Введение к работе
Актуальность темы. На начальном этапе изучение абелевых групп шло в рамках общей теории групп, однако, самобытность применяемых здесь методов привела во второй половине XX века к выделению теории абелевых групп в самостоятельную ветвь алгебры.
Замечателен тот факт, что любая абелева группа является модулем над кольцом целых чисел, что сближает теорию абелевых групп с теорией модулей, являясь для последней источником аналогий. Отметим, что, исследуя модули над некоторым фиксированным кольцом, мы также получаем информацию и о самом кольце, следовательно, изучение абелевых групп можно рассматривать и как один из подходов к исследованию целых чисел.
Из всего вышесказанного видно, что теория абелевых групп, находясь на стыке важных математических разделов (теории групп, теории модулей, теории чисел и др.), представляет собой актуальное направление современной алгебры.
Важную роль в теории абелевых групп играют факторно делимые группы. В самом общем случае абелеву группу А можно назвать факторно делимой, если она содержит такую свободную подгруппу F, что A/F — делимая периодическая группа. Эти группы впервые были рассмотрены Бьюмонтом и Пирсом (именно они ввели термин «факторно делимая группа») в [3] при изучении аддитивных групп колец без элементов конечного порядка. Для факторно делимых групп без кручения конечного ранга они построили систему инвариантов, задающих эти группы с точностью до квазиизоморфизма. Это был один из первых примеров описания абелевых групп не с точностью до изоморфизма, а с точностью до квазиизоморфизма, что весьма актуально в свете работ Йонссона [9] и А. В. Яковлева [20]. Данный подкласс факторно делимых групп (без кручения конечного ранга) широко известен также благодаря тому, что относительно квазигомоморфизмов он образует самодвой-
ственную категорию [2]. В этом прослеживается явная аналогия с известной самодвойственностью линейных пространств.
В диссертации рассматриваются только факторно делимые группы конечного ранга без кручения, не содержащие делимых периодических подгрупп. Эти группы впервые рассмотрели Уиклесс и А. А. Фомин в [4], где они построили категорию факторно делимых групп с квазигомоморфизмами в качестве морфизмов и показали, что данная категория двойственна хорошо известной категории групп без кручения конечного ранга с квазигомоморфизмами в качестве морфизмов.
Одним из самых действенных способов изучения абелевых групп является привлечение модулей над какими-либо кольцами. Классическими примерами этого является использование модулей над кольцом целых р-адических чисел при описании абелевых групп без кручения конечного ранга (так называемое описание Куроша-Мальцева-Дерри [16]) и рассмотрение абелевых групп как модулей над своими кольцами эндоморфизмов (подробнее об этом см. в [11]).
Л. Я. Куликов при изучении р-локальных групп [14] (он называл их обобщенно иримарными) активно использовал модули над кольцами Ър — целых р-адических чисел и Qp — рациональных чисел, знаменатели которых взаимно просты с р: а при изучении алгебраически компактных групп [15] (он
называл их универсально полными) использовал кольцо Z = \\ЪР1 кото-
реР рое он называл кольцом универсальных чисел. Обобщая целые р-адические
и универсальные числа, А. А. Фомин построил класс колец т-адических чисел. С их помощью он получил ряд новых важных результатов относительно групп без кручения конечного ранга (см., например, [17], [18]). При изучении аддитивных групп регулярных и 7г-регулярных колец Фукс, Гальперин и Ран-гасвами [7], [8] использовали модули над кольцами RX: частным случаем которых является кольцо псевдорациональных чисел. Позже, П. А. Крылов [12], [13] и А. А. Фомин [5] использовали Лх-модули для изучения абелевых групп
из класса Q7 состоящего из всех таких самомалых групп G, что G/t(G) — делимая группа конечного ранга.
В данной работе развивается идея А. А. Фомина из [6] о возможности привлечения модулей над кольцом псевдорациональных чисел R для изучения факторно делимых групп. Это связано с тем, что каждую факторно делимую группу можно вложить в некоторый конечно порожденный Л-модуль (называемый ее псевдорациональной оболочкой), который, как правило, устроен проще самой группы и при этом несет достаточно много информации о ней. Этот подход позволяет вводить для факторно делимых групп новые понятия и инварианты, такие как псевдорациональный ранг, модуль псевдорациональных отношений, кослед кольца псевдорациональных чисел и др. Кроме того, техника работы с модулями над кольцом псевдорациональных чисел существенно используется при доказательстве основных фактов о факторно делимых группах.
Отметим также, что в силу оригинальности и красоты результатов теория модулей над кольцом псевдорациональных чисел заслуживает и независимого внимания. Более того, на сегодняшний день существуют конструкции, обобщающие кольцо псевдорациональных чисел. Прежде всего, это кольца псевдоалгебраических чисел. Видимо, впервые они встречаются в работе Альбрехта, Гетерса и Уиклесса [1]. Изучению этих колец и модулей над ними полностью посвящена диссертационная работа Е. Г. Зиновьева [10].
Цель работы. Основной целью диссертации является построение теории факторно делимых групп с использованием взаимосвязи последних с модулями над кольцом псевдорациональных чисел. Для достижения этого ставятся и решаются следующие задачи.
-
Описать основные классы модулей над кольцом псевдорациональных чисел, такие как проективные, плоские, конечно представленные, образующие и кообразующие модули.
-
Разработать технику исследования конечно порожденных модулей над
кольцом псевдорациональных чисел.
-
Выявить связи между факторно делимыми группами и конечно порожденными модулями над кольцом псевдорациональных чисел.
-
Применить технику, построенную при рассмотрении конечно порожденных модулей над кольцом псевдорациональных чисел, для изучения факторно делимых групп.
-
Построить и исследовать класс групп (колец), обобщающий факторно делимые группы (кольца) ранга 1.
Общая методика исследования. Исследование базируется на общих методах теории абелевых групп и теории модулей. Важную роль в диссертации играет псевдорациональная оболочка факторно делимой группы, что позволяет использовать теорию модулей над кольцом псевдорациональных чисел для изучения факторно делимых групп.
Основные результаты работы.
-
Построена полная система инвариантов для проективных и конечно представленных модулей над кольцом псевдорациональных чисел.
-
Описаны некоторые легко проверяемые условия, при которых конечно порожденные модули над кольцом псевдорациональных чисел раскладываются в прямую сумму циклических модулей.
-
Показано, что категория плоских конечно порожденных модулей над кольцом псевдорациональных чисел с псевдогомоморфизмами в качестве мор-физмов двойственна сама себе.
-
Описаны некоторые условия, при которых факторно делимые группы раскладываются в прямую сумму факторно делимых групп ранга 1.
-
Построена система инвариантов, задающая факторно делимую группу с точностью до квазиизоморфизма.
-
Описаны группы с конечно порожденными модулями псевдорациональных отношений.
-
Для колец L(x) — обобщающих факторно делимые кольца ранга 1 —
полностью решен вопрос о разложении в прямую сумму существенно неразложимых идеалов.
-
Построена полная и независимая система инвариантов для класса колец L(x) с минимальным многочленом элемента х вида (и — I)2.
-
Показано, что для аддитивных групп колец L(x) конечного ранга имеет место теорема типа Бэра-Капланского.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер и может быть использована при дальнейших исследованиях в области абелевых групп.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на Всероссийских симпозиумах по абелевым группам (Бийск, 2005, 2006 гг.), на Международной конференции «Алгебра и ее приложения», поев. 75-летию В. П. Шун-кова (Красноярск, 2006 г.), на Международной алгебраической конференции, поев. 100-летию Д. К. Фаддеева (Санкт-Петербург, 2007), на Международной алгебраической конференции, поев. 100-летию А. Г. Куроша (Москва, 2008), на Международной научной конференции «X Белорусская математическая конференция» (Минск, 2008), на Всероссийской конференции по математике и механике (Томск, 2008), на Международной алгебраической конференции, поев. 100-летию А. И. Мальцева (Новосибирск, 2009), на 4-м Международном семинаре «Универсальная алгебра, теория чисел и их приложения» (Волгоград, 2009), а также на научных семинарах кафедры высшей алгебры Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова и кафедры алгебры Томского государственного университета.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 17 работах, 7 из которых опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК.
Структура и объем работы. Диссертация изложена на 196 страницах и состоит из введения, четырех глав, разделенных на 27 параграфов, и списка литературы, включающего 84 наименования.
