Содержание к диссертации
Введение
1. Матричные элементы максимальной аеелевой подгруппы а группы i- треугольных мтриц над полем и разложение группы а над конечным полем в произведение циклических подгрупп 20
2. Максимальные аеелевы подгруппы i- треугольных матриц, являющиеся централизатором одной матрицы 35
2.1. Максимальные абелевы подгруппы, сопряженные в полной линейной группе с диагональной подгруппой D 36
2.2. Описание всех максимальных абелевых подгрупп, являющихся централизатором одной матрицы 41
2.3. Инварианты Подгрупп Z(A) над конечным полем 91
3. Другие типы максимальных аеелевых подгрупп, полученные с помощью подгрупп Z С А) 92
3.1. Максимальные абелевы подгруппы группы Gполученные путем параметризации сопряженных с Z (А) подгрупп 92
3.2. Максимальные абелевы подгруппы, полученные с помощью операции над подгруппами Z(A)
для подпространств 107
4. Максимальные аеелевы подгруппы, являющиеся централизаторами нескольких матриц 120
4.1. Максимальные абелевы подгруппы типа пачек 120
4.2. Инварианты подгрупп типа пачек для случая конечного поля 131
4.3. Другие типы максимальных абелевых подгрупп, примыкающих к подгруппам типа пачек 133
4.4. Другие типы максимальных абелевых подгрупп группы Qn 142
Литература
- Описание всех максимальных абелевых подгрупп, являющихся централизатором одной матрицы
- Максимальные абелевы подгруппы, полученные с помощью операции над подгруппами Z(A)
- Инварианты подгрупп типа пачек для случая конечного поля
- Другие типы максимальных абелевых подгрупп, примыкающих к подгруппам типа пачек
Введение к работе
Работа посвящена исследованию максимальных абелевых подгрупп группы Q^ верхних I - треугольных матриц порядка т над произ -вольным полем К .
Если К - конечное поле, то группа Q является универсаль-
ТІ»
ной р - группой в том смысле, что любая конечная р - группа изоморфна некоторой подгруппе группы б (при подходящем П ) .
*I»
Изучение абелевых подгрупп группы Q представляет самосто-ятельный интерес для теории линейных групп, оно важно также для построения теории представлений абелевых р - групп над полем характеристики р .
Абелевы подгруппы группы qL(7i, К) изучались в работах И.Щура /I /, М.Ф.Кравчука /2, 3/, Д.А.Супруненко /4 /. Модернизированное изложение результатов М.Ф.Кравчука содержится в работе /4 /.
В случае простого конечного поля К в/5/ и/6/ описаны все абелевы подгруппы максимального порядка группы (J^ , в /7 / -абелевы подгруппы максимального порядка в группах Шевалле типа
п» п » п » п. над конечным полем К , а в /8/ - абелевы уншютентные подгруппы максимального порядка конечных ортогональных групп.
Мы рассматриваем конструктивные методы построения максимальных абелевых подгрупп группы G , опирающиеся на характеризацию
ТІ»
одного экстремального класса абелевых подгрупп в Q - групп, яв-ляющихся централизатором одной матрицы. Полное описание этого класса максимальных абелевых подгрупп группы G дается в главе 2, которая занимает центральное место в этой работе.
Заметим, что задача об абелевых подгруппах группы Qu , ко-
4 торые в Q являются централизатором одной матрицы, не эквивалентна такой же задаче для группы чіиї, К) , для элементов которой имеется каноническая форма Фробениуса. Действительно, централизатор в G матрицы дб Q„ может быть абелевым и тогда, когда централизатор этой матрицы в QL(Tl,К) неабелев (соответствующие примеры легко указать уже для ТІ = 3).
Перейдем к изложение результатов работы.
Результаты первой главы используются в последующих главах.
Здесь вводится каноническая форма матриц максимальной абеле-вой подгруппы А . Эта форма основана на изучении матричных элементов а.. (#) 9-бА как Функции на максимальной абе лев ой подгруппе А группы G . Группа А устроена следующим образом. В некоторых клетках
(чД), Л\,К) (\^к)
расположены произвольные параметры ^ , cLz , ...,
где коэффициенты А^ , ..., А^ - фиксированы для каждой клетки ( ^, ). Клетки, где расположены свободные параметры сб. , можно выбирать многими способами. Мы используем следующий выбор этих клеток. Установим следующее упорядочение клеток (і, ї) (ъ<) ; (^,^) <(\,їх) , если -tf < iz или если ^= но ^ < J-z
Пусть А - произвольная максимальная абелева подгруппа группы (L . Тогда следующим образом вводим произвольные параметры
е^ , d*z , ..., <іл . Пусть (іліІ-4) - первая из клеток (^,2-) , для которой 0^-. ($) Ф О . Тогда параметр об записывается в клетке (^,^) . Предположим, что уже выбраны произвольные параметры cLj , «^ , ..., ^ , расположенные соответственно в клет-
так, что для любой клетки (і,і)
функция О... ($.) является линейной комбинацией параметров d
**** * > <*» Если Я3151 всех клеток (**,) (і<і) элементы CLi- (д.) суть линейные комбинации параметров ^ , oi^t . . .,^ , то построение систеглы свободных параметров {о^} закончено. Пусть (і у і ) - первая из клеток (i,j>) (і,І0 > (і tj^) таких, что функция С.. ($) не является линейной комбинацией функций
а. . (9)=^, . . . , а. Cg)=cd
Тогда полагаем об = CZ. . (а).
Теорема I.I. Пусть А -максимальная абелева подгруппа группы Q над простым полем її із р элементов ( р - простое). Выберем для группы к свободные параметры:
указанным выше способом. Пусть g. (t = 1,..., б) - такая матри
ца из подгруппы А , которая содержит нули в клетках (<*,)
(Ї, })<(<'}) и удовлетворяет условию а. . ( а. ) = у. # О
(t = і 9 . . . t 6) . Тогда каждый элемент #6 А
однозначно записывается в виде
8язГ' -'С (о<[ч<р. «*,...,*). (і)
Теорема I.I легко переносится на максимальные абелевы подгруппы А над конечным полем K=(JF(q.), 9-= ?т
В силу (I ) группа А над простым полем 1Г из р элементов представляется в виде произведения циклических подгрупп
A =(9,)- . . .(). (2)
Это произведение, вообще говоря, не прямое, ибо единственность записи (I ) получается только при ограничениях О 4 Ґч < Р
1<> = 1 ,а).
Пусть элементы 9ч , ...і 9-а в (2 ) - фиксированы. Если в формуле (I ) для элемента Q, А , $ Ф А выполняются равенства 1%= > > fV= , но Гг+л Ф 0 , то положим -6(9) = 2 + 1, (9)=* , если ^ = О.
Пусть 2#={(^,/,), . . . ,(^,^.)/ - множество указанных выше клеток, где расположены независимые параметры
Будем говорить, что клетка (\,4^^ подчинена клетке (іг , г) Ш , если 2 и для некоторой степени рт (ш^О) имеем С^р )=t.
Подмножество
W={(\,4(),...,(\.\)} О)
( <... < ъ ) множества ^ назовем базовым, если одновременно выполняются два условия:
Каждая из клеток (\,г)6 Wl подчинена по крайней мере одной из клеток
В любой паре различных клеток из Ш1 ни одна из них не подчинена другой.
Теорема 2.1. Пусть Ш1 - базовое подмножество клеток для фиксированных элементов #.,»» 9$ в (2 ). Тогда
А- с»,)-...-(».).
Теорема 3.1. позволяет получить прямое разложение ряда клас-
сов максимальных абелевых подгрупп группы Q над конечным полем.
Следующая теорема, относящаяся уже к конечномерным алгебрам над полем 1l , примыкает к теореме I.I.
Пусть А - коммутативная конечномерная алгебра с I над полем
% из р элементов ( р -простое). Пусть все элементы Х6 А ,
п.
отличные от А-1 = А , нильпотентны: х = I ( п - зависит от х ). Тогда множество всех этих элементов есть радикал V алгебры А . Пусть ш - размерность радикала V над 1С .
.тп
Образуем множество Q ={ 1 + эс} , х є V. Тогда Q - группа порядка р7
Теорема 4.1. Существует такое прямое разложение группы
(?=(1ч-б)х...х0 + в )=(а)х. ..х(а ),V=H (<-=1,.:.г),
что элементы
т4 тПъ
, я '-< р -1.
(6,...,8, , .,вг,...,Вг }
образуют ТС - базис радикала V алгебры А .
Как уже отмечалось, 2-ая глава занимает центральное место в диссертации. Здесь описан важный экстремальный класс максимальных абелевых подгрупп группы G - абелевы группы, являющиеся в Q централизатором одной матрицы.
Доказаны следующие теоремы и предложения:
Предложение 1.2. Централизатор Z (А) абелев тогда и только тогда, когда матрица А сопряжена в G с матрицей В=Нб..1 вида:
7Х Ъ
I. в. . * 0 для г^і^і:
__ (I ПРИ П-і 4:Ї- + Ь^1Ь, 12 При г + 5 = 72. + 1
12-Ю-ПІ 41 ;
Все остальные элементы матрицы В - нули. Из предложения I вытекает теорема 3.
Теорема 3,2, Всякая максимальная абелева подгруппа, являющаяся централизатором одной матрицы А Q , сопряжена в Q с группой вида
А, А+1
1TV
г,г+1
.1 т_
ш
"ЫЬ
Z(Bh
л' т О
\
(5 )
\
где: I. «1и = <^Ч тг,7+і-і М* **><>**,
І-1
п *,
ФО для Ъ4У^д ;
оО. . = -г— ,
'»,»+/
П Л,
)>=г
2. т.. произвольны для Hi4Z , Ь+1^п ;
3. 777.. = 0 во всех остальных клетках.
Теорема 2.2. Класс сопряженных между собой в Q максималь-ных абелевых подгрупп Н определяется парой натуральных чисел
(«,*) ^2^[^]+f , І2+6-ПІ41 и вектором Ц,..., <^_г+,) (<.= О, і ~ 1, 2, . . ., 6-2 + 1) (б-2+1) - мерного проективно-го пространства над полем К .
Пусть задана пара (1, 6) и вектор (^,.. . ,^ь.^+л)-
Введем подгруппу
(\
'1
в.
н,=
где В пробегает централизатор матрицы
Ч об.
А =
' d
' -1
в группе Q и подгруппу Н_ , состоящую из всех матриц
'6-Z+Z z
*
к=
о о
J+1
' -1
где для каждой клетки ( i}i) прямоугольника, отмеченного знаком
Е +ле,
^ , подгруппа п0 содержит все матрицы вида _ ---,..
VA К , Тогда представитель И класса, соответствующего паре
(2,6) и вектору (об t
подгрупп с объединенной подгруппой Ь=\Ь+-Ле) ,
где Л пробегает все элементы поля К ( L - изоморфна аддитивной подгруппе поля К ). Число классов подгрупп Н С (я , сопряжен-ных между собой в QL(n,K) , равно [^+^12^].
в Q равно
Следствие. Если К=чг(<^) - конечное поле, то число различных классов сопряженности подгрупп п
тг-f , -1
Ф+*)~
+1
если п - четно,
если п - нечетно.
Предложение 3.2. Подгруппа {о^Е} х Z(A) является единственной максимальной абелевой подгруппой группы QL (jl, К) , содержащей подгруппу Z(A), где А имеет вид
1 0. -
.4-
1 О
' Ю 1
"1
Получены инварианты Z(A).
Пусть - максимальная абелева под-
группа вида (5 ) группы Q над конечным полем. Тогда Z\A)pa3-лагается в пршлое произведение циклических р - групп.
Мы фактически строим это разложение и определяем инварианты группы Z(A).
Будем сначала рассматривать случай, когда К= Цг(р) 9 т.е. К -простое поле характеристики р .
Подгруппу Z(A) вида (5 ) можно представить в виде прямого произведения D х г , где D. - подгруппа вида
1 о
изоморфная диагональной подгруппе группы Q , a F -кле-
точная подгруппа, образованная всеми клетками прямоугольника ( Z х (п--й)) , кроме клетки ("г, 4-м) .
Подгруппа г есть подгруппа вида р, .. . ., р^ , где c^,-t-i , а -Ь -число клеток прямоугольника (і* (п-ь)) . Поэтому для вычисления инвариантов Z (А) достаточно вычислить инварианты группы D .
Поскольку все подгруппы D сопряжены между собой в
, то они, в частности, между собой изоморфны и достаточно вычислить инварианты группы V вида
f\ а В с
D=l
(є)
Теорема 3.1. Максимальная абелева группа (6 ) над простым полем ТС характеристики р разлагается в прямое произведение подгрупп ( Я-і ), где (І, Р) = 1 у і^ійП-1.
В главе 3 с помощью подгрупп Z (А) , являющихся централизатором одной матрицы, строятся новые типы максимальных абелевых подгрупп группы Ц^ .
Пусть К - произвольное поле, а ц - группа верхних I - тре -угольных матриц порядка П над полем К .
Пусть
Если А - максимальная абелева подгруппа группы Qn , то В= SА О также, очевидно, максимальная абелева подгруппа в
Если группа А является централизатором фиксированной матрицы д }и , то группа В есть централизатор Sqo 6 q
Оказывается, что при A=Z(#)h3 группы D можно построить путем "предельного перехода" максимальные абелевы подгруппы в Q , уже не являющиеся централизаторами одной матрицы.
Для этого специальным образом вводятся новые параметры
г > > гп-г так' ЧТ0 паРаметРы V ... , Ал и ^,-.., 2л_2 друг друга однозначно определяют при Х.Ф О . Новые типы максимальных абелевых подгрупп получаются, если для любого подмножества {Ч ,^} множества индексов {1, . . . 9 71-2} положить
\;0,. . ., \-о.
При A = D матрица В имеет вид
%
П-І
\
л л1 і
(8)
.1
J'
Полагаем
\' *з~
1 ?
3- »
2-^== а г
\ Ч
-^--^- « ГІ2,
*« Чи
B(V-,U=
где j- пробегает все натуральные числа, одновременно удовлетворяющие условиям к sO (mod ($-+1)) и ^-^ k-l. При этом подгруппа А переходит в
где уже не предполагается, что параметры Z. *0.
Имеют место теоремы 3,1, 3.2, 3,3.
Теорема 1.3. Группа В (l , . . .,2 ) является абелевой подгруппой группы Q .
максимальной
14 Теорема 2.3. Группы В (^ , . . .,^) и В(ъ', . . . f 2^z) сопряжены в полной линейной группе QL№, К) тогда и только тогда, когда векторы (\ , , %п_г) и (^,--., \.а) имеют одинаковые нулевые координаты .
Теорема 3.3. Группы ($( ,.. .,\„г) и В (^,.-- * К-J С0ПРЯ-жены в группе Qn тогда и только тогда, когда векторы fy» , Va ^ и (^ ,..., ^.а) совпадают.
Отметим, что хотя подгруппы В(1 9.. 1 ) получены из матриц, являющихся централизатором в Q_ одной матрицы, сами они уже
Ті*
не удовлетворяют такому условию.
Если вместо подгруппы f\, = D рассмотреть подгруппу Z (я) общего вида и применить к Z($) предыдущую параметризацию, то подгруппа В (",,... , ^n.z) , вообще говоря, уже не будет максимальной в G , но она будет прямым множителем максимальной абеле-вой группы В (%,.. -.»2. )х ' , где г - клеточная группа.
Отметим теперь другие результаты главы 3.
Пусть е^ , .. . } Вп - базис линейного п - мерного пространства над полем К .
Разобьем этот базис на два непересекающихся подмножества:
{е Є>. (Ю)
Для каждого из подмножеств соответственно в 71 - мерном и
(п-п) - мерном пространствах можно образовать треугольные под
группы Q и Q , соответственно полных линейных групп
QL (71,,10 и QLClt-n,, К) и выбрать в них максимальные абе-
левы подгруппы соответственно Z. =Z(^) и Z =Z (.) , яв
ляющиеся централизаторами матриц , и ga .
Очевидно, Z и Z тривиальным образом погружаются в группу
15 Qn , что мы в дальнейшем будем предполагать.
Прямое произведение 7LA х Z естественным образом погружается в группу Qn , но оно уже не будет макошлальной абелевои подгруппой в группе GL .
Оказывается, тем не менее, что это прямое произведение является прямым множителем некоторой макошлальной абелевои подгруппы В группы Qn .
Точная формулировка этого результата следующая. Теорема 4.3. Подгруппа вида
ч-
в =
\
6+1
Ч»
V
где
ч.
"4
максимальная абелева подгруппа в Q вида Z(^) ,
максимальная абелева подгруппа ввда Z ($&) в Ч п_п ,
F =
1 .О
О 'І
'і
-Клеточная подгруппа, соответствующая базисным векторам
е является максимальной абелевой
подгруппой группы ч .-_,.„ л (подгруппа d есть прямое произведение
Z,*Za*F).
Подгруппа В = Z * Z х г дает пример максимальной абе-
левой подгруппы G , которая нетривиальным образом дополняется до
максимальной абелевой подгруппы в , а именно
Ґ.
об
-Л
Г "!сб
'об
I I I I I 1-I
I I
о
Другие типы максимальных абелевых подгрупп группы Q полу-
ґ .
чаются путем расширения в Qn прямого произведения подгрупп Z, и Z с некоторыми объединенными подгруппами:
О
Гі"! F.!
_ -і 1.
_ 1 _ !
\
D.
с:
ч.
'f2:
.
При этом в QL (ТІj К) эта подгруппа дополняется до максимальной абелевой подгруппы тоже нетривиальным образом:
ґ
j, +-^
ч.
В главе 4- ой строятся новые типы максимальных абелевых подгрупп группы (qn с использованием следующей идеи.
Рассмотрим матрицу ge G , удовлетворяющую условиям 1-4 предложения I параграфа 2.2. Если отбрасывать поочередно для матрицы д. условия I, 2, 3, то Z(g) будет уже неабелева группа. Добавляя условие перестановочности всех матриц ZC9-) с некоторыми другими фиксированными матрицами 7.СФ , мы получаем новые типы максимальных абелевых подгрупп группы Q^ , уже не являющихся централизатором одной матрицы.
Укажем эти типы.
Назовем пачкой нулей сплошной массив нулей, заполняющих столбцы с номерами i-H, i + 2, ...,і-*-і , начиная со второй строки.
Теорема 1.4. Пусть ., Qn имеет вид:
2. a,>U( = i, если fc^v1***^.-1'
3- ^.W"1' вМ" к*ЛгАк****.
(к,и В о6в і . . . ^} - некоторые натуральные числа;
4. Остальные элементы матрицы - нули.
Пусть . (t.= f, . . . , ^ ; «б =/,.. .,^,) такие матрицы, что CL , = I и & , =-1, а все остальные элементы мат-рицы а, - нули.
Тогда множество всех матриц из Q , перестановочных с каж-дои из матриц <&, , $^ (i=i,2, ..., ;«* = *,.-*?)
образуют максимальную абелеву подгруппу группы Q
В случае одной пачки Z С 9* * * 9-ц. ?) шеет вид
m m
1 m
1Z
m.
о сг
\
о
т.
7П.
?п,
б; =11 т
Теорема 2.4. Если
9--f з у Я-1с+1»-)~ максимальная абеле-
ва подгруппа, построенная по теореме 4.1, то подгруппа
{olE}*Z (&, . - , Qki.i,-- ) (<^фО) является единст-
венной максимальной абелевой подгруппой в полной линейной группе QL(n, К) .содержащей Z ($<, . -, %+i , . . .) .
Далее, с использованием разложения подгрупп в теореме 3.1, определяются инварианты подгрупп типа пачек.
Затем, путем применения к подгруппам типа пачек конструкции главы 3 (целая рациональная параметризация подгрупп получаем новые типы максимальных абелевых подгрупп группы ц .
71»
Далее, путем отбрасывания условий 2, 3 предложения I параграфа 2, и добавления добавочных условий перестановочности всех матриц Z (%) с другими матрицами, строятся новые серии максимальных абелевых подгрупп группы Q .
Описание всех максимальных абелевых подгрупп, являющихся централизатором одной матрицы
В 2.1 мы описали класс максимальных абелевых подгрупп группы G , являющихся централизаторами одной матрицы вида Этими группами не исчерпываются все абелевы подгруппы группы с) являющиеся централизаторами одной матрицы. В самом деле, рассмотрим подгруппы группы Q вида КЕК где обозначает произвольные элементы поля К , а число г нулей на второй диагонали, выше элемента, отличного от нуля, удовлетворяет условию [у J -1 14; ]_- [-} , а ТІ - порядок матрицы.
Легко видеть, что подгруппа D ( 1 = 1,2,3) является централизатором матрицы Кроме того, каждая из подгрупп D- ( = 1, 2, 3), очевидно, -абелева. Если К - конечное поле из а элементов, то каждая подгруппа D. ( І = I, 2, 3) разлагается в прямое произведение циклических групп порядка р . Если ( = рг , то их число равно mf , где число клеток в прямоугольнике
Итак, мы уже знаем два типа максимальных абелевых подгрупп группы G , которые суть централизаторы одной матрицы: подгруппы, описанные в 2,1, сопряженные с \) в полной линейной группе, и подгруппы вида D; ( = 1, 2, 3) (отметим, что каждая из подгрупп D. ( = I, 2, 3) есть нормальный делитель группы Ц ).
Далее мы даем полное описание (с точностью до сопряженности) всех максимальных абелевых подгрупп группы Gj , являющихся центра лизатором одной матрицы. Оказывается, что каждая такая подгруппа сопряжена с подгруппой, которая-по простому закону составляется из некоторой подгруппы типа D для размерности ( ! - ъ + 2 ) и подгруппы D. ( = I, 2, 3) для размерности (ъхСп-д)) . Точная форглулировка результата следующая.
Теорема 3. Всякая максимальная абелева подгруппа, являющаяся централизатором одной матрицы Ав Q , сопряжена в G с группой #1» » віща
Возьмем самый нижний ненулевой элемент в столбце &-л (это бу дет СІ. . ) и с помощью треугольных замен базиса приведем мат рилу А к виду, где правее клетки (\,&л) в 1.-ой строке бу дут находиться одни нулевые элементы. Выбираем следующий ненулевой столбец, скажем \ (з4 2f) , и с помощью нижнего ненулевого эле мента этого столбца, скажем CL , треугольным преобразованием создаем нули в строке к правее клетки [к , \) . Так поступаем со всеми ненулевыми столбцами. При этом каждое последующее преоб разование не меняет нулевых элементов ранее преобразованных строк.
Выберем теперь строки с номерами і +1, +-2,. . ., -4 , расположенные ниже элемента Сі. . . Заметим, что столбцы с этими но-мерами - нулевые по условию леммы.
Возьмем +1 строку и создадим нули в этой строке самыми нижними ненулевыми элементами всех столбцов, которые содержат ненулевые элементы этой строки. При этом (І + 4) - ая строка будет либо нулевой, либо содержать точно один ненулевой элемент, скажем Сі. . , причем в столбце с номером % ниже этого элемента будут находиться только нулевые клетки.
Точно так же поступаем строками. Заметим, что указанные преобразования не меняют нулевых клеток, полученных в предыдущих преобразованиях.
Таким образом, в матрице А после указанных треугольных преобразований в каждой строке і (t 4iOf-f) будет содержаться не более одного ненулевого элемента, при этом в столбцах, содержащих эти ненулевые элементы, будут находиться только нули.
Обозначим через В подматрицу матрицы А , образованную ее строками с номерами Возможны следующие случаи. I. Все клетки некоторой строки матрицы В -нулевые (см. схему 5.1). В этом случае легко построить в Z (А) два некоммутирую-щих однопараметрических семейства М (га ) и М Спп.) . В самом деле, матрица А имеет "нулевой" угол (т.е. существует такое 6 , что все клетки 6-ой строки и 6-го столбца (t+1 5 іл - 1) содержат только нулевые элементы). Пусть матрица М (т ) содержит в клетке (1,6) произволь 1 А ный параметр та , а в остальных клетках - нули, а матрица М.(тп) А Л Я содержит произвольный параметр ТП Ф ТП. в клетке (4, Ті) , а в остальных клетках - нули:
Максимальные абелевы подгруппы, полученные с помощью операции над подгруппами Z(A)
Мы применим сейчас новую конструкцию, которая позволит построить новые типы максшлальных абелевых подгруппы путем соответствующей параметризации сопряженных с Z(A) в GjL(n К) подгрупп. Пусть К - произвольное поле, a G - группа верхних I - тре -угольных матриц порядка ті над полем К . Пусть (\ 0). (I) Если А - максимальная абелева подгруппа группы (J , то В = S A S также, очевидно, максимальная абелева подгруппа в } . Если группа А является централизатором фиксированной матрицы geQ , то группа В есть централизатор S$S Qn.
Оказывается, что из групп В можно построить путем "предельного перехода" максимальные абелевы подгруппы в Q , уже не являющиеся централизаторами одной матрицы.
Для этого специальным образом вводятся новые параметры Ъ»- -J Ъ о так что параметры А,, .... А и г s друг друга однозначно определяют при А- = О . Новые типы максималь-ных абелевых подгрупп получаются, если для любого подмножества {І . ... ! множества индексов {1% . . , я} положить 2. =о ъ{ -о.
Отбросим в (6 ) ограничения, что все Ф О . Тогда легко проверить, что для фиксированных 2 множество 6( ,. по-прежнему состоит из коммутирующих между собой матриц. Итак, имеют место следующие теоремы. Теорема I. Группа В (%л , . . .} z ) является максимальной абелевой подгруппой группы Qn . Теорема 2. Группы В (г1 , . . ., ) и Ъ (1 , . . . , ї _ ) сопряжены в полной линейной группе QL(n,K) тогда и только тогда, когда векторы ( ,. . .,2 ) и (\ ,..., 2«.2) имеют одинаковые нулевые координаты.
Теорема 3. Группы В С0ПРяже-ны в группе ч тогда и только тогда, когда векторы совпадают. Доказательство теоремы Покажем, что всякая матріща g.e (} , перестановочная с каждой матрицей из лежит в В (. Отсюда сразу будет следовать, что В - максимальная абе-лева подгруппа в Q . Пусть М= IIfit JI6 G - произвольная матрица, коммутирующая с каждой матрицей из 6 : к-І т t=i i " tk к- Следовательно, 2 8. т., = 21 т. в.. . Положим, для определенности і = I, имеем Учтем, что # = , , и . = П 7 где 4 , как и в (5 ) определяется из условий р-1 ф. о (mod(A+i», k $0(mod(4+i))9 { } Htt) Подставим эти выражения в (7 ) fc-f k-i Tim = ZI 7П П т. g fc = a r Так как 6. - произвольные параметры, то Если положить rn=m ,тога = m, и тогда или, учитывая (4 ), т.е. т., а П Ї, т, . . Значит, произвольная матрица М , коммутирующая с каждой матрицей из у п_2) » также лежит в В(Ъ,,. . . , 2л_г) .Сле довательно, В (ъ J- максимальная абелева подгруппа в G, (Заметим, что в доказательстве мы нигде не использовали тот факт, что параметры 1. отличны от нуля). Доказательство теоремы 2. Рассмотрим группу В [%,, . . ., і ), где в =. .. = в О, а остальные 1± отличны от нуля. Покажем, что эта группа сопряжена в полной линейной группе с любой группой
Если некоторые параметры 1^ обращаются в нуль, то группа В (г) не является централизатором одной матрицы $ Qn» В самом деле, пусть в группе В (11 } Z^ } 2з 9 7^) їг =0} существует матрица ge Bfy,. .. ,\.z) такая, что В =Z($.).
Аналогично можно указать системы матриц, централизатором которых является группа Ъ(ъ) при любом числе нулевых параметров Рассмотрим теперь обобщение предыдущей конструкции, когда вместо диагональной группы D берется макстіальная абелева группа Z (А) вида (25 ). где клеточная, подгруппа F , соответствующая прямоугольнику будет такой же как и в группе Z (А) , а группа L такая же, как описана выше для Z(A)=D.
Если теперь, как и выше, ввести новую параметризацию подгруппы L = S Z(A)o , введя новые параметры по формулам (5 ), и заменить некоторые параметры (5 нулями, то мы, как и раньше, получим абелеву подгруппу L группы Цп . Эта подгруппа, вообще говоря, уже не будет максимальной, но можно показать, что она будет прямым множителем максимальной абелевой подгруппы L .
Инварианты подгрупп типа пачек для случая конечного поля
Оказывается, группа В разлагается в прямое произведение циклических подгрупп точно так же, как диагональная группа в теореме 4 параграфа 2.4.
Введем сквозную нумерацию свободных параметров в первой строке матриц группы В : (т.е. мы пропускаем номера элементов, стоящих над пачками нулей). Далее так же, как в теореме 4 параграфа 2.4, строим матрицы А- (ІФ О (rnodp)). Матрицы А. получаются из матриц общего вида в В , если все параметры, кроме . » заменить нулями и положить v. =1.
Повторяя рассуждения теоремы 4 параграфа 2.4, можно показать, что В=П (Аг) (іфО(тосір)). (15) k i Построим матрицы С,- следующим образом: в матрицах Z (А, A, . . ..J (і == ,.. ., t -, xL-i,...,о) все сво 4 - бодные параметры, кроме параметров ж , и т . , полагаем равными нулями, а Ш ига заменяем на I и -I соответст венно ( 7Л - свободный параметр, непосредственно предшествую-щий той пачке нулей, в которой расположен параметр m (. 4. tiks if ).
Тогда имеет место следующее прямое разложение группы ,... ,...)= . к.. ), (I6) где Су. - циклическая группа порядка о в Qn, порожденная мат-рипами С- (число подгрупп (С. равно числу нулевых столбцов во всех пачках;.
Доказательство. Возьмем произвольную матрицу D Z(A ,...,А, . ) Пусть в клетках первой строки над пачками нулей содержатся параметры с Заменяя эти параметры нулями, получим матрицу R. 6 Б (см. (14 )). Пусть параметру d. соответствует матри ца С . Тогда из вида матриц 1_(к А, . .) вытекает, что Таким образом, имеет место теорема.
Те орема 3. Подгруппа Z (А ,..., А, . ) над простым полем характеристики р разлагается в прямое произведение циклических групп, возникающих в разложении В (формула 14) и циклических подгрупп порядка р , число которых равно числу столбцов матриц Z \пл,..., Afc + . 9.. . ) , входящих в пачки нулей.
К пачкам можно применить такие же конструкции, которые применялись в теоремах 1-3 параграфа 3,1 по отношению к диагональным подгруппам. Обозначим Z(A ,. . .,Afc+i,...) для простоты через A = llcu[, ся имеем согласно (5 ): Теорема 5. Группы В(ъ) и В (.1) сопряжены в QL(n9K) тогда и только тогда, когда векторы Z и 2 имеют одинаковые нулевые координаты. Теорема 6. Группы В( ) и v(l ) сопряжены в группе G тогда и только тогда, если векторы ( ,..., ЪЛ) и ( .--,) совпадают. Доказательство является усложненным вариантом тех рассуждений, которые применялись при доказательстве теорем 1-3 параграфа 3.1.
Замечание. Если некоторые из параметров ъ. = 0, то группа В (Z) , вообще говоря, не является централизатором одной матри-цы. Если точно один параметр ъ. = 0, то группа В (.) является централизатором матриц. Максимальные абелевы подгруппы типа пачек были построены нами, как централизаторы множества матриц где А , А . (1=1 . в\ ; d = 1,.. ., %) задаются формулами тео-ремы I параграфа 4.1.
Теорема 7. Классы сопряженных между собой максимальных абе-левых подгрупп Z[fy , . - ., fctt.f] взаимно однозначно соответствуют векторам (/J ? . . . ^ /*лм ) ($.Ф о) {%-%)- мерного проективного пространства над полем К .
Последняя теорема является обобщением теоремы 2 параграфа 2.1. Замечание. Согласно теореме 2 параграфа 4.1, централизатор матриц (19 ) в QL(n9K) является максимальной абелевой подгруп пой в и представляется в виде прямого произведения подгруппы типа пачек в Q и подгруппы вида { В 2.2 был указан канонический вид матрицы А Q , для которой централизатор Z (А) -абелев. Эта матрица одновременно удовлетворяет следующим условиям: где , [і при п-1 г+і 7i, CL= (I) при г+б = Tt-м І 3. 1+6-П/ 4; 4. Все остальные элементы матрицы А - нули. Для получения новых типов максимальных абелевых подгрупп мы используем следующую идею. В условиях (I ) для матрицы отбрасывается одно из условий I., 2., 3. Тогда Z (А") будет неабелевой группой и для выделения абелевой подгруппы Z (А) :налагаются дополнительные условия перестановочности всех матриц Z(A) с некоторыми другими матрицами Z(A) , вид которых определяется матрицей А . На этом пути получаются максимальные абелевы подгруппы группы Q , являющиеся централизаторами нескольких матриц. Максимальные абелевы подгруппы типа пачек Эти максимальные абелевы подгруппы получаются, если в 4.1 отбросить условие I. Назовем пачкой нулей сплошной массив нулей, заполняющих столбцы с номерами + l,i+2, . , начиная со второй 121 строки. Теорема I. Пусть А бц имеет вид I; гг і. а 2. а„ „ = I, если к. + е,ч-1 г 1с -1; ( k и J ( oL = I, ..., о )) - некоторые натуральные числа. 4. Остальные элементы матрицы Д - нули. Пусть А ( і - і , г , . . ., ; с=н, ---,) такие матрицы, что а =іи CL . = -1, а все остальные элементы матрицы А - нули. Тогда множество всех матриц из tj , перестановочных с каждой из матриц А , А, . { і =1,2, t .. ., L; 1= 4 a ) , обра-зуіот максимальную абелеву подгруппу группы С? . Рассмотрел централизатор Z(A) матрицы А в Q . Подгруппа Z ( А ) устроена следующим образом: I) Все матрицы из Z (А ) содержат пачки нулей в клетках (2,6) , -HO + Є,, 122 т.е. oi -я пачка содержит В нулевых столбцов с номерами 2) Первая строка заполняется элементами 3) Клетки 2- ой строки между пачками, кроме (2,к.+ б +І) заполняются сдвигом 1-ой строки. 4) В клетках (2, + + 1) расположена сумма элементов 5) Остальные строки, кроме строк с номерами +-1, +2, . . . . к,+ I. заполняются путем последовательных сдвигов элементов П- ой строки без учета пачек. 6) Строки с номером k +1, . . , + заполняются элементами строки к без сдвига, кроме элементов последнего столбца: они остаются произвольными. Тем самым доказано выше сформулированное утверждение относительно вида группы Z (А.) . Заметим, что Z(A) - неабелева группа, что вытекает из произвольности элементов последнего столбца, находящихся в строках с номерами нулевых столбцов пачек. Напршлер, для п. - 6, cL - I пачки, состоящей из одного нулевого столбца, является "почти" максимальной в полной линейной группе. Она тривиальным и единственным образом дополняется до максимальной абелевой подгруппы В в полной линейной группе Оказывается, то же самое имеет место для максимальных абеле-вых подгрупп Z СА . А )в G , построенных по теореме 5. А именно 19 U.+i 71 имеет место следующая теорема Теорема 2. Если Z(A „ А, ) - максимальная абелева подгруп-па, построенная по теореме I, то подгруппа {J.Е} х Z(А) (4 0) является единственной максимальной абелевой подгруппой в полной линейной группе QL(7l,K) , содержащей Z (А) . Введем сквозную нумерацию свободных параметров в первой строке матриц группы В : (т.е. мы пропускаем номера элементов, стоящих над пачками нулей). Далее так же, как в теореме 4 параграфа 2.4, строим матрицы А- (ІФ О (rnodp)). Матрицы А. получаются из матриц общего вида в В , если все параметры, кроме . » заменить нулями и положить v. =1. Повторяя рассуждения теоремы 4 параграфа 2.4, можно показать, что В=П (Аг) (іфО(тосір)). (15) k i Построим матрицы С,- следующим образом: в матрицах Z (А, A, . . ..J (і == ,.. ., t -, xL-i,...,о) все сво 4 - бодные параметры, кроме параметров ж , и т . , полагаем равными нулями, а Ш ига заменяем на I и -I соответст венно ( 7Л - свободный параметр, непосредственно предшествую-щий той пачке нулей, в которой расположен параметр m (. 4. tiks if ). Тогда имеет место следующее прямое разложение группы ,... ,...)= . к.. ), (I6) где Су. - циклическая группа порядка о в Qn, порожденная мат-рипами С- (число подгрупп (С. равно числу нулевых столбцов во всех пачках;. Доказательство. Возьмем произвольную матрицу D Z(A ,...,А, . ) Пусть в клетках первой строки над пачками нулей содержатся параметры с Заменяя эти параметры нулями, получим матрицу R. 6 Б (см. (14 )). Пусть параметру d. соответствует матри ца С . Тогда из вида матриц 1_(к А, . .) вытекает, что Таким образом, имеет место теорема. Те орема 3. Подгруппа Z (А ,..., А, . ) над простым полем характеристики р разлагается в прямое произведение циклических групп, возникающих в разложении В (формула 14) и циклических подгрупп порядка р , число которых равно числу столбцов матриц Z \пл,..., Afc + . 9.. . ) , входящих в пачки нулей.Другие типы максимальных абелевых подгрупп, примыкающих к подгруппам типа пачек
Похожие диссертации на О максимальных абелевых подгруппах группы треугольных матриц над произвольным полем
