный идеал. Пусть х Є annFi(M), тогда х аннулирует F\(P). Значит, х = ау, где у аннулирует aF\(M). A aF\(M) — это подмодуль в F\ (N); если aF\(M) = 0, то х аннулирует F\(M) тогда и только тогда, когда х Є (а), и aim JFi(M) = (а); если же aF\{M) ф 0, то AssaFi(M) С AssFi(iV). Но AssFi(iV) = {(р)}, где (р) = annFi(JV), так как по пункту 2 F\(N) коэн-маколеев, так что AssFi(N) совпадает с множеством минимальных простых идеалов над annFi(iV), a annFi(iV) прост. Тогда, так как все ассоциированные с aF\(M) простые идеалы содержат его аннулятор, annaFi(M) С (р) = anni i(iV), но aFi(M) — подмодуль Fi(iV), и поэтому arm F\(N) С annaFi(M). Значит, annaFi(M) = (р). Итак, annFi(M) = aannaFi(M) = (ар). П
Случай I > 1
Для начала заметим, что максимально центральная алгебра по определению есть прямая сумма равноразмерных максимально центральных, модули над ней — прямые суммы модулей над слагаемыми, и то же верно для коротких точных последовательностей и для гомоморфизмов. В частности, неразложимые модули — модули над одним из слагаемых. Так что достаточно доказать теорему для равноразмерных максимально центральных алгебр: точность функтора также достаточно проверять над каждым из слагаемых. Теперь общие замечания о расширении полей. Лемма 1.7. 1) Функтор Fi(-) перестановочен с операцией расширения поля констант. 2) Модуль Fi(M) будет коэн-маколеев после расширения поля констант тогда и только тогда, когда он был коэн-маколеев и до расширения. 3) Пункт 1 теоремы 1 выполняется после расширения поля =ї он выполнялся до расширения. Доказательство. 1) Очевидно из конструкции. 2) Заметим, что для каждого градуированного Д-модуля D расширение поля сохраняет минимальную градуированную резольвенту D над R, а следовательно, размерности D: проективную и Крулля (функция Гильберта модуля есть эйлерова характеристика резольвенты по отношению к функции Гильберта), а значит, и свойство быть или не быть коэн-маколе-евым (по предложениям 0.1.5 и 0.1.7 D коэн-маколеев 4= pdD-{-dimD -— dim R). 3) Функтор Нот и взятие гомологии перестановочны с расширением основного поля. Итак, достаточно доказать теорему для равноразмерной максимально центральной алгебры и после перехода к алгебраическому замыканию поля. Так что по замечанию 0.7.2 достаточно доказать нашу теорему для алгебр вида Мп(К), К коммутативна, над алгебраически замкнутым полем к, чему и будет посвящен остаток раздела. Заметим, что для А = Мп(К) тензорное домножение на (Л, К)- и (К, А)-бимодуль Кп задаёт эквивалентность категорий Л-модулей и К- модулей (Мо-рита-эквивалентность). Опишем теперь функтор, сопоставляющий Л-модулю М минимальную резольвенту Fi(M) над R. Обозначения 1.8. R можно описать как к[{жа о; Є [l,dimkif], і Є [l,n], j Є [1,/n]}]. Положим R[T] = R[{Tij\i Є [l,n], j Є [l,ln]}], p = ( -n x In матрица, С — соответствующий ip комплекс Игона-Норкотта номер 1 (определение 0.2.1), К = К R, Id = Ylaf xaij Є К, ще. fa — k-базис К. Пусть /С — (К, Л)-бимодуль Кп. Заставив Тц действовать на /С эндоморфизмами Id - (коммутирующими, так как К коммутативна), зададим на /С структуру і?[Т]-модуля. Положим С равным С 8 д[г] fC — комплексу правых проективных (как прямые суммы /С) А-модулей. _Тогда Fi(M) = Н0(С А М) для любого М: это Сокег(Л?п - Мп), где М. — К 8 М) и в і?-базисах этот гомоморфизм задаётся блочной матрицей (р = (Idjj). Комплекс САМ = С Эд[г].М является минимальным комплексом длины (/ — 1)п+ 1, и он и будет минимальной резольвентой для (М), а С — проективной резольвентой Fi(A) как правого А- (и А-) модуля по следующей лемме: Лемма 1.9. Для любого М и для любого і О Щ(С 8 л М) = 0.
Доказательство. По критериям точности комплекса Игона-Норкотта (раздел 0.2) для этого надо лишь доказать, что в 1п( р) — идеале максимальных миноров матрицы (р — есть Af-последовательность длины (Z — 1)п + 1. Эта последовательность состоит, как мы покажем, из миноров, соответствующих п столбцам, взятым подряд. М. коэн-маколеев как Л-модуль, а значит, и как і?[Т]-модуль (как градуированный модуль над градуированным кольцом, где добавленные Тц — тоже степени 1), так как размерность Крулля, определяемая по функции Гильберта градуировки, у него над обоими кольцами одна и та же, и максимальная однородная .М-последователыюсть в R будет таковой и в R[T]. А значит (предложение 0.1.8), регулярная „М-последовательность — это такая, при факторизации по которой размерность модуля уменьшается на её длину. Л4 — свободный Д-модуль, и фактор Л4 по нашей последовательности — это фактор по столбцам матриц, являющихся соответствующими минорам суммами произведений Id . Пусть /і — единица К. Упорядочим переменные xaij следующим образом: — и возьмём от этого степенной-лексикографический порядок в R и «моном важнее места» (как на базисе модуля задан порядок — неважно) в Л4. Посмотрим, чему равны старшие члены наших столбцов соотношений при таком порядке. У матрицы, соответствующей Т .. injn, каждый моном в каждом элементе есть xaiixjx ... xaninjn для каких-то а. Самый старший из таких мономов — хцх .. -Хц п. Из того, что при подстановке Х2ц = = x(dimK)ij = 0 получается матрица хц Е.. .xunjnE, где Е — единичная матрица, видно, что этот моном встречается во всех диагональных элементах,
Случай коэн-маколеевости
Будем доказывать сразу самое сильное утверждение, поскольку оно легко сводится к случаю алгебраически замкнутого поля. Предложение 2.1. Если для некоторого I 1 и некоторого А-модуля М Fi(M) коэн-маколеев, то А/аппМ — равноразмерная максимально центральная алгебра. Доказательство. Заметим, что поле можно считать алгебраически замкнутым, так как свойство коэн-маколеевости Fi(M) от этого не зависит (п. 2 леммы 1.7). Так что по замечанию 0.7.2 надо доказать, что А/ аппМ — прямая сумма матричных алгебр одного и того же ранга над коммутативными. Перейдя к фактору А по апп М, можно считать, что апп М = 0. Так что далее в этом подразделе мы считаем, что к алгебраически замкнуто, а апп М = 0 (модуль М точен). Лемма 2.2. А есть прямая сумма алгебр Aj, полупростые факторы которых просты, и эти факторы есть матричные алгебры одного и того же ранга. Доказательство. Выберем вложение A/radA = MHl(k) 0 ф Mnfc(k) в А как подалгебры, содержащей 1 (над алгебраически замкнутым полем такое существует по теореме Веддерберна-Мальцева, см. предложение 0.6.4), выберем в М композиционный ряд 0 — MQ С М\ С С Мт = М и выберем в М k-базис ei,... ,ет, согласованный с этими выборами, то есть такой, что МІ = еі,..., еіц)к и в ограничении на подалгебру A/rad А (е _1+1,..., е )к — простые подмодули. В разложении А = МПі(к) ф ф МПк(к) ф rad Л доразложим rad Л на изотипные компоненты как бимодуль над иолупростой частью и выберем в А k-базис, согласованный с получившимся разложением (в полупростой части в качестве базиса выбраны матричные единицы). Тогда матрицы ldj примут блочно-верхнетреугольный вид, причём на диагонали стоят квадратные блоки из независимых переменных, соответствующих тем простым факторам А, простыми модулями над которыми являются соответствующие присоединённые факторы композиционного ряда, а над диагональю — линейные формы от переменных, соответствующих радикалу А. Можно сказать больше: на пересечении строки, в которой на диагонали стоит простой фактор типа Р, и столбца, в котором на диагонали стоит фактор типа Q, стоят линейные формы от переменных, соответствующих (Р, 3)-изотипной компоненте нильрадикала.
Мы будем иллюстрировать поведение матриц ldj при рассматриваемых в ходе доказательства факторизациях на примере модуля длины 4 с последовательными композиционными факторами типов Р, Р, Q, Р: Пусть МП1(к) — простой фактор алгебры, которому соответствует последний присоединённый фактор Р нашего композиционного ряда (то есть простой фактормодуль нашего модуля). Возьмём фактор модуля Fi{M) по последовательности переменных, соответствующих радикалу алгебры, а затем по последовательности переменных, соответствующих остальным простым факторам алгебры в элементах Id2,..., Id/. Затем возьмём фактор получившегося модуля по последовательности переменных, соответствующих остальным простым факторам в Idi и не стоящих в нём на главной диагонали, и по последовательности ys — 1, где ys пробегает переменные, соответствующие остальным простым факторам в Idi и стоящие в нём на главной диагонали. Тогда получится модуль Xі над кольцом В! многочленов от оставшихся переменных (т.е. соответствующих выбранному простому фактору), в матрице представления которого остались только соответствующие этому фактору блоки переменных на диагонали, над ней нули, а вместо блоков, соответству ющих другим простым факторам алгебры Л, в Idi стоят единичные матрицы, а в Id.2,..., Id/ — нулевые: Это позволяет вычеркнуть строки и столбцы с единичными матрицами из представления и увидеть, что получилась прямая сумма нескольких экземпляров модуля FR (Р) над кольцом многочленов от оставшихся переменных. Известно [6], что размерность Крулля FR(Р) — фактора по столбцам (п\ х /пх)-матрицы из независимых переменных — равна dim R — {I — l)ni — 1. Так как функтор Fi точен справа (начало главы 1), FR{P) — фактормо-дуль Fi(M). Значит, dim Ft(M) dim FtR(P) = dim Л - (І- 1)щ - 1. Так как Fi(M) коэн-маколеев, его размерность при факторизации уменьшилась не более чем на длину последовательности, по которой факторизовали, равную dim і? — dimR , и в случае равенства эта последовательность регулярна (предложение 0.1.8). Так что dim i )(M) = dimF/ (P), а последовательность регулярна. Теперь рассмотрим фактор Fi{M) по части той же последовательности: из переменных в Id2,...,Id/, связанных с нильрадикалом, оставим только соответствующие изотипным компонентам, которые как левые модули над полупростой частью А не изоморфны прямой сумме Р. Тогда с матрицей Idi и на диагонали остальных произойдёт то же, что и выше, а над диагональю Id2,..., Id/ в строках, соответствующих композиционным факторам типа Р, всё останется без изменений, а в остальных обратится в нуль: Id / (Р о о 0\ Р о о 1 о \0 Р/
Если рассмотреть фильтрацию на этом факторе X", индуцированную композиционным рядом М, то присоединённые факторы — это факторы модулей FR (Р) над кольцом от оставшихся переменных, так как в соотношения войдут по крайней мере блоки на диагонали, или нули, так как на диагонали стоит единичная матрица, и последний фактор — это в точности FR (Р). Так что размерность Крулля X" равна dim R" — {I — l)ni — 1, и такие же рассуждения, как в предыдущем абзаце, показывают, что последовательность регулярна, а значит (предложение 0.1.8), X" коэн-маколеев. Так же, как в прошлой факторизации, можно удалить из матрицы строки и столбцы, где в Idi появилась единичная матрица, и получить представление X" матрицей линейных форм. Так что X" — градуированный модуль, и переход от него к X есть факторизация по однородной регулярной последовательности степени 1. Значит, ряд Гильберта X получается из ряда Гильберта X" умножением на 1 — t в степени, равной длине последовательности (см. раздел 0.3). Поэтому у X" и X R R" одинаковая функция Гильберта. Если рассмотреть на этих модулях.фильтрацию, индуцированную композиционным рядом М, то, как замечено в предыдущем абзаце, присоединённые факторы для X" суть факторы таковых для X R R", так что на самом деле дополнительной факторизации нет. Пусть у нас в композиционном ряде после фактора типа Р идёт фактор другого типа Q (как в нашем примере). Тогда в получившейся из ld.2 части матрицы представления справа от блока на диагонали, соответствующего первому фактору, и над блоком, соответствующим второму, стоят какие-то формы от переменных, соответствующих (Р, ф)-изотипной компоненте нильрадикала, а под ними на месте второго блока на диагонали и ниже — нули:
Случай точного функтора
Докажем сначала, что над к — алгебраическим замыканием к — функтор Fi(-) по-прежнему точен. В начале главы 1 мы видели, что Fi(-) — тензорное умножение на правый Л-модуль Fi(A) над Л. Но известно, что свойство модуля быть плоским равносильно сохранению точности последовательности конечно порождённых модулей при тензорном домножении на этот модуль [15, 4, п. 6, теорема 2]. Поэтому точность Fi(-) равносильна тому, что Fi(A) — плоский правый Л-модуль. Но это условие сохраняется при расширении скаляров и вообще при индуцировании, что очевидно следует из ассоциатив ности тензорного произведения. Так что поле к можно считать алгебраически замкнутым. Теперь покажем, что неизоморфные простые Л-модули не образуют нетривиальных расширений. Лемма 2.6. Пусть — нерасщепляемая точная последовательность А-модулей, где М и Р — неизоморфные простые модули, а основное поле к алгебраически замкнуто. Тогда последовательность 0 — Fi(M) — Fi(N) не точна. Доказательство. Будем обозначать рм А — End М соответствующее модулю М представление алгебры Л. Тогда, выбрав k-базис в N, соответствующий композиционному ряду (2.1), получим Так как М Щ Р — простые, то РМФР(А) = End MEndk Р, то есть PN(A) А Рм(А) Ф РР(А) эпиморфизм; если бы он был изоморфизмом, то /?лг(Л) была бы полупроста и N был бы прямой суммой простых и тривиальным расширением, что противоречит условиям леммы. Значит, из того, как умножаются матрицы в PN{A), И эпиморфности р видно, что такие (3 образуют подпредставлениё в представлении MUl(k) g МП2(к)ор на - nixn2(k) умножениями слева и справа соответственно, а из неприводимости этого представления — что где А, В, С — общие матрицы соответствующих размеров, скажем, А — (а ), В = (Ьу), С = (су), и F,(M) = М/(А), FZ(P) = Р/(С). Отсюда видно, что М - образ Fi(M) в Fi(N) - это Покажем, что Пусть X j Є (ъ 5/п)д базисная сизигия на столбцы матрицы С Тогда iV jbj (где 6j — j-й столбец матрицы В) принадлежит левой части (2.2) и зависит только от Ъ.. и с, так как в базисных сизигиях столбцов С Mj — это пх п алгебраические дополнения в какой-то пх(п + 1) подматрице С (здесь важно, что I 1 и такие есть). Итак, левая часть (2.2) строго больше правой иМ/ Fi(M), то есть точ ность нарушается. Итак, любой неразложимый А-модуль состоит из одного типа простых факторов.
Так как для простого модуля Р модуль Fi(P) всегда коэн-мако-леев, а функтор F/ точен, то из поведения глубины (предложение 0.1.4) и размерности Крулля [20, гл. III, Б.1, гл. I, В.1, предложение 10] в коротких точных последовательностях индукцией по длине получаем, что для любого неразложимого модуля М Fi(M) — коэн-маколеев. Таким образом, вода из чайника вылита и можно применить уже доказанную часть теоремы. Сведение к модулю Р. Во-первых, можно перейти к алгебраическому замыканию поля, так как все эти инварианты определяются структурой минимальной резольвенты модуля Fi(M), так что к будем считать алгебраически замкнутым. Далее, ряд Гильберта и кратность являются аддитивными в коротких точных последовательностях в категории градуированных модулей, поэтому для Fi(M) они в dirrik М/ dim Р раз больше, чем для Fi(P), a dirnitP = п. Для чисел Бетти, в частности (предложение 0.3.5), для коэн-маколеева типа, это следует из того, что в обозначениях 1.8 минимальная резольвента Fi(M) есть С щг\ Л4, так что они в гкд.М = dinik М/п раз превосходят ранги компонент С, и этот коэффициент равен 1 для Р. Таким образом, достаточно посчитать все инварианты для Яо(С). Будем делать это для комплекса Игона-Норкотта для матрицы д х /, а потом подставим наши значения / = ln,g = п. Числа Бетти для Fi(P). Формулы непосредственно следуют из определения комплекса Игона-Норкотта: матрица р состоит из элементов степени 1, поэтому, чтобы дифференциалы комплекса Игона-Норкотта имели степень нуль, когда образующие Fo имеют степень нуль, образующие F\ должны иметь степень 1, образующие F i — степень д + 1, так как элементы матрицы дифференциала — gr-миноры , а далее степень должна увеличиваться на 1. Так как ранг модуля Дг F (S G) равен ([) ( / ), то получаем требуемые значения чисел Бетти. Ряд Гильберта и кратность. Ряд Гильберта является аддитивной функцией на градуированных модулях, поэтому эйлерова характеристика минимальной резольвенты
