Введение к работе
Работа состоит из пяти глав. В первых четырех главах исследуются некоторые проблемы, связанные с понятиями вербального произведения групп и вербального произведения алгебр Ли. В пятой главе приводится аналог для алгебр Ли одной групповой теоремы о вложении.
Вербальные произведения групп введены Мораном (см. [26]) и являются обобщением нильпотентных произведений групп, введенных О. Н. Головиным (см. [20]). Нильпотентные произведения групп являются, в свою очередь, обобщением широко известного понятия прямого произведения групп. Прямые, нильпотентные, вербальные произведения алгебр Ли были определены по аналогии с соответствующими групповыми понятиями.
В главе 1 изучаются некоторые вопросы, касающиеся вербальных произведений магнусовых групп. Напомним, что группа G называется магнусовой группой, если она нильпотенгно аппроксимируема и факторы нижнего центрального ряда этой группы не имеют кручения. Свободные группы являются магнусовыми группами. Этот результат доказан Магнусом и Виттом (см. [21], [22], [24]). В дальнейшем было получено множество результатов подобного типа. Были поставлены следующие вопросы. 1) В каких многообразиях групп все свободные группы являются магнусовыми группами? 2) В каких многообразиях групп класс магнусовых групп замкнут относительно операции свободного произведения?
В главе 1 также строится пример, показывающий, что [21, [-произведение магнусовых [21,9Тг]-групп не обязательно является магнусовой группой. Вместе с тем, справедливо следующее обобщение сформулированного выше результата Кикодзе: [УІс,УІс+і]-произведение магнусовых У№$1с-групп является магнусовой группой.
В главах 2, 3, 4 рассматриваются проблемы изоморфизма нильпо тентных разложений колец и алгебр Ли. Первоначально такие проблемы исследовали в теории групп. Ремак в [25] доказал, что любые два разложения конечной группы в прямые произведения с неразложимыми сомножителями изоморфны, т.е. между сомножителями этих разложений можно установить такое взаимно однозначное соответствие, при котором соответствующие сомножители изоморфны. После введения О. Н. Головиным нильпотентных произведений групп, встал следующий вопрос: при каких условиях разложения группы в n-нильпотентные произведения с неразложимыми сомножителями изоморфны? А. Л. Шмель-кин в [5] указал ряд условий, при которых некоторые разложения нильпотентных групп без кручения изоморфны. В. В. Лиманский в [12] доказал, что любые разложения в n-нильпотентные произведения с неразложимыми сомножителями группы, обладающей главным рядом, изоморфны.
Мы приводим аналоги для колец Ли теорем А. Л. Шмелькина и В. В. Лиманского.
В связи с результатами работы [5] А. Л. Шмелькин поставил вопрос: верно ли, что все n-нильпотентные разложения с неразложимыми сомножителями конечнопорожденной нильпотентнои группы без кручения изоморфны? В частности, верно ли, что все разложения конечнопорожденной нильпотентнои группы без кручения в прямые произведения с неразложимыми сомножителями изоморфны? В. В. Лиманский в [13], приведя соответствующий пример, дает отрицательный ответ. Мы приводим аналог этого примера для колец Ли.
В случае алгебр Ли над поле ситуация другая - на это указывает следующая теорема: любые разложения алгебры Ли G над полем К в прямые произведения с неразложимыми сомножителями изоморфны.
Глава 5 содержит результаты, полученные автором совместно с А. Л. Шмелькиным.
В работе [23] Магнус построил вложение группы F/R , где F - свободная группа, R - нормальная подгруппа группы F, R - коммутант R, в сплетение AwrF/R, где А - свободная абелева группа того же ранга, что и F. Это вложение, называемое вложением Магнуса, является одним из главных инструментов исследования групп вида F/R . А. Л. Шмель-кин, во-первых, обобщил результат Магнуса на группы вида F/53(H), где 93(й) - вербальная подгруппа группы R, соответствующая некоторому многообразию Ш, и, во-вторых, построил соответствующее вложение для групп вида С?/ЯЗ{Я), где G = ПІЄ/ &І свободное произведение семейства групп (Gj) /, R лежит в декартовой подгруппе группы G (см. 17], И).
Также А. Л. Шмелькин построил аналоги этих утверждений для алгебр Ли (см. [1], [2]).
Н. С. Романовский получил результат, являющийся обобщением выше сформулированных групповых результатов А. Л. Шмелькина (см. [18]). А именно, Н. С. Романовский построил подобное вложение для групп вида (G F)/V3(R), где G = П(є/ - свободное произведение семейства групп (Gi)ij, F - свободная группа, R нормальная подгруппа группы G F, такая, что для всех і R Л G» = 1.
Главный результат главы 5 - аналог для алгебр Ли результата Романовского. Также приведено одно приложение полученного результата.
