Кольца псевдоалгебраических чисел и модули над ними Зиновьев Егор Геннадьевич

Содержание к диссертации

Введение

1 Основные свойства колец псевдоалгебраических чисел и модулей над ними 11

1. Кольца псевдоалгебраических чисел 12

2. Общие результаты о модулях над кольцами псевдоалгеб раических чисел 20

2 Некоторые классы модулей над кольцами псевдоалгебраических чисел 24

3. Делимые и инъективные Л-модули 25

4. Приведенные Л-модули 29

5. Конечно порожденные проективные модули 36

6. Связи конечно порожденных Д-модулей с некоторыми условиями типа конечности 41

7. Категория W 48

Литература 57

• Кольца псевдоалгебраических чисел
• Общие результаты о модулях над кольцами псевдоалгеб раических чисел
• Конечно порожденные проективные модули
• Связи конечно порожденных Д-модулей с некоторыми условиями типа конечности

Введение к работе

Актуальность темы. Теория абелевых групп не является замкнутой в том смысле, что важно изучать не только абелевы группы сами по себе, но также конструкции, с помощью которых они появляются или исследуются. Так, исключительно важным и полезным оказывается модульный подход. Например, каждая абелева группа является модулем над своим кольцом эндоморфизмов. Такая точка зрения отражена в книге П.А. Крылова, А.В. Михалева, А.А. Туганбаева [6].

В последние годы появилось значительное число работ, посвященных смешанным абелевым группам. И по сей день данная тематика остается актуальной и интересной.

Одним важным классом смешанных абелевых групп является класс Q, введеный в работе [22]. Этот класс состоит из самомалых групп G таких, что G/t(G) — делимая группа конечного ранга [13]. Изучению класса Q посвящено большое число работ [1], [2], [13], [19], [20], [22]. В работе [19] А.А. Фомин для изучения групп из класса Q вводит кольцо псевдорациональных чисел. Оказалоссь, что группы из класса Q — это конечно порожденные модули над таким кольцом. Обратное утверждение с некоторыми ограничениями также имеет место. Коль-

******

цом псевдорациональных чисел R называется подкольцо в]\Ъ_р такое,

р что R = (1, Z_p)*, где р пробегает все простые числа [9]. v

Для изучения й>-групп (от слов «сумма» и «произведение»), независимо от А.А. Фомина, П.А. Крылов [4] вводит и использует, то же кольцо псевдорациональных чисел. Редуцированная смешанная абе-лева группа А называется зр-группой, если естественное вложение

0 А_р —> А продолжается до сервантного вложения А —+ JJ А_р, где

р<=р рР

А_р — р-компонента, т. е. наибольшая подгруппа в А, являющаяся р-

группой. Автор показал, что каждая sp-группа является модулем над таким кольцом, и это обстоятельство оказалось полезным при их исследовании [1], [2].

Широкий класс смешанных абелевых групп, а именно, класс факторно делимых групп, определили А.А. Фомин и У. Уиклесс в работе [21] в 1998 г. Он содержит факторно делимые группы без кручения конечного ранга Р. Бьюмонта и Р. Пирса [15] и класс Q. Группа G называется факторно делимой, если G не содержит ненулевых делимых периодических подгрупп, но содержит свободную подгруппу F конечного ранга такую, что G/F — периодическая делимая группа. Авторы установили двойственность между категорией абелевых групп без кручения конечного ранга QTT и категорией факторно делимых смешанных групп QV, где морфизмы — это квазигомоморфизмы. Это говорит о богатстве данного класса смешанных групп. Отметим, что каждая группа G Є Q есть прямая сумма факторно делимой и конечной группы [18]. Найдена тесная связь между факторно делимыми группами и конечно порожденными модулями над кольцом псевдорациональных чисел [10], [18].

А.А. Фомин [19] и П.А. Крылов [4] вместе с кольцом псевдорациональных чисел R (1999 г.) определили класс колец R_x. В данный класс, например, попадает кольцо R. Они рассмотрели основные

свойства колец R_x и применили конечно порожденные і?_х-модули для изучения смешанных абелевых групп. В своих более ранних работах А.А. Фомин, для изучения абелевых групп без кручения конечного ранга, использует кольцо универсальных чисел и кольца т-адических чисел [17]. Далее используя матрицы с т-адическими элементами, автор построил категорию 7ZM, которая эквивалентна категории QV и двойственна категории QTT [11].

Изучение кольца псевдорациональных чисел и модулей над ним имеет и самостоятельный интерес. В статьях [4], [19] приведены основные свойства этого кольца. Описаны инъективные, проективные, плоские и образующие модули над таким кольцом [12], [9]. Там же найдена полная и независимая система инвариантов проективного модуля.

В диссертации вводится понятие кольца псевдоалгебраических чисел. Такие кольца — это естественное обобщение класса колец R_x и, в частности, кольца псевдорациональных чисел. Идея такого обобщения принадлежит П.А. Крылову. Заметим, что согласно принятой точки зрения кольцо псевдорациональных чисел одно, а колец псевдоалгебраических чисел бесконечно много. Надо отметить, что в частных случаях кольца псевдоалгебраических чисел появились раньше, чем кольцо псевдорациональных чисел. В книге Фукса [8] с помощью колец R_x исследуется ^-регулярность колец, они также используется в статье [13].

Кольца псевдоалгебраических чисел и модули над ними имеют много связей с классическими понятиями. Например, строение колец псевдоалгебраических чисел зависит от свойств полей алгебраических чисел. Всякий регулярный модуль есть модуль над некоторым таким кольцом (пример 1.5.).

Диссертация посвящена изучению колец псевдоалгебраических чисел и модулей над ними. Изучение проводилось по следующей схеме. Сначала рассматриваются различные свойства колец псевдоалгебраических чисел. Затем изучаются модули над такими кольцами. Интересно, что, как и в теории абелевых групп, произвольный модуль над таким кольцом раскладывается в прямую сумму инъективного модуля и в некотором смысле «редуцированного» модуля, а строение «редуцированной» части похоже на строение sp-группы. А.А. Фомин установил справедливость подобного разложения для случая кольца псевдорациональных чисел [19].

Цель работы. Изучить основные свойства колец псевдоалгебраических чисел. Исследовать основные классы модулей над ними.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. Перечислим основные результаты.

Описаны инъективные и делимые модули, инъективная оболочка модуля, конечно порожденные проективные модули.

Изучение конечно порожденных модулей сведено к изучению приведенных модулей (модулей со специальными системами образующих).

Установлены связи конечной порожденности модуля с другими условиями типа конечности (малость, самомалость модуля, дискретность кольца эндоморфизмов в конечной топологии).

Получены основные результаты о категории W (категория W введена подобно категории Уокера Walk).

Теоретическая и практическая ценность. Результаты работы имеют теоретическое значение и могут быть использованы для исследования абелевых групп.

Апробация результатов. По основным результатам диссертации

были сделаны доклады на конференциях: «Международная конференция по математике и механике» (Томск, 2003 г.), «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2004 г.), «Ломоносов 2007» (Москва, 2007 г.), «Алгебра и ее приложения» (Красноярск, 2007 г.), «Мальцевские чтения» (Новосибирск, 2007 г.), «Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А.Г. Куроша» (Москва, 2008 г.) и двух Всероссийских симпозиумах по абелевым группам (Вийск, 2005 г. и 2006 г.). Кроме того, результаты диссертационной работы докладывались на семинарах кафедры алгебры Томского государственного университета. По теме диссертации опубликовано 9 работ ([23]-[31]).

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, списка обозначений, двух глав и списка литературы. Глава 1 состоит из двух параграфов, а глава 2 — из пяти параграфов. Работа изложена на 61 странице.

Содержание работы. Кратко сделаем обзор основных результатов данной диссертации.

Кольца псевдоалгебраических чисел

Диссертация посвящена изучению колец псевдоалгебраических чисел и модулей над ними. Изучение проводилось по следующей схеме. Сначала рассматриваются различные свойства колец псевдоалгебраических чисел. Затем изучаются модули над такими кольцами. Интересно, что, как и в теории абелевых групп, произвольный модуль над таким кольцом раскладывается в прямую сумму инъективного модуля и в некотором смысле «редуцированного» модуля, а строение «редуцированной» части похоже на строение sp-группы. А.А. Фомин установил справедливость подобного разложения для случая кольца псевдорациональных чисел [19].

Цель работы. Изучить основные свойства колец псевдоалгебраических чисел. Исследовать основные классы модулей над ними. Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. Перечислим основные результаты. Описаны инъективные и делимые модули, инъективная оболочка модуля, конечно порожденные проективные модули. Изучение конечно порожденных модулей сведено к изучению приведенных модулей (модулей со специальными системами образующих). Установлены связи конечной порожденности модуля с другими условиями типа конечности (малость, самомалость модуля, дискретность кольца эндоморфизмов в конечной топологии). Получены основные результаты о категории W (категория W введена подобно категории Уокера Walk). Теоретическая и практическая ценность. Результаты работы имеют теоретическое значение и могут быть использованы для исследования абелевых групп.

Апробация результатов. По основным результатам диссертации были сделаны доклады на конференциях: «Международная конференция по математике и механике» (Томск, 2003 г.), «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2004 г.), «Ломоносов 2007» (Москва, 2007 г.), «Алгебра и ее приложения» (Красноярск, 2007 г.), «Мальцевские чтения» (Новосибирск, 2007 г.), «Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А.Г. Куроша» (Москва, 2008 г.) и двух Всероссийских симпозиумах по абелевым группам (Вийск, 2005 г. и 2006 г.). Кроме того, результаты диссертационной работы докладывались на семинарах кафедры алгебры Томского государственного университета. По теме диссертации опубликовано 9 работ ([23]-[31]).

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, списка обозначений, двух глав и списка литературы. Глава 1 состоит из двух параграфов, а глава 2 — из пяти параграфов. Работа изложена на 61 странице.

Содержание работы. Кратко сделаем обзор основных результатов данной диссертации. Глава 1 носит ознакомительный характер и необходима для общего знакомства с кольцами псевдоалгебраических чисел и модулями над ними. В 1 вводится основной объект диссертации — кольцо псевдоалгебраических чисел R (определение 1.1). Показана связь этих колец с полями алгебраических чисел и регулярными модулями. Рассмотрены основные свойства введенного кольца R : строение идеалов (теорема 1.7) и факторколец (теорема 1.9), описаны максимальные идеалы и радикал Джекобсона J (R) (следствия 1.8, 1.10), группа обратимых элементов U(R) (предложение 1.11). Общие свойства .R-модулей приведены в 2. Теорема о строении jR-модуля (теорема 2.1) сводит задачу описания модулей к случаю «редуцированных», в некотором смысле, модулей, а предложение 2.3 показывает, как они устроены. Описание простых модулей (предложение 2.4) и циклических модулей завершает параграф.

Глава 2 является основной содержательной частью диссертации и опирается на главу 1. Параграфы 4-7 тесно связаны и располагаются в логическом порядке. 3 посвящен делимым модулям (теорема 3.4), инъективным модулям (теорема 3.6) и инъективной оболочке модуля (следствие 3.7). Все вопросы этого параграфа сводятся к Zpk- и Zp-модулям. Основной объект 4 — приведенные модули (определение 4.2, лемма 4.3). Такие модули оказываются удобными для изучения конечно порожденных модулей за счет специально выбранной системы образующих элементов. Теорема 4.4 утверждает, что конечно порожденный модуль есть прямая сумма приведенного модуля и модуля, являющегося конечной прямой суммой циклических р-адических модулей по различным р. Приведенные модули оказываются удобными для решения некоторых классических вопросов (предложения 4.5, 4.6). Проективные модули над кольцом псевдорациональных чисел описаны в [9]. В случае кольца псевдоалгебраических чисел, получено описание для конечно порожденных проективных модулей. Этому посвящен 5. Параграф начинается с изучения подмодулей свободного модуля (предложение 5.2, 5.3). Следствие 5.5 утверждает, что конечно порожденный проективный модуль над кольцом псевдоалгебраических чисел является прямой суммой конечного числа циклических модулей, а в одной «специальной» категории (параграф 7) такой модуль изоморфен свободному модулю.

Общие результаты о модулях над кольцами псевдоалгеб раических чисел

Определение 3.1. Модуль М называется инъективным, если он удовлетворяет следующим эквивалентным условиям: 1) каждый мономорфизм : М — В является расщепляющимся (т.е. Im() — прямое слагаемое в В); 2) для каждого мономорфизма а : А — В и каждого гомоморфизма ip : А — М существует такой гомоморфизм X : В — М, что (р = Ха. Л-модуль С будем называть делимым, если гС — С для всех неделителей нуля г из R. Всякое "-пространство является инъективным й-модулем. Действительно, пусть С — "-пространство, М — і?-модуль, а : С — М — jR-мономорфизм. По теореме 2.1, М = А ф D, где D — наибольшее Т-пространство в М. Следовательно, а{С) С D. Имеем D = а(С) D±, где D\ — дополнительное прямое слагаемое. Значит, С — инъективный Л-модуль. Отсюда, также следует, что С — делимый Д-модуль. Итак, описание делимых и инъективных Я-модулей достаточно провести для Л-модулей, не содержащих JF-пространств. Кольцо целых р-адических чисел является полной областью дискретного нормирования. Поэтому р-адический модуль инъективен тогда и только тогда, когда он делим ([5], теорема 6.5). Далее, в кольце Zpfc обратимые элементы и неделители нуля совпадают. Значит, каждый модуль над %рк, где fceN, делим. Следующая лемма является обобщением соответствующей леммы в статье [12]. Лемма 3.2. Справедливы следующие утверждения: 1) если Rp = Ър, то делимый р-адический модуль является инъек-тивным R-модулем; 2) если Rp = Zpk, то инъективный модуль над Zpk является инъек-тивным R-модулем. Лемма 3.3. Пусть Rp = Zpk. Тогда делимый Zpk-модуль является делимым R-модулем. Доказательство. Пусть С - делимый Zpfc-модуль. Поскольку существует проекция (р : R — Zpk, то С -— притягивающий і?-модуль. Пусть с є С, г є R. Существуют а Є Zpk и сі є С такие, что асі = с и ip(r) = а. Тогда rci = с. Отсюда, С — делимый і?-модуль. Напомним, что Ар — JrCpA, также Ар = Єр А. Теорема 3.4. R-модулъ А, не содержащий Т-пространств, делим., тогда и только тогда, когда єрА — делимый Rp-модуль для всех таких р Є Р, что Rp = Zp. Доказательство. Необходимость очевидна. Докажем достаточность. Если єрА — делимый Rp-модуль, то єрА — делимый Д-модуль для любого р Р (леммы 3.2, 3.3). Тогда П Ар —- делимый Я-модуль. реР Используя предложение 2.3, получаем, что А — делимый Я-модуль. Следствие 3.5. Пусть для всех р є Р Rp = Zpk. Тогда каждый R-модуль делим. Рассмотрим строение инъективных Д-модулей. Учитывая, что каждый jR-модуль, являющийся JF-пространством, инъективен, достаточно рассмотреть Л-модули, не содержащие -пространств. Известно, что инъективные Zpfc-модули — это прямые суммы модулей, с аддитивной группой изоморфной циклической группе порядка рк. Инъектив ный р-адический модуль есть прямая сумма некоторого числа модулей, изоморфных квазициклическому модулю, и некоторого числа модулей, аддитивная группа которых, изоморфна аддитивной группе поля р-адических чисел [5]. Описание инъективных модулей над кольцом псевдорациональных чисел дано в [12]; оно допускает обобщение на случай колец псевдоалгебраических чисел. Теорема 3.6. R-модулъ А, не содержащий Т-пространств, инъ-ективен тогда и только тогда, когда он имеет вид Yl Av, где pSP каждый Ар — инъективный Rp-модулъ. Доказательство. Заметим, что YI Ар инъективный і?-модуль реР (лемма 3.2). Обратно, пусть А — инъективный іт!-модуль, не содер жащий -пространств. Тогда єрА — инъективный Zp-модуль или инъективный Zpfe-модуль. По предложению 2.3 А С Yl Ар. Поскольку А Найдем строение инъективной оболочки і?-модуля М. Инъективной оболочкой модуля М называется инъективный модуль Е, содержащий М, и такой, что в Е нет собственных инъективных подмодулей, содержащих М. Имеем известное (теорема 2.1) разложение М = А ф D, где D — . -пространство, а, значит, инъективный Д-модуль. Тогда инъективная оболочка модуля М имеет вид Е ф D, где Е — инъективная оболочка модуля А.

Конечно порожденные проективные модули

Доказательство. Пусть А є W/ и ё2 = ё Є Endw(A). Смежный класс ё = е + Ношд(Д ТА), где є Є EndR(A) и є2 - є Є Нопід(Д ТА). Тогда найдется г є Нотд(А, ГА) такой, что е2 = е + г. Поскольку Е А = Е/А, то г(А) С 0АА. для некоторого fc Є N. Зафиксируем прямое разложение А — А\ Ф 0 Ар. и эндоморфизм / є EndR(A) дей А; ствующий по правилу /(a) = е(а) для а Є Ai и /(0 Ар.) = 0. Тогда г=1 /2W = /2(«i + s) = /2(a0 + f2(s) = e2(ai) = e2(a) = e(a) = /(a), A; где a = ai + s, ai ЄІі, s є 0 АРг. Теперь можем записать г=1 A = BKev(f), где S = f(A). Пусть p : В — A — вложение, а 7г : Л — В — проекция. Тогда справедливы равенства ттр = 1# и рп = /. Окончательно получаем, ттр = їв и рк = / = ё. D Предложение 7.6. Для R-модуля А Є W/ следующие условия эквивалентны: 1) объект А неразложим в Wf; 2) Endw(A) — локальное кольцо; 3) в любом разложении А = В (В С, В = ТВ, или С = ТС; 4) EnaV(A) не имеет нетривиальных идемпотентов. Доказательство. EnaV(A) есть "-алгебра. Можно считать, что EnoV(A) = EndR(A)/RomR(A,TA) С EndR(A/TA). Поскольку А Є Wf, то EnoV(A) — конечномерная "-алгебра. Отсюда, EnoV(A) — артиново кольцо. Известно, что артиново кольцо с едини цей не имеет разложений в прямую сумму ненулевых левых идеалов тогда и только тогда, когда оно является локальным кольцом. Это доказывает эквивалентность пунктов 1) и 2). 1) = 3) Пусть А = В ф С. Зафиксируем вложения е\ : В — А и в2 : С — А. Тогда пара (А,{еі,е2}) — прямая сумма В и С в W/. Отсюда, еі(В) С ТА или е2(С) С ТА Теперь применим лемму 7.1. 3) = 4) Достаточно заметить, что если /2 = / є ЕПСІИЛ(А), то существует идемпотент є Є R такой, что (1 — e)f — идемпотент в Епс1л(А). И если предположить, что / ф 0 и / ф ї, то (1—є)/(А) $ ТА и Кег((1 - e)f) ТА. 4) = 2) Пусть кольцо Endw{A) не имеет нетривиальных идемпо-тентов. Тогда оно не раскладывается в прямую сумму левых идеалов. Отсюда, EnoV(.A) — локальное кольцо. Таким образом, W/ — аддитивная категория с расщепляющимися идемпотентами, и значит, в ней выполняется теорема Крулля-Шмидта. п Теорема 7.7. Пусть AR Є W/ и А = 0А, где каждое кольцо І=І Endw(Ai) — локальное кольцо. Тогда т 1) если А = @ВІ, то каждый объект ВІ есть конечная прямая сум г=1 ма неразложимых объектов в W/; 2) если в 1) каждый В{ неразложим, то т — п и существует пере становка в множества {1,2,..., п} такая, что А\ изоморфен Вщ в Wj для каждого г. Следствие 5.5 в терминах данного параграфа примет следующий вид. Следствие 7.8. Конечно порожденный проективный R-модуль изоморфен в W свободному модулю.

Связи конечно порожденных Д-модулей с некоторыми условиями типа конечности

Диссертация посвящена изучению колец псевдоалгебраических чисел и модулей над ними. Изучение проводилось по следующей схеме. Сначала рассматриваются различные свойства колец псевдоалгебраических чисел. Затем изучаются модули над такими кольцами. Интересно, что, как и в теории абелевых групп, произвольный модуль над таким кольцом раскладывается в прямую сумму инъективного модуля и в некотором смысле «редуцированного» модуля, а строение «редуцированной» части похоже на строение sp-группы. А.А. Фомин установил справедливость подобного разложения для случая кольца псевдорациональных чисел [19].

Цель работы. Изучить основные свойства колец псевдоалгебраических чисел. Исследовать основные классы модулей над ними. Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. Перечислим основные результаты. Описаны инъективные и делимые модули, инъективная оболочка модуля, конечно порожденные проективные модули. Изучение конечно порожденных модулей сведено к изучению приведенных модулей (модулей со специальными системами образующих). Установлены связи конечной порожденности модуля с другими условиями типа конечности (малость, самомалость модуля, дискретность кольца эндоморфизмов в конечной топологии). Получены основные результаты о категории W (категория W введена подобно категории Уокера Walk). Теоретическая и практическая ценность. Результаты работы имеют теоретическое значение и могут быть использованы для исследования абелевых групп.

Апробация результатов. По основным результатам диссертации были сделаны доклады на конференциях: «Международная конференция по математике и механике» (Томск, 2003 г.), «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2004 г.), «Ломоносов 2007» (Москва, 2007 г.), «Алгебра и ее приложения» (Красноярск, 2007 г.), «Мальцевские чтения» (Новосибирск, 2007 г.), «Международная алгебраическая конференция, посвященная 100-летию со дня рождения А.Г. Куроша» (Москва, 2008 г.) и двух Всероссийских симпозиумах по абелевым группам (Вийск, 2005 г. и 2006 г.). Кроме того, результаты диссертационной работы докладывались на семинарах кафедры алгебры Томского государственного университета. По теме диссертации опубликовано 9 работ ([23]-[31]).

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, списка обозначений, двух глав и списка литературы. Глава 1 состоит из двух параграфов, а глава 2 — из пяти параграфов. Работа изложена на 61 странице. Содержание работы. Кратко сделаем обзор основных результатов данной диссертации. Глава 1 носит ознакомительный характер и необходима для общего знакомства с кольцами псевдоалгебраических чисел и модулями над ними. В 1 вводится основной объект диссертации — кольцо псевдоалгебраических чисел R (определение 1.1). Показана связь этих колец с полями алгебраических чисел и регулярными модулями. Рассмотрены основные свойства введенного кольца R : строение идеалов (теорема 1.7) и факторколец (теорема 1.9), описаны максимальные идеалы и радикал Джекобсона J (R) (следствия 1.8, 1.10), группа обратимых элементов U(R) (предложение 1.11). Общие свойства .R-модулей приведены в 2. Теорема о строении jR-модуля (теорема 2.1) сводит задачу описания модулей к случаю «редуцированных», в некотором смысле, модулей, а предложение 2.3 показывает, как они устроены. Описание простых модулей (предложение 2.4) и циклических модулей завершает параграф.

Глава 2 является основной содержательной частью диссертации и опирается на главу 1. Параграфы 4-7 тесно связаны и располагаются в логическом порядке. 3 посвящен делимым модулям (теорема 3.4), инъективным модулям (теорема 3.6) и инъективной оболочке модуля (следствие 3.7). Все вопросы этого параграфа сводятся к Zpk- и Zp-модулям. Основной объект 4 — приведенные модули (определение 4.2, лемма 4.3). Такие модули оказываются удобными для изучения конечно порожденных модулей за счет специально выбранной системы образующих элементов. Теорема 4.4 утверждает, что конечно порожденный модуль есть прямая сумма приведенного модуля и модуля, являющегося конечной прямой суммой циклических р-адических модулей по различным р. Приведенные модули оказываются удобными для решения некоторых классических вопросов (предложения 4.5, 4.6). Проективные модули над кольцом псевдорациональных чисел описаны в [9]. В случае кольца псевдоалгебраических чисел, получено описание для конечно порожденных проективных модулей. Этому посвящен 5. Параграф начинается с изучения подмодулей свободного модуля (предложение 5.2, 5.3). Следствие 5.5 утверждает, что конечно порожденный проективный модуль над кольцом псевдоалгебраических чисел является прямой суммой конечного числа циклических модулей, а в одной «специальной» категории (параграф 7) такой модуль изоморфен свободному модулю.