Содержание к диссертации
Введение
1 Общие свойства модулей над кольцами обобщенных матриц 9
1. Модули, подмодули и фактормодули 9
2. Малые и существенные подмодули 23
3. Простые модули 29
4. Минимальные подмодули. Цоколь модуля 33
5. Максимальные подмодули. Радикал Джекобсона 39
2 Плоские, проективные и наследственные модули над кольцами обобщенных матриц 45
6. Тензорное произведение и плоские модули 45
7. Проективные модули 51
8. Наследственные модули 60
3 Наследственность колец эндоморфизмов некоторых групп 65
9. Делимые группы 65
10. Нередуцированные группы 70
11. Расщепляющиеся смешанные группы 74
Литература 76
- Малые и существенные подмодули
- Максимальные подмодули. Радикал Джекобсона
- Тензорное произведение и плоские модули
- Расщепляющиеся смешанные группы
Введение к работе
Актуальность темы. Кольца обобщенных (говорят также, «формальных») и, в частности, треугольных матриц обладают многими интересными свойствами. Кольца треугольных матриц часто используют для построения колец с асимметричными свойствами (например, нетеровых слева, но не справа и т. п.). При всем этом любое кольцо, обладающее нетривиальными идемпотентами, при определенных условиях изоморфно некоторому кольцу обобщенных матриц. Представляет интерес изучение модулей над кольцами обобщенных матриц. Можно исследовать как общие свойства таких модулей, так и некоторые специальные классы модулей.
Кольцо эндоморфизмов разложимого модуля является кольцом обобщенных матриц. Верно и обратное. Это обстоятельство подтверждает целесообразность исследования колец обобщенных матриц и модулей над такими кольцами. Кольца обобщенных матриц и модули над ними использовались при изучении абелевых групп с нетеровыми, наследственными кольцами эндоморфизмов [4, 17] , [5], абелевых групп как инъек-тивных модулей над их кольцами эндоморфизмов [21].
С кольцами обобщенных матриц, их связями с контекстами Мориты можно познакомиться в книгах [3, 10], [6, гл.7], [8, 6.10.12], [23]. Один параграф книги Гудерла [12] посвящен кольцам треугольных матриц. Модули над такими кольцами изучаются в статьях [15], [16], [21], [25] и
других. Систематические исследования колец матриц и модулей над ними были осуществлены Хагани и Варадараджаном в статьях [14] и [15]. Эти исследования проведены для колец треугольных матриц, что существенно уже общего случая. Авторы, видимо, руководствовались тем, что кольца треугольных матриц наиболее часто встречаются в различных вопросах алгебры, например, в теории представлений артиновых алгебр (см. [9]). Изучение произвольных колец обобщенных матриц (то есть необязательно треугольных) и модулей над ними сталкивается с серьезными трудностями.
Работы Хагани и Варадараджана вызвали большой интерес, и вскоре появилось довольно большое число статей ряда авторов (например, [10], [11], [25]). В этих статьях продолжилась традиция изучения колец треугольных матриц и модулей над ними.
Имеется литература, посвященная и вопросам, поставленным в самом общем виде, например, [1], [5], [13], [21]. Так, в [21] Мюллер описала инъективные оболочки модулей над кольцами обобщенных матриц. Добавим, что аналогичная проблема для проективных модулей в настоящее время не решена.
В настоящей диссертации осуществлено систематическое изучение некоторых вопросов о модулях над кольцами обобщенных матриц. Кроме того, значительное внимание уделяется приложению полученных результатов к кольцам эндоморфизмов абелевых групп. Некоторые результаты, например теоремы 7.4, 8.1, получены для так называемых тривиальных колец обобщенных матриц, то есть колец с нулевыми идеалами следа (треугольные кольца, очевидно, являются тривиальными). Эти результаты обобщают ранее полученные факты для колец треугольных матриц из [15], [12].
Цель работы. Целью диссертационной работы является изучение различных свойств модулей над кольцами обобщенных матриц, а также применение полученных результатов к теории абелевых групп.
Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми. К основным результатам можно отнести следующие.
Описаны минимальные и максимальные подмодули модулей над кольцами обобщенных матриц, а также цоколь и радикал таких модулей (3, 4, 5).
Получен критерий проективности для модулей над кольцами обобщенных матриц с нулевыми идеалами следа (теорема 7.4).
Получен критерий наследственности для модулей над кольцами обобщенных матриц с нулевыми идеалами следа (теорема 8.1).
Исследование групп с наследственными кольцами эндоморфизмов сведено к случаю редуцированных групп.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты работы имеют теоретическое значение и могут быть использованы в дальнейших исследованиях по теории модулей и абелевых групп, а также при чтении спецкурсов.
Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на алгебраическом семинаре ТГУ (руководитель — доктор физико-математических наук, профессор П.А. Крылов); на Всероссийских симпозиумах «Абелевы группы» (г. Бийск, 2005 г., 2006 г.); на конференции, посвященной 300-летию со дня рождения Л. Эйлера (г. Томск, ТГУ, 2007 г.). Они были представлены на на XLIII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (г. Новосибирск, 2005 г.); на Международной конференции «Алгебра и ее приложения» (г. Красноярск, 2007 г.); на Международ-
ной алгебраической конференции «Ломоносовские чтения» (г. Москва, 2007 г.); на Международной алгебраической конференции, посвященн-ная 100-летию со дня рождения А.Г. Куроша (г. Москва, 2008 г.); на Всероссийской конференции по математике и механике с международным участием (г. Томск, 2008 г.); на Международной алгебраической конференции «Мальцевские чтения» (г. Новосибирск, 2008 г.). По теме диссертации опубликовано девять работ ([26]-[34]).
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, списка литературы и списка обозначений. Глава 1 содержит пять параграфов, главы 2 и 3 — по три параграфа. Работа изложена на 80 страницах.
Содержание работы. Введение содержит обоснование актуальности решаемых в работе задач, а также тезисное изложение основных полученных результатов.
Далее под словом «группа» понимается «абелева группа». Все кольца, рассматриваемые в работе, — ассоциативные с единицей. Основные результаты главы 1 связаны с исследованием свойств минимальности и максимальности подмодулей. Найдены характеризации цоколя и радикала модуля над кольцом обобщенных матриц (теоремы 4.7, 5.7). Мы наблюдаем здесь значительно большее разнообразие, чем в случае треугольных матриц. При этом некоторые известные утверждения (см. [15]) получаются как следствия. Также в этой главе находится строение малых и существенных (больших) подмодулей, пустотелых и равномерных модулей. Эти исследования проведены над кольцами с нулевыми идеалами следа.
Малые и существенные подмодули
Изучаются свойства плоскостности, проективности и наследственности для модулей над кольцами обобщенных матриц.
Получим некоторую информацию о строении тензорного произведения над кольцом обобщенных матриц К. Рассмотрим также ряд общих свойств плоских А -модулей. Особо отметим, что все изоморфизмы, встречающиеся ниже, являются каноническими. (Л Пусть U — (Д В) и V = I — правый и левый Х-модули W соответственно. Теорема 6.1. Имеем изоморфизм UкV = (A0RСфВ%D)/H, где подгруппа Н порождается элементами вида a g md — am g d,b g nc — bn Cg с для всех а Є Л, 6 Є Я, с Є (7; d Є -D, m Є M, n Є TV. Доказательство. Группа А д С (В В g s D является изоморфной группе U Rxs У при соответствии образующих элементов а g с + Ъ d — (a,b) d Обозначим Gi — U RXS У и Gi — U к V. Воспользуемся определением тензорного произведения как факторгруппы свободной группы (см.[2, 10.1] ). Пусть F — свободная группа с базисом, состоящим из всех выражений ({а,Ь), і С \YaeA,beB,ceC,deD. Тогда G\ — F/НІИ G2 = F/H2, где Hi и Яг — подгруппы, порожденные элементами известного вида. Разница между этими подгруппами следующая. Среди образующих элементов группы Hi присутствуют все вида г Є R, s Є S, а среди образующих элементов группы Яг — соответственно вида Все другие образующие элементы этих групп одинаковые. Итак Н\ С. Яг. Имеем соотношения G2 = F/H2 = {F/Hi)/(H2/Hi) = Gi/Я, где H — HilH\. Группа Н2/Н1 порождается образами образующих элементов группы #2, то есть элементами вида ({а, Ъ) \ И - ((bn, am) С помощью изоморфизма, указанного выше, получаем нужный изоморфизм G2 = {А R С Є В 5 )/#, где (подгруппу // не переобозначаем). Применим изоморфизм из теоремы 6.1 к плоскому А -модулю и некоторым правым идеалам кольца К. В частности, к идеалам, получаемым из идеалов следа І я J кольца К. Напоминаем о соглашении, принятом в 1, о записи подмножеств модулей над кольцом матриц. Теорема 6.2. Для плоского К-модуля справедливы еле \Q) дующие утверждения. 1) Если X - S-подмодуль в М, то (XNRPXSQ)/H = XQ, где Н = (хп mq — хпт q, х пр — х п р). 2) Если L — правый идеал кольца S, то (LNRPLsQ)/G = LQ, где G — (In mq — Inm q,l np — I n p). Похожие изоморфизмы имеют место для любого R-подмодуля в N и любого правого идеала кольца R. Доказательство. 1) Возьмем правый идеал (XN, X) кольца К. Можно записать изоморфизм и равенства групп С другой стороны, согласно теореме 6.1 получаем что доказывает 1). 2) Имеем правый идеал (LN, L) кольца К. Аналогично 1) имеем Следствие 6.3. В условиях теоремы 6.2 имеем следующее: 1) если 1 = 0, то X 5 Q/NP XQ; если N = О, то X s Q = XQ; 2) если N = 0, то L s Q = LQ для всякого правого идеала L кольца S, что равносильно плоскостности S-модуля Q. Доказательство. Поясним первый изоморфизм в 1). Если I = 0, то XN = 0 и (X s Q)/H = XQ, где Н = (х пр). Подгруппа Я есть образ группы X s NP в X S s Q- Откуда находим {XsQ)/H = XsQ/NP. П Положим в пунктах 1) теоремы 6.2 и следствия 6.3, что X = М, а в аналоге для правого идеала L кольца R пункта 2) теоремы 6.2, что L = I. (р\ Следствие 6.4. Пусть — плоский К-модуль. Тогда 1) {IRPM S Q)/H MQ; если I = 0, mo M s Q/NP MQ; если N=Q, mo MSQ = MQ; 2) {І R P IM s Q)/G = IP, где G — соответствующая подгруппа из теоремы 6.1. Проведем некоторые общие рассмотрения относительно іГ-модуля р\ I, что позволит уточнить следствие 6.4.
Максимальные подмодули. Радикал Джекобсона
Рассматривается проблема наследственности колец эндоморфизмов некоторых групп. При этом мы опираемся на следствия 8.3 и 8.4 главы 2. Напомним, что под словом «группа» понимается «абелева группа».
Исследуем такой вопрос: когда кольцо эндоморфизмов делимой группы наследственно слева или справа? Сформулируем сначала без доказательства следующие известные утверждения. Предложение 9.1. Пусть R\, R2, ., Rn — кольца и R — их декартово произведение, R = R\ х R2 х х Rn- Кольцо R наследственно слева (справа) тогда и только тогда, когда все кольца R\, R2,. ., Rn наследственны слева (справа). Предложение 9.2. Пусть 7?i, R2, Rn кольца и R — их декартово произведение, R = R\ х . х ... х R . Пусть задан левый R-модулъ М = Mi ф М2 Ф ... Ф Мп, где МІ - Ri-модуль, 1 і п. Тогда М -плоский R-модуль в точности тогда, когда каждый МІ — плоский R{- модуль. Предложение 9.3. Пусть М — В ф А — правый R -модуль. Тогда кольцо эндоморфизмов модуля М можно отождествить с коль t ( EndRB RomR{A,B) цом обобщенных матриц EndR(M) = \EomR(B}A) EndRA Здесь EndR В-EndR А-бимодулъиая структура на группе RomR(A,B) и EndRA-EndR В-бимодульная структура на группе E.omR(B, А) задаются естественным образом. Гомоморфизмы RomR(A, В) EndRA Нотд(Б, А) -Бпс1я В, Нотл(, А) Епйпв Яотв(А, В) -» Endi? А определяются па образующих элементах тензорного произведения как композиции. Предложение 9.4 ([4, 16]). Пусть А) В — группы и А = ф Vt. То teT гда справедлив естественный изоморфизм Е(В)-модулей Нот(Л, В) = Предложение 9.5 ([4, 35.7]). Пусть R — наследственное слева (справа) кольцо. Тогда для любого идемпотепта е из R кольцо eRe па-следственно слева (справа). Предложение 9.6 ([4, 35.11]). 1) Группа с наследственным слева или справа кольцом эндоморфизмов не может разлагаться в бесконечную прямую сумму ненулевых групп. В частности, для любой группы А кольцо эндоморфизмов группы ф Л не может быть наследственным ни справа, ни слева, если t Но 2) Пусть А — редуцированная группа с наследственным справа или слева кольцом эндоморфизмов. Тогда, если р-компоиента Ар группы А отлична от нуля, то Ар — элементарная р-группа конечного ранга и A = Ар ф Вр для некоторой группы Вр. Для доказательства последующих утверждений потребуется такой результат. Лемма 9.7. Пусть А и В — правые R-модули, тип — натуральные числа. Тогда кольцо EndR{Am ф Вп) наследственно слева (справа) тогда и только тогда, когда кольцо EndR{A Ф В) наследственно слева (справа). Доказательство. Рассуждения проведем для случая левой наследственности. Необходимость. Пусть кольцо Епс1д(Лт ф Вп) наследственно слева. Рассмотрим изоморфизм Ат ф Вп = А ф В ф Ат 1 ф Вп 1. Тогда имеем изоморфизм между кольцами эндоморфизмов этих модулей. В свою очередь, кольцо эндоморфизмов модуля А ф В ф ylm_1 ф Вп 1 можно отождествить с кольцом матриц (предложение 9.3), а именно EndR{A ф В ф А 1 ф Bn l) = ( EndR{AB) Яотк{Ат-1ЄВп-\АфВ) \ ttomR(A ф В, Ат 1 ф Bn l) EndR{Am l Ф Вп 1) В полученном кольце матриц рассмотрим идемпотент е = Тогда, применяя к данному кольцу и его идемпотенту е предложение 9.5, получаем, что кольцо EndR(A ф В) наследственно слева. Достаточность. Пусть наследственным слева является кольцо EndR(A ф В). Рассмотрим кольцо EndR(Am ф Вп ф Ап т), считаем, что 1 т п. Справедлива следующая цепочка изоморфизмов: EndR(Am ф Вп ф Ап т) EndR(n{A ф В)) {EndR{A ф В))„. Здесь (EH6.R(A 0 В))п есть кольцо матриц порядка п над кольцом Епс1д(А В). С другой стороны, Чтобы показать, что кольцо Endj?(Am Вп) наследственно слева, применяем предложение 9.5. Перейдем теперь к основному вопросу. Пусть D — делимая группа. Тогда D = 0pDp D0, где Dp e Zfr00), D0 0nQ. Можно считать, что D = DPl ф ... ф DPk ф Do, где все DPl,..., DPk и Do имеют конечные ранги. В противном случае по предложению 9.6 кольцо эндоморфизмов E{D) не является наследственным ни слева, ни справа. Запишем D = 0pDp Do = А ф Do. Тогда кольцо эндоморфизмов группы D можно отождествить с кольцом обобщенных матриц
Тензорное произведение и плоские модули
Результаты диссертации являются новыми. К основным результатам можно отнести следующие. Описаны минимальные и максимальные подмодули модулей над кольцами обобщенных матриц, а также цоколь и радикал таких модулей (3, 4, 5). Получен критерий проективности для модулей над кольцами обобщенных матриц с нулевыми идеалами следа (теорема 7.4). Получен критерий наследственности для модулей над кольцами обобщенных матриц с нулевыми идеалами следа (теорема 8.1). Исследование групп с наследственными кольцами эндоморфизмов сведено к случаю редуцированных групп. Теоретическая и практическая ценность. Результаты работы имеют теоретическое значение и могут быть использованы в дальнейших исследованиях по теории модулей и абелевых групп, а также при чтении спецкурсов.
Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на алгебраическом семинаре ТГУ (руководитель — доктор физико-математических наук, профессор П.А. Крылов); на Всероссийских симпозиумах «Абелевы группы» (г. Бийск, 2005 г., 2006 г.); на конференции, посвященной 300-летию со дня рождения Л. Эйлера (г. Томск, ТГУ, 2007 г.). Они были представлены на на XLIII Международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (г. Новосибирск, 2005 г.); на Международной конференции «Алгебра и ее приложения» (г. Красноярск, 2007 г.); на Международной алгебраической конференции «Ломоносовские чтения» (г. Москва, 2007 г.); на Международной алгебраической конференции, посвященн-ная 100-летию со дня рождения А.Г. Куроша (г. Москва, 2008 г.); на Всероссийской конференции по математике и механике с международным участием (г. Томск, 2008 г.); на Международной алгебраической конференции «Мальцевские чтения» (г. Новосибирск, 2008 г.). По теме диссертации опубликовано девять работ ([26]-[34]).
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав, списка литературы и списка обозначений. Глава 1 содержит пять параграфов, главы 2 и 3 — по три параграфа. Работа изложена на 80 страницах. Содержание работы. Введение содержит обоснование актуальности решаемых в работе задач, а также тезисное изложение основных полученных результатов.
Далее под словом «группа» понимается «абелева группа». Все кольца, рассматриваемые в работе, — ассоциативные с единицей. Основные результаты главы 1 связаны с исследованием свойств минимальности и максимальности подмодулей. Найдены характеризации цоколя и радикала модуля над кольцом обобщенных матриц (теоремы 4.7, 5.7). Мы наблюдаем здесь значительно большее разнообразие, чем в случае треугольных матриц. При этом некоторые известные утверждения (см. [15]) получаются как следствия. Также в этой главе находится строение малых и существенных (больших) подмодулей, пустотелых и равномерных модулей. Эти исследования проведены над кольцами с нулевыми идеалами следа.
Глава 2 посвящена изучению плоских, проективных и наследственных модулей. Теорема 6.1 содержит важную информацию о тензорном произведении модулей над кольцами обобщенных матриц. Как известно, конструкция тензорного произведения является очень полезной для многих задач, и теорема 6.1 играет значительную роль в дальнейших исследованиях. Ряд свойств плоских модулей приводится в теореме 6.2 и ее следствиях. В 7 дано описание проективных модулей над кольцом обобщенных матриц с нулевыми идеалами следа. Для таких модулей строится дуальный базис. Эти результаты обобщают факты, полученные Хагани и Варадараджаном для колец обобщенных треугольных матриц. Теорема 7.2 интересна тем, что показывает, как из проективного модуля над «обычным» кольцом некоторым стандартным способом получить проективный модуль над кольцом обобщенных матриц. В 8 дан критерий наследственности для модулей над кольцом обобщенных матриц с нулевыми идеалами следа. Как следствие получается критерий наследственности таких колец.
Глава 3 посвящена применению полученных результатов к некоторым вопросам теории колец эндоморфизмов абелевых групп. Именно, в книге [4, стр.382, упр.5] поставлена задача: описать делимые группы с наследственными справа (слева) кольцами эндоморфизмов. В 9 приводится ответ на этот вопрос. На основе этого в 10 решается более общая задача: исследование групп с наследственными кольцами эндоморфизмов сведено к случаю редуцированных групп. В 11 получен результат, касающийся наследственности кольца эндоморфизмов расщепляющейся смешанной группы.
Расщепляющиеся смешанные группы
Перейдем теперь к основному вопросу. Пусть D — делимая группа. Тогда D = 0pDp D0, где Dp e Zfr00), D0 0nQ. Можно считать, что D = DPl ф ... ф DPk ф Do, где все DPl,..., DPk и Do имеют конечные ранги. В противном случае по предложению 9.6 кольцо эндоморфизмов E{D) не является наследственным ни слева, ни справа. Запишем D = 0pDp Do = А ф Do. Тогда кольцо эндоморфизмов группы D можно отождествить с кольцом обобщенных матриц (предложение 9.3). Например, если Здесь Zp - кольцо целых p адических чисел, Ap — аддитивная группа поля р-адических чисел, Q — поле рациональных чисел.
Следующая теорема отвечает на вопрос: когда кольцо эндоморфизмов делимой группы наследственно слева и когда справа? Теорема 9.8. Пусть D = DPl.. .DPKDQ, где DPi = тр Ъ{$), 1 і к, Do = nQ и mPi, n — натуральные числа. Тогда справедливы следующие утверждения: 1) кольцо эндоморфизмов группы D наследственно слева тогда и только тогда, когда D = Do или D = DPl ф ... DPk\ 2) кольцо эндоморфизмов группы D наследственно справа. Доказательство. Будем исходить из двух предположений. I) Пусть сначала группа D = Z(pf) Є Z(pf) Є -.. Є ЦРп) % п 1. Тогда 7(-0) = . Для того чтобы определить, является ли это кольцо наследственным слева или справа, воспользуемся критерием наследственности для колец обобщенных треугольных матриц (см. следствия 8.3, 8.4 и замечание 8.5). Кольцо E(D) не наследственно слева, так как модуль g ф ш АРх ф ... ф АРп не является проективным, и наследственно справа, так как выполняются все достаточные условия. Действительно, кольца ЪР1 ф ... ф ЪРп и Q — наследствершые по предложению 9.1, APl ф ... ф АРп является плоским ZPl ф.. .фйРп-модулем по предложению 9.2. Наконец, требуемые условия для правых идеалов кольца R также выполняются. II) Общий случай. Пусть D = DPlф.. .DPkDo, где все DPl,..., DPk и Do имеют конечные ранги. Рассмотрим группу Для удобства обозначим Z(pf ) Z(pf) ф .. .Z(pf) через A, a Q через В. Таким образом, D = А Ф В. Подберем теперь такую группу D , что D ф D = Ат ф Вп для некоторых натуральных чисел тип. Воспользуемся леммой 9.7 и скажем, что E(D ф D ) не является наследственным слева и является наследственным справа кольцом. Далее, кольцо E{D ф D ) отождествляем с ( E{D) Rom{D ,D) \ кольцом обобщенных матриц .По предложению V О E(D ) ) 9.5 кольцо E(D) наследственно справа. В то же время, E(D) не может быть наследственным слева кольцом, если D — смешанная группа. 10. Нередуцированные группы Пусть G — группа. В данном параграфе будем решать следующую задачу: свести исследование наследственности кольца E(G) (левой или правой) к аналогичному вопросу для редуцированной группы G. Пусть G — нередуцированная и неделимая группа, G = D ф А, где D — делимая группа, А — редуцированная группа. Имеем равенство в / E(D) Hom(A, D) \ смысле предложения 9.3 колец матриц E(G) = V 0 Е{А) ) I) Рассмотрим отдельно случай левой наследственности. Кольцо E{G) наследственно слева тогда и только тогда, когда E(D), Е{А) наследственны слева, Нот(Д D) — плоский Е(А)-модулъ, и для каждого левого идеала L кольца Е(А) Нот(Д D)/ Нот(Д D)L — проективный -Е"(1))-модуль (см. следствие 8.3). Согласно предыдущему параграфу, E(D) наследственно слева тогда и только тогда, когда D = фп Q или D = DPl ф ... ф DPk, Dpt = 0m Ъ(р ), 1 і к, где все mPl,... ,тРк и п — натуральные числа. Пусть для начала D = n Q. Тогда E(D) — кольцо (п х гг)-матриц над полем Q. Такое кольцо является артиновым простым, а значит, над ним все модули проективные. Поэтому E(D) наследственно слева и Нот(Д D)/Eom(A, D)L — проективный Е(П)-модуль. Вопросы о том, когда Е(А) — наследственное слева кольцо, а Нот(Д D) — плоский Е(А)-модулъ, носят общий характер. Можно рассматривать только некоторые частные случаи. Так, например, если А — периодическая, то Нот(А, D) = 0 и E(G) = E(D)E(A), и все сводится к E(D) и Е(А). Если же А — группа без кручения конечного ранга такая, что Е(А) — наследственное нетерово (то есть наследственное и нетерово слева и справа) полупервичное кольцо, то Нот(Д D) есть Е(А)-модуль без кручения и, следовательно, является плоским [4, 36,37]. Примеры таких групп есть в [4, 38,39]. Так, возьмем группу G — Q 0 Z. Ее , то тоже наследственно слева. Про тивоположные им кольца имеют вид и Значит, \ Z/ \ О Q/ последние два кольца наследственны справа.
Перейдем ко второму случаю, когда D — делимая периодическая группа, 1) = 1) 0...0. Тогда E(D) = E(DPl) 0...0 E(DPk), где E(Dp.) — кольцо матриц порядка тРі над кольцом целых -адических чисел. Zp. — коммутативная область главных идеалов, поэтому E(D) — наследственное слева и справа кольцо. Е(П)-модулъ Hom(y4, D) должен быть наследственным проективным. Можем записать, что Нот(Д D) — М\ 0...0 Mfc, где МІ — проективный E{DPi)-i/iopyjvb. Групповое строение группы Hom( ,Z(p)) хорошо известно [7, 47.1]. Видно, что МІ не может быть проективным E(DРі)-модулем.
