Содержание к диссертации
Введение
1 Алгебра Пименова 7
1.1 Определение алгебры Пименова 7
1.2 Операция деления в алгебре Dm(K) 10
1.3 Автоморфизмы кольца Dm(K) 12
2 Модули над алгеброй Пименова 19
2.1 Регулярный модуль Dm 19
2.2 Полуторалинсйпые формы на свободном модуле (Dm)n 21
2.3 Неприводимые Дд-модули 25
2.4 Число неразложимых Д^-модулей 26
2.5 Сопряженные модули 31
3 Линейные группы над алгеброй Пименова 34
3.1 Некоторые общие свойства матриц и матричных групп над алгеброй Dm(K) 34
3.2 Полная линейная группа GLn(Dm) 38
3.3 Специальная линейная группа SLn(Dm) 43
3.4 Линейные группы, сохраняющие полуторалипейные формы 46
3.4.1 Ортогональные группы On(Dm) 46
3.4.2 Симплектические группы Spn(Dm) 48
3.4.3 Обобщенно-унитарные группы Un(Dm) . 49
3.4.4 Дуально-унитарные группы DUn(Dm) 50
3.5 Группы, действующие инвариантно па подпростран ствах свободного модуля 52
3.5.1 Группы Кэли-Клсйна 52
3.5.2 Неполупростые группы серии Ап 54
4 Некоммутативные деформации неполупростых групп серии Ап 57
4.1 Квантовые группы серии Ап 58
4.2 Квантовые группы T[SLq(n,j)\ 60
4.3 Квантовая группа F[SLq{2, с)] 64
4.4 Квантовая группа J7[SLti(2, t)] 67
4.5 Квантовая группа Jr[SL/L-(2: t.)] 70
Литература
- Операция деления в алгебре Dm(K)
- Полуторалинсйпые формы на свободном модуле (Dm)n
- Линейные группы, сохраняющие полуторалипейные формы
- Квантовые группы T[SLq(n,j)\
Введение к работе
Актуальность темы. Теория линейных групп над кольцами — это довольно активно развиваемое в настоящее время направление (см. обзор Залесского А.Е. [19]). По этой тематике имеется больиюе количество статей и монографий. Помимо исследований для колец наиболее общей природы, часто возникает задача изучения линейных групп и над отдельно взятыми кольцами. Рассмотрим алгебру Dm[K), порожденную над полем К единицей и дуальными единицами tk, к — 1,..., т, связанными определяющими соотношениями группы над данной алгеброй возникают в различных вопросах математики и теоретической физики.
Далее, в последний двадцать пять лет активно развивается теория квантовых групп (некоммутативных деформаций групп) [22], [32], [45], [46], [55], [57]. Общий метод построения квантовых групп, заключающийся в некоммутативной деформации алгебры функций на группе и наделении се структурой некоммутативной и некоком-мутативной алгебры Хопфа, детально разработан для всех серий простых групп [32]. Он связан с существованием универсальных R-матрип, (решений уравнения Янга-Вакстера), определяющих коммутационные соотношения образующих алгебры Хопфа. Для непо-лупростых групп такого общего метода не существует. В работах Громова Н.А. и его учеников с помощью метода перехода от полупростых групп к неполупростым, реализованным в виде матричных групп над алгеброй Dm, построены некоторые некоммутативные деформации групп Кэли-Клейна [10], [51], а также некоторые некоммутативные деформации других видов неиолупростых групп [11],[50].
В последнее время активно развивается также такая область математики, как суперматематика. Укажем здесь на работы Берсзшіа Ф.А. [2], Лейтеса Д.А. [24], Каца В.Г. [53] (см. также [7], [8], [27]). Наряду с коммутирующими переменными здесь рассматриваются и антикоммутирующие, а значит нильпотентные индекса 2 переменные. Одним из важных примеров супералгебр является алгебра Грассмана. Во многих физических приложениях преобразования суперпространств реализуются в виде матриц над алгеброй Грассмана. В работе [2] рассмотрены некоторые свойства алгебры Грассмана, проведена классификация ее автоморфизмов, дано определение линейных групп над алгеброй Грассмана (суперапалогов классических групп), указано на некоторые их свойства и физические приложения. Нетрудно показать, что алгебра Dm является подалгеброй алгебры Грассмана. В силу этого в супер математике также естественным образом возникают различные алгебраические структуры над алгеброй Dm, в частности, некоторые группы преобразований суперпространств можно реализовать в виде линейных групп над алгеброй Dm.
Если линейная группа над полем действует на векторном пространстве над этим полем, то линейная группа над кольцом R является группой автоморфизмов некоторого свободного Я-модуля. Поэтому одновременно с исследованием линейных групп над алгеброй Dm естественно возникает задача исследования 1?т-модулей.
В алгебре Dm есть делители нуля, пилыютентпые элементы различных индексов, и это обстоятельство относит ее к числу объектов, для которых нет полной, хорошо разработанной теории, как скажем, для полупростых алгебр. В монографии Ж.-П. Серра [36] алгебра D2 используется для определения некоторых алгебр Ли. В монографии Шафаревича И.Р. [40] алгебра Di используется для описания касательного пространства в точке схемы. Зайнуллиным К.В. в [18] рассмотрены центральные расширения специальной линейной группы бесконечных матриц над алгеброй Dm.
В частном случае т = 1 мы приходим к алгебре дуальных чисел, которые были введены Клиффордом У.К. во второй половине 19-го века [44]. Данные числа и алгебраические структуры над ними нашли применение в различных областях математики и теоретической физики. Так Котельников А.П. и Штуди Э. применяли их для построения теории винтов [21], [56] (см. также [14]). Розен-фельд Б.А. и Яглом И.М. использовали их для описания неевклидовых пространств и движений в них [33], [41]. Дуальные числа могут быть использованы для описания структур, рассматриваемых с точностью до бесконечно малых второго порядка, на алгебраическом языке (см. [38], [39], [40]). Многообразия над алгебрами, в частности над алгеброй дуальных чисел, активно изучаются представителями казанской геометрической школы (см., например [6], [26]). Механику с дуальными координатами рассматривал Дуплий С.А. [15]. Определяющие соотношения классических групп над кольцом дуальных чисел рассмотрел Сатаров Ж.С. [34], [35]. Теорию дуальных чисел как числовых систем можно найти в монографиях [3], [20]. Тем не менее, нельзя сказать, что дуальные числа широко известны.
В силу вышесказанного, алгебра Dm, а также модули и линей пые группы над ней представляют собой актуальные для изучения объекты, как с чисто алгебраической точки зрения, так и с точки зрения применения их в других разделах математики и теоретической физики.
По-видимому, Р.И. Пименов был первым, кто в своих работах ввел набор из нескольких взаимно коммутирующих нилытотеитных именованных координат, тем самым косвенно выделив алгебру Dm и указав на ее применение в геометрии. Учитывая это, а также из соображений удобства, в дальнейшем алгебру Dm будем называть алгеброй Пимеиова.
Цель диссертации. Целью данной работы является решение следующих задач.
1) Изучение свойств алгебры Пимеиова (операция деления, структура автоморфизмов).
2) Изучение свойств модулей над алгеброй Пимеиова, в частности, свойств регулярного и свободного модуля конечного ранга, классификация Г т-модулей.
3) Изучение общих свойств и описание некоторых классов линейных групп над алгеброй Пименова.
4) Построение некоммутативных аналогов неполуиростых групп серии Лп, которые могут быть реализованы в виде матричных групп над алгеброй Dm.
Методы исследования. В работе применяются методы теории колец и модулей, теории абстрактных и линейных групп, теории алгебр Хопфа и квантовых групп.
Научная новизна. Основные результаты, полученные в работе, являются новыми. Выделим из них следущие.
1) Найдены необходимые и достаточные условия обратимости элемента алгебры Пименова. В случае конечного поля и поля рациональных чисел проведена классификация автоморфизмов и инволюций алгебры Dm, в общем случае получена частичная классификация.
2) Рассмотрены свойства билинейных симметричных и кососим-метричных форм на свободном 1?т-модуле, введены новые обобщенно-эрмитова и сопряженно-симметричная полуторалинейпые фор мы. Показано, что алгебра Dm с точки зрения числа неразложимых -От-модулей при т 1 является алгеброй бесконечного типа, а при т 1 алгеброй конечного типа, в последнем случае указаны все типы неразложимых .Di-модулей.
3) Найдены необходимые и достаточные условия обратимости матрицы над алгеброй Dm. Показано, что любая линейная группа над алгеброй Drn(K) изоморфна некоторой линейной группе над полем К, в матричной интерпритации указан явный вид изоморфизма. По строены некоторые важные классы линейных групп над алгеброй Пименова, указана их связь с линейными группами над полем, для полной и специальной линейных групп указано множество порождающих элементов.
4) Построены некоммутативные аналоги неполупростых групп SL(n,j). Для группы SL(2,L) построено три пеизоморфных некоммутативных деформации. Построены некоммутативные деформации свободного модуля (Di)2.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты позволяют с большей эффективностью и теоретической обоснованностью использовать алгебру Пименова в различных вопросах математики и теоретической физики. Результаты и методы диссертации могут быть использованы также для изучения других алгебраических структур подобного типа.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на международной семинаре по теории групп (Екатеринбург, 2001 г.), на международной алгебраической конференции (Екатеринбург, 2005 г.), на международной конференции „Мальцевские чтения" (Новосибирск, 2005 г.). Результаты работы докладывались и обсуждались на алгебраическом семинаре ИММ УрО РАН, на семинаре Отдела математики Коми НЦ УрО РАН, на семинаре кафедры высшей математики Сыктывкарского лесного института, на ежегодной научной конференции Сыктывкарского государственного университета.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [12], [13], [16], [17], [52]. Структура и объем работы. Работа состоит из введения, четырех глав, включающих в себя 18 параграфов, и списка цитированной литературы, содержащего 58 наименований. Объем диссертации составляет 81 страницу.
Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Н.А.Громову за постановку задачи, внимание и поддержку.
Операция деления в алгебре Dm(K)
Если элемент а — обратим, то уравнение (1-3) имеет единственное решение х = а гЪ. Если Ъ — обратим, а необратим, то (1.3) решений не имеет. Если а и b — необратимые, одновременно не равные нулю элементы, то решение мооїеет как существовать так и не существовать, причем, если существует хотя бы одно решение, то существует бесконечно много решений и они либо все обратимы либо все необратимы. Доказательство. Пусть ас = Ь и ас\ = 6, где a — обратим. Тогда отсюда следует, что с = с\ — а 1Ъ. Вещественная часть произведения двух элементов равна произведению их вещественных частей. Поэтому, если а — необратим, то вещественная часть элемента ах будет нулевой и уравнение ах = 6, где Ь — обратим, решений не имеет.
Пусть а и Ъ — необратимы. Если х — решение уравнения ах = Ь, то х + \І\І2 ... tm, А К также является решением этого уравнения. Если х — обратим, то dega = deg 6. А если х — необратим, то deg Ь deg а. Отсюда следует, что либо все решения уравнения ах b обратимы, либо все они необратимы. Уравнение t x = 2+ 2 имеет решение х — 1 + i\. Уравнение І\І2Х = i\ решений не имеет. Действительно, если бы решение существовало, то в силу предложения 1.2.2 должно выполняться неравенство deg i\ deg i\i2 + deg x, что, очевидно, не верно.
Рассмотрим вопрос о классификации автоморфизмов кольца Dm(K). Начнем с доказательства следующей леммы.
Лемма. Пусть поле К является конечным полем или полем рациональных чисел. Тогда ограничение любого ненулевого эндоморфизма кольца Dm(K) па поле К является автоморфизмом поля К.
Доказательство. Нетрудно показать, что любой гомоморфизм поля в кольцо является либо нулевым, либо изоморфным отображением на некоторое его подполе. Отсюда следует, что что при любом ненулевом эндоморфизме кольца Dm(K) поле К отображается в поле К : изоморфное К. Естественно, поле К содержится во множестве обратимых элементов, дополненных нулем, т.е. в D U {0}. Рассмотрим множество К" элементов из К с нулевой мнимой частью. Очевидно, что 1 Є К" и К" — поле, подполе поля К. Поле рациональных чисел является простым, т.е. не содержит подполей, отличных от самого себя. Поэтому, если К — ноле рациональных чисел, то К совпадает с К.
Пусть теперь К = F(pn) — конечное поле, состоящее из рп элементов. Тогда, как известно, существует а К такой, что ненулевые элементы из К имеют вид а, а2, а3,..., арП 1 1, т.е. мультипликативная группа К — это циклическая группа, порожденная элементом а порядка рп — 1. В силу того, что ноля К и К изоморфны, ненулевые элементы поля К имеют вид /?+т, (/?+т)2, (/3+т)3,..., ((3 + т)рП 1 = 1, где /3 — некоторый элемент из поля К, am — некоторый элемент из Мт(К). Вещественные части элементов из К суть /?, /З2, /З3,... ,/Зрп 1 = 1. Они принадлежат полю ііГ и все различны, иначе при вычитании двух различных элеменов с одинаковой вещественной частью мы получили бы, что в поле К содержится необратимый элемент. Отсюда следует, что элемент Р имеет порядок рп — 1 и, следовательно, совпадает с а. Значит, на самом деле ненулевые элементы поля К суть а+т, (а+т)2, (a+m)3,..., (a+m)p"_1 = 1. Рассмотрим элемент (а + т)""-1 = 1 + (р" - 1)арП-2т + С оҐ т2 + ... + т"""1.
Если в правой части равенства слагаемое (рп — l)apn 2m не равно нулю, то его степень будет меньше степени всех последующих слагаемых и, следовательно, ни с одним из них оно не сократится. Поэтому то для того, чтобы элемент (а-\-т)рП 1 был равен 1 необходимо, чтобы слагаемое (рп — 1)арп 2т было равно нулю. По условию характеристика поля К равна р, следовательно, если т ф О, то для этого необходимо, чтобы рп — 1 = рк для некоторого натурального к. Но это невозможно, так как числа рп и рк делятся на одно и то же простое число р и разница между ними не может быть равна 1. Значит т — 0 и поле К совпадает с полем К. Лемма доказана. Справедлива следующая теорема.
Полуторалинсйпые формы на свободном модуле (Dm)n
Для любой невырожденной кососимметрич-ной билинейной формы f, заданной на (Dm)n, существует базис, в котором матрица данной формы будет равна матрице SQ.
Таким образом, все невырожденные билинейные кососимметричные формы, заданные на свободном модуле (Dm)n, эквивалентны друг другу.
Пусть теперь поле К, над которым рассматривается алгебра Пиме-иова Dm является полем комплексных чисел. Возьмем в качестве инволюции кольца Dm отображение, которое каждую из образующих tk переводит в саму себя, а элементы поля К переводит в комплексно сопряженные, т.е. при такой инволюции каждому элементу т а — ао + Y, И ---... р=1 к\ ... кр из Dm ставится в соответствие элемент т Р=\ ki ... kp где черта над коэффициентами в правой части равенства означает обычное комплексное сопряжение. Рассмотрим полуторалиней-ную форму на (Dm)n с данной инволюцией, обладающую свойством f(x,y) = f(y,x) для любых х,у Є (Dm)n. Будем называть такую форму обобщенно-эрмитовой. Очевидно, что для того, чтобы матрица А Є Mn(Dm) была матрицей некоторой обобщенно-эрмитовой формы на (An)" необходимо и достаточно, чтобы АТ = А. Как и в случае невырожденных билинейных форм можно показать, что для любой невырожденной обобщенно-эрмитовой формы существует базис, в котором матрица этой формы будет диагональной.
Рассмотрим теперь в качестве инволюции кольца Dm отображение , которое образующую i\ переводит в —ti, остальные образующие и элементы поля К переводит сами в себя. В случае кольца D\ данная инволюция каждому элементу а = ао + Ш\ из Di сопоставляет его сопряженный а = ао — ш\. Рассмотрим на (Dm)n полуторалинейную форму с данной инволюцией, обладающую свойством f(x, у) = f(y, х) для любых х, у Є (Dm)n. Будем называть такую форму сопряжет ю-симметричной. Для того, чтобы матрица А Є Mn(Dm) была матрицей некоторой сопряженно-симметричной формы на (Dm)n необходимо и достаточно, чтобы АТ — Л . Опять же для любой невырожденной сопряженно-симметричной формы существует базис, в котором матрица формы будет диагональной, с диагональными элементами не зависящими от образующей t\.
В общем случае, для любой инволюции кольца Dm можно рассмотреть соответствующую ей полуторалинейную форму / на (Dm)n, обладающую свойством f(x,y) — f{y,%) для любых х, у Є (Dm)n.
Неприводимые І)т-модули Рассмотрим фактор-модуль (Dm/Mm)i)m = Kjym. Его элементами являются элементы поля К. Пусть а — элемент из Dm и а$ — его вещественная часть, тогда умножение на а в модуле К т выполняется по правилу: ах = а$х х Є К.
Применяя результаты главы 8 из [23] к алгебре Dm(K) можно получить следующую теорему. Теорема 2.3.1 Пусть М — ненулевой конечно порожденный Dm-модуль. Тогда М обладает композиционным фактором, изоморфным модулю Kj}m. Доказательство. Пусть М = М0 D Mi D . - - Э Mn-i D Мп О — композиционный ряд модуля М. Так как М ф О, то существует фактор V = Mj-i/Mi ф 0. Так как в Dm есть 1, то это означает, что Dmv ф 0 для некоторого v Є V. Так как Dmv — это ненулевой подмодуль в V, а V — неприводим, то Dmv = V. Отображение ф : а — av (а Є Dm, v EV) является гомоморфизмом т-модулей Dm и V. Ядро данного гомоморфизма является максимальным подмодулем в Dm. Действительно, пусть / с Dm — ядро гомоморфизма ф и пусть существует подмодуль / Э 7, не равный Dm. Так как V — неприводим, то ф(Г) = V. Следовательно, существуют а\ Є Г, а\ $. I и аг Є Dmf ( $ V такие, что ф{а\) = ф(а.2). Но отсюда ф{а — а\) = 0 и ач — а\ Є /. В свою очередь это означает, что (аг — а{) + аі ач Є / . Получили противоречие. Так как Dm — локальное кольцо и Мт — единственный максимальный подмодуль в Dm, то, следовательно, ядро гомоморфизма ф совпадает с Мт. Отсюда по теореме о гомоморфизме модулей Dm/Mm V. Следствие Каждый неприводимый От-модулъ изоморфен модулю {Dm/Mm)Dm Ш KDm. Доказательство. Если От-модулъ М — неприводим, то его композиционный ряд состоит из единственного ненулевого фактора, изоморфного самому модулю М. Из предыдущей теоремы следует, что М - KDm. На языке представлений это означает, что всякое неприводимое представление алгебры Dm(K) эквивалентно одномерному представлению Т алгебры Dm в векторном пространстве поля К, действующему по правилу Т{а)х = ах (а Є Dm, а$ = Re а, х Є К).
Известно, что модуль М — вполне приводим тогда и только тогда, когда он раскладывается в прямую сумму неприводимых подмодулей. В силу того, что единственным неприводимым Д„-модулем является модуль Кг т, следует, что любой вполне приводимый Dm-модуль изоморфен модулю (КеКф...фК)Пт п для некоторого п. На языке представлений это означает, что любое n-мерное вполне приводимое представление алгебры Dm эквивалентно матричному представлению
Линейные группы, сохраняющие полуторалипейные формы
По аналогии с классической ортогональной группой над полем, и учитывая результаты раздела 2.2, определим ортогональную группу над алгеброй Пименова Dm как группу автоморфизмов модуля (Dm)n, сохраняющих невырожденную билинейную (в качестве инволюции берем тождественное преобразование id) симметричную форму на (Dm)n, матрица которой в некотором базисе равна единичной, и будем обозначать ее через On(Dm). Сформулируем теперь определение ортогональной группы на матричном языке. Пусть Р = СТС, где С Є GLn(Dm). Тогда On(Dm) = U{P,id). В качестве матрицы С удобно взять единичную матрицу, тогда Р = Еп и On(Dm) = {А Є GLn(Dm)\ATA = Еп}. Множество матриц из On(Dm) с определителем равным 1 образуют специальную ортогональную группу SOn(Dm).
Очевидно, что справедливы включения Оп(К) С On(Dm) и, соответственно, SOn(K) С SOn(Dm). Заметим, что эти включения строгие. Так если Р = Еп, то SOn(Dm) помимо подгруппы спс циальных ортогональных матриц содержит подгруппы вида Н = {Еп + tkB\B Мп{К), Вт = -В}. Например, в S02{D:) такая подгруппа состоит из матриц А=( 1 1"),аеК. \ —ш 1 J Предложение 3.4.1 Пусть Dm(K) — алгебра Пименова над алгебраически замкнутым полем К. Тогда On(Dm) С Оп2т{К), причем включение строгое.
Доказательство. Зафиксируем в Dm основной базис и рассмотрим изоморфизм групп ф, заданный по правилу (3.4). Рассмотрим группу G — {ф{А) Є GLn2{K)\A Є On(Dm)}. В силу результатов раздела 3.2 группа G изоморфна On(Dm). Покажем, что справедливо СТрОГОе ВКЛЮЧение G С Оп2т{К).
В силу того, что ф — изоморфизм получаем, что ф(АТ)ф(А) ЕП2 » или ф(Ат) = ф{А) 1 для любой матрицы А Є On(Dm). По определению ортогональной группы, для того, чтобы G С 0П2 (К) необходимо и достаточно, чтобы существовала невырожденная симметричная матрица С такая, что ф(А)тСф(А) = С для любой матрицы А Є On(Dm). Последнее условие можно переписать в виде С 1ф(А)тС ф{А) 1. Следовательно, для того, чтобы G С 0П2 {К) необходимо и достаточно, чтобы ф(Ат) = С 1ф(А)тС для некоторой невырожденной симметричной матрицы С и любой матрицы А Є On(Dm).
Пусть А = (ау), тогда ф{Ат) = [( = ф(а#)], Ф{А)Т = [dy = Ф{азі)Т\і h3 1) регулярное представление Dm в основном базисе. Рассмотрим матрицу С = di&g[D, ,... ,DJ} где D n — матрица размера 2m на 2, на второстепенной диагонали которой стоят единицы, а все остальные элементы равны 0. Очевидно, что С — симметрична, невырождена и С-1 = С. Отсюда С 1ф(А)тС = [(1[; = Офісі і) D]. Нетрудно заметить, что при умножении матрицы D на матрицу А слева в матрице А меняются местами строки, симметрично относительно горизонтальной оси симметриии матрицы, т.е. первая строка меняется с последней, вторая с предпоследней и так далее, а при умножении D на А справа меняются местами столбцы симметрично относительно вертикальной оси симметрии. Учитывая это, а также то, что матрица регулярного представления ф{ац) в основном базисе симметрична относительно второстепенной диагонали, нетрудно видеть, что 4 (aji) = D f)(aji)TD для любого ЩІ и, следовательно, ф(Ат) = С 1ф(А)тС. Таким образом, G С 0П2 (К), Покажем, что включение строгое. Заметим, что СТСС = С, поэтому С On2"i(K). Но, очевидно, что С $. G. Предложение доказано.
Как уже сказано в разделе 2.2, все невырожденные кососимметрич-ные билинейные формы на (Dm)n эквивалентны друг другу. По аналогии с симплектическими группами над полем определим симплек-гпическую группу над алгеброй Пимепова Dm как группу автоморфизмов свободного модуля (Дп)) сохраняющих невырожденную кососимметричную билинейную форму, и будем обозначать се через Spn(An)- Сформулируем определение на матричном языке. Пусть Р — невырожденная кососимметричиая матрица из GLn(Dm), тогда Spn(Dm) = U(P,id). В качестве Р удобно рассматривать матрицу где Si квадратная матрица с единицами на побочной диагонали и пулевыми остальными элементами. В этом случае Spn(Dm) = {А Є GLn(Dm)\ATSQA = So}. Нетрудно видеть, что симплектиче-ская группа определена только для четных п и справедливо строгое включение Spn(K) С Spn(Dm). В случае n = 2 группа 5рг(Ап) как и в случае поля, совпадает с группой SL2(Dm)) а в последней, естественно, есть матрицы, состоящие не только из элементов ПОЛЯ К. В общем случае, если Р = SQ, ТО В группе Spn(Dm) помимо подгруппы обычных симплектических матриц над полем содержится подгруппа Н = {Еп + tiA5o А К}.
Предложение 3.4.2 Пусть дана алгебра Пимепова Dm{K). Тогда справедливо строгое включение: Spn(Dm) С Spn2m(K).
Доказательство. Зафиксируем в Dm основной базис и рассмотрим изоморфизм групп ф, заданный по правилу (3.4). Рассмотрим группу G — {ф(А) Є GLn2m(K)\A Є Spn(Dm)}. В силу результатов раздела 3.2 группа G изоморфна Spn(Dm). Покажем, что справедливо строгое включение G С Spn2m{K) В силу определения симплектической группы над алгеброй Пимепова и в силу того, что ф — изоморфизм получаем, что для любой матрицы А Є Spn(Dm) справедливо ф(АТ)ф(За)ф(А) — ф{3) или ф(Зо) 1ф(Ат)ф(Зо) ф(А) 1. По определению симплектической группы над полем, для того, чтобы G С Spn2m{K) необходимо и достаточно, чтобы существовала невырожденная кососимметрич-ная матрица S такая, что ф(А)тЗф(А) = S для любой матрицы А Є Spn(Dm). Последнее условие можно переписать в виде 5-1 ф(А)TS — ф(А) 1. Следовательно, для того, чтобы G С ЗрП2 (К) необходимо и достаточно, чтобы ф(Зо) 1ф(Ат)ф(Зо) — 3 1ф(А)тS для некоторой невырожденной кососимметричной матрицы 3 и любой матрицы А е Spn{Dm).
Аналогично случаю ортогональных групп нетрудно показать, что в качестве 3 можно взять матрицу SQ0D, где D — это матрица размера 2т х 2т, на второстепенной диагонали которой стоят единицы, а все остальные элементы равны 0. Другими словами, S — блочная матрица размера п х п, на второстепенной диагонали которой в первых п/2 строках стоят блоки D, во вторых п/2 строках блоки —D, а все блоки вне второстепенной диагонали являются нулевыми. Нетрудно видеть также, что матрица S удовлетворяет равенству STSS — 5, но S $. Spn(Dm), если в Dm зафиксирован основной базис. Отсюда следует строгость включения.
Квантовые группы T[SLq(n,j)\
В работе [58] была описана еще одна некоммутативная деформация [5 /((2)] группы SL(2). Алгебра "[5 (2)] является ассоциативной алгеброй с 1, порожденной над К четырьмя образующими а, 6, с, d и коммутационными соотношениями [a, d] = h(dc — ас), [b, с] — h(ac + cd), [6,а] = /г(а2 - 1), [b,d\ = h(d2 - 1), (4.27) [а, с] = /гс2, [d, с] = he2, ad — be + /гас = 1. Коумножснис, коединица и антипод задаются на ней, соответственно, следующим образом Л(Т) = л(а Ъ) = [аа + Ьс ab + bd\ v \ с d \ ca + dc cb + dd v е[Т) = Е, S(T) = ( hC + d b + -) + ft2c ) . (4.29)
В соответствии с методом переходов, сделаем следующее преобразование, изменив дополнительно и параметр деформации h: Ь - jb, с - jc, Л - j/i. (4.30) При этом коммутационные соотношения [5/ (2)] перейдут в [a, d] = j2h(dc — ас), [b, с] = h(ac + cd), [6,а] - Ъ(а2 - 1), [b,d\ = h(d2 - 1), [а, с] j2hc2, [d, с] = j2hc2, ad — j2bc + j2ftac = 1. Коумножснис перейдет в ЛЛТЛ _ ( aa + fbc a g 6 + Ь d \ с g а -}- d с fcb+dd Коединица останется без изменения, антипод перейдет в fhc + d -b + h(d-a)+j2h2c —с а — j2hc
Обозначим, полученную конструкцию через .7- 5/ (2, j)]. Положим теперь j = t. Непосредственной проверкой можно доказать следу-щее предложение. Предложение 4.4.1 J:[SLh{2 t)] является некоммутативной и пекокоммутативной алгеброй Хопфа, порооїсдениой образующими а, 6, с, d и коммутационными соотношениями [а, d] — О, [Ь, с] = h(ac + cd), [6,а] = h{a? - 1), [b,d] = h{d2 - 1), (4.31) [а, с] = 0, [d, с] = О, ad = 1. Коумиооїсеиис, коедипица и антипод задаются в ней, соответственно, как 4Т) = Е, S(T) =( С Ь + kf " а) ) - (4.33) Справедливо также Предложение 4.4.2 Ряд Пуанкаре алгебры .7 51 (2,/,)] совпадает с рядом Пуанкаре алгебры полиномиальных функций на группе SL(2,L).
Заметим, что если в .7- 51/ (2, І)] перейти к образующим a, b/h, c/h, d, то получим соотношения алгебры JT[SLh=i{2, t)]. Отсюда следует, что при h ф 0 все алгебры семейства J-\SLh{2, і)] изоморфны друг другу. Если же рассмотреть предел h —У О, то получим коммутативную алгебру Хопфа полиномиальных функций па группе SL(2,t).
Таким образом, алгебра .7 5 (2, t)] является некоммутативной деформацией группы SL(2, t). Предложение 4.4.3 Алгебры Хопфа T[SLq{2 і)} и F[SLh(2, t)\ не изоморфны.
Доказательство. Из определения данных алгебр Хопфа видно, что обе они содержат одну и ту же подалгебру Хопфа В, порожденную 1 и элементами and. Рассмотрим в J [SLq(2, t)] идеал Iq, порожденный элементами & и с. Нетрудно видеть, что J-[SLq(2, L)] как алгебра имеет структуру полупрямой суммы T[SLq{2, і)] = Ід В В, причем Iq является идеалом Хопфа, т.е. A(Jq) С f[SLq{2: 0] Jg + Jq T[SL4% t)], e(Jq) = {0} S(Jq)CJq.
Рассмотрим в .7 51 (2, ] идеал Д, порожденный элементами b и с. Нетрудно видеть, что как алгебра [51 (2, t)] = /д-Б В. Но /д не является идеалом Хопфа в "[5Лд(2, л)]. Это видно, например, из того, что 5(6) = — Ъ + /i(d — а), но —6 -J- /i(d — а) 0 /д. Тем самым предложение доказано.
Рассмотрим теперь ассоциативную алгебру DfL, порожденную над К образующими хо,хі,уа,уі и коммутационными соотношениями Ньї/о] = ІУо,Уі] = [х0,уі] = 0, [хі,уо] = hyl, ,4 34. [XQ, xi] = hx0yo, [xi, yi] = %)Уі Справедливо следущее предложение. Предложение 4.4.4 Базис алгебры D2 состоит из есевозмооїсиих упорядоченных мономов, составленных из образующих XQ, XI, уо, у\.
Из этого предложения следует, что ряд Пуанкаре алгебры D\ совпадает с рядом Пуанкаре алгебры [(Di)2] полиномиальных функций на свободном модуле {D\)2. Более того, при -)-1 алгебра D\ переходит в алгебру [(Di)2]. В силу этого, D\ можно рассматривать как некоммутативную деформацию свободного модуля (D{)2.
Предложение 4.4.5 Алгебра D\ является левым T\SLh{2, t)] - ко-модулем относительно кодействия (4-25).
Образующие Х]_,уо вместе с соотношением [#1,2/о] = hy$ порождают в D\ подалгебру КД(І), которая называется h-плоскостъю [42]. Ее можно рассматривать как некоммутативную деформацию расслоенного пространства K2(t) (см. 3.5.2) Из предущего предложения как следствие получаем.
