Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I 14
I. Формулировки результатов и предварительные сведения 14
2. Доказательство теоремы I 18
ГЛАВА II 25
I. Формулировка и обсуждение результата, предварительные сведения 25
2. Теорема 21 : редукция 29
3. Доказательство леммы 2.5 37
ГЛАВА III 46
I. Формулировка и обсуждение результата, предварительные сведения 46
2. Доказательство теоремы 3 51
3. Доказательство леммы 3.4 57
ЛИТЕРАТУРА 86
- Формулировки результатов и предварительные сведения
- Формулировка и обсуждение результата, предварительные сведения
- Формулировка и обсуждение результата, предварительные сведения
Введение к работе
Теория многообразий алгебр Ли и теория многообразий групп -сравнительно молодые области современной алгебры, изучающие алгебры Ли и группы с точки зрения тождеств, которые выполняются в них. Время появления теории многообразий групп относится к 30-м годам текущего столетия, а период наиболее интенсивных исследований в этой области охватывает последние 20-25 лет. Первые работы, посвященные собственно теории многообразий алгебр Ли, появились в 1967-1968 годах, хотя отдельные крупные результаты, которые можно отнести к этой теории, были получены раньше.
Как в теории многообразий алгебр Ли, так и в теории многообразий групп одно из центральных мест занимает вопрос о конечной базируемости тех или иных многообразий, иногда формулируемый также как вопрос о конечности базиса тождеств определенных алгебр Ли или групп. Приведем некоторые из полученных в связи с этим в теории многообразий алгебр Ли результатов. Первые примеры многообразий алгебр Ли над полем характеристики 6 , не являющихся конечно базируемыми, построил М.Воон-Ли Гі]. В указанных гол многообразиях каждая алгебра Ли центрально-метабелева. В.С.Дренски I 2 J и Ю.Г.Клейман Гне опубликовано) независимо обобщили результат М.Воон-Ли на случай, когда основное поле имеет произвольную конечную характеристику. Ими были построены примеры многообразий алгебр Ли с нильпотентным ступени Р коммутантом над полем характеристики р , не являющихся конечно базируемыми. Отметим, что вопрос о существовании многообразий алгебр Ли над полем характеристики I/ , не допускающих конечного базиса тождеств, на настоящий момент остается открытым.
Если В.С.Дренски \z\ и Ю.Г.Клейман обобщили результат М.Воон-Ли Ш, то И.Б.Боличенко Гз] недавно существенно уточнил его. И.Б.Боличенко указал в многообразии центрально-метабелевых алгебр Ли над полем характеристики J/ подмногообразие, не допускающее конечного базиса тождеств и являющееся наименьшим среди центрально-метабелевых многообразий с -этим свойством, ото подмногообразие - первый известный пример почти конечно базируемого многообразия алгебр Ли (т.е. многообразия, не допускающего конечного базиса тождеств, все собственные подмногообразия которого, однако, конечно базируемы) .
В.С.Дренски [*21 построил пример конечномерной алгебры Ли с нилыютентным коммутантом над бесконечным полем конечной характеристики, не имеющей конечного базиса тождеств. В случае бесконечного поля характеристики «Z такой пример содержится и в работе М.Воон-Ли Гіі . Отметим, что конечномерная алгебра Ли над конечным полем конечна, а потому в силу известного результата Ю.А.Бахтурина и А.Ю.Ольшанского Г4 | имеет конечный базис тождеств.
Наряду с указанными, были получены результаты и иного характера. М.Воон-Ли заметил, что резз^льтат Д.Коэна Г5| о конечной базируемости метабелевых многообразий групп может быть перенесен на метабелевы многообразия алгебр Ли. Затем также М.Воон-Ли Гб] . доказал, что тождества любого многообразия центрально-метабелевых алгебр Ли над полем характеристики ф 2 имеют конечный базис. Позже Р.Брайнт и М.Воон-Ли [У] показали, что над полем характеристики Ф оо тождества каждой алгебры Ли с нильпотент-ным ступени ^ об коммутантом также имеют конечный базис. Пос- ледний результат был обобщен Г. Б.Шейной Гвіна алгебры Ли над полем характеристики 7* ^ » имеющие нильпотентный коммутант и одновременно являющиеся расширением нильпотентной ступени 4 Э алгебры Ли с помощью нильпотентной. Отметим, что статьи Г7І и L8J близки по методу доказательства появившейся ранее работе
Важное наблюдение, касающееся многообразий алгебр над полем характеристики U , удовлетворяющих всем тождествам некоторой конечномерной алгебры, было сделано Ю.П.Размысловым П? 7. Оказалось, что такие шогообразия могут быть заданы тождествшли от конечного, не превышающего размерности указанной алгебры, числа переменных. Это наблюдение было использовано Ю.П.Размысловым, в частности, для доказательства конечной базируемости многообразий алгебр Ли над полем характеристики (/ , в которых выполнены все тождества простой трехмерной алгебры Ли ГіОІ .
После появления работ Б.С.Дренски Г2І и Ю.Г.Клеймана, Р.Брайнта и М.Воон-Ли Г 7 j, ГО.П.Размыслова JI0J и Г.В.Шейной I 8J возрос интерес к вопросу о конечности базиса тождеств алгебр Ли с нильпотентным коммутантом над полем характеристики U . Этот интерес стимулировался и тем, что в теории многообразий ассоциативных алгебр близкая проблема была успешно решена Г.К.Геновым I III и В.Н.Латышевым Гі2І , одновременно и независимо доказавшими, что над полем характеристики U тождества алгебры с нильпотентным (в ассоциативном смысле) лиевым коммутантом имеют конечный базис. Однако после появления работы Г.В.Шейной [вJ новых результатов в связи с этим вопросом получить не удавалось.
В диссертации доказывается, что в отличие от случая, когда основное поле имеет конечную характеристику, над полем характеристики 0 тождества любой алгебры Ли с нильпотентньш коммутантом имеют конечный базис /'теорема i) . Отсюда следует, в частности, что над полем характеристики 0 тождества любой конечномерной разрешимой алгебры Ли имеют конечный базис, что также, как указывалось выше, неверно в случае бесконечного поля конечной характеристики.
Пусть Li - свободная алгебра многообразия всех алгебр Ли с нильпотентньш ступени 4 с коммутантом над полем % характеристики 0 , свободно порожденная fl элементами.
Хорошо известно, что многообразие Ubr\IL порождается ал- геброй Ли всех верхнетреугольных матриц порядка С+4 , поэтому в силу указанного выше наблюдения Ю.П.Размыслова [9 J теорема I эквивалентна утверждению об обрыве (при любом натуральном о)возрастающих цепей вербальных: идеалов в L, у. для достаточно большого натурального TV , зависящего от О .Из индукционных соображений следует, что при этом можно ограничиться цепями вер бальных идеалов, лежащих в - последнем нетривиаль на (С/ і ном члене нижнего центрального ряда коммутанта алгебры L Пусть rv - подкольцо в кольце ClTUctlfL-j^) ), порожденное ограничениями на \1—і ~ Jq^ всевозможных эндоморфизмов алгебры кольцо многочленов от О переменных над полем "& , кЗ - подалгебра симметрических многочленов в К/.. Фактически в диссертации вопрос о нетеровости
К, -модуля (І—і/мА -.сводится к вопросу о нетеровости (^ . как {о* -модуля. Поскольку вербальные идеалы алгебры Li , лежащие в (L „ ), , являются ІС -подмодулями в CLi „, ) . П u Сс) q N iWCc) а то, что Но. - нетеров К/ -модуль, хорошо известно, отсюда следует справедливость теоремы I.
При доказательстве теоремы очень полезными оказываются вербальные сплетения алгебр Ли, введенные А.Л.Шмелькиным в Гі4І и доказанная им в той же работе теорема вложения. В целом метод доказательства теоремы I отличается от методов, пртлененных как в Гб] - [в] , так ив Гц J — Гі2J . Отметим, что впоследствии-В.В.Стовба (не опубликовано} обобщил теорему I. В.В.Стовба доказал, что над полем, содержащим не менее р элементов, любое многообразие, определяемое тождествами от ограниченного в совокупности числа переменных, каждая алгебра Ли.которого является расширением нильпотентной алгебры ступени не выше р — і с помощью нильпотентной, конечно базируемо.
Как уже указывалось выше, вопрос о конечности базиса тождеств занимает одно из центральных мест и в теории многообразий групп. Приведем те из полученных в связи с этим вопросом результатов, которые теснее других связаны с результатами, полученными в диссертации.
А.Ю.Ольшанский Гі4І показал, что существуют многообразия групп, не являющиеся конечно базируемыми, причем такие многообразия встречаются уже среди многообразий разрешимых ступени < 5 групп. Несколько позже С.И.Адян [l5] , а затем М.Воон-Ли [16] построили бесконечные системы групповых тождеств, не эквивалентные никакой конечной системе (две системы тождеств называются эквивалентными, если они определяют одно и то же многообразие') . В связи с этим усилился интерес к проблеме отыскания достаточно широких классов групп, тождества которых обладают конечньш базисом, и особенно к проблеме конечности базиса тождеств полициклических групп (см., например, 17 , проблема 1.8б). Так как каждая полициклическая группа содержит подгруппу конечного индекса, имеющую нильпотентный коммутант, это, в свою очередь, стимулировало изучение вопроса о конечной базируемое многообразий групп с нильпотентным коммутантом. Отметим, что еще задолго до появления работы А.Ю.Ольшанского Г14] Р.Линдон Jjre] доказал, что тождества любого нильпотентного многообразия тлеют конечный базис. Позже Д.Коэн Г5j , используя разработанную Г.Хигменом JJE9] комбинаторную технику, получил аналогичный результат для метабелевых многообразий. Обобщая результаты Р.Линдона и Д.Коэна, М.Воон-Ли [20 J доказал конечную базируемость многообразий, каждая группа которых является расширением абелевой группы с помощью нильпотентной и одновременно расширением нильпотентной группы с помощью абелевой. (Конечную базируемость всех подмногообразий многообразия, определяемого тождеством гр- -1 г -Л независимо доказал также И.Д.Иванюта FsiJ ) . Следующий шаг был сделан С.Макки [22 З , доказавшей конечную базируемость всех многообразий центрально-метабелевых групп, и, более того, конечную базируемость многообразий, удовлетворяющих тождеству при некотором Чі>5 Ліри чь~5 получаем многообразие центрально-метабелевых групп). В этой же работе С.Макки доказала конечную базируемость многообразий групп с нильпотентным ступени ^ % коммутантом, имеющих конечный аксиоматический ранг, т.е. определяемых тождествами от ограниченного в совокупности числа переменных. Определенное обобщение результата С.Макки [^22J о центрально-метабелевых многообразиях было получено Г.В. Шейной [^231 . Наконец, Р.Брайнт и М.Ньюмен [24І , несколько упростив и усовершенствовав технику С.Макки, доказали конечную базируемость многообразий, каждая группа которых тлеет нильпо-тентный коммутант и одновременно является расширением нильпо-тентной ступени 4 % группы с помощью нильпотентной. В частности, была доказана конечность базиса тождеств произвольного многообразия групп с нильпотентным ступени 4 об коммутантом. Как обнаружено в [25 J , техника Р.Брайнта и М.Ньюмена [24J может быть успешно применена для доказательства конечной бази-руемости многообразий групп, являющихся расширениями нильпотент-ных групп с помощью абелевых конечного периода. Из результата [25J , в частности, следует конечность базиса тождеств произвольной сверхразрешимой группы. Что же касается проблемы конечности базиса тождеств произвольной группы с нильпотентным коммутантом, то здесь, как и в аналогичной проблеме для алгебр Ли, в последние годы сдвигов не было. Оставалось даже неясным, являются ли конечно базируемыми многообразия групп с нильпотентным коммутантом, определяемые тождествами от ограниченного в совокупности числа переменных, т.е. имеющие конечный аксиоматический ранг. Оказалось, что с помощью метода, предложенного для доказательства теоремы I, можно дать утвердительный ответ на последний вопрос (теорема 2) .
Фактически для доказательства теоремы 2 нужно показать, что в свободной группе г~ многообразия всех групп с нильпотент-ным ступени 4 С коммутантом, имеющей произвольный конечный ранг, обрываются возрастающие цепи вербальных подгрупп. Как следует из индукционных соображений, при этом можно ограничиться (Fl цепями вербальных подгрупп, лежащих в \1 Л с") " послеДнем нетривиальном члене нижнего центрального ряда коммутанта группы порожденное ограничениями всевозможных эндоморфизмов группы переменных . Пусть 1С - подкольцо в Fna (f- J
К/. ZL L 4)'-s с\~ кольц. многочленов от С над кольцом целых чисел Ж- . Так же, как и в доказательстве теоремы I, вопрос о нетеровости ho -модуля \l //v,n сво-дится к вопросу о нетеровости 1с как модуля на^ некоторым подкольцом кіл, после чего доказывается, что \. - нетеров 1С а -модуль. Так как каждая вербальная подгруппа группы F , (F) ґр\ і является гС -г лежащая в \\ /Ус} * является 1С -модулем, отсюда следует справедливость теоремы 2.
При доказательстве теоремы 2 существенно используются вербальные сплетения групп, введенные А.Л.Шмелькиным Г2б] .Отметим, что если каждое многообразие алгебр Ли с нильпотентным ступени 4 С коммутантом над полем характеристики С/ может быть определено тождествами от JV переменных, где число JV зависит только от С , то для многообразий групп аналогичное утверждение места не имеет. Нетрудно показать, что число переменных в тождествах, необходимых для задания многообразия всех групп, являющихся ме-табелевыми и одновременно нильпотентными ступени 4 0U » неограниченно возрастает с ростом 0U .
Проблема конечности базиса тождеств групп с нильпотентным ступени ^С коммутантом эквивалентна вопросу: обрываются ли в свободной группе счетного ранга г~ многообразия всех групп с нильпотентным ступени 4 С коммутантом возрастающие цепи вербальных подгрупп. До сих пор, однако, не было даже известно, обрываются ли (при С > X ) в г возрастающие цепочки изолированных вербальных подгрупп. В диссертации дается утвердительный ответ на последний вопрос (теорема 3) . В доказательстве теоремы 3 используется конструкция, примененная для дорсазатель-ства теоремы I, а также (с необходимыми усовершенствованиями) обычная в работах по данному вопросу техника Г.Хигмена Гі9І .
Теорема 3 допускает и другую формулировку. Групповое тождество U, естественно называть следствием тождеств , #1 .. в категории групп без кручения, если U- является тождеством в любой группе без кручения, где являются тождествами V\i 1Ґд9... или, что эквивалентно, если U* лежит в изоляторе вербальной подгруппы, порожденной ^Jt^qy- По аналогии с определением базиса тождеств группы в классе всех групп естественно считать, что тождества -и^.^-иХд,... группы без кручения Сг образуют базис тождеств Сг в категории групп без кручения, если все остальные тождества группы 6г являются следствиями (ъ категории групп без кручения) тождеств "bf. 9 -uSq , Отметим, что существуют группы без кручения, тождества которых в категории групп без кручения не допускают конечного базиса; это нетрудно вывести из существования групп, тождества которых не допускают конечного базиса в классе всех групп. Теорема 3, однако, утверждает, что тождества группы с нильпотентным коммутантом в категории групп без кручения имеют конечный базис.
В заключение подчеркнем, что выше были упомянуты далеко не все результаты, полученные в связи с вопросом о конечной базируемое в теории многообразий алгебр Ли и в теории многообразий групп, а лишь те, которые идут в том же направлении, что и полученные в диссертации результаты, или имеют к последним непосредственное отношение.
Диссертация состоит из введения и трех глав. В первой главе диссертации доказывается, что тождества любой алгебры Ли с нильпотентным коммутантом над полем характеристики 0 имеют конечный базис. Вторая глава посвящена доказательству конечной базируемое многообразий групп с нильпотентным коммутантом, имеющих конечный аксиоматический ранг. В третьей главе диссертации показывается, что в категории групп без кручения тождества любой группы с нильпотентным коммутантом имеют конечный базис. В начале каждой главы приводятся определения и известные результаты, используемые в главе.
Основные результаты диссертации докладывались на научно-исследовательском семинаре по общей алгебре Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова и на ХУІ Всесоюзной алгебраической конференции. Основные результаты изложены в работах [33~( - JJ35J .
Автор приносит большую благодарность своему научному руководителю профессору А.Л.Шмелькину за постановку задач, общее научное руководство и постоянное внимание к этой работе.
link1 Формулировки результатов и предварительные сведения class1
Теорема I. Тождества любой алгебры Ли с нильпотент-ным коммутантом над полем нулевой характеристики имеют конечный базис.
Так как коммутант каждой конечномерной разрешимой алгебры Ли над полем характеристики (/ нильпотентен, то справедливо
Следствие. Тождества каждой конечномерной разрешимой алгебры Ли над, полем характеристики U имеют конечный базис.
Все рассматриваемые в этой главе алгебры Ли являются алгебрами над фиксированным полем У/ нулевой характеристики. Че-Рез и (у UL в 8тй главе будет обозначаться многообразие всех алгебр Ли (над полем kj с нильпотентным ступени 4 С коммутантом; им определяется тождеством С f(c)
Обозначим это тождество через As tW 4 4з, С коммутантом; пусть jf v п 41 4( & " " е базис тождеств. Как уже указывалось во введении, многообразие порождается алгеброй Ли верхнетреугольных матриц
Возьмем произвольную алгебру Ли с нильпотентным ступени порядка С + А , поэтому в силу также упоминавшегося во введении наблюдения Ю.П.Размыслова (си. [э] ) можно считать, что тождества л/ J/ / ... зависят от ограниченного в совокупности (И зависящего только от С ) числа переменных. Система тождеств /Г 7 Аґ f /г } ... эквивалентна конечной системе тождеств тогда и только тогда, когда в свободной алгебре Ли свободно порожденной элементами CC L 9 L == \?%у..,обрывается цепочка L — \J I Й == » гДе I: " вербальный идеал, порожденный fo , /fr , - уР- .
В нашем случае тождества А? л ... зависят только от переменных ОС- і = А % ,.. 71 Для некоторого натурального ,поэтому идеалы ч- і - \ % однозначно определяют ся своим пересечением с подалгеброй -jj алгебры ъЬ , порожденной X-L і --І 3, ,..ЛЪ. Значит, система &п9 /у?«" эквивалентна конечной системе тождеств тогда и только тогда, когда обрывается цепочка /0 П 4J h П к —.... а обрыв этой цепочки вытекает из следующей теоремы, которую мы фактически и будем доказывать
Теорема I . При любых натуральных % ТА С В свободной алгебре Ли l__i_ /db П U конечного ранга її многообразия О [/ „ 1/1/ обрываются возрастающие цепи вербальных идеалов.
При доказательстве теоремы I будут использоваться вербальные сплетения алгебр Ли, введенные А.Л.Шмелькиным [із] . Пусть Л" и Ъ - алгебры Ли, причем JT содержится в многообразии алгебр Ли. Вербальным -сплетением алгебр Ли ив (обози.: JT WZ f В) называется алгебра Ли со следу ющими свойстваїли:
1) \А/ порождается алгебрами Л" и LS ;
2) идеал, натянутый на принадлежит If ;
3) любые гомоморфизмы qp ; j\ - J-f J/ ; R - - LJ где алгебра H порождается образами я и В и идеал, порожденный Л ( в —I , принадлежит многообразию "и , продолжаются до гомоморфизма
Если - свободное произведение алгебр Ли и В (см. [27]) , # - идеал, порожденный алгеброй Л" в — , a"VYfl" ) вербальный идеал от jr , соответствующий многообразию , то, очевидно, /2 F/V(iVF).
Ясно, что вербальное сплетение алгебр jr и О является полупрямой суммой идеала \\ , порожденного алгеброй jr (он называется базовым идеалом сплетения") и алгебры Q Если if -свободная алгебра Ли многообразия н со свободными образующими О - , I X , о - произвольная алгебра Ли с упорядоченным базисом [Є. I Х =Д[, то Геи., например, [27_Л базовый идеал ц -сплетения JTfcffc-pO будет свободной U -алгеброй со свободными порождающими Если же jt - абелева алгебра Ли с базисом 4 &. І, б I [ » то базовый идеал абелева сплетения алгебр j- и Ц (оно обычно называется просто сплетением и обозначается Л ІІЇ%, () является свободным о -модулем (т.е. свободным модулем над универсальной обертывающей 1У(О) алгебры ЛИ ЦЭ ) со свободными образующими Jet- ) u ll В частности, если JT и tj - абелевы алгебры Ли с базисами 4 CL- ІІЄІf и Т о i J-r соответственно, то базовый идеал сплетения jf tf T о является свободншд модулем со свободными порождающими 4 (X I
I J над кольцом многочленов к,\ Ь \ і G. \ 1 от пере-менных Jo-. . І= X І а действие алгебры Ли о на базовом идеале сплетения определяется равенствами
.... А): ... 6- , /b; J =0,. 6. ... /6; .,. /6;
Следующее утверждение будет использоваться при доказатель-стве теоремы I . Лемма I.I Г13 J . Пусть j , - абсолютно свободная алгебра Ли со свободными образующими СС» , L& L V rvi) вербальная подалгебра идеала , соответствующая многообразию у , и JT есть VI -свободная алгебра со свобод-ными образующими (X 9 і (_ \ . Обозначим через СЇ образ эле мента QGLJLS в JLs/ г& Тогда отображение X. - СС. -O,. , І Є. І продолжается до мономорфизма 1MB) - «%
Формулировка и обсуждение результата, предварительные сведения
Напомним, что многообразием конечного аксиоматического ранга называется многообразие, которое может быть определено тождествами от ограниченного в совокупности числа переменных. Основным результатом этой главы является
Теорема 2. Каждое многообразие групп с нильпотентным коммутантом, имеющее конечный аксиоматический ранг, конечно базируемо.
В связи с этой теоремой отметим, что если каждое многообразие алгебр Ли с нильпотентным ступени С коммутантом над полем характеристики 0 может быть определено тождествами от JV переменных, где число JV зависит только от С , то для многообразий групп аналогичное утверждение места не имеет.
Обозначим через IILJ П Uu многообразие всех групп, яв ляющихся метабелевыми и одновременно нильпотентными ступени d . Пусть JV - произвольное натуральное число; нетрудно доказать от противного, что найдется Си такое, что ULJOL/C не может быть определено тождествами от JV переменных. Действительно, предположим, что для любого Сі многообразие
О bj и ІУС определяется тождествами от JV переменных; тогда группа, все JV -порожденные подгруппы которой принадлежат , также должна принадлежать этому многообразию. Возьмем свободную JV -пороченную группу многообразия ULq всех групп, являющихся расширениями абелевых групп периода % с помощью абелевых периода Л . ста группа нильпотентна, пусть
а - ступень ее нильпотентности. Если сделанное нами предположение справедливо, то свободная группа счетного ранга многообразия ULQ должна принадлежать ; однако эта группа, как хорошо известно, не является нильпотентнои. Таким образом, уже подмногообразия многообразия всех метабелевых групп не могут быть определены тождествами от ограниченного в совокупности числа переменных.
В этой главе через будет обозначаться многообразие всех групп с нильпотентным ступени 4 С коммутантом; определяется тождеством
Обозначим это тождество через 1Ї ,
Пусть V -V tf ifq ... - произвольная система групповых тождеств, зависящих только от переменных XJ ..., X у. . ста система эквивалентна некоторой конечной системе тождеств, очевидно, тогда и только тогда, когда в абсолютно
Формулировка и обсуждение результата, предварительные сведения
В этой главе, как и в предыдущей, через обозначаться многообразие всех групп с нильпотентным ступени С коммутантом. Напомним, что подгруппа JT группы 6г называется изолированной, если для любого элемента х 6 Сг из Q, Є. JT , % следует а _ jr . Основным результа том этой главы является
Теорема З.В свободной группе г счетного ранга К 01 многообразия 0 6 Uи обрываются возрастающие цепи изолированных вербальных подгрупп.
Замечание. Если бы удалось доказать, что в г обрываются возрастающие цепочки вербальных подгрупп (не обязательно изолированных\ , была бы доказана конечность базиса тождеств произвольной группы с нильпотентным коммутантом.
Теорема 3 допускает и иную формулировку. Напомним, что следствием групповых тождеств l, , --- в категории групп без кручения мы называли всякое групповое тождество Ю , выполняющееся в любой группе без кручения, удовлетворяющей тождествам tfj 9lfq 9 .,. і а базисом тождеств группы без кручения Сг в категории групп без кручения - множество тождеств иґ. 9 ъУ ,... такое, что все остальные тождества Сг являются следствиями (в категории групп без кручения ) тождеств ілґл, Ц? " Пусть т - абсолютно свободная группа ( т.е. группа, свободная в многообразии всех групп) счетного ранга.
Ясно, что И является следствием в категории групп без кручения тождеств , ..- тогда и только тогда, когда Us лежит в изоляторе вербальной подгруппы группы X , порожденной ifv9 1/лу... (изолятором множества 1 1 элементов группы
Gr с однозначным извлечением корня называется единственная минимальная изолированная подгруппа группы Сг , содержащая I 1/. Легко показать, что существуют группы без кручения, тождества которых не имеют конечного базиса в категории групп без кручения, или, другими словами, что существуют бесконечные множества тождеств, не эквивалентные в категории групп без кручения никакому конечному множеству (два множества тождеств считаются эквивалентными в категории групп без кручения, если каждое тождество одного множества является следствием в категории групп без кручения другого множества тождеств, и наоборот") . Действительно, пусть \Д е V ..,. - бесконечная строго возрастающая цепь вербальных подгрупп группы у (такие цепочки существуют, поскольку существуют группы, тождества которых не допускают конечного базиса в классе всех групп Г14 ] ) . По теореме М.Ауслеидера и Р.Линдона (см., например, Гзіі , с. коммутанты Vj - [V /Vj, ] групп V (l-ЇЛу) также образуют строго возрастающую цепочку: \Л ?"\Zj і при этом, как хорошо известно, подгруппы \Г\ ( = 1 ") изолированы в у . Группа /\Г \ U \7- j очевид но, и является группой без кручения, тождества которой в категории групп без кручения не допускают конечного базиса. Однако, имеет место следующая теорема, эквивалентная теореме 3. Теорема З.В категории групп без кручения тождества любой группы с нильпотентным коммутантом имеют конечный базис.
Отметим, что можно рассматривать многообразия групп без кручения, т.е. классы всех групп без кручения, удовлетворяющих данному множеству групповых тождеств. Нетрудно показать,что для таких многообразий выполняется теорема Биркгофа: класс групп без кручения является многообразием групп без кручения тогда и только тогда, когда он замкнут относительно операций взятия декартова произведения, взятия подгруппы и взятия гомоморфного образа, не имеющего кручения. Структура многообразий групп без кручения аитиизоморфна структуре изолированных вербальных подгрупп группы -у .
