Перечисление квадрик и симметричных форм модулей над локальными кольцами Старикова Ольга Александровна

Основная задача теории квадрик

Квадрикой проективного пространства RPn-i называется множество (или проективное многообразие) j = 7л его точек v, определяемых уравнением для произвольной ненулевой п X п-матрицы А над R с условием симметричности А = Ат. Две квадрики (аналогично, квадратич ные формы) называем проективно эквивалентными, если первая из них переводится во вторую проективным преобразованием. В слу , чае, когда такое преобразование можно выбрать линейным, скажем, с матрицей Q, их называем проективно конгруэнтными, также как и соответствующие матрицы А и QAQT. К одной из основных в теории квадрик относится следующая задача: (А) Классифицировать и перечислить квадрики проективного пространства с точностью до проективной конгруэнтности или с точностью до проективной эквивалентности. Существенно, чтобы результаты перечислений выражались либо численно, либо в терминах комбинаторных сумм и стандартных комбинаторных функций, см. [16], [20], [19], [7], [17], [8]. Естественно, что квадрики классифицируются взаимосвязано с исследованием симметричных форм и их матриц. Решение задачи (А) тесно связано с решением проблемы диагонализируемости относительно конгруэнтности симметричных форм и матриц. "Сильно невырожденная" симметричная форма на модуле над локальным кольцом с обратимым элементом 2, как показано в [13, 3], всегда допускает ортогональный базис; это равносильно конгруэнтности матрицы такой формы (матрица Грама) диагональной матрице. "Сильная невырожденность" формы на свободном модуле конечного ранга равносильна обратимости ее матрицы; существенность этого условия показывает следующий пример. Пример 1.2.1. Пусть R есть кольцо формальных степенных рядов от переменных х, у над полем или его фактор-кольцо по степени 2 максимального идеала.

Тогда R есть локальное кольцо с максимальным идеалом J = (х,у). Покажем, что симметричная матрица ( X 11 \ A = I n I недиагонализируема. Достаточно рассмотреть случай J2 = 0, поскольку конгруэнтность матриц сохраняется при гомоморфизмах основного кольца. Предположим противное, то есть для некоторой обратимой матрицы Q = I . ) матрица Q 1A(Q 1)T является диагональной. Вместе с А она лежит над идеалом J. Следовательно, существуют элементы f,g Є /, для которых Отсюда, в силу унимодулярности строк матрицы Q, идеалы (/) и (д) инцидентны и, кроме того, один из них совпадает как с идеалом (х) так и с идеалом (у). Поэтому (х) = (у); противоречие. Следовательно, матрица А не конгруэнтна диагональной матрице. Таким образом, симметричная матрица над локальным кольцом (с обратимым элементом 2 ) и, следовательно, соответствующая сим метричная форма не всегда являются диагонализируемыми. С другой стороны, определяющая роль симметричных форм с обратимой матрицей утрачивается при переходе к локальным кольцам коэффициентов. В частности, с помощью леммы 2.3.4 несложно строятся проективные пространства ( в том числе, над локальными кольцами главных идеалов и индексом \R : R 2\ = 2 ), для которых общее число классов проективно эквивалентных квадрик является значительным, по сравнению с числом классов "сильно невырожденных" квадрик, и их исследование оказывается естественным. Так, проективная плоскость над кольцом дуальных чисел из примера 3.1.2 в 3.1 обладает единственной, с точностью до проективной эквивалентности, квадрикой с обратимой матрицей, а всего имеет 13 классов проективно эквивалентных квадрик с присущей каждому классу спецификой геометрических инвариантов, представленных там же в таблице. Естественно возникает задача: (Б) Выявить локальные кольца, над которыми любая симметричная матрица конгруэнтна диагональной матрице. В случае колец коэффициентов из (Б) целесообразно (В) Установить (единственную) "нормальную" диагональную форму симметричных матриц. Задачи (А) - (В) исследуются в следующих главах. В главе 3 рассматриваются некоторые инварианты квадрик, к которым, как обычно, относится и ранг квадрики, причем рангом квадрики над локальным кольцом R с максимальным идеалом J называется ранг образа определяющей ее симметричной матрицы при кольцевом гомоморфизме R — R/J.

Конгруэнтные преобразования канонических матриц и ортогональная группа

Пусть (р - квадратичная форма (2.1) над локальным кольцом R с главным максимальным идеалом J. Исследуем строение ее ортогональной группы. Матрица (2.2) квадратичной формы является М .-канонической диагональной п X n-матрицей. Она представляется в клеточно-диагональном виде с обратимыми диагональными клетками А\,... ,Aq и нулевой клеткой О размерности т = п — X Li ітЛ,-. Поэтому ортогональную группу можем представить в матричном виде Пусть (fi есть квадратичная форма с матрицей А(. Через GLn(R,J) обозначим конгруэнц-подгруппу уровня J в GLn(R), а через V(R) — верхнюю клеточно-унитреугольную подгруппу с подобным Ф разбиением. Строение ортогональной группы 0((p,R) в этих обозначениях описывает Теорема 2.2.1. Пусть R есть локальное кольцо с главным максимальным идеалом J. Тогда группа 0(cp,R) есть произведение ее пересечения с подгруппой GLn(R, J)V(R) и клеточно-диагональной подгруппы Доказательство. Нулевую s х -матрицу обозначим через Ost Лемма 2.2.2. Пусть для г хr-матриц P,Q и обратимой пхп-матрицы U над кольцом R выполняется соотношение и пусть I 1 — клеточное разбиение матрицы и с г х г \ L/21 22 / клеткой U\\. Тогда матрица U2\PUjx — нулевая и UnPUj[ = Q. Если R есть локальное кольцо главных идеалов с обратимым элементом 2 и Р — обратимая клетка, то матрицы Р и Q конгруэнтны, матрицы U\\ и U Пользуясь сейчас обратимостью матриц Р и [/ц, из соотношения U21PUJI = On-r г получаем равенство U21 = Оп-г г. Следовательно, U — клеточно-треугольиая матрица, \U\ = \U\\\ 22І и U22 обратимая матрица. Лемма доказана. Полагая /г- = et{ для всех г = 1, 2,..., q (t\ О, 2 О, ..., tq 0), матрицу (2.4) представляем следующим образом Допустим, что матрица Z) вида (2.4) конгруэнтна матрице Л, то есть существует обратимая матрица [/ такая, что UAUT = D. С учетом теоремы 2.1.2 аналогично получаем где Dj (1 j q) есть, как и выше, обратимая диагональная клетка, причем размерности Dj и Aj совпадают. Зафиксируем клеточное разбиение \\Щ\\ матрицы U, подобное разбиению матрицы А. Основной в доказательстве теоремы 2.2.1 является Лемма 2.2.3. Пусть R есть локальное кольцо с главным максимальным идеалом J = (є) и 1 s q. Тогда все матрицы Uji, 1 і j s, лежат над идеалом (fi+ifi+2" fj), минор Uss обратим и UssAsUjs = Ds mod J. Доказательство проводим индукцией по s. Рассматривая соотношение конгруэнтности UAUT = D по модулю идеала (/і/2), по лемме 2.2.2 получаем /І[С/ЦІ4ІС7?І — D\\ = О mod (/i/2). Матрица в квадратных скобках должна лежать над аннулятором элемента /і и, следовательно, над J. Поэтому по модулю идеала J выполняется равенство U\\A\U = D\.

Отсюда и из соотношения для определителей і = С7ЦІ4ІС/Й = Лі \Un\2 вытекает обратимость 22 обратимы и U21 = Оп-г г. Доказательство. Первое утверждение леммы вытекает непосредственно из равенств Допустим, что далее R есть локальное кольцо главных идеалов с обратимым элементом 2 и Р — обратимая клетка. Тогда из соотношения конгруэнтности выбранных клеточно-диагональных матриц над R следует, в силу теоремы 2.1.2, что Q — также обратимая клетка. Отсюда и из соотношения для определителей Q = \UuPUjW = \Р\ \Uu\2 вытекает обратимость определителя С/ц в R и, вместе с тем, конгруэнтность матриц Р и Q. Пользуясь сейчас обратимостью матриц Р и [/ц, из соотношения U21PUJI = On-r г получаем равенство U21 = Оп-г г. Следовательно, U — клеточно-треугольиая матрица, \U\ = \U\\\ 22І и U22 обратимая матрица. Лемма доказана. Полагая /г- = et{ для всех г = 1, 2,..., q (t\ О, 2 О, ..., tq 0), матрицу (2.4) представляем следующим образом Допустим, что матрица Z) вида (2.4) конгруэнтна матрице Л, то есть существует обратимая матрица [/ такая, что UAUT = D. С учетом теоремы 2.1.2 аналогично получаем где Dj (1 j q) есть, как и выше, обратимая диагональная клетка, причем размерности Dj и Aj совпадают. Зафиксируем клеточное разбиение \\Щ\\ матрицы U, подобное разбиению матрицы А. Основной в доказательстве теоремы 2.2.1 является Лемма 2.2.3. Пусть R есть локальное кольцо с главным максимальным идеалом J = (є) и 1 s q. Тогда все матрицы Uji, 1 і j s, лежат над идеалом (fi+ifi+2" fj), минор Uss обратим и UssAsUjs = Ds mod J. Доказательство проводим индукцией по s. Рассматривая соотношение конгруэнтности UAUT = D по модулю идеала (/і/2), по лемме 2.2.2 получаем /І[С/ЦІ4ІС7?І — D\\ = О mod (/i/2). Матрица в квадратных скобках должна лежать над аннулятором элемента /і и, следовательно, над J. Поэтому по модулю идеала J выполняется равенство U\\A\U = D\. Отсюда и из соотношения для определителей і = С7ЦІ4ІС/Й = Лі \Un\2 вытекает обратимость определителя С/ц в R. При 5 = 1 утверждение леммы доказано. Пусть 1 s q и допустим, что для s — 1 лемма уже доказана. Таким образом, все миноры Uu обратимы при 1 і s, а все матрицы Uji при 1 і j s лежат над идеалом (/;+i/,-+2 /,). Тогда Uji = (fi+\fi+2 fj)Uji для подходящей матрицы Uj{. По модулю идеала (/1/2 fs+i) условие диагональности матрицы UAUT для ее клеток s - й строки дает следующие соотношения:

Распространение закона инерции вещественных квадратичных форм

Заметим, что теорема 2.1.2 устанавливает также диагонализируе-мость квадратичных форм над R. В этом параграфе закон инерции вещественных квадратичных форм распространяется на случай локальных колец коэффициентов, в которых обратимые квадраты образуют полугруппу по сложению. Следующая теорема выявляет для квадратичных форм "нормальный" вид Теорема 2.4.1. Пусть R есть локальное кольцо с обратимым элементом 2 и главным максимальным идеалом J = (є), причем \R : R 2\ = 2, 1 + R 2 С R 2 и 1 + .7 С R 2. Тогда всякая ненулевая квадратичная форма над R приводится к диагональному виду (2.7) обратимым R— линейным преобразованием неизвестных, причем показатели ii,--- ,г? и целые числа n,--- ,rq, si,--- , sq не зависят от способа приведения. Доказательство. Условия на основное кольцо показывают, что элемент -1 не является квадратом в R и вместе с 1 составляет систему представителей группы R по подгруппе R 2. Поэтому по теореме 2.1.2 произвольная ненулевая квадратичная форма над R приводится обратимым Л—линейным преобразованием неизвестных к диагональному виду (2.7) , причем показатели гі,--- ,iq и целые числа П,..- ,rq не зависят от способа приведения. Таким образом, нам требуется доказать, что числа si,--- , sq являются инвариантами квадратичной формы. Используя условие 1 + R 2 С Я 2, для всякой квадратичной формы вида /і = — [х\ + ... + х2) -f (x2s+l + ... + х2.) над R и, следовательно, для ен /і инвариантность числа s получаем почти дословным перенесением закона инерции вещественных квадратичных форм, вместе с доказательством (см., например, [11, 22.3]). Так как конгруэнтность квадратичных форм сохраняется при кольцевом гомоморфизме R н- R/Jtl+l, то число 5і в (2.7) также является инвариантом. Пусть q 1 и допустим, что для некоторого j, 1 j q, инвариантность всех чисел si, S2,..., Sj_i уже доказана. Докажем инвариантность sj. Так как конгруэнтность квадратичных форм сохраня ется при гомоморфизмах основного кольца, то достаточно рассмотреть случай j = q. Иными словами, требуется доказать равенство чисел s и t для конгруэнтных квадратичных форм (єг) строго содержится в каждом идеале (ci),--- , (ст) и является ненулевым. Предположим противное, то есть s t. В силу конгруэнтности квадратичных форм, неизвестные связаны Я-линейным преобразованием с помощью обратимой матрицы U = ид. Заменяя каждое Xk выражением через yj, приходим к тождеству относительно неизвестных т/1, /2,..., 2/п, где значение каждого ау выбираем равным +1 или -1, обеспечивая равенство Cj(xj — yj) = 0.

Определим точное значение aj. Рассмотрим угловые (лежащие в левом верхнем углу) миноры Vjj порядков j = 1,2,...,га основной матрицы системы (2.9); они получаются из соответствующих миноров матрицы UT вычитанием элементов аі,...,а,- по главной диагонали. Поскольку разность (мц + 1) — {иц — 1) = 2 есть обратимый элемент кольца Л, то оба элемента щ\ + 1 и щ\ — 1 одновременно не могут лежать в J. Элемент а\ выбираем так, что У\\ = и\\ — «і Є R . Пусть 1 j тп и допустим, что элементы а\,..., cij-i уже выбраны так, что миноры Уц,..., V}_i j_i обратимы в R. Обозначим через Ajk алгебраическое дополнение к элементу ид в миноре Vjj, к = 1,2,... ,j — 1. Тогда для некоторого элемента Ь Є R, не зависящего от выбора aj. Вновь, пользуясь обратимостью разности Vjj(-l) — V}_/(+l) = 2V _i j_i, выбираем значение aj так, что Vjj Є -R . Индукция no j показывает, что элементы а\, ,am мы можем выбрать так, чтобы все миноры V\\, Vmm были обратимы. Учитывая обратимость минора Vmm, общее решение системы (2.9) можем записать в виде Систему s линейных однородных уравнений можем сейчас рассматривать как систему уравнений от t неизвестных /m+i,... ,ym+t- Так как s t, то система обладает унимоду ЛЯрНЫМ решением 1Jm+i = 7m+l».-.»2/m+ = 7m+ , С ПОМОЩЬЮ КО торого находим значения yi,...,ym, а также значения xm+s+i — /Зі, ..., xm+r = /3r_s. Подставляя найденные значения в (2.8) и полагая получаем равенство eld = 0. Так как аннулятор ненулевого элемента ег является неединичным идеалом кольца Л, то элемент d должен лежать в J. С другой стороны, в разложении элемента d каждое слагаемое лежит либо в J, либо в R 2. Так как вектор (7т+ь ilm+t) унимодулярен по построению, то хотя бы одно из слагаемых т2 является обратимым. В силу условий 1 + R 2 С R 2 и 1 + J С Л 2 в теореме, находим d Є R 2. Полученное противоречие завершает доказательство теоремы.

Перечисление классов проективно эквивалентных квадрик проективной плоскости

Для перечисления классов проективно эквивалентных квадрик проективного пространства при ограничениях теорем 2.3.1 и 2.4.1, в силу теоремы 3.1.1 и предложения 3.1.2, остается рассмотреть случай, когда элементы єикє автоморфны для фиксированного неквадрата к в R. Для проективной плоскости этот случай рассматривает Теорема 3.2.1. Пусть N есть число классов проективно эквивалентных квадрик проективной плоскости RP2 над локальным кольцом R с нилъпотептпым ступени s главным максимальным идеалом J = (є). Допустим, что 2 Є Л , \R : R 2\ = 2 и элементы є и кє в кольце R автоморфны для неквадрата к. Тогда для четного или нечетного числа s число N соответственно равно Доказательство. Обратимый неквадрат к зафиксируем как и в теореме. Классы проективно эквивалентных квадрик можно представлять матрицами где кі Є {1, к}, в соответствии с теоремой 2.1.2. Ясно, что матрицы D и kD представляют один класс квадрик. Поэтому для наибольшего номера і с условием et{ ф 0 можем полагать &, = 1. Допустим, что ti = t2 = h = т. В силу теорем 2.3.1, 2.4.1 и предыдущего замечания, при любом ш, 0 т s, класс квадрик представляется одной из матриц Замечаем, что классы квадрик с матрицами D$ и kD$ совпадают, а матрицы D2 и kD$ конгруэнтны. Если R П (1 + R2) R 2, то по лемме 2.3.4 матрицы D2 и kD\ конгруэнтны и, в силу произвола в выборе т, получаем всего s классов. С другой стороны, при 1+Л 2 С R 2 классы квадрик с матрицами D\ и D2 не совпадают и поэтому получаем 2s классов квадрик. Найдем число классов квадрик с t% = s- Случай 0 t\ t2 = i3 = s дает в точности s классов. В остальных случаях каждый класс представляется матрицей diag(/ji 1, 2,0), 0 t\ t2 s. При ti = t2 получаем 2s различных классов. Если ti,t2 —- одной четности /[s + l/2]\ 0f[s/2]\ и различны, то получаем 2 I 1 ) или 2 I 0 ) классов, в соответствии с тем, четны или нечетны числа ti,t2; здесь [] — целая часть числа. В случае, когда числа t\,t2 имеют различную четность, легко убедиться, что квадрики с матрицами diag(ке ,12,0) и diag(" 1, et2,0) автоморфны и поэтому число классов здесь равно произведению І 1 ) 1 і ) Пусть 3 s- Допустим, что среди чисел 1, 2, 3 есть как четные, так и нечетные. Зафиксируем четный показатель ,- и нечетный показатель tj. Как и выше, можем полагать к{ = 1. С помощью кольцевого автоморфизма добиваемся также равенства kj = 1, не изменяя коэффициента &,-, в силу четности ti. Тогда различные значения оставшегося третьего коэффициента, независимо от третьего показателя в D, приводят к различным классам проективно эквивалентных квадрик.

Таким образом, получаем 2 I L 9)(1) + В случае, когда числа t\,ti,t$ одной четности и различны, то в соответствии с тем, четны они или нечетны, получаем случай, когда числа t\,ts — одной четности и различны, а число ti совпадает с одним из них. Допустим вначале, что t\ = ti. Тогда каждый класс квадрик представляется матрицей diag( 1 Д-, 3), где D\ = diag(l,l), Di = diag(A:, 1), D3 = diag(&, к). Для фиксированных і,з все три возможности очевидно приводят к различным классам при 1 + R 2 С R 2 и всего получаем ЗМ классов, где м = Ґ [s -Н/2] \ / [s/2] V при R, п (1 + д2) g W2 должны иметь 2М классов, так как матрицы D\ и D$ конгруэнтны. Случай ti = i3 рассматриваем аналогично. Резюмируя, получаем утверждение теоремы. Пример 3.2.2. Пусть Fq — конечное поле порядка q нечетной характеристики р и R = Fq[x]/{x2). В этом случае индекс \R : R 2\ = 2 и система представителей MR = {1,&}, где к — произвольный неквадрат в поле Fq (см. пример 2.1.8). По теореме 3.2.1 проективная плоскость RPi содержит 13 классов проективно эквивалентных квадрик. В следующей таблице указаны представители этих классов для случая поля характеристики р = —1( mod 4), представлены также некоторые инварианты квадрик. В частности, класс квадрик с обратимой матрицей или ранга 3 единственнен, а классов квадрик каждого из рангов 2, 1 и 0 - по 4. (Определение ранга квадрики над локальным кольцом см. 1.2.)

Похожие диссертации на Перечисление квадрик и симметричных форм модулей над локальными кольцами

Модули над кольцом обобщенных комплексных чисел и мнемофункцииРадыно, Николай Яковлевич

Модули над кольцом многочленов, связанные с представлениями конечномерных алгебр Попов Олег Николаевич

Градуированные кольца и модулиБалаба, Ирина Николаевна

Модули над кольцами обобщенных матрицЯрдыков Егор Юрьевич

Модули над кольцом псевдорациональных чисел и факторно делимые группыЦарев, Андрей Валерьевич

Спектральные свойства гомоморфизмов банаховых модулей над кольцом измеримых функций Подорожный Михаил Васильевич

Кольца и модули, имеющие топологическую размерность КрулляТензина Виктория Васильевна

Кольца псевдоалгебраических чисел и модули над нимиЗиновьев Егор Геннадьевич

Базисные подмодули и структура чисто-инъективных модулей над полуцепными нетеровыми справа кольцамиЗильберборд Игорь Михайлович

Некоторые вопросы неархимелова анализа в кольце обобщенных комплексных чисел и в модулях над нимТитков, Юрий Васильевич