Введение к работе
Актуальность темы. Современную теорию линейных уравнений с частными производными невозможно представить без се фундамента — теории обобщенных функций. Однако, как отмечено самим ее создателем Л.Шварцем, она обладает одним существенным недостатком : нельзя иеремиожить два произвольных распределения. А поэтому нельзя использовать этот мощнейший аппарат в нелинейных задачах. С другой стороны, квантовая физика необходимым образом требует умножения различных распределений. С третьей сторони, Л.Шварц своей теоремой "запретил" это умножение. И вот в этом, казалось бы безвыходном положении, был найден выход, который, если глубоко задуматься, дается самим Л.Шварцем. В своей теореме он говорит, что "нельзя ни в какой теории, иметь одновременно умпожепие, дифференцирование и элсмепт 6". Поэтому, если мы хотим решать нелинейные дифференциальные уравнения (т.е. иметь умножение и дифференцирование), намнридогся отказаться от существования 6 -0 такого, что х 6 — 0. Другими словами, нам хотелось бы вложить пространство обобщенных функций в некоторую алгебру со всюду определенным дифференцированием, хотя мы заранее знаем, что элемента 6 ф 0, обладающего свойством х & = 0 в этой алгебре не будет.
Первая из таких алгебр была построена в работе рижского математика Я.Б.Ливчака в 1969 году.
Следующим шагом были работы французского математика Ж-Коломбо (1983 г.). Он построил алгебру Q(R) с дифференцированием D, которая содержит в себе алгебру бесконечно дифференцируемых функций C(R) с естественным дифференцированием d/dt, как подалгебру, и пространство распределений X>'(R), как подпространство, то есть
C(R) С Т>'(П) С P(R).
Элементы алгебры <7(R) Ж.Коломбо назвал "новыми обобщенными функциями". Тем самым Ж.Коломбо не только построил содержательную теорию нелинейных обобщенных функций, по и частично ответил па вопрос Л .Шварца, поставленный в упомянутой выше статье. В этой работе Л.Шварц говорит : "Я не знаю примера всюду определенного умножения и дифференцирования
,--2-
дажс с 6 = 0". Однако Л.Шварц имел ввиду вложить алгебру непрерывных функций С (К) с частично определенным обычным дифференцированием в некоторую алгебру А со всюду определенным дифференцированием. Коломбо же смог вложить только алгебру бесконечно дифференцируемых функций C(R) со всюду определенным дифференцированием d/dt.
В первой главе диссертации доказан общий факт, что любую абстрактную алгебру X со всюду определенным дифференцированием d можно вложить в настолько более широкую алгебру А с дифференцированием D, что между ними можно поместить произвольное подпространство Е, то есть
(Xr,d/dt)cEc(AQ,D).
После Коломбо, известный московский математик Ю.В.Егоров (1900 г.) предложил более простую и более широкую алгебру "новых обобщенных функций" и дал различные ее приложения к дифференциальным уравнениям. Конструкция IO 'З.Егорова похожа на построения Я.Б.Ливчака. Хотя в алгебре Ю.В.Егорова помещаются всевозможные пространства распределений, ультрараспределений и аналитических функционалов, она настолько широка, что умножение в ней весьма сильно отличается от "естественного". Например, произведение "супергладких" функций (жевре-евгких, аналитических и т.н.) не совпадает с обычным их произведением.
В работах А.Б.Аитопсвича и Я.В.Радыно был проведен анализ конструкций вышеупомянутых авторов и был предложен общий метод построения алгебр "новых обобщенных функций" с заданными свойствами. Элементы этих объектов предложено было называть мнемофункщшми (функциями с памятью).
Мнемофункциями называются, грубо говоря, классы эквивалентных последовательностей гладких функций. Каждому распределению соответствует несколько мпемофупкций.
Используя аппарат и технику мнемофупкций, в третьей главе диссертации доказано существование фундаментального решения в алгебре мнемофункций для линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами.
Поскольку мнемофункций являются классами эквивалентных последовательностей гладких функций, то естественно рассмотреть аналогичные классы эквивалентных последовательностей
болес общей природы. Такие пространства и есть объекты исследования второй главы. Они являются пе только векторными пространствами и кольцами, но также и модулями над кольцами так называемых обобщенных чисел. Эти модули обобщают, с одной стороны, банаховы алгебры, в частности, алгебры ограниченных операторов, с другой стороны классы неограниченных операторов. В этой главе изучены алгебраическая и топологическая структуры модулей. Естественной оказывается здесь пе-архимедова топология. Построены основы спектральной теории элементов этих модулей и даны ее приложения к спектральной теории линейных операторов.
Связь работы с крупными научными программами,
темами. Исследования проводились в рамках госбюджетной научной темы : "Дифференциальные и операторные уравнения в топологических векторных пространствах" N 01910055396 27.29 Вел-госуниверемтета.
Цель и задачи работы. Целью диссертационной работы явля
ется построение расширения алгебр в духе мнемофункций и при
ложение полученных результатов к исследованию дифференци
альных уравнений. ' ,
Научная новизна полученных результатов.
1. Доказана теорема о существовании расширений для ал
гебр с дифференцированием, дающая частичный ответ на гипо
тезу Л.Шварца, и предложен конструктивный способ построения
некоторых из таких расширений, являющихся модулями пад коль
цом обобщеппых комплексных чисел.
-
Построено расширение банаховой алгебры с использованием степенной шкалы сравнения, доказаны аналоги классических теорем о спектральных свойствах элементов полученного расширения. Ввсдепа классификация регулярных точек элемента этого расширения.
-
Дано новое определение понятия фундаментального решения дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами в алгебре мнемофункций (содержащих медленно растущие распределения). Доказана теорема о существовании фундаментального решения в смысле мнемофункций.
Основные положения диссертации, выносимые на защиту.
1. Конструкции расширения алгебр с дифференцированием.
2. Спектральные свойства элементов банахового модуля на;
кольцом обобщенных комплексных чисел, полученного расшире
нием банаховой алгебры.
3. Попптие и построение фундаментального решения липейныз
дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами і
алгебре мпемофункций, содержащих медлеппо растущие распре
деления.
Практическая значимость. Работа имеет теоретический ха рактср. Полученные результаты п дальпейшем могут быть при менсиы при исследовании уравнений с обобщенными коэффици ентами, уравнений с неограниченными операторами, нелинейны; дифференциальных уравнений с частными производными.
Некоторые из результатов могут быть использованы при что нии спецкурсов по функциональному анализу.
Публикации, апробация работы, личный вклад. Все основ ные результаты, приводимые в выносимой на защиту диссертаци онной работе, получены автором лично. Из результатов, опубли кованных совместно с Гулецкой О.И., ей принадлежат результа ты, относящиеся к конкретной алгебре операторов, а результаты относящиеся к произвольным бапахоным алгебрам принадлежа' лично автору.
Основные результаты диссертации докладывались на между народных и республиканских математических конференциях.
Часть результатов обсуждалась на семинаре лаборотории те еретической физике Объединенного института ядерных исследо ваний (руководитель профессор В.Б.Присзжов), на семинар по дифференциальным уравнениям Московского энергетическог института (руководитель — профессор Ю.А.Дубинский), на се минаре кафедры функционального анализа Еелгосуниверситетс
Опубликованность результатов. По теме диссертационно работы опубликовано 13 печатных работ, из них 9 являются тези сами докладов на математических конференцях, в том числе 3-международных.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит и введения, трех глав и списка используемых источников, включг ющего 90 наименований. Общий объем диссертации составляв 80 страниц машинописного текста.
