Введение к работе
Работа посвящена изучению нижних центральных, размерных и производных рядов в группах. Для описания нормальных подгрупп в группах, определяемых двусторонними идеалами в групповых кольцах, развиты гомологические и гомотопические методы, использующие теорию производных фукторов, спектральные последовательности и сим-плициальные конструкции.
Актуальность темы исследования
Основные объекты исследования данной работы - нижние центральные ряды, размерные ряды, производные ряды в группах, а также степени фундаментальных (аугментацион-ных) идеалов групповых колец. Пространство математических связей и приложений данных понятий оказывается едва обозримым. Это и теория гомотопий, и алгебраическая К-теория, и геометрическая топология, и арифметика.
Приведем основные определения. Пусть G группа. Обозначим через {7ra(G)}ra>i нижний центральный ряд в G , определяемый индуктивно как
71 (G) = G, 7n+i(G) = bn(G),G] = ([х,у] := x~ly-lxy | х є jn(G),y Є G)G, n > 1.
Производный ряд {5n(G)}n>i определяется индуктивно как
<*i(G) = G, 6n+1(G) = [8n(G),8n(G)], n > 1.
Рассмотрим целочисленное групповое кольцо Z[G] . Фундаментальным (или аугмента-ционным) идеалом A(G) называется идеал в Z[G] , являющийся ядром гомоморфизма аугментации Z[G] —> Z , отображ;ающего линейную комбинацию элементов группы в сумму коэффициентов этой комбинации. Степени фундаментального идеала {Ara(G)}ra>i образуют цепочку вложенных идеалов в Z[G] . Для п>1, определим п -ю размерную подгруппу в G как
Dn(G) = Gn(l + An(G)).
Несложно увидеть, что убывающая цепочка нормальных подгрупп
G = Di(G) Э D2{G) D ... D Dn(G) D ...
представляет собой центральный ряд, т.е. [G, Dn(G)\ С Dn+i(G) для всех п > 1 . Следовательно, имеем естественное включение подгрупп 7n(G) С Dn(G) для всех п > 1 .
Размерные подгруппы были впервые рассмотрены Магнусом. Напомним центральную конструкцию работы Магнуса1. Пусть F свободная группа с базисом {хі}іЄі и Л = Щ[Хі | і Є I]] кольцо формальных степенных рядов от некоммутирующих переменных {Хі}ієі над кольцом Z целых чисел. Пусть Ы{Л) группа обратимых элементов в Л . Отображение Хі і—> 1 + Хі, і Є І , продолжается до гомоморфизма групп
e-.F^U(A), (1)
так как 1 + обратим в Л (обратный элемент - это 1— Xi + Xf — ). Гомоморфизм 9 является мономорфизмом (см.2, теорема 5.6). Для а Є Л , пусть ап обозначает однородную компоненту степени п , так что
а = а0 + аг + + ап + .
Определим
Vn(F) := {/ Є F I d(f)i = 0, 1 < г < n}, n > 1.
Легко видеть, что Vn(F) является нормальной подгруппой в F и что ряд {^(-Р1)}^! является центральным в F , т.е. [F, T>n(F)\ С 2?ra+1(F) для всех п > 1 . Естественно, пересечение ряда {T>n(F)}n>i тривиально. Так как {T>n(F)}n>i центральный ряд,
ТО ИМееТСЯ ВКЛЮЧеНИе ^fn(F) С Vn(F) ДЛЯ П > 1 . ПОЭТОМУ Пересечение Пга>1 7ra(-^)
тривиально, т.е. группа F нильпотентно аппроксимируема. Фундаментальным результатом теории групповых колец является теорема Магнуса, утверждающая, что для свободной группы F имеет место равенство
ln{F) = Dn{F) = Vn{F)
для всех п > 1 .
Для любой группы G , имеет место равенство Dn(G) = ^п{С) для п = 1, 2, 3 . При этом существуют группы G , для которых
Dn{G)^ln{G), п> 4.
Первый пример группы с D^G) ф 74(C) принадлежит Рипсу3. Группа Рипса - конечная группа порядка 238 . Для любой группы G , факторгруппа D^{G)/^f^{G) оказы-
1W. Magnus: Beziehungen zwischen Gruppen und Idealen in einem speziellen Ring, Math. Ann. Ill
(1935), 259-280.
2W. Magnus, A. Karrass, D. Solitar: Combinatorial group theory, Interscience Publishers, 1966. 3E. Rips: On the fourth dimension subgroups, Israel J. Math., 12 (1972), 342-346.
вается абелевой группой экспоненты 2, но по мере роста размерности, разница между размерным и нижним центральным рядом становится все сложнее.
После появления примера Рипса, возникло естественное желание построить структурную теорию размерных подгрупп и дать строгое описание размерных факторов, как функторов в категории групп. Однако, теория размерных подгрупп оказалась очень сложной, а для описания маломерных размерных подгрупп оказалось плодотворным введение гомологических и гомотопических методов.
Какое же отношение теория гомотопий может иметь к теории (обобщенных) размерных подгрупп и нижних центральных рядов в группах? Приведем два примера применения гомотопических методов: сначала в теории размерных подгрупп, определяемых симметрическими произведениями, а затем и для классических размерных подгрупп. Для кольца S и двусторонних идеалов 1\,..., 1п {п > 2) в S , рассмотрим их симметрическое произведение:
(h .. .In)S = У у 1дг Ig„ ,
где Т.п п -я группа перестановок. К примеру, для п = 2 , имеем (І\І2)з = hh + hh-Отметим, что всегда имеет место включение идеалов (Д... 1п)$ С ^ П П I„ . Пусть теперь F свободная группа, Ri,...,Rn нормальные подгруппы в F . Рассмотрим двусторонние идеалы в целочисленном групповом кольце Z[F], определенные как г^ = (- — 1)Z[F], і = 1,... ,п . Возникает естественный вопрос: описать нормальную подгруппу в F , определяемую идеалом (г1... гп)$, т.е. обобщенную размерную подгруппу
D(F; (n ... rn)s) := F П (1 + (n ... rra)s).
Для того, чтобы ответить на этот вопрос, рассмотрим симметрическое произведение нормальных подгрупп R\,..., Rn, определенное как
[Rl,. . . ,Rn]s = ]_]_[ [Ra1,Ra2\,- ,R
Заметим, что
[R1,...,Rn]s^D(F;(r1...rn)s).
Получаем естественное отображение
Ri П П Rn гі П П гга
tF;Rlt...,Rn [Ru___jRn]s ^ (Г1...ГП)Я '
fFiRu.^Rn g-[Ri, , Rn]s i-> # - l + (Гі ... rn)s, g Є Rl n П Rn.
Оказывается, для некоторого выбора F,R\,... ,Rn , существует пространство X , такое что отображение Jf;^,...,^ представляет собой п -й гомоморфизм Гуревича:
ДіП-ПДп /^;Д1,...,Д„ пП-Пгп /0ч
[ДЬ...,Д„Ь " (ri...r„)s lzJ
vrra(X) *- Яга(Х)
(отметим, что, в ряде случаев, в качестве X можно выбрать пространство петель над гомотопическим копределом классифицирующих пространств фактор-групп FjRix... Rik для разных наборов {i\,..., ik} из {1,..., п} ). В этом случае, фактор [д дГі представляет собой в точности ядро гомоморфизма Гуревича и мы можем использовать топологические методы для его описания. Детали данной конструкции приведены в 7.1. Там же показано, как для определенного выбора подгрупп, изучаемый фактор оказывается изоморфен гомотопическим группам двумерной сферы.
Гомологические методы в теории размерных подгрупп восходят к работам Пасси4. Идеи, лежащие в основе метода Пасси можно представить следующим образом (приведем их подробно, так как обобщение результатов Пасси представляет собой одну из целей данной работы). Пусть а С д = A(G) некоторый двусторонний идеал в целочисленном групповом кольце Z[G] и М тривиальный G -модуль. Определим обобщенную размерную подгруппу, задаваемую идеалом а :
Da(G) = D(G,a) :=Gn(l + o),
где пересечение рассматривается в групповом кольце. Рассмотрим следующие классы отображений на G х G . Нормализованный 2-коцикл / : G х G —> М называется левым (соотв. правым) а -2-коциклом если линейное расширение на Z[G] отображения ly : G —> М , у Є G , (соотв. rx : G —> М , х Є G ), определенного как ly{x) = f(x,y), х Є G (соотв. rx{y) = f(x,y), у Є G ) оказывается нулевым при ограничении на а . Обозначим через Pa(G, М\ (соотв. Pa(G, M)r ) подгруппу в H2(G, М) , т.е. в группе вторых когомологий группы G с коэффициентами в М , состоящую из когомологических классов представляемых левыми (соотв. правыми) а -2-коциклами. Далее, обозначим через Pa>a(G, М) подгруппу, состоящую из когомологических клас-41. В. S. Passi: Dimension subgroups, J. Algebra, 9 (1968), 152-182.
сов, представляемых 2-коциклами, являющимися как левыми, так и правыми а -2-коциклами. Пусть М делимая абелева группа, рассматриваемая как тривиальный G -модуль. Пусть
5 : Extcig/a, М) -> ExtlG(g, М)
отображение, индуцируемое естественной проекцией д —> д/а . Тогда (см. теорему 3.1.1)
Pa(G, M)l = Pa(G, M)r = lm(S).
Теперь пусть а идеал в Z[G] содержащийся в д и а его образ относительно естественного отображения д —> A(G/Da(G)) . Тогда (см. теорему 3.1.2)
(a) P-a(G/Da(G), Т) = H2(G/Da(G), Т) влечет
Das(G).Dsa(G) С [Da(G), G];
(b) P-ara(G/Da(G),T) = H2(G/Da(G),T) влечет
as+Sa(G) = [Da(G), G],
где T = Q/Z .
В случае степеней аугментационного идеала a = Ara(G), естественно получаем Pa(G, М) = Ра> a(G, М). Таким образом определяется так называемая фильтрация Пасси-Штаммбаха в группе когомологий H2(G, М) . Вышеприведенные рассуждения показывают, что из когомологических свойств группы G/Dn(G) можно извлекать информацию о размерной подгруппе Dn+\(G) : если фильтация Пасси-Штаммбаха группы G/Dn(G) в соответствующем члене представляет собой всю группу когомологий H2(G/Dn(G),T) , то Dn+i(G) = [Dn(G),G] . Пусть теперь нам дана некоторая группа G , для которой мы знаем, что до некоторого фиксированного члена, скажем п , нижняя центральная и размерная фильтрации совпадают. Представляем произвольный элемент H2(G//yn(G), Т) как центральное расширение нильпотентной группы
1 ^ тг ^ N ^ G/ln{G) -+ 1
и пытаемся доказать, что данное центральное расширение задает когомологический класс в соответствующем члене фильтрации Пасси-Штаммбаха. Для этого, в соответствии с теоретико-групповыми свойствами группы G , выбирается "хороший"набор
представителей G//yn(G) в N , задается соответствующий 2-коцикл и т д. В случае удобных групп, скажем нильпотентных класса 2, 2-порожденных и др., выбор представителей делается естественным образом, откуда и следуют требуемые свойства размерных подгрупп. Так и работает метод Пасси. Используя именно этот метод, Пасси доказал, что D±(G) = 74(C) для любой р -группы G при р ф 2 . Некоторые гомологические результаты данной работы, к примеру теоремы 3.1.1 и 3.1.2, можно рассматривать как естественные обобщения классических результатов Пасси.
Перейдем теперь к классическим размерным подгруппам. Пусть G группа. Выберем свободную симплициальную резольвенту G : F. —> G . Фильтрация по нижнему центральному ряду F. и по аугментационным степеням Z[F,] задает спектральные последовательности E(G) и E(G) с начальными членами
Чл(0) = ПяЫЮЫгЮ), КЛС) = vr,(Ap(F.)/Ap+1(F.))
и естественным отображением к : E(G) —> E{G) , индуцированным каноническим вложением F. —> Z[F,], / 1—> / — 1 . В данных обозначениях естественным образом получается следующее описание отображения из нижних центральных факторов в аугмен-тационные факторы:
7n(G)/7n+i(G) > X4G)/X*\G)
Щ?0(С) Xo(G)
и размерные подгруппы снова связываются с ядрами гомоморфизмов Гуревича определенных пространств. Анализ дифференциалов и начальных членов данных спектральных последовательностей приводит к следующей диаграмме, состоящей из естественных эпиморфизмов и мономорфизмов:
fcer(«!>0) — D4(G)/74(G) (3)
f /^
V2(G) < Li^P2(Ga6)
здесь LiSP2(Gab) - первый производный функтор в смысле Дольда-Пуппе от симметрического квадрата, примененный к абеленизации группы G , V^G) - некото-
рый функтор, значения которого всегда являются 2-кручением (под «^ мы понимаем соответствующее отображение между членами спектральных последовательностей E^j(G) —> Eij(G) ). Ценность данной диаграммы не просто в том, что она абстрактно связывает размерный фактор D±(G)/"{i{G) с "производным миром", а в том, что она указывает конкретное место этого сложного теоретико-группового явления внутри теории производных функторов. Для высших размерных подгрупп, то есть для случая п > 4 , ситуация оказывается куда более сложной. Определим функтор Sn в категории абелевых групп как
Sn(A) = coker(Ln(A) -+ га(А)),
где А - абелева группа, Ln п -й лиев функтор. В данных обозначениях, изучение дифференіщалов спектральных последовательностей, с неоднократными применениями леммы о змее, приводит к следующей диаграмме, являющейся обобщением диаграммы (3):
кег^к1 0)
(4)
кег(к 0)
кег(кп 0)
ker(Kn о )
K-i(G)
7n(G)nDn+1(G) 7n+l(G)
coker(n-i)
LiSn-i(Gab)
7n(G)nDn+1(G) 7n+l(G).im(fcer(1Kl 0))
coker( Kno)
Все обозначения отображений и функторов из этой диаграммы приведены в 5.2. Здесь L\ означает первый производный функтор в смысле Дольда-Пуппе5. Ядра кег(кгп0) , возникающие в данной диаграмме имеют естественную теоретико-групповую интерпретацию и играют центральную роль в методах Шьегрена и Гупты6.
5A. Dold and D. Puppe: Homologie nicht-additiver Funtoren; Anwendugen. Ann. Inst. Fourier 11 (1961)
201-312.
6N. Gupta: Free group rings. Contemporary Mathematics, 66, American Mathematical Society, Providence,
Цель работы
Разработка методов гомологической и гомотопической алгебры для решения задач теории групп и групповых колец. Построение новых примеров групп, не обладающих размерным свойством, (не)являющихся нильпотентно аппроксимируемыми. Описание связей аппроксимационных свойств групп и скрещенных модулей с асферичностью клеточных пространств. Изучение нормальных рядов в группах с точки зрения теории гомотопий.
Методы исследования
В работе используются методы комбинаторной теории групп, гомологической и гомотопической алгебры, теории спектральных последовательностей, теории производных функторов.
Научная новизна
Все основные результаты диссертации являются новыми.
Основные результаты
Цель данной работы - развитие новых методов в теории групп и групповых колец. Гомотопические и гомологические методы эффективно применяются с целью получения результатов теории групп. Основными результатами работы можно считать следующие:
Построена конечно-порожденная нильпотентно аппроксимируемая группа, для которой свободные центральные расширения любой ступени не являются нильпотентно аппроксимируемыми;
Доказано, что группа с одним соотношением является нильпотентно аппроксимируемой тогда и только тогда, когда любое ее 2-центральное расширения является таковым;
Пусть L асферичный двумерный комплекс, К его подкомплекс. Доказано, что следующие условия эквивалентны:
Ш, (1987).
(і) К асферичен;
(іі) группа 7Т2(К, К1) х ni(Kl) аппроксимируется разрешимыми группами;
Построена 4-порожденная группа G с тремя соотношениями, для которой 74(C) ф D±{G) . Для любой группы с 3-мя порождающими или двумя соотношениями 74 = -Е>4 , таким образом, представленный пример оказывается минимальным в смысле теории копредставлений групп;
Построены новые примеры групп для которых 7п Ф Dn для всех п > 4 , а также новые примеры групп без лиевых размерных свойств;
Доказано, что квазимногообразие групп с тривиальной четвертой размерной подгруппой не является конечно базируемым;
Построена группа G с 75(G) = 1, D6(G) ф 1 ;
Пусть двумерный комплекс К представим, как объединение трех подкомплексов К = К\ U К2 U Ks , которые попарно пересекаются по 1-мерному остову К1 комплекса К . Построен естественный гомоморфизм и\{К) -модулей
,к\ Ді П Д2 П R3
Пз[ ' ^ [Дь Д2 П R3][R2, Дз П Ді][Дз, Ді П R2]
где Ri = ker{iTi(Kl) -^ тїі^Кі)}^ = 1,2,3. В ряде случаев, этот гомоморфизм является изоморфизмом.
Практическая и теоретическая значимость
Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в теории групп, топологии, гомологической и гомотопической алгебре.
Апробация работы
Результаты диссертации многократно докладывались на семинаре по алгебре в Математическом институте им. В.А. Стеклова, на семинаре по теории групп в Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова, а также на семинарах по алгебре и топологии Петебрургского отделения Математического института им. В.А. Стеклова,
Универститета Парижа 13 (Франция), Университета Страсбурга (Франция), Универ-ститета Ренна (Франция), Университета Афин (Греция), на семинаре института высших научных исследований (Бюр-Сюр-Иветт, Франция), Университета Дели (Индия), Универститета Варанаси (Индия), Панджабского Университета (Индия), исследовательского института им. Хариш-Чандры в Аллахабаде (Индия), Университете Иерусалима (Израиль), Университете Бар-Илана (Израиль), Институте Макса-Планка в Бонне (Германия); на конференциях: конференции, посвященной 100-летию Л.В. Келдыш (Москва, 2004), алгебраической конференции, посвященной 80-летию Б.И. Плоткина (Иерусалим, Израиль, 2005), конференции по теории гомотопий и гомологии (Бонн, Германия, 2008).
Публикации
Основные результаты опубликованы в [1]-[7]. Основные результаты принадлежат автору.
Благодарности
Автор выражает глубокую благодарность И. Б. С. Пасси, Б. И. Ил откину и И. Рипсу за многолетнее общение и наставления. Также автор благодарит за поддержку и обсуждения различных аспектов данной работы всех сотрудников отдела алгебры МИАН и участников семинара по теории групп МГУ.
Структура диссертации
Диссертация состоит из введения, трех частей, семи глав и списка литературы. Полный объем диссертации 214 страниц, библиография включает в себя 109 наименований.
