Содержание к диссертации
Введение
1 Предварительные сведения 12
1.1 Производные эквивалентности 12
1.2 Мутации 17
2 Производная группа Пикара 21
2.1 Мутации и производная группа Пикара 21
2.2 Стандартная конструкция дерева 24
2.3 Основной результат 29
2.4 Мутации типа I 33
2.5 Мутации типа II 37
2.6 Случай t = 1 47
2.7 Дополнение 49
3 Двучленные наклоняющие комплексы над алгебрами, соответствующими деревьям Брауэра 51
3.1 Двучленные наклоняющие комплексы над самоинъективными алгебрами 51
3.2 Двучленные неразложимые частично наклоняющие комплексы над алгебрами, соответствующими деревьям Брауэра с кратностью исключительной вершины 1 54
3.3 Двучленные наклоняющие комплексы над алгебрами, соответствующими деревьям Брауэра с кратностью исключительной вершины 1 56
3.4 Кольца эндоморфизмов 79
3.5 Двучленные наклоняющие комплексы над алгеброй, соответствующей звезде Брауэра 93
3.6 Геометрическая интерпретация 98
Список литературы
- Мутации
- Стандартная конструкция дерева
- Мутации типа II
- Двучленные неразложимые частично наклоняющие комплексы над алгебрами, соответствующими деревьям Брауэра с кратностью исключительной вершины
Мутации
Пусть ІІГ - алгебраически замкнутое поле. Пусть Р - /Г-линейная, Нот-конечная, триангулированная категория Крулля-Шмидта. Морфизм X — М из Р называется левым минимальным, если любой морфизм д : М —
М такой, что ?/ = /, является изоморфизмом. Пусть Л4 - подкатегория f Р, X - объект Р, М - объект Л4, морфизм X — М называется левой ап х проксимацией X по отношению к .М, если Homr(M/, М) Homr(X, М) сюръективно для любого М Є Л4. Левый минимальный морфизм, являющийся левой аппроксимацией X по отношению к .М, называется минимальной левой аппроксимацией X по отношению к Л4. Правый минимальный морфизм и правая аппроксимацией X по отношению к Л4 определяются двойственно. Р Є Р называется полунаклоняющим объектом (silting), если Hoiri7-(P,Т[ъ\) = 0 для любого і 0, и Р порождается add(P) как триангулированная категория. Будем называть полунаклоняющий объект Р базисным, если Т является прямой сумме неразложимых попарно неизоморфных объектов. Пусть Т - базисный полунаклоняющий объект в 7 , Т = М 0 X, Л4 = add(M). Рассмотрим треугольник X - М — У — , (2) где / - минимальная левая аппроксимациях по отношению к .М. Заметим, что / единственный с точностью до изоморфизма. Объект/ij (T) := МфУ называется левой мутацией Т по отношению к X. По результатам Аихары и Иямы [11] объект/І (Т) снова является базисным полунаклоняющим. Если X неразложим, то мутация называется неприводимой. Правые мутации определяются по двойственности и обозначаются fi (T). Заметим, что в обозначениях треугольника (2) имеем /iy(/ij (T)) — Т.
Пусть T,U — базисные полунаклоняющие объекты в Т. Положим Т U, если Horri7-(T, U[і]) = 0 для любого і 0. Отношение задает частичный порядок на множестве классов изоморфизмов базисных полунаклоняющих объектов [11]. Будем говорить, что U связан (связан слева) с Т, если U можно получить из Т многократными неприводимыми (левыми) мутациями. Триангулированная категория Т называется связной относительно мутаций полунаклоняющих объектов (silting-connected), если все базисные полунаклоняющие объекты в Т связаны друг с другом. Т -сильно связна относительно мутаций полунаклоняющих объектов (strongly silting-connected), если для любых базисных полунаклоняющих объектов Т, U таких, что Т U, U связан слева с Т. Известно, что в случае симметрической алгебры любой полунаклоняющий объект в К (ртоуА) является наклоняющим комплексом. В этом случае вместо связна относительно мутаций полунаклоняющих объектов будем говорить, что категория связна относительно мутаций наклоняющих комплексов (tilting-connected).
Теорема.(Аихара, [10]) Кь(ртоуА) связна относительно мутаций наклоняющих комплексов, если А - симметрическая алгебра конечного типа представления.
Заметим, что из [10] (теорема 5.6 и следствие 3.9) также следует, что в случае симметрической алгебры конечного типа представления К (ртоу А) сильно связна относительно мутаций наклоняющих комплексов. Поэтому любой наклоняющий комплекс, сосредоточенный в неположительных степенях, может быть получен из А многократными левыми мутациями.
Широко известным примером мутаций наклоняющих комплексов являются мутации графов Брауэра, или, что то же самое, SSB-алгебр. Мы ограничим определение на случай деревьев Брауэра, в частности, мы не будем рассматривать петли.
Рассмотрим алгебру А, соответствующую дереву Брауэра, как наклоняющий комплекс над собой. Пусть А = (ф=1 Pi) 0 Pj - разложение на неразложимые проективные модули, где Pi соответствует ребру с меткой і. Рассмотрим левую мутацию алгебры А по отношению к Pj (соответствующая аппроксимация берется по отношению к add(()"=1 i, Pi), Pj сосредоточен в степени —1), где Рт и Р[ - проективные модули, соответствующие ребрам в дереве Брауэра, следующим за j в циклическом порядке ребер, инцидентных одной и той же вершине, а / = (/j), где а и (3 соответствуют стрелкам из j в т и из j в / соответственно. Дерево Брауэра алгебры А представлено слева, а дерево Брауэра кольца эндоморфизмов fJ.p.(A) - справа; ребро, соответствующее Pj — Pm 0 Pi, также будем обозначать j.
Насколько нам известно, эти движения были впервые рассмотрены Кау-эром [18], также они изучались в работах [1], [9], [13], [22]. Мутация Цр, (А) определяется по двойственности и соответствует движению в обратном направлении. Наклоняющий комплекс вида цр,(А), где А - произвольная алгебра, соответствующая дереву Брауэра, будем называть элементарным наклоняющим комплексом. Мутации, задействующие лишь одно дополнительное ребро /, будем называть мутациями типа I; мутации, задействующие два дополнительных ребра ти/, будем называть мутациями типа П. Заметим также, что такие мутации задействуют лишь ребра: исключительная вершина при них не меняется.
Стандартная конструкция дерева
Пусть А - алгебра, соответствующая звезде Брауэра типа (n,t). Пусть 1Z обозначает подгруппу производной группы ПикараТгРіс(Л), порожденную сдвигом, Ріс (А) и эквивалентностями Щ (см. формулу (1)).
Замечание 2. (а) Подгруппа 1Z совпадает с подгруппой, рассматриваемой в [30]. Там же было показано, что на этой подгруппе действует группа кос на диаграмме Ап_\, соответствующий гомоморфизм переводит образующие группы кос в Нь. В [24] показано, что это действие точно при t = 1.
(b) В Ріс(Л) имеется автоморфизм, соответствующий повороту звезды Брауэра, он переводит Нь в Н,ь+\ сопряжением, поэтому можно определить 1Z как подгруппу TrPic(A); порожденную сдвигом, Ріс(Л) и эквивалентностью Н\. зо (с) НІ(А) (/І+)2(А); действительно, для комплекса Р{ — РІ-\ — Pj_i существует треугольник Pi — М — Cone(f ) — -, где М = Д_ь f = Р - минимальная левая аппроксимация Pi относительно add(0J=1 / Pj), a Cone(f ) Д — Д_і; м треугольник Cone(f ) — М" — Cone(f ) — -, где М" = Рг-\, f" = (0,soc) - минимальная левая аппроксимации Cone(f ) относительно асісі(ф"=1 / Pj), a Cone(f ) (РІЛРІ-І РІ-І).
Теорема 1. Рели 1, то TrPic(A) = 1Z.
Схема доказательства. Надо проверить, что вложение 1Z в TrPic(A) сюръективно. Любой элемент X из TrPic(A) ограничивается на некоторый наклоняющий комплекс Т такой, что End_pb( )(T) — Л; любой другой элемент TrPic(A), ограничивающийся на тот же наклоняющий комплекс, отличается от X на элемент Ріс(Л), то есть на элемент 1Z. Поэтому достаточно показать, что для любого наклоняющего комплекса Т существует элемент из 1Z, который переводит неразложимые проективные А-модули в слагаемые Т.
Пусть F - некоторая автоэквивалентность D (А), вычислим F(Hi(Pj)). Так как Нг(Р3) = Pj, при j ф і, г - 1, то P(P,(P,-)) = F(Pj), при j ф i,i - 1. НІ(РІ) = Рг-і, следовательно, F(H,(P,)) = Р(Рг_і). Для комплекса НІ(РІ-І) существуют треугольники Pj — М — Cone(f ) — и Cone(f ) — М" — Cone(f ) — -, где / и /" - минимальные левые аппроксимации Pi и Cone(f ) относительно add(@=1 - Pj), следовательно, по лемме 1 для комплекса F{Hi{Pi_\)) существуют треугольники Р(Р«) — N - Сопе{д ) - и Сопе{д ) N" - Сопе{д") - , где д = F{f) и д" = F(f") - минимальные левые аппроксимации Р(Р«) и Сопе(д ) — F{Cone{f)) относительно add(0J=lj Р(Р,-)), а Р(Яг(Рг_і)) С(те{д"). Таким образом, F(Hi(Pi_\)) - это двойная мутация F(P{) относительно других слагаемых F(A).
Заметим, что Щ(А) (/іг:11)2(Л), то есть для Щ(РІ) существуют два треугольника из определения правой мутации. Аналогично предыдущему рассуждению получаем, что применить некоторую автоэквивалентность к Н[(А) - это то же самое, что вычислить двойную правую мутациюG(Pi-\) относительно других слагаемых G(A). Таким образом, H H Pj)) = Pj и H H Pj)) = Pj для любого j, и поэтому (НІ) действует на проективных Л-модулях так же, как Н[.
Предположим, что некоторый наклоняющий комплекс Т можно получить из А, применяя квадраты мутаций, то есть Т = о (и. ) (А). Индукцией по q получаем, что существует элемент из 7Z, который переводит проективные Л-модули в слагаемые Т. Таким образом, если мы докажем, что любой наклоняющий комплекс Т можно получить из А, применяя квадраты мутаций и сдвиг, то теорема будет доказана.
Предположим, что Т сосредоточен в неположительных степенях. По результатам Аихары [10] Т = /І+ О ... о м+ +1 о м+ о д+_1 о ... о м+ о fi+(A) для некоторых Обозначим через Тг := [х\ о ц У _ О ... о /І+ О li l(A), а через Гг - дерево Брауэра его кольца эндоморфизмов. Заметим, что если звезда Брауэра пронумерована стандартным способом, тоГг имеет естественную нумерацию ребер, связанную с последовательностью мутаций /і+ о /І+_ о ... о /І+ о fj,f(A), которая может не совпадать со стандартной.
С использованием леммы 5 получаем, что если А - алгебра, соответству 32 ющая звезде Брауэра со стандартной нумерацией, то кольцо эндоморфизмов {ц1)фтг{п) о {ц1_1)фтг{п 1) о ... о (/i+) rW(A) - это алгебра, соответствующая дереву Брауэра Гг со стандартной нумерацией. Если естественная нумерация рг дерева Гг не стандартна, то существует некоторая перестановка тг, которую нужно применить к стандартной нумерации Гг, чтобы получить рг. Применив тг к стандартной нумерации звезды Брауэра, получим звезду Брауэра с некоторой нумерацией, которую также будем обозначать рг. А применив тг к индексам (/i+) rr(n) о (д+_1) гг(та-1) о ... о (д+) г(1)(Л), получаем последовательность мутаций, применение которой к звезде Брауэра с нумерацией рг дает дерево Гг с нумерацией рг. Обозначим эту последовательность мутаций Дг для естественной нумерации рг дерева Гг. Через Д_г := (Дг) будем обозначать последовательность мутаций (м (1)) гг(Тг(1)) о - о (м (п_1)) гг(Тг(та 1)) (Мгг(п)) гг(Тг(та))- Если АРг ал" гебра, соответствующая звезде Брауэра с нумерацией рг, а Вг - алгебра, соответствующая дереву Брауэра Гг с естественной нумерацией, то Д"г о ДГ(Л ) = А? и Дг о Д"Г(БГ) = Вг.
Мутации типа II
Диаграмму, соответствующую минимальному проективному представлению, и само минимальное проективное представление мы часто будем обозначать одинаково.
Определение 4. Пусть ТІ и Tj - диаграммы двух минимальных проективных представлений, пересекающиеся больше, чем по одной вершине так, что пересечение состоит из одной компоненты связности. Сужение ТІ относительно Tj - это пересечение диаграммы ТІ и объединения тех циклов алгебры, на которых лежит хотя бы одна выделенная вершина Tj. Будем обозначать сужение Т{ относительно Tj через Ть\т-.
Диаграмму, состоящую больше чем из одной вершины и полностью лежащую на одном цикле, будем называть струной. Будем обозначать такую диаграмму (&,..., /), где к - сток, а / - исток струны.
Замечание 8. Определение сужения подобрано так, что между проективными слагаемые компонент Ті и Tj, которые соответствуют вершинам, не попавшим в сужения, нет ненулевых морфизмов. Теорема 4. Пусть ТІ и Tj - неразложимые неизоморфные двучленные частично наклоняющие комплексы. Комплекс ТІ 0 Tj является частично наклоняющим тогда и только тогда, когда выполнено одно из следующих условий.
В предположении, что Ть и Tj - минимальные проективные представления некоторых модулей, являющиеся неразложимыми двучленными частично наклоняющими комплексами.
а) Диаграммы, соответствуют Ть и Tj, не пересекаются, причем не существует цикла Т такого, что на Т лежит исток степени один диаграммы Tj (соответственно ТІ) и сток степени один диаграммы Ть (соответственно Tj), и эти вершины - единственные вершиныТ,ь и Tj, лежащие на Т.
б) Диаграммы, соответствуют ТІ и Tj, пересекаются по вершине к, причем либо к не является выделенной вершиной ни ТІ, ни Tj, либо к является стоком степени один и ТІ, и TJ, либо к является истоком степени один и диаграммы ТІ, и диаграммы Tj.
в) Пересечение диаграмм Ть и Tj имеет ровно одну компоненту связ ности, и она состоит более, чем из одной вершины. Диаграммы, соот ветствуют ТІ и Tj, пересекаются так, что одна крайняя вершина пе ресечения является стоком,, а другая истоком. Кроме того,Т\т- С Tjy. или Tj\T. С Тг\т..
г) Пересечение диаграмм ТІ и Tj имеет ровно одну компоненту связ ности, и она состоит более, чем, из одной вершины. Диаграммы, соот ветствуют ТІ и Tj, пересекаются так, что обе крайние вершины пе ресечения являются стоками, при этом, либо диаграммы ТІ и Tj имеют обилую вершину степени один, либоТ,\т- 7}т; и 7}т; Т;\т- 60
д) Пересечение диаграмм ТІ и Tj имеет ровно одну компоненту связ ности, и она состоит более, чем из одной вершины. Диаграммы, соот ветствуют ТІ и Tj, пересекаются так, что обе крайние вершины пе ресечения являются истоками, при этом либо диаграммы ТІ и Tj имеют обилую вершину степени один, либоТ,\т- 7}т; и 7}т; Т;\т- В предположении, что Ть - минимальное проективное представление некоторого модуля, которое является неразложимым двучленным частично наклоняющим комплексом,, Tj - неразложимый комплекс, состоящий из проективного неразложимого модуля Р.
е) Р сосредоточен в 0, и либо вершина, соответствующая Р, совпада ет с истоком степени один диаграммы ТИ либо вершина, соответству ющая Р, не лежит на диаграмме ТІ, и не существует цикла Т такого, что на Т лежит вершина, соответствующая Р, и сток степени один диаграммы Ть так, что этот сток является единственной вершинойТ,И которая лежит на Т.
ж) Р сосредоточен el, и либо вершина, соответствующая Р, совпа дает со стоком степени один диаграммыТИ либо вершина, соответству ющая Р, не лежит на диаграмме ТІ, и не существует цикла Т такого, что на Т лежит вершина, соответствующая Р, и исток степени один диаграммы ТІ так, что этот исток является единственной вершиной ТІ, которая лежит на Т.
Двучленные неразложимые частично наклоняющие комплексы над алгебрами, соответствующими деревьям Брауэра с кратностью исключительной вершины
Из описания сНт Нот ь( (7], 7}) получаем, что в Епд.кь (Т) существует два типа циклов: циклы, соответствующие истокам, и циклы, соответствующие стокам. В циклы, соответствующие истокам, входят все неразложимые частично наклоняющие комплексы такие, что истоки степени один их диаграмм лежат на некотором зафиксированном цикле Т алгебры А таким образом, что это единственные вершины этих диаграмм на Т, а также все неразложимые комплексы, соответствующие проективным модулям, сосредоточенным в 0, таким, что вершины, соответствующие этим проективным модулям, лежат на Т. В циклы, соответствующие стокам, входят все неразложимые частично наклоняющие комплексы такие, что стоки степени один их диаграмм лежат на некотором зафиксированном цикле Т алгебры А таким образом, что это единственные вершины этих диаграмм на Т, а также все неразложимые комплексы, соответствующие проективным модулям, сосредоточенным в 1, таким, что вершины, соответствующие этим проективным модулям, лежат на Т.
Опишем циклический порядок на неразложимых слагаемых Т, лежащих на цикле Т, соответствующем истокам. Для этого введем некоторое подобие циклического лексикографического порядка. Зафиксируем некоторую вершину на Т и будем считать ее наибольшей (вершину, в которую идет стрелка из зафиксированной вершины, будем считать меньше, следующую еще меньше, и так далее), а остальные вершины Т будем считать упорядоченными линейно. Диаграмме с истоком степени один на Т поставим в соответствие упорядоченный набор вершин колчана А следующим образом: первая вершина - это исток степени один, лежащий на Т, дальше берем все выделенные вершины диаграммы по порядку. Комплексу, состоящему из неразложимого проективного модуля, поставим в соответствие набор, состоящий из вершины, соответствующей этому модулю. Далее рассмотрим обычный лексикографический порядок на наборах вершин (за исключением того, что пустое место на четной позиции мы считаем наименьшим, а на нечетной - наибольшим): если первая вершина набора, соответствующего ТІ, меньше первой вершины набора, соответствующего Tj, то Т{ Tj\ если эти вершины равны, то вторые вершины наборов, соответствующих ТІ и Tj, лежат на одном цикле, первая вершина наборов тоже лежит на этом цикле, будем считать первую вершину наибольшей (среди вершин) на этом цикле, тогда на нем можно рассмотреть линейный порядок (так же, как выше), и если вторая вершина набора, соответствующего Tj, меньше второй вершины набора, соответствующего Tj, то Т{ Tj. Если все вершины от первой до г-ой наборов, соответствующих Т{ и Tj, совпадают, а і + 1-ые различны, то і-ая вершина обоих наборов и і + 1-ые вершины лежат на одном цикле. Считая г-ую вершину наибольшей (среди вершин, т.е. без учета пустого места, которое может быть большим), можем сравнить і + 1-ые. Описанный линейный порядок индуцирует циклический порядок стандартным способом.
Напомним, что мы отождествляем неразложимые слагаемыеТ и ребра дерева Брауэра EndKb (T).
Предложение 6. В дереве Брауэра алгебры Епсі ь ) (Т) циклический порядок ребер, инцидентных вершине, соответствующей циклу истоков, совпадает с введенным циклическим порядком.
Доказательство. Пусть Т - некоторый цикл алгебры А. Обозначим цикл EndxbM)(TT), соответствующий истокам, лежащим наТ, через Ф. Допустим, что на цикле Ф лежит г вершин. Тогда для того, чтобы установить циклический порядок на Ф, достаточно построить г морфизмов между соответствующими слагаемыми Т так, чтобы их последовательная композиция не была гомотопна 0. Сначала построим морфизмы, идущие из большего слагаемого в меньшее для линейного порядка, из которого склеен циклический, после чего построим морфизм из наименьшего слагаемого в наибольшее.
Построим морфизм otjj комплексов по наборам, соответствующим слагаемым Tj, Tj, у которых совпадают первые к вхождений, а к+1-ые вхождения отличаются, Т{ Tj. Обозначим через Д15..., Pjfc проективные модули, которые соответствуют первым к вершинам из наборов Tj, Tj, обозначим через Pik+1 модуль, соответствующий к + 1-ой вершине из набора Tj, через Pik+2 - модуль, соответствующий к + 1-ой вершине из набора Tj. Теперь зададим морфизм о : Tj — Tj так, что на совпадающих модулях Pi1,..., Pik - это тождественный морфизм, a (Xj І\РІ _ - домножение на единственный путь в колчане А между соответствующими вершинами. Все остальные компоненты нулевые. Проверим, что отображение, полученное таким образом, является цепным. Коммутативность квадрата
