Введение к работе
Актуальность темы. В диссертации исследуются вопросы теории групп Шевалле над полем и конечными кольцами и смежные вопросы.
Группы Шевалле являются наиболее естественным обобщением классических линейных групп. Интерес к группам Шевалле произвольного типа над конечным полем вызывается тем, что они составляют основной массив конечных простых неабелевых групп, как показывает анонсированная классификация последних, и исчерпывают их вместе со знакопеременными и 26 спорадическими группами.
В теории конечных групп и при перенесении её результатов на периодические группы естественно возникают вопросы специальной порож-даемости конечных групп, вопросы о различных свойствах силовских подгрупп и так далее, см. известные обзоры С.А. Чунихина и Л.А. Ше-меткова, А.И. Кострикина, В.Д. Мазурова, А.С. Кондратьева и др. В диссертации рассматривается следующий, записанный А.И. Созутовым в Коуровской тетради, как известный, вопрос:
(А) Описать конечные простые группы, в которых каждый элемент является произведением двух инволюций [4, вопрос 14-82].
Группу, в которой любой элемент представим в виде произведения не более чем двух инволюций (это равносильно сопряженности элемента посредством инволюции со своим обратным), называют строго вещественной. Известно, что в конечной простой неабелевой группе любая инволюция лежит в четверной подгруппе. Поэтому вопрос (А) эквивалентен вопросу описания строго вещественных конечных простых групп.
Группу, в которой взаимно обратные элементы всегда сопряжены, называют вещественной, поскольку вещественны все значения её комплексных неприводимых характеров, согласно [1, стр. 54]. С другой стороны, конечную группу называют рациональной, если все значения её комплексных неприводимых характеров рациональны. Названным группам посвящена монография [24]. Их исследования в различных конкретных ситуациях, в частности, для групп Вейля (см. также вопрос о рациональности силовских 2-подгрупп симметрических групп S2», [4, вопрос 15.25]) приводят к следующей задаче.
(Б) Найти необходимые и достаточные условия свойств строгой вещественности и рациональности сплетения двух конечных групп.
Традиционно важное направление в теории классических групп и групп Шевалле — изучение автоморфизмов, гомоморфизмов и коммутаторного строения. Здесь достигнуты успехи в рассмотрении самых общих ситуаций (О'Мира, Ю.И. Мерзляков, А.В. Михалёв, В.М. Петечук, И.З. Голубчик, Б.И. Зельманов, Л.Н. Васерштейн, Б. Абэ и др.).
В группе Шевалле Ф(К), ассоциированной с системой корней Ф и полем или кольцом К, через иФ(К) обозначают унипотентную подгруппу, которую порождают корневые подгруппы, соответствующие всевозможным положительным корням; аналогично определяют унипотентную подгруппу UG(K) скрученного типа G. Унипотентная подгруппа является силовской р-подгруппой, когда основное поле конечно или характеристики р. Гиббс [21] описал автоморфизмы унипотентных подгрупп групп Шевалле нормальных и скрученных типов над любым полем характеристики ф 2,3. Группы Шевалле над полем или кольцом К с необратимым элементом 2 или 3, как правило, оказываются исключительными и по свойствам, и по методам исследований.
Описание автоморфизмов унипотентных подгрупп групп Шевалле над полем завершил В.М. Левчук. В [5], [6], [7] установлено описание автоморфизмов унитреугольных групп UT(n, К) над (ассоциативным) кольцом К с единицей, а также унипотентных подгрупп групп Шевалле над коммутативными кольцами, с ограничениями для малых рангов. В разложении произвольного автоморфизма группы 11Ф(К) использовались графовые, кольцевые, внутренние и диагональные автоморфизмы, выделявшиеся Стейнбергом [30], центральные автоморфизмы, действующие тождественно по модулю центра, а также введенные, как обобщение центральных, гиперцентральные автоморфизмы. Автоморфизм нильпотент-ной группы ступени п называют гиперцентральным, если для некоторого к < «он не является внутренним по модулю (к — 1)-го гиперцентра, а по модулю к-го гиперцентра действует тождественно.
Как выявилось в [5], группа Aut UT(n,2), п ф 4, является 2-группой. Поэтому всякая конечная 2-группа изоморфно вложима в конечную 2-группу, у которой группа автоморфизмов также является 2-группой. Аналогичный результат для конечных р-групп с нечетным простым р вытекает, как следствие, из работы [12] М.В. Хорошевского. Используя группы матриц над кольцом Ърт классов вычетов целых чисел по модулю
рт, он дал положительный ответ на вопрос о существовании конечных р-групп с группой автоморфизмов, также являющейся р-группой.
В 1992 году В.М. Левчук поставил следующий вопрос.
(В) Описать автоморфизмы силовской р-подгруппы группы Шевалле нормального типа над кольцом Zpm, т > 1, где р — простое число, [4, вопрос 12.42].
Заметим, что при переходе к кольцу коэффициентов К = Zpm си-ловскую р-подгруппу группы Шевалле даёт произведение 1/Ф{К) на конгруэнц-подгруппу уровня J = (р). При т = 1 силовская р-подгруппа группы Шевалле Ф(Жр,») совпадает с унипотентной подгруппой. Известно также, что силовская р-подгруппа группы GLn(Zp) изоморфна присоединенной группе кольца
Rn(K, J) = NTn{K) + ilf„(J), К = Zp~, J = (p),
где через Mn(J) обозначается множество квадратных n х п матриц с элементами из идеала J кольца К.
В описании автоморфизмов групп 1/Ф(К) ключевым явился случай Ф = Ап или случай унитреугольных групп. Здесь существенно использовалось найденное структурное соответствие между лиевыми идеалами кольца нильтреугольных матриц NTn(K) и нормальными подгруппами его присоединенной группы; последняя изоморфна унитреугольной группе UTn(K). А именно, выявленно, что идеалы ассоциированного кольца Ли и только они являются нормальными подгруппами присоединенной группы.
Вопрос 10.19 из Коуровской тетради о характеризации радикальных колец с указанным структурным соответствием в общем случае остается открытым. В то же время Г.С. Сулейманова [9] показала, что радикальное кольцо Rn{K, J) (то есть с квазирегулярным идеалом J = (0) (и, следовательно, Rn{K.J) — NTn(K)). Именно, отсутствие названных структурных, связей, как отмечалось в [26], создает дополнительные трудности в решении открытого вопроса об автоморфизмах силовских р-подгрупп групп Шевалле над кольцом Zpm. В [26] была найдена группа автоморфизмов кольца Rn(K, J) или, что то же самое, пересечение группы авто-
морфизмов присоединённой группы кольца Rn(K, J) и группы автоморфизмов ассоциированного кольца Ли.
С линейными группами над кольцом Zpm связан и следующий открытый вопрос Б. Верфрица:
(Г) Найти все пары пит, при которых силовская р-подгруппа группы GLn(Zp) регулярна ([4, вопрос 8.3].
Регулярная р-группа введена Ф. Холлом. По определению, для любых двух её элементов а и Ь в коммутанте подгруппы (а, Ь) всегда найдётся элемент с с условием {аЪу = аР1Рср. Регулярные р-группы дают классический пример зависимости свойств конечной р-группы от соотношений между р-ми степенями её элементов и коммутаторами.
С другой стороны, важную роль в последние годы, в частности, в теории про-р-групп стало играть введенное А. Манном в 1982 году понятие мощной р-группы. Конечную р-группу называют мощной, если для любых двух её элементов а и b коммутатор [а, Ь] разложим в произведение р-х степеней элементов группы при р > 2, а прир =2 — четвёртых степеней. Как выявляется в [29], [27], [32], различные вопросы теории про-р-групп тесно связаны с соответствующими свойствами мощных р-групп.
Поэтому, наряду с вопросом (Г) в диссертации исследуется и более общая задача:
(Д) Выявить, какие силовские р-подгруппы групп Шевалле нормального типа над кольцом Zp являются 1) регулярными и 2) мощными.
Цель работы. Основные результаты работы связаны, главным образом, с решением вопросов (А) — (Д):
1) найти основные элементарные автоморфизмы силовских р-подгрупп
групп Шевалле нормального типа над кольцом Zpm и, доказав разложи
мость через них произвольного автоморфизма, получить решение вопроса
(В);
выявить для различных классов групп Шевалле нормального типа над кольцом Zpm а) условия регулярности и б) условия мощности силовских р-подгрупп;
завершить решение вопроса о строгой вещественности в классах простых конечных симплектических, унитарных, специальных линейных
и спорадических групп;
4) найти эффективный критерий рациональности и строгой вещественности сплетения конечных групп и разработать его приложения к си-ловским 2-подгруппам групп Вейля и классических линейных групп.
Методика исследования. Применяются как стандартные методы теории групп и коммутативной алгебры, так и специальные методы теории представлений, теории линейных групп и групп Шевалле.
Научная новизна. Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми.
Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Результаты и методы работы могут применяться в теории конечных групп, в различных вопросах, связанных со строением и представлениями классических групп и групп Шевалле. Они могут быть включены в спецкурсы для студентов и аспирантов.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на международных конференциях "Мальцевские чтения" (Новосибирск, 2002-2006 гг.), "Алгебра и её приложения" (Красноярск, 2002 г.), "Алгебра и теория чисел: современные проблемы и приложения" (Тула, 2003 г.), "Алгебра и кибернетика" (Иркутск, 2004 г.), алгебраических конференциях в Москве (1998, 2004 гг.) и Анталии (2004 г.), на международных семинарах по теории групп (Екатеринбург, 2001 г.; Нальчик, 2006 г.). Они неоднократно обсуждались на Красноярском алгебраическом семинаре, на семинарах "Алгебра и логика" и "Теория групп" (ИМ СО РАН), на научно-исследовательском семинаре кафедры алгебры МГУ и семинаре отдела "Алгебры и топологии" ИММ УрО РАН.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [34]-[51].
Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, 5 глав разбитых на 22 параграфа и списка литературы. Библиография содержит 75 наименований. Нумерация параграфов ведётся независимо для каждой главы. Нумерация теорем сквозная, другие утверждения и формулы имеют независимую нумерацию в каждой главе.
