Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Виды сечений в упорядоченном поле . 27
1.1 Об архимедовской эквивалентности элементов поля 27
1.2 Алгебраические сечения 28
1.3 Длинные и короткие берега. Симметричные сечения 29
1.4 О заполнении сечений 30
Глава 2. Внешние и внутренние определения типов сечений . 32
2.1 О внешних и внутренних определениях 32
2.2 Внешние определения типов сечений 33
2.3 Определимые сечения 37
Глава 3. Некоторые множества, связанные с сечениями . 39
3.1 Определения и свойства множеств, порожденных сечением 39
3.2 Связь сечений в упорядоченном поле с сечениями в его архимедовской группе 40
Глава 4. О значениях многочлена в окрестности сечения . 41
4.1 Поведение многочлена в окрестности произвольного сечения 41
4.2 Поведение многочлена в окрестности симметричного сечения 44
Глава 5. Простые расширения упорядоченных полей . 46
5.1 О заполнении трансцендентных сечений 46
5.2 О заполнении симметричных сечений 46
Глава 6. Теорема об изоморфизме упорядоченных полей . 48
6.1 Конфинальность множеств и сечений 48
6.2 Достаточные условия изотонного изоморфизма 49
Глава 7. Об архимедовски замкнутых полях . 54
7.1 Первоначальные определения 54
7.2 О сечениях в архимедовски замкнутых полях 55
7.3 Некоторые алгебраические свойства а—полей 55
7.4 Архимедовские замыкания 58
7.5 О полях формальных степенных рядов 59
7.6 Сечения в поле формальных степенных рядов 60
Глава 8. Дальнейшая классификация сечений . 64
8.1 Типы берегов сечения 64
8.2 Внутренние определения типов 66
8.3 Типы сечений 69
8.4 Примеры сечений четырех типов 69
8.5 О типах алгебраических сечений 74
Глава 9 . О подполях упорядоченного поля . 81
9.1 Второе отношение эквивалентности в упорядоченном поле 81
9.2 Классы [а] 85
9.3 Г-подполя 86
9.4 Признак плотности поля в своем вещественном замыкании 91
9.5 Признак вещественной замкнутости поля 94
Глава 10. О замыканиях упорядоченных полей . 96
10.1 Определения замыканий упорядоченных полей 96
10.2 О построении замыканий упорядоченных полей 98
Глава 11. Порядковые характеристики групп и полей . 100
11.1 Конфинальность сечений в упорядоченном поле и в его группе архимедовских классов 100
11.2 rja—множества, группы и поля 103
Глава 12. Поля ограниченных формальных рядов . 105
12.1 Предварительные замечания 105
12.2 Исследование сечений в поле ограниченных формальных рядов 106
12.3 О нестандартной вещественной прямой 111
Глава 13. Двумерный порядок 114
13.1 К определению двумерного порядка 114
13.2 Двумерный порядок как обобщение ориентации R2 115
13.3 Функция 2-порядка 116
13.4 Аксиоматика двумерного порядка 118
13.5 О реализуемых четверках 119
13.6 О прямых в 2-упорядоченном множестве 119
Глава 14. Обобщённо периодические элементы 122
14.1 Определения и свойства 122
14.2 Обобщенные степени и коммутант 124
14.3 Множество обобщенно периодических элементов группы 126
14.4 Представляющие подгруппы 130
Глава 15. Циклически упорядоченные группы 132
15.1 Циклический порядок 132
15.2 О циклически упорядоченных группах 136
15.3 Верхний конус группы 151
15.4 О классе циклически упорядочиваемых групп 164
Глава 16. Первоначальные понятия 169
16.1 Определение 2-упорядоченного поля. Примеры 169
16.2 Стандартный 2-порядок в алгебраически замкнутом поле характеристики нуль 169
16.3 База 2-порядка 172
16.4 Верхний конус порядка 176
Глава 17. Верхний конус поля и связанные с ним множества 182
17.1 Верхний конус поля 182
17.2 База верхнего конуса как упорядоченное поле 185
17.3 Задание 2-порядка с помощью верхнего конуса 189
17.4 Отношение частичного порядка в верхнем конусе 198
Глава 18. Правый конус 2-упорядоченного поля 201
18.1 Правый конус, определение и свойства 201
18.2 Признаки принадлежности к правому конусу 202
Глава 19. Ромбические окрестности 210
19.1 Предпорядки в 2-упорядоченном поле 210
19.2 Ромбические окрестности 211
19.3 Бесконечно малые в 2-упорядоченом поле 216
Глава 20. Поля без бесконечно малых над базой 224
20.1 Топология поля без бесконечно малых над базой 224
20.2 Топологическое пополнение 2-упорядоченного поля 230
20.3 Элементы, бесконечно близкие к базе 232
Глава 21. Отображения фиф 236
21.1 Задание фиф 236
21.2 Алгебраические сечения в подполях базы 240
21.3 Поля, не допускающие 2-упорядочивания 242
21.4 Об алгебраически замкнутых 2-упорядоченных полях 243
Проблемы 245
Литература 246
Указатель обозначений. 258
Предметный указатель. 260
- Длинные и короткие берега. Симметричные сечения
- Связь сечений в упорядоченном поле с сечениями в его архимедовской группе
- О сечениях в архимедовски замкнутых полях
- Внутренние определения типов
Введение к работе
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы. Хотя линейно упорядоченные множества встречаются в математике с древнейших времен, Кантор, по-видимому, первый подверг систематическому изучению понятие линейного порядка. В частности, он ввел понятие вполне упорядоченного множества и начал изучение кардиналов и ординалов [40]. Почти одновременно начинаются исследования упорядоченных алгебраических систем. Отметим, прежде всего, работу Хана 1907 года [1] Hahn H.Uber die nichtarchime-dischen Grossensysteme. В этой работе Хан вводит ряд основополагающих понятий, вошедших затем в арсенал теории упорядоченных алгебраических систем, таких как архимедовы и неархимедовы величины, неархимедовы упорядоченные группы и тела. Хан использует конструкцию обобщенных степенных рядов для получения структурных теорем об упорядоченных группах и телах. Работа Хана была, по необходимости, сложной, так как еще не был подготовлен комплекс теорем и понятий, относящихся к упорядоченным группам и телам.
L— - ---'-'" : і " " ; _' 71-
В 1901 году в своем знаменитом докладе на математическом "конгрессе Гильберт сформулировал вопрос о представимости положительного многочлена в виде суммы квадратов многочленов [68]. Работы по этой проблеме явились стимулом к изучению упорядоченных полей. Значитеьным шагом в этом направлении явились работы Артина и Шрайера [9)(1925), [10)(1927). Здесь было введено важнейшее понятие формально вещественного поля, получен критерий линейной упорядочиваемости поля. Для исследования линейно упорядоченных групп, тел и полей Хан использовал аппарат формальных степенных рядов. Капланский [11] получил структурные теоремы для линейно упорядоченного поля более продвинутыми методами, чем это было сделано Ханом. Он доказал, что каждое упорядоченное поле К вкладывается с сохранением порядка в поле формальных степенных рядов Е[[?]], где G - группа архимедовских классов поля К.
Строение сечений в упорядоченном поле несет существенную информацию о свойствах самого поля. Поэтому логика исследования упорядоченных полей со временем привела к некоторой классификации сечений в упорядоченных полях. По-видимому, Дедекинд был первым математиком, использовавшим понятие сечения во множествах рациональных и вещественных чисел при построении своей теории вещественного числа ([3]). Каждое архимедово поле изоморфно некоторому подполю поля всех вещественных чисел с его естественной упорядоченностью [21]. Таким образом, первые упорядоченные поля, сечения в которых подверглись изучению, были подполями R. С этим связаны понятия дедекиндова и недедекиндова сечения или щели [63]. Изучение неархимедовских полей приводит к определению сечений Гёльдера [22], по другой терминологии: сечений нулевой ширины [95], фундаментальных сечений. В 80-х годах прошлого века возникло понятие алгебраического сечения [1п],[95]. В теории линейно упорядоченных полей существенную роль играют различные замыкания упорядоченного поля. Этому направлению посвящено много работ, среди
наиболее значительных назовем работу Р. Бэра [14], Макай 1970 года [5]. Наиболее основательному изучению подверглись понятия вещественного, топологического и архимедовского замыканий, хотя Бэр исследовал еще и некоторые комбинации замыканий. Мак Лейн исследовал поля формальных степенных рядов R[[G]],R[[G,/3]] и доказал (1939), что эти поля вещественно замкнуты, если группа архимедовских классов G делима [28]. Эллинг (1962) исследовал мощности полей формальных степенных рядов [32].
Единственность линейного упорядочения вещественно замкнутого поля доказана Ар-тином и Шрайером [9] (1925). В [99] (1969) Ершовым Ю. Л. описана конструкция формально вещественного поля с заданным числом неизоморфных порядков. В [5] найдена мощность множества вещественно замкнутых подполей алгебраически замкнутого поля.
Упорядоченное поле естественно рассматривать, как топологическое пространство, наделенное интервальной топологией; интервальная топология т(К) согласуется с алгебраической структурой поля К; К есть равномерное отделимое пространство, пополнение К по топологии т(К) определено единственным образом, с точностью до изоморфизма [23]. Топологическое замыкание (пополнение) упорядоченного поля К может быть осуществлено различными способами:
1) с помощью множества минимальных фильтров Коши в К [II]. [28], 2) с помощью фундаментальных а—последовательностей [12], где а - конфинальный характер (тип конфинальности) упорядоченного поля, который всегда является регулярным кардиналом [90], 3) наконец, можно строить пополнение К, исходя из множества фундаментальных сечений в К [22].
Расширение поля до замыкания того или иного вида можно осуществить с помощью последовательности простых расширений - так называемых заполнений сечений [4]. Пусть (А, В) есть сечение в К. Продолжение порядка из К на поле K(t), удовлетворяющее условию А < t < J5, в общем случае, не определено единственным образом [5].
Одним из центральных вопросов теории упорядоченных полей является установление изоморфизма двух упорядоченных полей. Значительным достижением здесь явилась теорема Эрдеша-Гиллмана-Хенриксена [30] (1955). В теории упорядоченных полей оказались плодотворными методы теории моделей. В частности, Тарским была установлена полнота теории вещественно замкнутого поля [16]. В последние десятилетия новым стимулом для исследований в области упорядоченных полей явилось развитие нестандартного анализа [36], [37], [38], стимулировавшее в частности, исследования строения нестандартной вещественной прямой [93], [91], [92], [8]. Важной темой теории упорядоченных полей является построение упорядоченного поля с помощью той или иной конструкции. Известно, что фактор-структура кольца по максимальному идеалу есть поле. Для построение поля используются и простые идеалы: сначала строится фактор-кольцо непрерывных комплекснозначных функций на компакте по простому идеалу, а затем - его поле частных. При определённых,
не слишком обременительных, условиях на исходное кольцо поле частных является упорядоченным полем [4].
Конвей построил алгебраическую систему, которую он назвал No. система No удовлетворяет определению линейно упорядоченного поля, за одним исключением: ее носитель не множество, а собственный класс. Каждое линейно упорядоченная группа и каждое линейно упорядоченное поле вкладывается в No [97], [96]. Параллельно теории упорядоченных полей быстро развивалась теория упорядоченных групп. При этом изучались линейно упорядоченные группы [70], и их различные модификации прежде всего, частично упорядоченные группы [2], решеточно упорядоченные группы [17],[71]. Одним из направлений в теории упорядоченных групп явилась теория циклически упорядоченных групп (Ригер [74], Сверчковский [76], Желева [75]). Ригер исследовал топологию циклически упорядоченных групп, Сверчковский получил структурную теорему для циклически упорядоченных групп, Желева, в частности, предложила критерий циклической упорядочиваемости группы. Определение линейного порядка возникло в результате исследования расположения точек на прямой. Поле вещественных чисел явилось первым примером линейно упорядоченного поля.
Полезность понятия линейного порядка в алгебре определяется его успешным использованием в теории упорядоченных групп, полей и других алгебраических систем. Различные подходы к обобщению понятия линейного порядка по размерности предпринимались многими математикамми, начиная с Кантора [40], работы которого были продолжены Шварцем [41], Риссом [42], Вагнером [43].
Систематическое изучение обобщений понятия линейного порядка по размерности было предпринято в работах Шпернера по так называемым функциям порядка. В основу определения функции порядка у Шпернера положено свойство произвольной точки п—мерного аффинного пространства занимать по отношению к ориентированной гиперплоскости одно из трех положений: лежать на гиперплоскости, располагаться по ту или другую сторону гиперплоскости.
Многие работы Шпернера: [44], [45], [46], а также Глока [47], Вахмана и Клингенберга [48], Карцеля [49],[50], [51], Джоуссена [52], Ленца[53] посвящены чисто геометрическим вопросам, связанным с функцией порядка.
Одновременно изучаются алгебраические структуры, оснащенные функцией порядка: Шпернер [55], [54], Карцель [56], Керби [57].
В последующем, при определении функции ориентации аффинного пространства Глок [58] использовал аксиоматический подход.
Идея обобщения линейного порядка по размерности получила последовательное развитие в независимых работах Л. Новака и Г. Г. Пестова.[#я~^пХ^дЦ25л7, Новак строит аксиоматическую теорию п—упорядоченных множеств [59], [60],[61] и применяет ее для исследования поля комплексных чисел [62].
Терре А. И. развивает теорию двумерно упорядоченных полей [85], [84], а также двумерно упорядоченных колец [83] и тел [86], [87].
Обзоры различных разделов теории линейно упорядоченных полей имеются в [4] и [98]. Настоящая работа посвящена исследованию линейно упорядоченных полей с помощью развитого автором аппарата теории сечений, а также изучению двумерно упорядоченных систем, именно, циклически упорядоченных групп и двумерно упорядоченных полей.
Все вышесказанное позволяет считать тему диссертации актуальной. Цель работы.
Развить теорию сечений в упорядоченных полях. Построить классификацию сечений в упорядоченном поле, исследовать поведение многочленов на сечениях различных типов, найти характеризацию различных замыканий упорядоченного поля в терминах сечений.
Получить новую теорему об изоморфизме, применимую к более широкому классу упорядоченных полей, чем классическая теорема Эрдеша-Гиллмана-Хенриксена.
Построить теорию циклически упорядоченных групп как часть теории двумерно упорядоченных групп. Найти критерий циклической упорядочиваемости группы. Найти новую структурную теорему для циклически упорядочиваемых групп.
Изучить топологию двумерно упорядоченного поля. Исследовать пополнение 2-упорядоченного поля. Доказать теорему о вещественной замкнутости базы алгебраически замкнутого 2-упорядоченного поля.
Общая методика исследования. В диссертации используются методы теории линейно упорядоченных полей, методы теории групп, методы теории моделей и нестандартного анализа, результаты из теории топологических колец и полей. В работе систематически используются введенные в диссертации результаты и понятия: классификация сечений, теоремы о связи между строением сечений и свойствами упорядоченного поля, понятие представляющей группы, понятия 2-упорядоченной группы и 2-упорядоченного поля.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Основными результатами можно считать следующие:
Построена классификация сечений в линейно упорядоченном поле по признакам поведения многочленов на сечении и по признаку симметрии сечения.
Даны характеризации топологического (непрерывного) замыкания, вещественного замыкания, архимедовского замыкания упорядоченного поля через свойства сечений в поле.
Описаны трансфинитные процессы построения основных типов замыканий с помощью так называемого заполнения сечений.
Доказаны теремы о поведении многочленов на сечениях различных типов.
Получены формулировка и доказательство новой теоремы об изоморфизме упорядоченных полей, имеющей более широкую сферу применимости, чем классическая теорема Эрдеша-Гиллмана-Хенриксена.
Дано доказательство новой структурной теоремы для циклически, упорядоченных групп.
7. Доказана нормальность топологии 2-упорядоченного поля, исследовано топологическое пополнение 2-упорядоченного поля, доказана теорема о вещественной замкнутости базы алгебраически замкнутого поля.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты работы имеют теоретическое значение. Ее результаты и методы могут быть использованы в исследованиях по теории упорядоченных полей, теории циклически упорядоченных групп, теории полей характеристики нуль.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Итоговой научной конференции по математике и механике Томского государственного университета в 1970 году, Всесоюзном алгебраическом коллоквиуме 1971, Итоговой четвертой научной конференции по математике и механике Томского государственного университета в 1974 году, Пятой итоговой научной конференции по математике и механике Томского государственного университета им. В. В. Куйбышева 1975, III Омской областной математической конференции 1982, XVI Всесоюзной алгебраической конференции 1981, XVII Всесоюзной алгебраической конференции 1983. IX Всесоюзном симпозиуме по теории групп 1984, XVIII Всесоюзной алебраической конференции 1985. XIX Всесоюзной алгебраической конференции 1987, на Третьем Сибирском конгрессе по прикладной и идустриальной математике (ИНПРИМ-98), на Мальцевских чтениях-01 (2001 год), на Мальцевских чтениях-02 (2002 год), на Международной алгебраической конференции, посвященной памяти 3. И. Боревича, С.-Петербург 2002, на Международной конференции по математике и механике 16-18 сентября 2003 г., г. Томск, на Мальцевских чтениях-03 (2003 год). Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и трех частей, списка литературы из 13S наименования, указателя обозначений и указателя терминов. Каждая часть разбита на главы, главы состоят из параграфов. Диссертация изложена на 261 странице машинописного текста.
СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ
Первая часть диссертации целиком посвящена теории линейно упорядоченных полей. Еще Хан [1] ввел понятие архимедовской эквивалентности элементов линейно упорядоченной группы и тела. Другими понятиями, постоянно используемыми в этой части, являются понятия алгебраического и трансцендентного сечений, понятия симметричного и несимметричного сечений, введенные автором [1п], а также понятия фундаментального и нефундаментального сечений. Последняя пара определений использовалась давно под разными названиями. Определения фундаментального и нефундаментального сечений характеризуют сечение по его ширине - равна ли она нулю, либо больше нуля. Определение алгебраического сечения сформулировано Делоном [95] (1992) и, в более простой форме, автором [1п] (1980). Эти определения эквивалентны, если сечение- собственное. Алгебраическое сечение в упорядоченном поле К отличается тем. что некоторый многочлен из К[х] меняет знак на этом сече-
ний , в то время как в случае трансцендентого сечения не существует многочлена из К[х], меняющего знак на сечении. Наконец, классификация: "симметричное" - "несимметричное" сечение дает "геометрическую" характеристику сечения. Отметим еще давно принятую классификацию сечений по конфинальности и коинициальности, для упорядоченных структур эти понятия использовал Хаусдорф [31]. Такая система понятий для сечений позволяет ответить на многие вопросы из теории упорядоченных полей. Например, если (А, В) трансцендентное сечение в поле К, то все простые упорядоченные расширения K(t), в которых А < t < В, изоморфны . Поскольку все сечения в вещественно замкнутом поле трансцендентны, то отсюда следует, что в случае вещественно замкнутого поля порядок с поля К на простое расширение K(t) продолжается единственным образом при условии, что в K(t) выполнено: А < t < В [15].
В терминах сечений удобно описываются такие виды замыканий, как вещественное замыкание, топологическое и архимедовское замыкания. Каждое из этих замыканий может быть получено с помощью трансфинитной последовательности простых расширений того или иного типа. При этом среди простых расширений выделяются расширения, удовлетворяющие дополнительным ограничениям, которые в дисссер-тации называются заполнением сечения. Исследование поведения многочленов на симметричных и несимметричных сечениях дает возможность сформулировать и доказать теорему об изоморфизме упорядоченных полей, родственную, в некотором смысле, теореме Эрдёша-Гиллмана-Хенриксена, но имеющую более широкую сферу применения.
Более тонкая классификация сечений, с привлечением мультипликативной группы поля, дает возможность сформулировать достаточные условия вещественной замкнутости поля. В заключение первой части изложены результаты, относящиеся к строению улнр'астепени R.
Во второй и третьей части работы изучаются двумерно упорядоченные алгебраические системы.
Вторая часть посвящена циклически упорядоченных группам. Циклически упорядоченная группа расматривается, как двумерно упорядоченная. Это позволяет естественным образом ввести понятие верхнего конуса, играющего в теории циклически упорядоченных групп ту же роль, которую играет положительный конус в теории линейно упорядоченных групп. Сформулированы необходимые и достаточные условия, которым должно удовлетворять подмножество группы, чтобы существовал циклический порядок в группе, для которого это подмножество является верхним конусом циклического порядка. Найдены,совместно с Забариной А. И., необходимые и достаточные условия циклической упорядочиваемости группы. Получена новая структурная теорема для циклически упорядочиваемых групп, отличная от теоремы Сверчковского.
В третьей части развита теория двумерно упорядоченных полей. Понятие двумерно упорядоченного поля введено по аналогии с полем комплексных чисел, снабженн-
ным обычной ориентацией комплексной плоскости. Получены необходимые и достаточные условия, которым удовлетворяет верхний конус двумерно упорядоченного поля. В поле без бесконечно малых относительно базы введена топология двумерно упорядоченного поля, доказано, что двумерно упорядоченное поле есть топологическое поле. Доказано, что как топологическое пространство оно нормально. Показа-но,что база алгебраически замкнутого 2-упорядоченного поля является вещественно замкнутой. Доказано, что поле алгебраических чисел допускает единственное 2-упорядочивание, с точностью до изоморфизма. Каждое поле характеристики нуль допускает либо линейное, либо двумерное упорядочивание, либо то и другое (см. ниже более точную формулировку этого результата). Далее дадим более подробный обзор работы.
Длинные и короткие берега. Симметричные сечения
Теорема 1.4.1. Пусть сечение (А, В) в поле К несимметрично, а Є А, а близко к В. Если К(с) есть простое расширение К, в котором А с В, то (с — а) архимедовски не эквивалентно никакому элементу из К(с). Доказательство, убедимся сначала, что имеет место неравенство : Ьг = с+(с—а) В. Если бы нашелся элемент Ь2 Є В, такой что Ъ2 &і, то имело бы место неравенство: (Ь2 + а)/2 {Ьх + о)/2 с,(Ь2 + а)/2 с. Так как (Ь2 + а)/2 Є К, то отсюда: (Ь2 + а)/2 Є А. Теперь: а Є А, [Ь2 + а)/2 А, (Ъ2 + а)/2 - а = Ь2 - (Ъ2 + а)/2 между тем, Ъ2 А, что противоречит определению короткого берега. Итак, Vx B(bx х). значит, А с с + (с - а) В. Убедимся, что (с — а) не эквивалентно никакому элементу из К. Пусть, напротив, (с — а) d,d Є K,d 0. Тогда существует такое п Є N, что (с — а) nd,d п(с — а). Обозначим: = d/n. имеем rfi К, 0 di с — а,с — а n2di. Рассмотрим арифметическую прогрессию: a,a + dx,... ,а -f n2di. Первый член прогрессии а с. Последний : а + n2di с, так как a+n2di = a + nd а + (с — а) = с. Поскольку положительная разность прогрессии di с — а, то найдется такое /с Є N, А; те, что с а + Ых с + (с — а). Отсюда следует, что А а + Ых В. Между тем, (a + kd) є К. Полученное противоречие завершает доказательство. Следствие 1.4.2. Пусть (А, В) - несимметричное сечение в К, а Є А, а близко к В,К(с) - простое расширение К, в котором А с В. Тогда для каждого а і А, а ах, и для каждого Ъ Є В имеет место {ах — а) « с — а « Ъ—а(здесь двойной знак неравенства обозначает бесконечно мало по сравнению Определение 1.4.1. Пусть (А, В) есть сечение в упорядоченном поле К. Если K{t) есть простое упорядоченное расширение поля if, в котором А t В, то будем говорить, что это расширение получено заполнением сечения. (А, В). [4] Следствие 1.4.3. Если сечение (А,В) несимметрично, то в поле K(t), полученном заполнением этого сечения, существуют элементы, архимедовски не эквивалентные никаким элементам из /Г.[5п] Следствие 1.4.4. Если Р D К, а Є Р\ К и каждый элемент поля К(а) архимедовски эквивалентен некоторому элементу поля К, то сечение (А, В) симметрично. Следствие 1.4.5. Пусть Р есть упорядоченное расширение поля К, такое что для каждого х Р существует у К, х у. Тогда каждый элемент из Р\К индуцирует в поле К симметричное сечение.
Доказательство. Допустим, что существует у Є Р\К, такое что у индуцирует в К несимметричное сечение (А, В). Тогда в поле К(у), на основании следствия (1.4.3), существовали бы элементы, не эквивалентные архимедовски никаким элементам из поля К. Так как Р Э К, то такие элементы нашлись бы и в Р, что противоречит условию теоремы. Лемма 1.4.6. Пусть (А, В) - сечение в поле Р, Р(с) - простое расширение поля Р, в котором А с В. Берег А является длинным тогда и только тогда, когда выполнено условие (L): для каждого а Є А элемент (с — а) архимедовски эквивалентен какому-нибудь элементу из Р. Доказательство!) Пусть, в условиях леммы, берег А - длинный,и ai G А. По определению длинного берега (1.3.1), найдется а2 А, такое что (а2 + (а2 — с )) Є В. Обозначим: а3 = а2 + (а2 — сц). Имеем : Но а3 — аі = 2(а2 — аі). значит, левая и правая части неравенства (4) архимедовски эквивалентны и положительны. Отсюда: (с — ai) (а2 — ах). Итак, условие (L) выполнено. 2) Пусть условие (L) выполнено. Тогда из теоремы 1.4.1 следует, что берег А длинный. Лемма 1.4.7. Пусть -ф есть изоморфизм упорядоченного поля К на упорядоченное поле Р. Тогда ф переводит симметричное сечение в симметричное, несимметричное - в несимметричное, алгебраическое - в алгебраическое, трансцендентное сечение - в трансцендентное, точку, близкую к правому берегу - в точку, близкую к правому берегу, длинный берег - в длинный, короткий - в короткий. Степень сечения при изоморфном отображении остается неизменной. Доказательство. Все перечисленные в теореме свойства сечений, берегов сечений и точек (элементов поля) выражаются через отношение порядка и алгебраические операции. Поскольку при изотонном изоморфизме эти отношения и операции сохраняются, то сохраняются и все эти свойства. Лемма 1.4.8. Если в К при любых а Є А, п Є N,n п0, разрешимо уравнение хп = а, то в этом поле все алгебраические сечения степени не выше п0 симметричны [1п]. Доказательство. Покажем, что в условиях леммы у алгебраического сечения (Л, В) степени не выше п0 оба берега - длинные. Пусть f(x) Є K[x],f(z) меняет знак на (A,B),degf(x) = т п0. В К существует корень с многочлена /(ж), лежащий между А и В. Пусть а Є А. Элемент (с — а) алгебраичен над К, степень (с — а) равна т. По лемме [ІЗп], при некотором натуральном п т, (с — а)" архимедовски эквивалентно некоторому Ъ Є К. Отсюда {с — а) Ъ". По условию, 6" Є -К"- Итак, для произвольного а Є К имеем (с — а) архимедовски эквивалентно некоторому элементу поля К. В силу леммы 1.4.6 берег А - длинный. Совершанно аналогично доказывается, что берег В длинный. Итак, сечение (А, В) симметрично. Теорема 1.4.9. Если мультипликативная группа упорядоченного поля К делима, то это поле вещественно замкнуто тогда и только тогда, когда каждое симметричное сечение в К трансцендентно. Доказательство. В самом деле, упорядоченное поле К вещественно замкнуто, если и только если в К нет алгебраических сечений. Из делимости мультипликативной группы поля следует, что каждое алгебраическое сечение в этом поле симметрично. Таким образом, условие трансцендентности всех симметричных сечений в К равносильно условию отсутствия в К алгебраических сечений, то есть вещественной замкнутости поля. Пусть (А, В) есть сечение в упорядоченном поле К. Определение 1.4.2. Сечение (А, В) в упорядоченном поле называется фундаментальным, если для каждого є 0 существуют такие а Є А, Ъ Є В, что Ъ — а е. Такие сечения называют также сечениями Гель дера [21], дедекиндовыми сечениями [13], собственно дедекиндовыми сечениями [14].
Связь сечений в упорядоченном поле с сечениями в его архимедовской группе
Из леммы 3.1.1 непосредственно следует лемма 3.2.1. для каждого сечения (а, в) в упорядоченном поле к пара множеств (w(a, b),v(a,b)) есть сечение в архимедовской группе поля g. лемма 3.2.2. пусть (а, в) есть несимметричное сечение в поле к, хо є а, хо близко к в. тогда: доказательство. 1) обозначим д = {у — х0\у в}. по определению множества d{a,b), имеем д с d(a,b). пусть z є d(a,b). тогда найдутся такие хх є a, t/i є в, что z — у\ — х\. если х\ ж0, то полагаем: у = ух + ж0 — хх. так как у уи то у є в. в то же время: z = у — жо, следовательно, z є д. рассмотрим случай: жх жо- пусть жг ал, х2 є а. так как ж2 с то по лемме 1.3.1, ж2 близко к в. поэтому ж2+(ж2-ж0) є а, откуда ж2+(ж2—ж0) уі, ж2+(ал—ж0) у и итак, для произвольного ж2 є а справедливо неравенство (17). поэтому (ух — (ал — хо)) є в. обозначим у = уі — (жг — ж0). имеем z — у - жо, значит, z є д. итак, д d .d(a, в). равенство (а) доказано. 2) переходя к дополнениям множеств в (а), получим равенство (ь). лемма 3.2.3. пусть g есть группа архимедовских классов поля к, (а,в) -несимметричное сечение в поле к, ж0 є а, ж0 близко к в. пусть поле р с группой архимедовских классов g\ есть упорядоченное расширение поля к. пусть t є р\к, и г есть архимедовский класс в р, к которому принадлежит (t — ж0). тогда эквивалентны следующие три условия: доказательство. 1) пусть а t в. отсюда для всех х є .4, х х0, у є в получим x — xq t — х0 у — xq. но рэзности (х — х0), гдє x є а, x ж0» по лєммє 3.2.2 пробегают все множество l{a,b), а разности (у — ж0), если у є в, пробегает множество d(a,b). значит, l(a, в) t - х0 d(a, в). итак, (а) - (6). 2) пусть выполнено (b): l(a ) t—x0 d(a, в). из этого неравенства для множеств архимедовских классов получим w(a,b) г v(a, в). заметим, что неравенства здесь строгие, поскольку і — ж0 не совпадает ни с одним элементом множеств l(a, в) kd{a,b). итак, (ь) =$ (с). 3) пусть, наконец, выполнено (с) : для всех х л,х х0, у є в имеем (х — ж0) є l(a,b), (у — х0) є d(a,b). поэтому х - х0 б и/(л,в), у - ж0 є v{a,b). из (18) получим неравенство: х — х0 t — х0 у х0. значит ж — жо жо у — ж0, ж t у. то найдутся такие а є а, ъ є в, что для каждого упорядоченного расширения р поля к (1) /(ж) 0 всюду на [а,ь]р или /(ж) 0 всюду на [а,ь]р, (2) /(ж) строго монотонно на [а, ъ]р. комментарий. 1. таким образом, условие теоремы относится к поведению многочлена /(ж) є к[х] и его производных на сегменте в поле к, а заключение теоремы - к поведению этого многочлена на произвольном упорядоченном расширении поля к. доказательство. в условиях теоремы, обозначим п = degf(x), через р обозначим вещественное замыкание поля р. для каждого т є n, 0 т (те — 1) существует сегмент [am,6m], в поле к, на котором многочлен / (ж) либо всюду строго больше нуля, либо всюду строго меньше нуля. рассмотрим пересечение этих сегментов для всех т,0 т (те — 1). очевидно, это сегмент в к. обозначим его [а,ь]. убедимся теперь, что и на сегменте [а, ъ]р каждый многочлен /(т)(ж),0 т (п— 1), либо всюду строго больше, либо всюду строго меньше нуля (будем говорить, что эти многочлены сохраняют знак на сегменте [а,ь]р). допустим, что, напротив, некоторые из этих многочленов принимают на этом сегменте значения противоположных знаков; тогда они имеют корни на данном сегменте. пусть т0 - наибольшее из m,0 тп (те — 1),
Для которых f (x) имеет корни в [а,ь]р. тогда /(то+1 (ж) уже не имеет корней на этом сегменте. это значит, что /(то (ж) имеет в [а,ь]р единственный корень , и кратность этого корня есть единица. заметим, что ф а, ф ь, так как /то(ж) не обращается в нуль на [а,ь], то а ь. следовательно, - единственная точка, где происходит смена знака многочлена /(т)(ж). поэтому: /(m)(a)/(m)(b) 0, что противоречит условию теоремы. итак, все многочлены / т (ж),0 га (те — 1) сохраняют знак на [а,ь]р. заметим, что / (ж) есть константа, отличная от нуля (по предположению, степень многочлена / (ж) равна те.) поскольку для каждого из многочленов /(то)(ж),0 т (те — 1), производная на сегменте [а, ь]р сохраняет знак, то каждый из этих многочленов строго монотонен на этом сегменте. теорема доказана. комментарий 2. условия теоремы могут показаться слишком сильными. однако, как видно из следующего примера, для справедливости заключения недостаточно накладывать ограничения только на сам многочлен и его первую производную. пример. в поле q(a) порядок задан условием: a 0, а есть бесконечно малая. обозначим: нетрудно видеть, что (а, в) есть сечение в q(a). найдем коэффициенты многочлена ф(х) с корнями: а ± л/а, —а ± л/а. этот многочлен положителен на [а, 1]. в самом деле, он положителен для достаточно больших значений ж, и дважды меняет знак между а п [а, 1] и в п [а, 1]. два других корня многочлена - отрицательны и не попадают на [а,1]. следовательно, многочлен ф(х) положителен на а п [а, 1] и j5 п [а, 1]. обозначим: /(ж) = ж5 - а(а + 1)ж3 + а2(а - 1)2ж. очевидно, что / (ж) = (ж). исследуем знак /(ж) на л п [о, 1]. каждый элемент из q(a) можно представить в виде: где п z, г - архимедовски эквивалентно 1. если ж є -an [а, 1], то ж = га, где г 1. тогда /(ж) = r5(a)5 - a4(a + l)r3 + а3{а - ifr. первые два слагаемых бесконечно малы относительно третьего, положительного слагаемого. следовательно, /(ж) 0 на аг\ [а,1]. если х є в п [а, 1], то ж = г, х 0, значит, второе и третье слагаемые бесконечно малы по сравнению с первым, положительным слагаемым. итак, /(ж) 0 на вп [а, 1]. рассмотрим поведение / (ж) на q(a). между простыми корнями —а + л/а и а + \/" / (ж) 0, следовательно, на интервале, ограниченном этими корнями, /(ж) убывает. итак, хотя существуют такие а є а, ь є в, что /(ж) 0 и f (x) 0 на [а, ъ] в поле q(a), однако, многочлен /(ж) не монотонен на [а,ь] в поле q(a). следствие 4.1.2. пусть {а,в) - сечение в упорядоченном поле k,f(x) є к[х]. если deg /(ж) deg (л, в), то найдутся такие a л, 6 в, что для каждого упорядоченного расширения р поля к (1) /(ж) 0 всюду на [а,ь]р или /(ж) 0 всюду на [а,ь]р, (2) /(ж) строго монотонно на [а,ъ]р.
О сечениях в архимедовски замкнутых полях
Теорема 7.3.1. Пусть поле Р архимедовски замкнуто. Тогда множество элементов, архимедовски эквивалентных 1, есть делимая мультипликативная подгруппа поля Р. Доказательство. То, что множество элементов поля Р, архимедовски эквивалентных 1, есть подгруппа мультипликативной группы поля Р, очевидно. Пусть Ъ Е Р, Ъ 1,п Є N. Обозначим через Р вещественное замыкание Р,Р С Р. Теперь = Ь" Є Р. Ясно, что 1. Предположим, что Тогда порождает в Р некоторое сечение (А, В). Это сечение несимметрично в силу архимедовской замкнутости поля Р. Предположим, для определенности, что А- короткий берег и а А есть точка, близкая к берегу В. Тогда разность ( — а) не является архимедовски эквивалентной никакому элементу поля Р. Выберем т Є N, т. Разность ( — а) бесконечно мала по сравненнию с (га - ), тем более, по сравнению с т. Поскольку а отличается от на бесконечно малую, то и а 1. Обозначим: /(ж) = ж", имеем /() = Ь. По теореме Лагранжа: Здесь а г] . Но — а есть бесконечно малая. Следовательно, г) отличается от на бесконечно малую, поэтому ц 1. Перепишем (38) так: Так как b,an Є Р, то (6 - ап) Є Р. Перейдем в этом соотношении к архимедовским классам: Поскольку n(?7)n_1 = І, то Откуда следует: (Ь — ап) ( — а). Но это отношение ложно, так как Ь — ап Є Р, а — а не является архимедовски эквивалентным никакому элементу из Р. Итак, предположение, что f Р, ведет к противоречию, значит, Є Р, что и требовалось. Теорема 7.3.2. Пусть К архимедовски замкнутое упорядоченное поле, а Є К, а,ап - архимедовские классы. Тогда Vz Є а"3у Є а(у" = z.) Иначе: если хотя бы для одного элемента архимедовского класса а—замкнутого поля К существует корень степени п, то и для всех элементов этого класса справедливо то же самое. Доказательство. Пусть, в условиях леммы, z є а". Тогда \ 1. По предыдущей лемме, ЗЬе К(Ьп = ). Отсюда: z = (ab)n,z« = ab. Лемма доказана. Следствие 7.3.3. Пусть группа G архимедовских классов архимедовски замкнутого поля Р делима. Тогда уравнение хп = а разрешимо в Р для всех a 0 и всех натуральных п. Доказательство. В самом деле, пусть а Є 7(ь 7О Є (У. Так как G делима, то найдется 9\ Є G, j" = до- Пусть ах Є д\. Тогда а" Є до- значит, по лемме 7.3.2 отображение f(x) = хп есть биекция 7i на #0- Следовательно, найдется такое Ъ Є 7і, что Ь" = а. Лемма 7.3.4. Если G есть архимедовская группа архимедовски замкнутого поля Я", то существует представляющая группа Н С К группы G (то есть подгруппа мультипликативной группы поля К, такая что в каждый класс архимедовской эквивалентности поля К попадает один и только один элемент из Я.)
Доказательство. Обозначим через І множество всех элементов поля К, архимедовски эквивалентных 1. По лемме 7.3.1 Ї есть делимая мультипликативная подгруппа. Через К обозначим мультипликативную группу поля К. Имеет место импликация: Отсюда следует, что Группа К и ее нормальный делитель І удовлетворяют условию следствия 15.4.3 из 2 части: 1 - делимая подгруппа абелевой группы К . Поэтому существует представляющая подгруппа В фактор-группы К /1. Но G = К /1, поэтому В есть представляющая группа группы G.. Теорема 7.3.5. Пусть Р - архимедовски замкнутое поле, К С Р, Р - вещественное замыкание Р. Если (А, В) - симметричное алгебраическое сечение в К, f(x) Є К[х), где degf(x) = deg(A,B), f(x) меняет знак на (А,В) , Р,/(0 = О, А В, то Є Р. Доказательство. В условиях леммы, многочлен f (x) и все его производные не меняют знака на сечении (А, В). По теореме 4.2.1, существуют такие а0 Є А, Ь0 Є В, что в каждом упорядоченном расширении F поля К все значения f (x) архимедовски эквивалентны при х є [а0,Ьо].р. имеем К с Р С Р. Предположим, что в условиях леммы, Р. Так как Є Р, то индуцирует в Р некоторое сечение (Ai,Bi),Ai D A,Bi D В. В силу архимедовской замкнутости Р, это сечение несимметрично. Пусть, например, берег А\ - короткий. Убедимся,что За Є At, А а В. Допустим,что такого а Є А\ не существует. Тогда А конфинально А\. Легко видеть, что тогда берег Аг - длинный. В самом деле, пусть ах Є А\. Найдется а2 Є А,ах а2. Поскольку (А,В) - симметричное сечение в К, то найдется такое а3 Є А, что а3 + (а3 - а2) Є В. Так как В С Ви то а3 + (аз — а2) Є -Вх. Наконец, а3 + (а3 - а2) «з + («з — «О- значит, Это и означает, по определению, что берег Ах - длинный. Итак, За Є Ai, А а В. Выберем в Ах точку а , близкую к і?і и такую, что а а . Теперь А а В. По свойству несимметричного сечения, ( — а ) не эквивалентно никакому элементу из Р. Воспользумся формулой Лагранжа, справедливой для многочленов в вещественно замкнутом поле: где Tj Є (а ,), следовательно Є [a ,b ]. Поэтому / (г/) / (а ) и из (42) следует: Последнее соотношение неверно, так как справа в нем элемент из Р, а слева - элемент, который не эквивалентен архимедовски никакому элементу из Р. Лемма доказана. Теорема 7.3.6. Если Р - архимедовски замкнуто, то Е вкладывается в Р с сохранением порядка. Доказательство. Пусть Q простое подполе Р. Обозначим через X множество тех подполей поля Р, которые являются а—расширениями поля Q. X частично упорядочено по включению. Пусть С есть цепь в X. Тогда есть верхняя граница множества С. Следовательно, X удовлетворяет условию леммы Цорна. Поэтому в X существует максимальный элемент К . Убедимся, что К упорядоченно изоморфно полю Е. Прежде всего, в К нет симметричных сечений. Предположим, что, напротив, (А, В) - симметричное сечение в К , а) Пусть, сначала, (А, В) трансцендентное сечение. Тогда, по лемме 7.2.1, существует а Є Р,А а В. Поле К (а) есть а—расширение К , следовательно, оно есть а—расширение поля Q. Итак, К (а) 6 Х,,К (а) Э К ,К (а) ф К . Но это противоречит максимальности К в X. Ь) Пусть теперь (А, В) - алгебраическое сечение степени п. По определению степени алгебраического сечения существует такой многочлен /(аз) Є .ЙГ [ж], что /(аз) меняет знак на сечении (А, В), и степень /(аз) равна п. Тогда существует К , такое что /() = О, А В. По лемме 7.3.5 $ Є Р- Теперь К () есть а—расширение К , -снова противоречие с максимальностью К в X. Итак, в К нет симметричных сечений. В силу теоремы 7.1.1, поле К архимедовски замкнуто. В то же время, К изоморфно некоторому подполю Ri поля Е, поскольку К архимедово (см. [21]). Таким образом, Ri есть архимедовски замкнутое подполе поля Е. Отсюда следует, что Ri = R. В самом деле, если бы существовал х0 Є Е \ К\ то х0 производил бы симметричное сечение в Кх, что невозможно из-за архимедовской замкнутости К\. Итак, JRX = Е, и поле К изоморфно Е, что и требовалось. Определение 7.4.1. Упорядоченное поле К называется архимедовским замыканием упорядоченного поля К, если К есть максимальное упорядоченное расширение поля К, в котором каждый элемент архимедовски эквивалентен некоторому элементу из поля К. Теорема 7.4.1. Пусть Р архимедовски замкнутое поле с группой архимедовских классов G. Тогда для вещественной замкнутости поля Р необходимо и достаточно, чтобы группа G была делима.
Внутренние определения типов
Лемма 8.2.1.. Тип длинного берега В сечения {А, В) в К равен 1 тогда и только тогда, когда истинны формулы: Доказательство, а) Необходимость. Пусть тип берега В сечения (А, В) в К есть 1. Тогда берег В - длинный, следовательно, истинна формула R(A,В). Пусть D есть центр сечения (А,В), Є D, b є B.Ylo лемме 8.1.1 найдется такое /? eP,D /3 Ь, что По определению D, существует (3 В,(3 /3 . Из (67) следует: По построению, (3 — D. В силу симметричности (А, В), имеем — (/3 — О D. Следовательно, найдется а Є В, такое что — (/3 — О ос. Отсюда ( — а) - (/3 — О О, значит, В силу (68), левая часть этого неравенства принадлежит Е +. Так как В - длинный берег, то по лемме 2.2.2, правая часть также принадлежит Е +. В виду выпуклости Е{+, это верно и для средней части неравенства Следовательно, S(A, В) истинно в К. Необходимость доказана. Ь) Достаточность. Пусть истинны R(A,В) и S(A,B), D Ъ. Из R(A,B) следует, что берег В - длинный. Существует Ьі є B,D bi Ь. Согласно S(A,B), существуют а є А,(З Є В, такие что Отсюда следует, что ((3 — а)2 бесконечно мало по сравнению с (Ъ\ — а), значит, и ((3 — а) бесконечно мало по сравнению с (bx — а). Поскольку то и ((3 — f), ( — а) бесконечно малы по сравнению с (Ьх — а). Заменим в (73) величину (/3 — а)2 меньшей положительной величиной ((3 — )2. В виду выпуклости множества Е +, получим истинную формулу: где 7 = ( — а)(&і — а)-1 - положительная бесконечно малая. Отсюда, в частности, следует: (ЬІ - 0(ьі - )-1 1» Умножив эти неравенства почленно на положительную величину 5, получим Но J є Е(+. Так как берег В - длинный, то, по лемме 2.2.4, и 28 Е +. Из выпуклости Е{+ следует: значит, Итак, из R(A,B) и 5"(Л, Б) следует, что для каждого Ъ Z),6 Є -Р, существует /3 D,/3 Є Р, такое что выполнено (75). По лемме 8.1.1, тип берега 5 равен 1. Тогда 1) Если выполнено R(A,B) Л S(A,B), то тип берега В равен 1, 2) Если выполнено R(A, В) Л - S(A, Б), то тип берега В равен 2, 3) Если выполнено -iR(A,B), то тип берега В равен 3. Доказательство. 1) Первое утверждение следует из леммы 8.2.1. 2) Из R(A,B) следует, что берег В - длинный; из - S(A, В) теперь вытекает,что тип длинного берега В отличен от 1, следовательно, равен 2. 3) - R(A,B) означает, что берег В - короткий, и, значит, тип В равен 3. Определение 8.3.1. Пусть (А, В) - сечение в К, и тип одного из берегов равен г, тип другого берега равен j, где 1 г j 3. Тогда пару (i,j) назовем типом сечения (А,В). Логически возможны такие типы: (1,1),(1,2),(1,3),(2,2),(2,3),(3,3) По лемме 1.3.2, хотя бы один берег сечения - длинный. Следовательно, сечений типа (3,3) не существует. Лемма 8.3.1. Типы берегов симметричного сечения равны.
Док В сечения {А, В) в К равен 1 тогда и только тогда, когда истинны формулы: Доказательство, а) Необходимость. Пусть тип берега В сечения (А, В) в К есть 1. Тогда берег В - длинный, следовательно, истинна формула R(A,В). Пусть D есть центр сечения (А,В), Є D, b є B.Ylo лемме 8.1.1 найдется такое /? eP,D /3 Ь, что По определению D, существует (3 В,(3 /3 . Из (67) следует: По построению, (3 — D. В силу симметричности (А, В), имеем — (/3 — О D. Следовательно, найдется а Є В, такое что — (/3 — О ос. Отсюда ( — а) - (/3 — О О, значит, В силу (68), левая часть этого неравенства принадлежит Е +. Так как В - длинный берег, то по лемме 2.2.2, правая часть также принадлежит Е +. В виду выпуклости Е{+, это верно и для средней части неравенства Следовательно, S(A, В) истинно в К. Необходимость доказана. Ь) Достаточность. Пусть истинны R(A,В) и S(A,B), D Ъ. Из R(A,B) следует, что берег В - длинный. Существует Ьі є B,D bi Ь. Согласно S(A,B), существуют а є А,(З Є В, такие что Отсюда следует, что ((3 — а)2 бесконечно мало по сравнению с (Ъ\ — а), значит, и ((3 — а) бесконечно мало по сравнению с (bx — а). Поскольку то и ((3 — f), ( — а) бесконечно малы по сравнению с (Ьх — а). Заменим в (73) величину (/3 — а)2 меньшей положительной величиной ((3 — )2. В виду выпуклости множества Е +, получим истинную формулу: где 7 = ( — а)(&і — а)-1 - положительная бесконечно малая. Отсюда, в частности, следует: (ЬІ - 0(ьі - )-1 1» Умножив эти неравенства почленно на положительную величину 5, получим Но J є Е(+. Так как берег В - длинный, то, по лемме 2.2.4, и 28 Е +. Из выпуклости Е{+ следует: значит, Итак, из R(A,B) и 5"(Л, Б) следует, что для каждого Ъ Z),6 Є -Р, существует /3 D,/3 Є Р, такое что выполнено (75). По лемме 8.1.1, тип берега 5 равен 1. Тогда 1) Если выполнено R(A,B) Л S(A,B), то тип берега В равен 1, 2) Если выполнено R(A, В) Л - S(A, Б), то тип берега В равен 2, 3) Если выполнено -iR(A,B), то тип берега В равен 3. Доказательство. 1) Первое утверждение следует из леммы 8.2.1. 2) Из R(A,B) следует, что берег В - длинный; из - S(A, В) теперь вытекает,что тип длинного берега В отличен от 1, следовательно, равен 2. 3) - R(A,B) означает, что берег В - короткий, и, значит, тип В равен 3. Определение 8.3.1. Пусть (А, азательство. Для симметричного сечения по лемме 2.2.2, Е{ = Е(_+. Поскольку типы левого и правого берегов сечения полностью определяются множествами Е( и Е(+, соответственно, то типы обоих берегов симметричного сечения совпадают. Поскольку сечение, у которого оба берега длинные, симметрично, то тип (1,2) невозможен. Таким образом, остаются следующие типы сечений: (1,1),(1,3),(2,2),(2,3). Все эти типы сечений реализуемы, как будет показано далее. п.1. Рассмотрим поле Q с расширением R. Пусть (А, В) - сечение в Q, индуцированное элементом а Є R \ Q. имеем Е—центр D = {а}, ядро Е = {0}. Очевидно, что никакая геометрическая прогрессия не входит в Е. Итак, тип сечения (А,В) есть (2,2). п.2. Пусть Q(7) есть упорядоченное расширение поля Q с помощью положительного бесконечно малого -у. Обозначим через (0) множество всех бесконечно малых элементов поля Q(7) Исследуем тип сечения (Л, В) в поле Q.{y) где
