Содержание к диссертации
Введение
2 Топологическая размерность Крулля 12
1 Необходимые определения и обозначения из теории топологических колец и модулей 12
2 Определение топологической размерности Крулля и некоторые её свойства 13
3 Топологическая iV-размерность. Критические модули 17
4 Бесконечная прямая сумма замкнутых подмодулей 19
5 Топологическое кольцо полиномов 22
6 Топологический аналог леммы Леиагана 23
3 Топологический радикал Бэра и топологическая размер ность Крулля 26
1 Определение топологического радикала Бэра 27
2 Топологическая точность 28
3 Сумма всех Е-нильпотентных идеалов топологического PI-кольца, обладающего топологически точным топологически нетеровым модулем 31
4 Топологический радикал Бэра топологического Р/-кольца, обладающего топологически точным топологически нетеровым модулем 35
5 Топологический радикал Бэра кольца с топологической размерностью Крулля 38
6 Топологические Р/-кольца, обладающие топологически точными модулями с топологической размерностью Крулля 41
Литература
- Определение топологической размерности Крулля и некоторые её свойства
- Топологическое кольцо полиномов
- Сумма всех Е-нильпотентных идеалов топологического PI-кольца, обладающего топологически точным топологически нетеровым модулем
- Топологический радикал Бэра кольца с топологической размерностью Крулля
Введение к работе
Областью исследования диссертационной работы является "теория топологических колец и модулей". Теории топологических колец посвящены такие работы как [1], [12], [13].
Цель работы — построение теории топологических колец и модулей, имеющих топологическую размерность Крулля, а также применение этой теории для изучения топологического радикала Бэра некоторых классов топологических колец.
Актуальность темы диссертации. Многие теоремы в теории топологических колец получены как результат обобщения соответствующих теорем из теории колец на топологический случай. Если что-то казалось содержательным в дискретном случае, то делалось предположение, что это может быть интересным и в общем, топологическом случае. Например, уже разработана общая теория топологических радикалов, на основе общей теории радикалов.
В [11], Ренчлер и Габриэль определили размерность Крулля для модуля как девиацию частично-упорядоченного множества всех подмодулей с упорядочением по включению. Все артиновы и нетеровы модули являются модулями с размерностью Крулля. Оказалось, что многие утверждения, справедливые для нетеровых модулей и колец, выполняются также и для модулей и колец с размерностью Крулля. Класс колец, имеющих размер-
ность Крулля, строго больше, чем класс всех нетеровых колец даже в случае коммутативных колец. Методы, используемые при рассмотрении колец с размерность Крулля, аналогичны методам, используемым для получения результатов в теории артиновых колец. Обзор результатов по размерности Крулля можно найти, например, в работе Гордона и Робсон [3].
Теория размерности Крулля усилиями различных авторов (Ленаган, Рен-члер, Габриэль, Лемоньер, Гордон, Робсон и другие) получилась весьма содержательной. В теории кручений существует обобщение размерности Крулля на случай относительной размерности Крулля, например в [27]. Но это частный случай, так как топология относительно кручения является линейной топологией.
В данной работе автором предлагается обобщение понятия размерности Крулля на топологический случай. Топологическая размерность Крулля топологического модуля определяется как девиация частично упорядоченного множества всех замкнутых подмодулей с упорядочением по включению. Аналогичным образом определяется правая и левая размерность Крулля топологических колец.
В предлагаемой работе построена теория топологической размерности Крулля. В качестве проверки жизнеспособности этой теории в данной работе исследуется топологический радикал Бэра колец либо с топологической размерностью Крулля, либо Р/-колец, обладающих модулями с топологической размерностью Крулля.
Для изучения топологических колец используются различные нильрадикалы. Топологическому локально-нильпотентному радикалу посвящены работы Махарадзе [20], [21]. Водинчар рассматривал максимальный над-нильпотентиый радикал ([17]). Арнаутов ([14]) и Урсул исследовали топологический радикал Бэра.
В данной работе рассматривается только один радикал, а именно, топологический радикал Бэра, а также различные свойства Е-нильпотентных
идеалов.
Научная новизна. Полученные результаты являются новыми. Среди них:
Построение теории топологической размерности Крулля для топологических колец и модулей.
Доказательство топологической нетеровости кольца коэффициентов, если соответствующее полиномиальное кольцо имеет топологическую размерность Крулля.
Топологический аналог теоремы о конечности прямой суммы подмодулей модуля, имеющего размерность Крулля.
Топологический аналог леммы Ленагана.
Топологическая дуальная размерность Крулля.
Определение топологически точного модуля. Исследование взаимосвязи между топологической точностью и обыкновенной точностью, а также свойств топологических модулей, являющихся топологически точными.
Обобщение на топологический случай теоремы о том, что радикал Бэра Р/-кольца, обладающего точным нетеровым модулем, нильпотентен.
Исследование топологического радикала Бэра колец с топологической размерностью Крулля.
Обобщение на топологический случай теоремы о том, что радикал Бэра Р/-кольца, обладающего точным модулем с размерностью Крулля, нильпотентен.
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть использованы в различных задачах теории топологических колец и модулей.
Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались на семинаре "Кольца и модули", на международной алгебраической конференции, посвященной 250-летию Московского университета и 75-летию кафедры высшей алгебры в Москве.
Список публикаций по теме диссертации из 3-х работ приведен в конце рукописи.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на параграфы, и списка литературы. Нумерация лемм, предложений, утверждений и теорем привязана к своей главе, а нумерация примеров сквозная. Полный объем диссертации — 54 страницы, библиография включает 27 наименований.
Краткое содержание. В первой главе строится теория топологической размерности Крулля колец и модулей.
Топологическая размерность Крулля для топологического модуля М, которую будем обозначать через top К dim М, определяется как девиация множества всех замкнутых подмодулей модуля М. Левой (правой) топологической размерностью Крулля топологического кольца R называется топологическая размерность Крулля левого (правого) і?-модуля R. Далее рассматриваются некоторые свойства топологических модулей с топологической размерностью Крулля, например, приводится достаточное условие того, когда модуль не имеет топологической размерности Крулля. Вводятся понятия критического модуля, дуальной топологической размерности Крулля, топологической нётеровости модуля. Так же как в дискретном случае справедливо, что топологически нетеров модуль имеет топологическую размерность Крулля. Выясняется, что модуль имеет топологическую размерность Крулля тогда и только тогда, когда он имеет дуальную топологическую размерность Крулля. Доказывается, что если М — топологический модуль, а N является его замкнутым подмодулем, и если N и M/N имеют топологическую размерность Крулля, то top К dim М =
sup{ top К dim M/N, top К dim N }. Показывается, что если ip - непрерывный гомоморфизм из кольца R с топологической размерностью Крулля в топологическое кольцо Я', то top К dim В! ^ top К dim R. Каждый топологически нетеров модуль М имеет топологическую размерность Крулля.
В дискретном случае модуль, имеющий размерность Крулля, не содержит никакую бесконечную прямую сумму подмодулей (см. [3]). Рассматривается аналог этого утверждения для топологических модулей. Существует топологический модуль, обладающий топологической размерностью Крулля, который содержит бесконечную прямую сумму замкнутых подмодулей. Но верно следующее похожее утверждение с дополнительным условием на бесконечную сумму
Теорема 1.1. Пусть топологический R - модуль М имеет топологическую размерностью Крулля. Тогда не существует бесконечной прямой суммы замкнутых подмодулей ф А{ в М таких, что А{ П [А\ + ... 4- А\ + ...] = 0, г Є N.
Определим в кольце полиномов R[x] базис окрестностей нуля как семейство множеств вида Вщх] = {U(V,n)}Ver{R)>neNl где U(V,n) = {/ Є
n-l
R[x] I 3v0,..., Vn-i Є V, g Є xnR[x] : f = vkxk + g).
fc=0
Теорема 1.2. Пусть R - топологическое кольцо. Если топологическое кольцо R[x] с вышеопределенной топологией, имеет левую топологическую размерность Крулля, то кольцо R - топологически нетерово слева.
Доказывается топологический аналог леммы Ленагана ([8]).
Лемма 1.3. Пусть В\ С ?2 Q и Mi D Мъ "D ... - цепочки замкнутых подмодулей топологического модуля М, обладающего топологической раз-
мерностью Крулля, и (J В{ = М. При этом для любых трех замкнутых
г=1
подмодулей А, В, С : A Э В =Ф А П [В + С] = [В + А П С]. Тогда найдутся такие натуральные числа i,j, что М{ С [Mj+i + Bj]
Вторая глава диссертации посвящена изучению топологического радикала Бэра либо колец с топологической размерностью Крулля, либо Р/-колец, обладающих модулем с топологической размерность Крулля.
Пусть R — топологическое кольцо, тогда идеал / называется Е-нильпотентным идеалом, если для любой окрестности нуля V кольца R существует такое натуральное п, что 1п С V. Напомним определение топологического радикала Бэра. Для каждого порядкового 7 определим замкнутое множество 7Zj(R). Положим TZq(R) = 0. Пусть уже определены все lZa(R) для каждого порядкового а < (3. Тогда 7Zp(R) определим следующим образом: если (5 - предельное, то Лр{Я) = [ U 7Za(R)], иначе существует по-
рядковое (5 — 1, в этом случае 7Zp(R) представляет собой замыкание суммы всех идеалов N, таких что фактор N/7Zp-i(R) является Е-нильпотентным. Существует такое порядковое г, что для любого порядкового числа j > 5 справедливо 7Z7(R) = 7ZT(R). Идеал C(R) = 1ZT{R) называется топологическим радикалом Бэра.
Для каждой окрестности нуля W топологического Р-модуля М введем следующее обозначение Апп(М, W) = {х Є R : хМ С W}. Назовем топологический і?-модуль М топологически точным, если для любой окрестности нуля V в R существует такая окрестность нуля W в М, что V D Апп(М, W). Доказывается, что в любой топологии топологически точный модуль является точным. Для топологического модуля над бикомпактным кольцом понятия точности и топологической точности совпадают. Также показывается, что в общем случае понятия точности и топологической точности различны.
Рассматривается топологический аналог теоремы из статьи В.Т. Маркова [18], утверждающей, что радикал Бэра Р/-кольца, обладающего точным нетеровым модулем, нильпотентен.
Теорема 1.4. Если топологическое РІ-кольцо R обладает топологически нетеровым топологически точным R-модулем М, то замыкание суммы
всех Ti-нильпотеитных идеалов 7Z(R) будет И-нильпотентным идеалом.
Предложение 1.5. Если N - замкнутый топологически Т,-нильпотент-ный идеал ограниченного топологического кольца R и фактор-кольцо R/N является Т,-нилъпотентым, то само кольцо R также Т,-нильпотентно.
Показано, что Е-нильпотентный идеал не обязан быть ограниченным. Также на примере показано, что существует топологическое кольцо R, а в нем идеал N и идеал I, содержащий N, такие что N и фактор I/N Е-нильпотентны, а / не является Е-нильпотентным.
Теорема 1.6. Если топологическое ограниченное PI-кольцо R обладает топологически нетеровым и топологически точным R-модулем М, то топологический радикал Бэра (R) будет топологически нилъпотентным.
Рассматриваются топологически идемпотентные идеалы в топологическом радикале Бэра.
Теорема 1.7. Пусть топологическое кольцо R обладает топологическим левым модулем М с топологической размерностью Крулля. Тогда если левый идеал J — топологически идемпотентен, то есть [J2]j = J, и содер-оісится в топологическом радикале Бэра, то JM = 0.
Теорема 1.8. Топологический радикал Бэра кольца, имеющего топологическую размерность Крулля, не содероісит односторонних ненулевых топологически идемпотентных идеалов.
Следствие 1.9. Топологический радикал Бэра топологического кольца с топологической размерностью Крулля не содерэюит единицу.
Заметим, что в общем случае топологический радикал Бэра даже может содержать единицу (см. [16]).
В заключении рассматривается топологический аналог теоремы из статьи Маркова В.Т. о том, что радикал Бэра Р/-кольца, обладающего точным модулем с размерностью Крулля, нильпотентен.
Теорема 1.10. Пусть топологическое РІ-кольцо R обладает топологически точным модулем М с не более чем счетной топологической N-размериостью и для этого модуля выполняются следующие два условия:
если P-Ti-нилъпотентный идеал кольца R, то для всякой окрестности нуля W в М найдется натуральное число га, такое что РпМ С W;
для любых трех замкнутых подмодулей Л, В, С, таких что AD В, верно АП[В + С] = [В + АПС].
Тогда замыкание суммы всех Т,-гшльпотентных идеалов кольца R является также Т,-нильпотентным идеалом.
Поясняются ограничения в последней теореме.
Теорема 1.11. Пусть для ограниченного кольца R выполняются условия предыдущей теоремы. Тогда топологический радикал Бэра этого кольца Е-нильпотентен.
Существует пример, показывающий существенность дополнительного условия (ограниченности кольца) в последней теореме, так как существует кольцо, для которого верны все условия из предпоследней теоремы, но топологический радикал Бэра этого кольца не только не является Е-нильпотентным, но и пересечение всех степеней этого радикала не равно нулю.
Автор выражает свою глубокую благодарность своему научному руководителю, к.ф.-м.н., доценту Маркову Виктору Тимофеевичу за постановку задачи, постоянное внимание и всестороннюю поддержку.
Определение топологической размерности Крулля и некоторые её свойства
Гордон и Робсон в своей работе [3] размерность Крулля для модулей и колец определили следующим образом:
Определение. Размерность Крулля [К dim М) Д-модуля М определяется при помощи трансфинитной индукции: 1) если М = 0, то KdimM = -1; 2) если KdimM . а, то KdimM = а тогда и только тогда, когда не существует бесконечной убывающей цепочки подмодулей М = MQ D Mi D ... такой, что К dim(Mi-ifMi) а, і Є N; 3) если не существует порядкового числа а, такого что KdimM = а, то тогда модуль М не имеет размерности Крулля.
Определение. Размерностью Крулля кольца R называется размерность Крулля правого і?-модуля R. В диссертационной работе предлагается некоторый топологический вариант этого понятия, а также изучаются топологические модули и кольца, имеющие топологическую размерность Крулля.
Напомним определение девиации. Пусть L - частично упорядоченное множество. Введем следующее обозначение, если элементы а, Ъ принадлежат L, то
Определение. Девиация множества L, которая обозначается как dev L, определяется по индукции следующим образом: 1) если L = 0, то devL = —1; 2) если dev L jt а и для любой убывающей последовательности {жд} элементов из L найдется натуральное число iV такое, что для любого натурального п большего N выполняется dev[xn+i,xn] а, то dev L = а; 3) множество L не имеет девиации, если не существует порядкового числа а, для которого dev L = а.
Нетрудно заметить, что если в качестве упорядоченного множества L рассмотреть множество всех подмодулей модуля М, включая и сам модуль, с упорядочением по включению, то KdimM = dev L.
Предлагается следующее определение топологической размерности Крулля. Под топологической размерностью Крулля модуля М мы будем понимать девиацию множества всех замкнутых подмодулей модуля М и будем обозначать её как top К dim М. Это определение можно переформулировать следующим образом.
Определение. Пусть М - топологический Я-модуль. Топологическую размерность Крулля (top К dim М) определим при помощи трансфинитной индукции: 1) если М = 0, то top К dimM = —1; 2) top К dim М = а, если top К dim М а и не существует бесконечной убывающей цепочки замкнутых подмодулей М = MQ Э М\ 1 ... такой, что top К dim(Mi-i/Mi) ft а, где г Є N; 3) если не существует порядкового а, такого что top К dim М = а, то тогда считаем, что модуль М не имеет топологической размерности Крулля.
Определение. Определим для топологического кольца R левую (правую) топологическую размерность Крулля / top К dim R (г top К dim R) как топологическую размерность Крулля левого(правого) і?-модуля R, то есть / top К dim R := top К dim RR (Г top К dim R := top К dim RR) .
В дискретном случае понятия топологической размерности Крулля и просто размерности Крулля совпадают. Если модуль имеет обычную размерность Крулля, то он в любой топологии имеет топологическую размерность Крулля. Но в общем случае может быть так, что топологический модуль обладает топологической размерностью Крулля, но не имеет обычной размерности Крулля.
Пример 1. В качестве такого модуля М рассмотрим пространство всех действительных чисел R над кольцом целых чисел R = Z. Легко проверяется, что модуль М действительно является топологическим над R. Пусть в - трансцендентное число, тогда М содержит прямую сумму подмодулей вида Ъ6п, где п - натуральной число. Следовательно модуль М не имеет обычной размерности Крулля ([3/,1.4)- Любой замкнутый подмодуль данного модуля М имеет вид аЪ для некоторого действительного числа а (см. [13], 1-4). Если a{L С a L для некоторых действительных чисел ai,a,2, то - Є Z и следовательно фактор-модуль aiZ/o Z содержит конечное число элементов. Поэтому top KdimM = 1.
Топологическое кольцо полиномов
Пусть R - топологическое кольцо. Определим на кольце полиномов R[x] топологию произведения следующим образом. Если V - окрестность нуля в R, а п - натуральное число, то положим Зададим на кольце многочленов R[x] к=0 топологию при помощи базы окрестностей нуля из множеств вида U(y,n).
Определение. Топологическое кольцо R назовем топологически нетеровым справа (слева), если само кольцо R как правый (левый) модуль над R является топологически нетеровым справа (слева).
Теорема 2.9. Если кольцо R[x] с топологией, построенной описанным выше способом, имеет правую (левую) топологическую размерность Крулля, то кольцо R -топологически нетерово справа (слева).
Доказательство. От противного. Пусть в R существует возрастающая це почка из замкнутых правых (левых) идеалов IQ С Д С 12 С Рас смотрим кольцо R[x] как топологических правый (левый) модуль над со бой, который имеет топологическую размерность Крулля, тогда множества [Io + IiX + .. . + IkXk +...] и [I1 + I2X + .. . + Ik+ixk-{-...] является замкнутыми подмодулями этого модуля. Фактор-модуль S = [Л + hx + ... + h+ixk + .. .]/[Jo + I\x + ... + If xk + ...] также имеет топологическую размерность Крулля.
Рассмотрим сумму J S&, где Sk — Ik+ixk/[Io + I\x + ...]. Докажем, что k=0 все Sk не нулевые. Предположим, что это не так, то есть существует такое натуральное число к, что Sk = 0, но тогда Ik+ixk С [I0-\-Iix+. ]. Используя определение топологии в R[x], получаем, что для любой окрестности нуля V в R справедливо Д+і = h + V- Таким образом, Д+1 = ( ) (Д + V) = Д, Ver(R) но это противоречит выбору ifc. оо Докажем, что сумма Y1 &к является не только прямой, но и для любого А;=0 натурального к выполняется Sk П [So + S\ +... + Sk-i + Sfc+i +. ] = 0. Пусть для некоторого к это не так. Рассмотрим Ік+\ХкП[Іі + .. .-\-ІкХк 1+Ік+2%к+1 + ...]. По предположению существует ненулевой элемент г из идеала Ік+i такой, что для любой окрестности нуля V из R и любого натурального числа п справедливо гхк Є I\ +... + h%k l + h+2%k+l + .. + U(V,n). Поэтому, если п к, то г Є V. Следовательно г = 0, так как окрестность V произвольна. Итак, мы нашли бесконечную прямую сумму в S с условием (1). Поэтому 5 не должно иметь топологической размерности Крулля. Тем самым мы получили противоречие. Поэтому по утверждению 2.8 кольцо R является топологически нетеровым. 6 Топологический аналог леммы Ленагана При изучении модулей с размерностью Крулля в дискретном случае очень большую роль играет лемма Ленагана. Лемма 2.10. (Лемма Ленагана) Пусть В\ С В і С ... и М\ D M i Э ... с» цепочки подмодулей модуля М, имеющего размерность Крулля и J В{ = М. Тогда найдутся такие натуральные числа i,j , что Mi С Mi+l + Bj Доказательство этой леммы можно найти в [7], [8].
Прежде чем докажем топологический аналог леммы Ленагана, рассмотрим некоторое свойство замкнутых подмодулей.
Пусть А,В,С- замкнутые подмодули топологического модуля и A D В. По свойству модулярной решетки АГ\(В-\-С) = В+АПС, но не обязательно АП[В + С] = [В + АГ)С].
Пример 5. Рассмотрим в качестве модуля множество действительных чисел с интервальной топологией над дискретным кольцом целых чисел. Тогда подмодули A = \/2Z, В = 2\/2Z иС = %/3Z являются замкнутыми. В таком случае А Г) [В + С] = AnR = y/2Z, но [В + А П С] = В = 2л/2Ъ
Следующая лемма является топологическим аналогом леммы Ленагана. Лемма 2.11. Пусть В\ С Б2 Q и Mi Э М2 Э ... - цепочки замкнутых подмодулей топологического модуля М, имеющего топологическую оо размерность Крулля и [j Bi = М, причем для любых трех замкнутых г =1 подмодулей А, В, С : А Э В =Ф- А П [В + С] = [В + А П С]. Тогда найдутся такие натуральные числа г, j, что МІ С [Мм + В Д. Доказательство. Предположим, что Vi,iGN: МІЇІММ + ВД (2.3) Сперва докажем, что можно считать, что VzGN: ВІ [ВЫ + МІ] (2.4) Предположим противное, то есть можно считать, что \/г Є N : BjC [J%_i + оо МІ]. Но в таком случае Vf Є N : Bj С [В2 + М3]. Поэтому Mi С f С г=1 [В2 + Мз]. Но это противоречит (2.3).
Пусть N = [Bi П Mi + 52 П М2 + ...] . Докажем, что в М = M/ V выполняются (2.3), (2.4) для Bi/N и Mi/N. Если (2.3) в М не выполняется, то найдется такое натуральное г, что МІ С [Mj+i 4- ?./] + N С [Мг-+і + Bj] + [Mj+i + J5j] С [Mj+i + max(ij)]j a эт0 противоречит (2.3) для M. Если (2.4) в М не выполняется, то найдется такое натуральное г, что Bi С [І3;_і 4- Mj] + N С [Д_1 + Мг], но это противоречит (2.4) для М. Заметим, что M обладает топологической размерностью Крулля.
Сумма всех Е-нильпотентных идеалов топологического PI-кольца, обладающего топологически точным топологически нетеровым модулем
Марков в своей работе [18] в 1980 году доказал, что первичный радикал Pi-кольца, обладающего точным нетеровым модулем, является нильпотентным. Попытаемся обобщить этот результат для топологических колец.
Предложение 3.6. Пусть М — топологически нетеров R-модуль, и существует такой полилинейный полином f = f(x\,... ,Xd) с целыми коэффициентами, один из которых равен единице, что для любых элементов а\,..., ad из 1Z(R) выполняется /(ai,... a,d)M = 0. Тогда для любой окрестности нуля W в М существует такое натуральное т, что 7Z(R)mM С W.
Лемма 3.7. Если М — топологически нетеров R-модулъ, то существует Т,-нильпотентный идеал Р такой, что [РМ]м = [7Z(R)M]M, где TZ(R) — замыкание суммы всех Tl-нилъпотентных идеалов.
Доказательство. Если Р — идеал в R, то [РМ]м является подмодулем R-модуля М, так как R[PM]M С [RPM]M С [РМ}М, где первое включение следует из того, что отображение М — М : т У- гт непрерывно. Среди подмодулей вида [РМ]м, где Р — Е-нильпотентный идеал, существует максимальный подмодуль [РМ]м- Пусть TZ (R) — сумма всех Е-нильпотентных идеалов. Тогда [Jl(R)M}M = \[K (R)]RM\ С \[n\R)M]M\ С [JZ(R)M}M L J M L л M
Следовательно [RJ(R)M]M = \TI{R)M]M- ТО есть нам достаточно доказать, что [РМ]м — [RJ{R)M]M- Возьмем любой элемент а из TZ (R). Тогда существует Е-нильпотентный идеал /, содержащий а. Поэтому (а)д С J, где через (а)д обозначим минимальный двусторонний идеал, содержащий а. Но тогда (а)я является Е-нильпотентным идеалом. Идеал Р + (а)д также будет Е-нильпотентным, так как сумма двух Е-нильпотентных идеалов — Е-нильпотентный идеал (см. [14]).
Так как [РМ]м Q [(Р + (а)в)М]м и [РМ]м — максимальный, то [РМ]м = [(Р + {O)R)M\M = аМС (a)RM С С l(a)RM]M + [РМ]м С [((а)л + Р)М]М = [РЩм Последнее включение обосновывается [13, 1.1.41]. Итак, 7Z (R)M С [РМ]м-Следовательно [RJ(R)M] С [РМ]М- Так как [РМ]М С [K {R)M]M, то [7г (Д)м]л, = [Р ]м. а Лемма 3.8. Пусть топологическое PI-кольцо R обладает топологически нетеровым модулем М. Пусть I - Т,-нильпотентный идеал. Тогда для любой окрестности нуля W в М найдется натуральное число п такое, что 1пМ С W.
Доказательство. Так как модуль М топологически нетеров, то найдутся элементы тої... rrik из модуля М такие, что М = [Rm\ + ... + Rrrik}. Также существует окрестность нуля W\ в М: Wi + ... + W!CW fc+іраз
Отображения г — ГГПІ, где і = l,k, будут непрерывными. Поэтому найдутся ОКреСТНОСТИ НуЛЯ Vi В R, ДЛЯ КОТОРЫХ ВЫПОЛНЯеТСЯ Vi ТПі С W\. По определению топологического модуля существуют окрестность нуля V В R _ _ к „ окрестность нуля W в М такие, что V W С И . Пусть V = f] (V. П К). В силу топологической нильпотентности идеала 7 найдется такое натуральное п, что /п С V. Итак, получаем /ПМ С /п[Дто! + ... + Ято ] С 7пЯті + ... + InRmk + rW С /nmi + ... + /nTOfc + /nW QV .ггы + ... + V-mu + V-W fc+іраз п Для произвольного топологического модуля утверждение этой леммы не верно (см. пример 10).
Доказательство предложения. Будем доказывать утверждение леммы индукцией по d. При d = 1 получаем 7Z(R)M = 0. Итак, утверждение леммы выполняется при т = 1.
Считаем, что / имеет вид f(xi,...,xd) = g(xi, ...xd-i)xd + р(хи ...,xd), где g = g(xi,..., xd-i) — полилинейный полином с целыми коэффициентами, один из которых равен единице, а р = cp(xi, ...,xd) — сумма мономов, ни один из которых не оканчивается на xd.
Докажем, что для любого натурального числа к найдутся окрестность нуля Wi в М и натуральное число т такие, что TL{R)mM С РкМ + Wi (3.1)
Покажем, что (3.1) достаточно для доказательства леммы. Для любой окрестности нуля W в М существует окрестность нуля W\ в М такая, что W\ + W\ С W. По предыдущей лемме найдется натуральное число к такое, что РкМ С W\. А следовательно существует натуральное число т, для которого U(R)mM С РкМ + W1 С Wi + Wi С W. Докажем (3.1). Пусть W\ — некоторая окрестность нуля в М. Из леммы 3.7 и утверждения 2 следует, что 71{R)M С W\ + РМ, то есть при А; = 1 ПОДХОДИТ 71=1.
Топологический радикал Бэра кольца с топологической размерностью Крулля
Покажем, что (3.2) достаточно для доказательства леммы. Для любой окрестности нуля W в М существует окрестность нуля W\ в М : W\ + W\ С W. По условию леммы, найдется натуральное число к, такое что РкМ С W\. Поэтому Зт Є N : NmM С РкМ + W1cW1 + W1cW. Докажем (3.2). Пусть W\ — некоторая окрестность нуля в М. Заметим, что NM С Wi + РМ, то есть при к = 1 подходит п = 1. Пусть теперь к 1 и пусть ai,..., ad-i Є iV, а p Є Pfc. Тогда z 0 = f(ai,...,ad-i,p)M = {g(ai, .,.,а і-і)р + У ,пирп2,і)М, где 721,1,722,1 — некоторые элементы идеала N, & q — количество мономов в (/?. Отсюда получаем giau ad-i)! -1 С P NM.
Топологический Д-модуль М = Рк 1М/[РкМ]м с топологией фактор-модуля также будет иметь топологическую размерность Крулля.
К модулю М применима индукционная гипотеза, то есть найдется натуральное число I, такое что NlM С W2, где W2 — окрестность нуля в М и W2 + W2 С Wi. Следовательно Nipk-iM cw2 + [РкМ]м С W2 + W2 + PfcM С Wi + PfcM Положим m = / + к — 1. Следовательно утверждение (3.2) доказано. Лемма 3.21. Если линейно упорядоченное множество L имеет не более чем счетную кодевиацию, то в L существует кофинальная последовательность {О І}І І, тпо есть для любого элемента х из L найдется натуральное число г такое, что щ х. Доказательство. Сначала докажем, что существует элемент а из L такой, что codev[a,b] codev[a,oo),Vb а (3.3)
Предположим противное. Существует элемент х из L такой, что кодевиа-ция множества [я, со) минимальна. Пусть a = codev[х, со). Но в таком случае можно выбрать возрастающую последовательность х = х\ Хч ... элементов из L такую, что для каждого натурального числа г справедливо codev[xi, ХІ+І] а. Поэтому codev[х, со) а. Получили противоречие. Пусть для элемента а Є L выполнено (3.3) и пусть a = codev[a, со).
1) Предположим, что порядковое число а — не предельное. Тогда суще ствует порядковое число а — 1. Докажем следующее: V6 а Зс Ь : codev[b, с] = а — 1
Предположим противное. Но тогда для любой возрастающей последовательности b = Ьо h ... справедливо codev[bi-i,bj] codev[b, bj\ а — 1, где г Є N и поэтому codev [b, со) а — 1. Следовательно, codev [а, со) = max{codev[a, b],codev[b, со)} а, но это противоречит определению а.
Из вышедоказанного следует, что существует возрастающая последовательность a = UQ а\ 0,2 ... элементов из L такая, что codev[ai-i, CLJ\ = а — 1. Предположим, что существует элемент b из L, больший всех элементов этой последовательности. Но тогда codev[a,b] = а, а это противоречит выбору а. Поэтому последовательность (} кофинальна. 2) Предположим теперь, что а — предельное порядковое число. Докажем, что V/? а ЗЬ a : codev[a, b] j3 Предположим противное, то есть
3(5 аМЬ a : codev[a, b] j3 Но в таком случае codev[a, со) (3 а. Итак, существует отображение /:[0, а) \— [а, со), такое что для каждого /3 а выполняется codev[a, /(/?)] (3. Не теряя общности, можно считать, что отображение / монотонно возрастает. Так как множество [0, а) счетно, то все его элементы можно проиндексировать, то есть существует последовательность порядковых чисел {7г } і меньших а, такая что для каждого порядкового числа /3, меньшего а, найдется натуральное число і, такое что /5 = 7г- Для любого натурального числа п определим порядковое число ап как ап = тах7г- Тогда последовательность { } кофинальна в уПОрЯДО-ченном множестве [0, а).
Для всякого натурального числа і положим a = /( ) и пусть OQ = а. Докажем, что (} кофинальна в L. Пусть х Є L. Можно сразу счи тать, что х а = ао. Пусть / = codev[a,b]. Тогда по определению отображения / получаем, что codev[a, /(/ + 1)] 7 / + 1- Следовательно /(/ + 1) х. Благодаря тому, что последовательность () кофинальна в [0, а), найдется натуральное число г, такое что Д) +1 с . Таким образом, х /(/ + 1) /( ) = щ
Доказательство теоремы. Так как R является Р/-колыюм, то существует полилинейный полином f(x\... Xd) с целыми коэффициентами такой, что f (а\... ал) М = 0 для всех a\...ad Є Rn хотя бы при одном одночлене коэффициент равен единице. Будем доказывать теорему индукцией по d. Если d = 1, то R = 0. Индукция по top N dimM. Пусть a = top NdimM и предположим, что для любого топологического модуля М , такого что top N dim М а, теорема верна.
Пусть V — частично упорядоченное множество по включению, элементами которого являются все Е-нильпотентные относительно М идеалы Р, такие что множество {г Є R : тМ С [РМ]м} совпадает с Р. По лемме 3.20 для любого Е-нильпотентного относительно М идеала / существует идеал Р Є V, содержащий /. Заметим, что множество V можно биективно моно тонно отобразить на некоторое множество замкнутых подмодулей модуля М, сопоставив каждому идеалу Р из V замкнутый подмодуль [РМ]. Так как top N dim М = а, то codev V а.
Пусть Ах С А2 С ... — возрастающая последовательность Е-нильпотентных идеалов относительно М. Докажем, что тогда идеал А = оо (J Aj также будет Е-нильпотентным относительно М. Будем доказывать от противного. Предположим, что идеал А не является Е-нильпотентным относительно М.
Обозначим через Mi = [ЛгМ]д/, Bj = [AJM]M- Предположим, что топологический фактор-модуль М = МІ/{МІ П BJ) является ненулевым. Из топологического аналога леммы Ленагана получаем, что найдутся такие натуральные числа г и j} что М; С [Mi+i + Bj]. Тогда М{ С [АМІ + #?] П М{ С [ЛМІ] + МІ П Bj. Но в таком случае [ЛМ] = М.
Предположим, что top N dimM а. Так как каждый Е-нильпотентный относительно М идеал является Е-нильпотентным относительно М, то идеал А также будет Е-нильпотентным относительно М. Пусть W — окрестность нуля в М. Тогда найдется натуральное число п, такое что АпМ С W. Заметим, что М = [AM] = [АпМ] С W. Но тогда Мс [W]. Учитывая, что М — хаусдорфово пространство, получаем, что М = {0}. Следовательно наше предположение о том, что top N dimM а не верно.
