Содержание к диссертации
Введение
Часть 1. О взаимных коммутантах нормальных подгрупп в свободных группах. 14
1. Основные определения. Связь между определениями. 14
2. Формулировка теоремы 1.1. Следствия из теоремы 1.1. 21
3. Доказательство теоремы 1.1. 23
3.1. Дополнительные определения. 23
3.2. Доказательство теоремы 1.1 по модулю предложений 1.1 и 1.2. 26
3.3. Некоторые допустимые преобразования. Вспомогательные леммы. 27
3.4. Доказательство предложения 1.1. 31
3.5. Доказательство предложения 1.2. 41
4. Некоторые примеры для случая свободной группы и следствия для случая свободных произведений. 43
4.1. Частный случай пересечения более, чем двух нормальных подгрупп в свободной группе. 43
4.2. Некоторые примеры. 50
4.3. Некоторые следствия для случая свободных произведений. 52
Часть 2 . О взаимных коммутантах нормальных подгрупп в произвольных группах 55
5. Определения. Связь между определениями. 56
6. Формулировка теорем и следствий. 59
7. Некоторые приложения. 61
8. Доказательство теоремы 2.2. 63
8.1. Дополнительные определения. 64
8.2. Доказательство теоремы 2.2 по модулю предложений 2.1 и 2.2. 65
8.3. Описание допустимых преобразований. Вспомогательные леммы. 66
8.4. Доказательство предложения 2.1. 67
8.5. Доказательство предложения 2.2. 70
Часть 3. Об относительно асферических копредставлениях и их центральных расширениях . 72
9. Соотношения во взаимном коммутанте [NR,G]. Строение фактор- группы NR/[NR,G\. 72
10. Применение. 76
Часть 4 . О конечной определенности группы F/[M,N]. 82
11. Формулировки результатов о группе F/[M, N]. 82
12. Доказательства результатов для группы F/[M,N]. 83
13. О конечной определенности группы F/fJi^jfNijNj]. 86
Список литературы 91
Публикации автора по теме диссертации. 93
- Доказательство теоремы 1.1 по модулю предложений 1.1 и 1.2.
- Некоторые примеры для случая свободной группы и следствия для случая свободных произведений.
- Доказательство теоремы 2.2 по модулю предложений 2.1 и 2.2.
- Соотношения во взаимном коммутанте [NR,G]. Строение фактор- группы NR/[NR,G\.
Введение к работе
Вопросы, связанные с изучением свойств групп, заданных своими копред-ставлениями, являются одними из основных в теории групп. Так, в настоящее время уделяется большое внимание исследованию зависимостей между соотношениями в копредставлении (А|Лі,і?2), в котором множество определяющих соотношений разделено на непересекающиеся подмножества. Факторгруппа Ni П A^/fiVi, N2] является естественной мерой сократимости между множествами R\ и i?2, где через iVi и N2 обозначены нормальные замыкания в свободной группе с алфавитом А множеств R\ и i?2, соответственно. Множества соотношений R\ и і?2, для которых N\C\N2 = [N\, N2], (такие множества называются независимыми) и их свойства изучались Р.С.Линдоном в [26], М.А.Гутиеррезом и Дж.Г.Ратклиффом в [17], Дж.Хубшмашюм в [21], Н.Д.Гильбертом в [14] и др.
Мотивацией для изучения факторов пересечения нормальных подгрупп в свободных группах по модулю их коммутанта также является следующий результат Гутиерреза-Ратклиффа. Пусть связный 2-комилекс К представим как объединение двух подкомплексов К = К\ U if2 так, что К\ П К2 есть в точности 1-скелет комплекса К. Тогда имеет место следующая точная последовательность 7Гі(.К")-модулей [17] (см. также статью [29]):
О -> ч{ъ(Кх)) Є г2(7г2№)) -» 7Г2(К) -> ^^ -> 0, (1) где іі,І2 гомоморфизмы гомотопических модулей, индуцированные вложением комплексов, Nj := кет{7Гі(КіПК2) —> 7ri(Kj)}, j = 1,2. Коядро в последовательности (1) есть в точности F/N\N2-MO}xyj\h U nffi, где F = тті{К\ П К2). Таким образом, изучение некоторых вопросов об описании гомотопических свойств 2-комплексов через свойства собственных подкомплексов естественным образом сводится к изучению модулей [д^дм- Типичным применением последовательности (1) является теоретико-групповая переформулировка гипотезы асферичности Уайтхеда, данная В.А.Богли [5].
Гипотеза асферичности Уайтхеда [39] утверждает, что любой связный подкомплекс асферичного двумерного клеточного комплекса асферичен. Этой гипотезе уделяется огромное внимание (смотри, к примеру, [8], [9], [18], [21], [5] и ссылки, данные в этих работах).
Например, в работе М.А.Гутиерреза и Дж.Г.Ратклиффа [17] гипотеза асферичности Уайтхеда переформулирована следующим образом: если любое определяющее соотношение коиредставления (Л|Л) является независимым, то любое определяющее соотношение любого подкопредставления является независимым. При этом определяющее соотношение называется независимым, если множество, состоящее только из этого соотношения, и множество, содержащее все остальные соотношения копредставления, являются независимыми.
Гипотеза асферичности Уайтхеда остается недоказанной даже в случае комплексов с конечным числом клеток. Наиболее интересный случай, для которого гипотеза Уайтхеда не доказана, - это случай трехклеточного стягиваемого комплекса. Последовательность (1) появляется в данном направлении следующим образом. Пусть (жі,ж2,яз | ri,r2,r3) (2) сбалансированное копредставление тривиальной группы. Хорошо известно, что сбалансированное копредставление тривиальной группы асферично (в смысле, что 7r2(if) = 0, где К - его двумерный комплекс) и соответствующий стандартный двумерный комплекс, построенный по (2) (с одной 0-мерной клеткой, тремя 1-мерными клетками и тремя 2-мерными), является стягиваемым. Важным случаем гипотезы Уайтхеда является утверждение об асферичности копредставления, полученного из (2) удалением одного соотношения: {хі,х2,хз | П,г2). (3)
Обозначим через R\ и i?2 нормальные замыкания слов г\ и г2 в свободной группе с базисом х\, я2, а?з- Классическая теорема Коккрофта [24] утверждает, что подкомплексы стягиваемых двумерных комплексов, содержащие ровно одну двумерную клетку, являются асферическими. Последовательность (1) теперь влечет эквивалентность следующих утверждений: копредставление (3) асферично (в смысле, что 7г2(/^') = 0, где К' - его двумерный комплекс); имеет место равенство Лі П Я2 = [R\, Л2].
Используя свойства последовательности (1) в сочетании с гомологическими методами, Р.В.Михайлов в работах [30], [31] показал, что препятствия к конечной гипотезе Уайтхеда при условии гипотезы Андрюса-Кертиса лежат в трансфинитных факторах групп типа F/[N\, N2]. Также в упомянутых работах построены группы типа F/[N\, N2] с длинными производными рядами.
Другой мотивацией для изучения факторов пересечения нормальных подгрупп в свободных группах но модулю их коммутанта является следующий результат Р.Брауна. Пусть Р - некоторая группа, N\,N2 - нормальные подгруппы в Р. Рассмотрим следующий универсальный гомотопический квадрат:
К(Р, 1) -A» K(P/N2,1) іг[ j (4) K(P/NU1) у X, где K(G, 1) - классифицирующее пространство группы G, а ii,i2 индуцированы эпиморфизмами Р —> P/Ni,i = 1,2. Гомотопическую амальгаму X, заданную диаграммой (4), будем обозначать через Мр^и^2. Тогда, но теореме Зейферта-ван Камиена (Theorem 2.1 [28]) имеем
7Гі(МР>ЛГі^2)~Р/ЛГііУ2.
Второй гомотопический модуль амальгамы есть [10]: ... ІУіПЛ^ . ч
7Г2(Мр,дгьлг2) = [iVb#2]. (5)
Этот результат Р.Брауна, в частности, позволяет дать гомотопическую интерпретацию ядер свободных центральных расширений групп. Пусть F -свободная группа, R - нормальная подгруппа в F. Рассмотрим классифицирующее пространство K(F/R, 1) группы F/R, 1-мерный остов которого построен в соответствии с выбором некоторого базиса в свободной группе F. Далее, заклеим все 1-мерные клетки 1-мерного остова K(F/R, 1) 2-мерными дисками. Полученный клеточный комплекс обозначим K(F/R,1). Тогда (5) есть просто изоморфизм абелевых групп:
7r2(K(F/R,l))~R/[F,R].
Интерпретация групп типа ирщ в гомотопических терминах приводит к простому построению некоторых точных последовательностей. Пусть G -группа, iVi, iV*2 - нормальные подгруппы в G, Р = N\N2. Следующая точная последовательность была получена в [10] как часть последовательности Майера-Виеториса для универсального квадрата (4):
Н2(Р) -> H2(P/Ni) 0 H2(P/N2) -+ jgg -+ #i(P) -> HiiJP/Nx) Є Hi(P/N2) -> 0. (6)
Все члены последовательности (6) являются модулями над групповым кольцом X[G/P] в случае, когда действие индуцируется сопряжением в группе G. Легко видеть также, что все гомоморфизмы из (б) являются G/P-гомоморфизмами, следовательно, последовательность (6) представляет собой точную последовательность Z[G/P]-moдулей. В простейшем случае G = Р, (6) оказывается просто точной последовательностью абелевых групп.
Основной целью данной диссертационной работы является изучение свойств взаимных коммутантов нормальных подгрупп в свободной и произвольной группе и нахождение критериев для конечной определенности фактор-группы свободной группы по взаимному коммутанту двух нормальных подгрупп.
В работе получен ряд новых результатов, основными из которых являются следующие.
Исследован вопрос о совпадении пересечения двух нормальных подгрупп в свободной и произвольной группе с их взаимным коммутантом. В геометрических терминах, так называемых картинок, получен критерий, при выполнении которого эти группы совпадают друг с другом. Также получен ряд следствий этого общего критерия.
При условии (относительной) асферичности фактор-группы G/Nr изучены взаимный коммутант вида [Nr, G] и строение центральной подгруппы Nr/[Nr, G] в центральном расширении G/[Nr, G] группы G/Nr для произвольной группы G, затем полученные результаты применены к гиперболическим группам G.
В работе используются методы и результаты теории групп.
В доказательствах основных результатов трех первых частей диссертации используется такой геометрический метод теории групп, как техника картинок. Картинки - это двойственный объект к диаграммам ван Кампена [22]. Впервые их ввел в теорию групп С.Рурке [36]. Техника картинок в настоящее время хорошо развита и активно применяется для решения всевозможных задач теории групп и родственных ей вопросов в топологии (см., например, [11], [12], [13], [21]; [7], [14), [35]; [6], [19], [20]; [3]).
Доказательство основного результата последней четвертой части опирается на свойства вербальных сплетений, которые были введены А.Л.Шмелькиным в [38].
Также используются свойства нилыютентных и гиперболических групп.
Ниже дается краткий обзор полученных результатов.
Первая часть диссертации посвящена исследованию условий, при которых в свободной группе взаимный коммутант двух нормальных подгрупп равен их пересечению.
Пусть Ri и i?2 - симметризованные множества циклически приведенных слов из свободной группы F = F(A) с алфавитом A, a iVi (соотв., ЛГ2) -нормальное замыкание множества R\ (соотв., .) в F.
Определение 1.2. Будем говорить, что копредставлепие G = (А \ R1UR2) является слабо (Лі, R2)-omdejiuMbiM (соотв., слабо (Л2, R\)-отделимым) или удовлетворяет условию слабой (Лі, R2)-отделимости (соотв., слабой (Л2, Ri)-отделимости), если в любой приведенной сферической картинке Р, содержащей одновременно Ri-вершины и R2-eepuiuuu, найдется простой замкнутый путь 7, разделяющий сферу на два диска и удовлетворяющий следующим трем условиям:
1) оба эти диска содероісат вершины;
2)Lab(7)e[NhN2];
3) если один из дисков содержит только Ri-вершины (соотв., только R2-eepmuHbi), то другой диск содероісит только R2-ecpuiwm (соотв., только Ri-вершины).
Теорема 1.1. Копредставлепие G = (А \ R\ U R2) является слабо (Лі, Л2)-отделимым тогда и только тогда, когда N\ П А^ = [N\, N2] в свободной группе F = F{A). (Аналогично в случае слабой (Л2, Лі)-отделимости.)
В частности, как следствие из теоремы 1.1, получается уже известный результат (смотри теорему 1 в [17]) о том, что если копредставлепие (А | Лі, Л2) является асферическим (например, оно удовлетворяет условиям малых сокращений C(p)SzT(q), где 1/р + 1/q = 1/2), тогда выполняется равенство Ni П N2 = [N\,N2]. Также из теоремы 1.1 легко следует теорема Линдона (теорема 2.4 [26]).
Во второй части результаты первой части обобщаются на пары нормальных подгрупп произвольной группы.
Пусть Н - некоторая группа, заданная копредставлением (^4|0). Обозначим через N нормальное замыкание множества О в свободной группе F с алфавитом А. Рассмотрим два множества элементов Лі, Л2 С Н такие, что ?\ ф tf2lt~l в Н для любых г\ Є Лі, ?2 Є Л2 и t Є Н. Обозначим через Ni нормальное замыкание множества R{ в Н, где г = 1,2. Пусть Ф : F —> Н - канонический гомоморфизм. Каждый элемент f Є Ri поднимается в свободную группу F до некоторого приведенного слова г. Обозначим через Лг- наименьшее симметризованное множество, содержащее {r\f Є Лг}, где і = 1,2. Определение 2.2. Пусть R\ и Лг - два множества слов в алфавите А. Будем говорить, что копредставлепие G — (А \ R\ U Л2 U О) является слабо (Ri, R2) о -отделимым или удовлетворяет условию слабой (Ri,R2)o~ отделимости, если в любой (относительно) приведенной сферической картинке Р, содержащей как Ri-вершины, так и R2-eepmuim, найдется простой замкнутый путь у, делящий сферу на два диска так, что выполняются следующие условия: оба диска содержат R-вершины; Lab{7) Є [Nh N2] N; если один из дисков не содержит R2-eepuiuu, то другой не содержит R\-eepuiuH.
Теорема 2.1. Копредставлепие G = (А \ R\ U R2 U О) является слабо (Ri, R2) о -отделимым тогда и только тогда, когда N\ П Л^ = [-^ъЛ^] в группе Н = (А\0).
В частности, показано, что если копредставлепие (А | і?і,і?2, О) (относительно) асферично (определение относительной асферичности будет дано в 5), то равенство выполняется для R{ (і = 1,2), равного образу множества Ri в группе Н.
Например, этот результат можно применить в случае, когда Н =< А\0 > - гиперболическая группа, a R\ \J . удовлетворяют С (є, //, Л, с, р)— условию малых сокращений (определение дается в параграфе 7), введенному А.Ю. Ольшанским в [33] для построения индуктивных пределов гиперболических групп с предписанными свойствами. Также этот результат можно применить к относительным копредставлениям, рассматриваемым В.А. Богли и С.Дж. Прайдом в [б].
В третьей части диссертации получены следующие результаты.
Пусть теперь G - некоторая группа, заданная копредставлением (Л|0). Через Ф обозначим канонический гомоморфизм из свободной группы F = F(A) на группу G с ядром N. И пусть группа G\ задана копредставлением (A\OUR), где R - некоторое симметризованное множество циклически приведенных слов в F. Тогда G\ = G/Nr, где Nr - образ нормального замыкания Nr множества R в F при гомоморфизме Ф. Обозначим через Н факторгруппу G/[Nr, G]. При этом группа Н является центральным расширением группы G\ по своей центральной подгруппе Nr/[Nr,G].
Возьмем произвольно слово г из подмножества определяющих соотношений R. Все определяющие соотношения из R, которые сопряжены с г в группе G, образуют подмножество в R, которое назовем классом сопряоїссипости отно сительно группы G или, кратко, относительным классом сопряоїсенностис представителем г. Множество R разбивается на непересекающиеся относи тельные классы сопряженности следующим образом: R = (|J Rj ') | |(| (г- R+U
Яг~), где Rj - относительный класс сопряженности, в котором представитель сопряжен в G с обратным к себе словом, R* - относительный класс сопряженности, в котором представитель не сопряжен в G с обратным к себе словом, a R[ = (-R*)-1. В каждом относительном классе сопряженности можно выбрать и зафиксировать по представителю (обозначим их соответственно r*,r^,rj ) так, чтобы rfr~[ = 1 в F.
Теорема 3.1. Пусть дано (относительно) асферическое копредставлепие (А\0 U R) группы Gx = G/NR. Тогда (г) следующие условия для слова х Є NrN эквивалентны: а)хе [F, NR]N; б) в записи oYlskrk s^ , представляющей слово х в F (где о Є О, Гк Є R,Sk Є F), сумма показателей при всех г Є R^ равна нулю для каждого R^ С R, а сумма показателей при всех г Є R^ является четной для каждого Kk С R; (гг) Nr/[Nr, G] ~ NrN/[Nr, F]N является абелевой группой, представляющейся в виде В 0 #2, где В свободно порождается множеством элементов {Ь*}, являющихся образами представителей {г*}, а ?2 порождается множеством элементов Щ } второго порядка, являющихся образами представителей {гг- } (т.е. В2 - прямое произведение подгрупп (b\ ) второго порядка).
Отметим, что ход рассуждений в доказательстве этого результата аналогичен ходу рассуждений в доказательстве результата, приведенного в 31 [32J для случая свободной группы.
Теорему 3.1 можно применить в случае, когда G =< А\0 > - гиперболическая группа, а множество R удовлетворяют С (є, /і, Л, с, р) — условию малых сокращений над гиперболическими группами, введенному А.Ю.Ольшанским в [33] для изучения фактор-групп гиперболических групп. Например, получаются следующие утверждения.
Предложение 3.1. Пусть G = {А\0) - гиперболическая группа, и сим-метризоваипое копредставлепие G\ = (A\OUR) является (относительно) асферическим. Тогда (а) если множество относительных классов сопряоїсеииости {R^} С R не пусто, то фактор-группа G/[Nr, G] является элементарной гиперболи ческой тогда и только тогда, когда #{-R^} = 1,#{ЯГ1 } < со, a G\ - ко нечная, в других случаях она не является гиперболической; (б) если мпооїсество относительных классов сопряоїсенности {R^} С R пусто, а число классов {Rh } С R бесконечно, то G/[Nr,G] не является гиперболической; (в) если множество относительных классов сопряженности {R^} С R пусто, а число классов {R^ } С R конечно, то G/[Nr,G] - гиперболическая тогда и только тогда, когда G\ - гиперболическая.
Предложение 3.2. Пусть G - гиперболическая группа и А > 0. Тогда существует цо > 0 такое, что для всех р Є (0, ро] «с^О существуют є ^ 0 и р > 0 такие, что если симметризоваииое множество R в (16) удовлетворяет С(є, р, А, с, р) —условию, то элемент х имеет конечный порядок в Н — G/[Nr,G] тогда и только тогда, когда либо х Є В2, либо х = hyh~lb в Н, где Ъ Є Дг, h - произвольный элемент из Н, элемент у - конечного порядка в G или прииадлеэюит централизатору Со {г) С G элемента г Е R\ для некоторого R\ С R.
В частности, эти результаты можно применить к фактор-группе G/[gm, G], где g - элемент бесконечного порядка гиперболической группы G,am- достаточно большое число (зависящее от д). При этом в качестве Rm берется множество циклических перестановок слов w±m, где w - кратчайшее слово в алфавите А, представляющее элемент д. Тогда NRm/[Nnm, G] - либо бесконечная циклическая группа (^=^ Е(д) = Е+(д), где Е(д) - элементарная подгруппа элемента д, т.е. Е(д) = {х Є G\3k — k(x) > 0 : xgkx~l = g±k}, E+(g) = {x Є G\3k = k(x) > 0 : xgkx~x = gk} ), либо циклическая группа второго порядка (-Ф=> Е(д) ф Е+(д)). По предложению 3.1 имеем (а) если Е(д) = Е+(д), то Н = G/[Nnm, G] является элементарной тогда и только тогда, когда G\ = G/Nnm - конечная, в других случаях она не является гиперболической; (б) если Е(д) ф Е+(д), то Н - гиперболическая группа тогда и только тогда, когда G\ - гиперболическая группа.
К фактор-группе G/[gm, G] также применимо предложение 3.2. В частности, если Е(д) = Е+(д), то элемент х имеет конечный порядок в Н = G/[Njim, G] тогда и только тогда, когда х сопряжен в Н с элементом конечного порядка в G.
В четвертой части диссертации рассматривается следующий вопрос.
Пусть F - свободная группа, а М и N - нормальные подгруппы в F. При каких условиях фактор-группа F/[M, N] задается конечным числом определяющих соотношений? Или иначе: при каких условиях взаимный коммутант [М, N] является нормальным замыканием конечного множества элементов?
Случай М = N уже рассматривался ранее. Например, из теоремы 5.3 работы А.Л.Шмелькина [38] следует, что если F - конечно порожденная свободная группа, а N - нормальное замыкание конечного множества слов в F, то F/[N, N] задается конечным числом определяющих соотношений тогда и только тогда, когда N имеет конечный индекс в F.
В статье Дж.Абарбанеля и Ш.Россета [1] содержится лемма о том, что если М и N - нормальные замыкания конечных множеств слов в конечно порожденной группе F, и группа MN - конечного индекса в F, тогда [М, N] является нормальным замыканием конечного множества элементов.
Условие нормальной конечной порожденное подгрупп М и N в этой лемме Дж.Абарбанеля и Ш.Россета является существенным. Так, в работе [1] авторы, ссылаясь на работы [2] и [15], приводят некоторые примеры, когда группа [F, N] конечно порождена и когда бесконечно порождена как нормальная подгруппа в зависимости от группы N, не порождаемой как нормальная подгруппа никаким конечным множеством.
Также в работе [1] (и [4]) рассматривается случай, когда индекс группы MN в F бесконечен, и показано, что в этом случае группа F/[M,N] не задается конечным числом определяющих соотношений, если группы М и N не являются единичными и исключительными. При этом группы М, N называются исключительными, если выполнены следующие 3 условия (считают, не ограничивая общности, что М С ji(MN),N С jn(MN), где п - максимальное такое число): F/MN не имеет нетривиальных нильпотентных образов без кручения такой же мощности, что и F/MN; N С 7п+і(П ^(МN)/Njn+i(MN) не конечно порождена.
Оставался открытым вопрос: является ли конечность индекса группы MN в свободной группе F необходимым условием для конечной определенности группы F/[M, N] для неединичных нормальных подгрупп М и iV? Как показывает следующая теорема, полученная в совместной работе [25] с А.Ю. Ольшанским, ответ на этот вопрос - положительный.
Теорема 4.1. Пусть F - свободная группа, а М и N - неединичные нормальные подгруппы в F. Предполооюим, что группа MN имеет бесконечный индекс в F. Тогда взаимный коммутант [М, N] не является нормальным замыканием никакого конечного мпооїсества элементов.
Таким образом, в случае, когда М и N - нормальные замыкания конечных множеств слов в конечно порожденной свободной группе F, лемма Дж. Абар-банеля и Ш. Россета [1] и теорема 4.1 дают следующее утверждение: Теорема 4.2. Если М и N - нормальные замыкания конечных множеств слов в конечно порожденной свободной группе F, то [М, N] является нормальным замыканием конечного множества элементов тогда и только тогда, когда группа MN имеет конечный индекс в F.
Также из теоремы 4.1 следует, что если F - свободная группа бесконечного ранга, а М и N - неединичные нормальные подгруппы в F, тогда взаимный коммутант [М, N] не является нормальным замыканием никакого конечного множества элементов.
Отметим, что аналогичные утверждения верны и для группы F/ П#Д-ЭД» Nj].
Результаты диссертации могут быть использованы как в теории групп, при изучении вопросов о зависимостях между множествами определяющих соотношений, так и в алгебраической топологии.
Основные результаты диссертации докладывались на семинаре "Теория групп"и "Научно-исследовательском семинаре по алгебре"кафедры высшей алгебры МГУ, на семинаре "Topology & Group Theory 8етіііаг"университета Vanderbilt (Нэшвилл, США, 2004 г.), а также на следующих конференциях:
Международная алгебраическая конференции, посвященная 250-летию Московского Университета и 75-летию кафедры высшей алгебры, МГУ, Москва, 26 мая - 2 июня 2004 г.
Международная алгебраическая конференция, К 100-летию со дня рождения П.Г.Конторовича и 70-летию Л.Н.Шеврина, Екатеринбург, Россия, 29 августа - 3 сентября 2005 г.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [40]-[43].
Диссертация состоит из введения, четырех частей, разбитых на параграфы, и списка литературы из 43 наименований.
Автор глубоко благодарна своему научному руководителю - доктору физико-математических наук, профессору А.Ю. Ольшанскому за постановку задач и обсуждение методов их решения. Также автор очень признательна доктору физико-математических наук, профессору А.Л. Шмелькину за постоянное внимание к работе.
Автор хотела бы поблагодарить кандидата физико-математических наук, доцента А.А. Клячко, кандидата физико-математических наук Д.В. Осина и М.В. Милентьеву за полезные обсуждения во время подготовки этой работы и кандидата физико-математических наук А. Минасяна за ценные замечания. Также автор очень признательна профессору Дж.Г. Ратклиффу, который предоставил автору много статей, связанных с изучаемыми в диссертации вопросами и применяемыми методами.
Доказательство теоремы 1.1 по модулю предложений 1.1 и 1.2.
Доказательство того, что из равенства АД П 7V2 = [Ai, А ] следует условие слабой (R\, і?г)-отделимости (слабой (і?2, і?і)-отделимости), аналогично доказательству следствия 1.1. Следовательно, остается доказать обратное утверждение. Пусть копред-ставление G = (А \ R1UR2) удовлетворяет условию слабой (R\, R2) -отдел и мості-(Доказательство для случая слабой (7?2, і?і)-отделимости аналогично.) Так как включение [iVi, N2] С N\ О ДГ2 выполнено всегда, достаточно доказать обратное включение. Пусть W - произвольное слово из пересечения А/1ПЛ/2. Требуется доказать, что W Є [N\, N2]. Чтобы этого достичь, построим две картинки на диске. Так как W Є N\, то но лемме 1.1 существует дисковая картинка Р над непредставлением G = (А R\) с граничной меткой, равной W. А так как W Є АГ2, то также по лемме 1.1 существует дисковая картинка Рдг2 над копредставле-нием G = (А R2) с граничной меткой, равной W l. При этом картинка Р х содержит только і?і-веріпиньі, а картинка Рдг2 содержит только і?2-вершиньі.
Склеиваем эти дисковые картинки Р и Рдг2 по их границам и получаем картинку Р на сфере S2 с фиксированным экватором Equ. Lab(Equ) равна W или W l в зависимости от направления движения вдоль экватора Equ. Теперь доказательство теоремы 1.1 следует из следующих предложений 1.1 и 1.2, которые будут доказаны ниже в параграфах 3.4 и 3.5: Предложение 1.1. Пустъ Р - картинка с фиксированным экватором Equ над копредставлением G = {А \ R\ U R2). Если это копредставление удовлетворяет условию слабой (Ri, R2)-отделимости, тогда Р является а-картиикой. Предложение 1.2. Пусть Р - картинка с фиксированным экватором Equ над копредставлением G = {А \ R\ U R2). Если Р является а-картинкой, то с помощью конечного числа допустимых преобразований слово W вдоль Equ MODicno свести к слову, равному единице в свободной группе. Действительно, из предложений 1.1 и 1.2 следует, что существует конечная последовательность допустимых преобразований, которая сводит экваториальную метку W картинки Р к единичному элементу в свободной группе. Так как каждое допустимое преобразование изменяет W на слово, равное W с точностью до элемента из [А А ], получаем, что W Є [N\, N2], что и требовалось доказать, ш Лемма 1.2. Пусть Т - какая-нибудь страна в картинке Р. И пусть I - произвольный кусок экватора, принадлеоісащий территории страны Т. Тогда Lab(I) Є N\, если страна Т - северная, и Lab(I) Є N2, если страна Т - южная. Доказательство леммы 1.2. Будем считать, что страна Т - северная (для южной страны доказательство аналогично).
Кусок І" делит территорию страны Т на две части Т" и Т". Рассмотрим одну из них, допустим Т . Т может содержать только северные вершины (т.е. .Ri-вершины) и ребра, помеченные буквами из алфавита А. Таким образом Т" содержит дисковую картинку над копредставлением (А \ R\). По лемме 1.1, слово вдоль границы части Т принадлежит JVi. Учитывая, что ребра пересекают границу части Т только на участке, совпадающем с куском экватора /, получаем утверждение леммы 1.2. Далее в параграфе 3.3 будут описаны допустимые преобразования, которые будут использоваться в доказательстве предложений 1.1 и 1.2. 1) Изотопия. Изотопией картинки Р называется замена картинки Р на изотопную ей картинку Fi(P), где Ft : 52х[0,1] 52х[0,1] - некоторая непрерывная изотония сферы S2 такая, что (і) изотопия Ft оставляет неподвижными все вершины, т.е. Ft(Vi) = V{ для t Є [0,1] и каждой вершины Vf, (іі) для каждого t и каждого ребра Ej пересечение ребра Ft(Ej) с экватором Equ состоит из конечного числа точек, более того, ребро F\{Ej) пересекает Equ трансверсально в каждой своей точке пересечения с экватором Equ. Очевидно (смотри Рис. 2), что изотопия картинки Р является допустимым преобразованием, потому что либо она соответствует вставке или сокращению взаимообратных букв в экваториальной метке W, либо не меняет W вообще. 2) Элементарные преобразования (Bridge moves). Пусть карта U содержит только два ребра имеющие противоположную ориентацию и помеченные одной и той же буквой. Преобразование картинки Р называется элементарным (см. преобразование a bridge move в [6]), если оно не меняет картинку Р вне карты U и меняет картинку Р внутри карты U так, как это показано на Рис. 3.
Некоторые примеры для случая свободной группы и следствия для случая свободных произведений.
Если х и у - элементы некоторой группы G, то их коммутатор х гу гху будет обозначаться через [х, у]. Если X и Y - подгруппы группы G, то [X, Y] - подгруппа, порожденная коммутаторами [ж, у] при х Є X, у Е Y. Условимся обозначать при п 2 и аналогично для подгрупп. Обозначим через Sn группу подстановок на множестве {1, ...,п}. В работе будут использоваться следующие тождества в свободной группе: Пусть F = F(A U В) - свободная группа с алфавитом, состоящим из двух непересекающихся частей А и В. Пусть Ri,...,Rk множества слов в алфавите А при к 2, a Rk+i - множество букв из алфавита В. Обозначим через N{ нормальное замыкание множества Щ {г = 1,..., к + 1) в свободной группе F. Не ограничивая общности, можно считать, что множество Лг- симметризовано для всех г, и Rk+i содержит все буквы из В, т.е. Rk+i = B±l. Утверждение 1.6.
Предположим, что мносисества R\,...: R такие, что Для доказательства утверждения 1.6 нам понадобятся следующие две леммы. Лемма 1.8. Пусть Мі, Мч и Мз - нормальные подгруппы в свободной группе F. Для любых слов /і Є Мі,/2 Є М2 и /3 Є М3 слово [/3 1 /і/3, /2)(/1,/2]-1 принадлежит группе [Мі,Мг, Мз][Мі,Мз,М2]. Доказательство леммы 1.8. Очевидно, что в свободной группе = 11/1,/21,/311/1,1/3 ,/2-1]] . Поэтому [/з_1/і/з, М/і, /г]-1 принадлежит [Мь М2, М3][М2, М3, MJ. Так как по лемме о трех коммутантах (см., например, лемму 3.2.3 в [23]) группа [Мг, Мз, Mi] принадлежит [Mi, М3, М2][Мі, М2, Мз] для любых трех нормальных подгрупп, то получаем, что слово [/3_1/і/з, /г][/ь /г]-1 принадлежит группе [Мь М2, М3][МЬ М3, М2]м Лемма 1.9. Пусть слово щу) принадлежит группе Nn , где і Є {1,...,к} и л- Є Sk. Обозначим через [щщ,..., иж )]в слово, получающееся из слова [ тг(1) ,итг(к)\ пРи вычеркивании из него букв из алфавита В±х. Тогда слово [ип(і), ...,ип )][иж і), ...,4 )] 1 принадлеоісит группе Доказательство леммы 1.9. He ограничивая общности, можно считать, что 7t(t) = t для всех t Є {1,..., к}. Таким образом, будем обозначать слово K(i),..., (fe)]K(i),..., иж{к)\в1 просто через [щ,..., ик][щ,..., ик]д1, где щ Є N{. Обозначим также для краткости группу ПГЄ5А І[- Г(І)» —і тік+і)] через N.
Если в слове [и\, ...,ик] нет букв из В±1, то [щ,...,ик] = [щ,...,ик]в в свободной группе, и утверждение леммы 1.9 очевидно. Поэтому далее считаем, что в слове [щ, ...,щ] есть буквы из B±l. Так как щ Є Nt, то щ - Щ=і 97Jri,j9i,j, ГДЄ rtj Є Ri, дц Є F и і Є {1,..., к}. Используя тождества в свободной группе (8)-(11), можно показать, что [щ,..., ик] = Y[j=\Vh)rhihhv — hkjrk,jhk,j]9i Для некоторых слов gjt hfj Є F. Так как слова из Ri при і Є {1,..., к} не содержат букв из алфавита В±1, то при вычеркивании из [щ,..., щ] букв из B±l получаем, что слово [щ, ...,ик]в равно ]Jlj=1lhijBrijhij B, -, h Brk,jhkj B]9i n в свободной группе, где слова 9j,B и h i,j,B получаются из слов gj и Кц при вычеркивании из них букв из алфавита B±l. Очевидно, что gj = gj,Bn j,g и Лу = Ы вЩ, Для некоторых nj,gini,j,h е Nfc+i-Тогда получаем: в группе F/iV. Тем самым докажем, что слово [щ, ...,щ][щ, ...,1] 1 принадлежит N. Пусть 1 = 1. Для того, чтобы доказать, что слово lnl,l,/irl,l ПіД.л - ПА;,1,Л,1 ПМЛІ 11/1,1 — rfc,l J ) принадлежит группе N, достаточно доказать, что слово принадлежит группе N для произвольных элементов щ Є Nj ц щ +і Є Л +ь где і Є {1,..., А;}. Если все n k+i равны единице в свободной группе, то и слово равно единице, а значит принадлежит N. Иначе найдутся слова из {щ +і}, не равные единице. Среди них найдется слово nSjk+i с максимальным индексом s. Используя тождество (8), получаем следующие равенства
Доказательство теоремы 2.2 по модулю предложений 2.1 и 2.2.
Данная часть является обобщением части 1. Поэтому в данной части будут использоваться определения и обозначения из части 1. Более того, доказывая большинство утверждений части 2, после необходимых замечаний мы будем ссылаться на соответствующие доказательства в части 1. Пусть F - свободная группа, порожденная алфавитом А. Пусть Н - некоторая группа, заданная копредставлением ( 40), где О -множество слов в алфавите А. Обозначим через N нормальное замыкание множества О в F. Мы будем предполагать, что О состоит из всех слов, равных единице в Н, т.е. О — N. Рассмотрим два множества элементов Ri,R,2 С Н такие, что г\ ф tf t-1 в Н для любых і Є R\, 2 Є &2 и t Є Н. Обозначим через Nj нормальное замыкание множества Д- в Н, где і = 1,2. Цель части 2 - найти необходимые и достаточные условия, при которых в группе Н выполнено следующее равенство Эти условия будут выражены в терминах картинок. Данную задачу можно переформулировать следующим образом. Пусть Ф : F —» Я - канонический гомоморфизм. Каждый элемент f Є Ri поднимается в свободную группу F до некоторого приведенного слова г. Обозначим через Ri наименьшее симметризованное множество, содержащее {г\г Є Ri}, где і = 1,2. Через Ni и N2 обозначим нормальные замыкания в F множеств R\ и i?2, соответственно.
Очевидно, что равенство (14) выполнено тогда и только тогда, когда в свободной группе F выполнено следующее равенство В основном, мы будем рассматривать задачу, сформулированную в терминах свободной группы, и условия для произвольной группы получим, как следствие. В частности, будет показано, что если копредставление (А \ i?i, R2, О - (относительно) асферично (определение (относительной) асферичности будет дано ниже), то выполняются равенства (14) и (15). Часть 2 состоит из четырех параграфов 5, 6, 7 и 8. В параграфе 5 даны основные определения. В параграфе 6 сформулирован основной результат (теорема 2.1), доказаны следствия из него. В параграфе 7 рассмотрено несколько примеров. Параграф 8 посвящен доказательству теоремы 2.2, которая эквивалентна теореме 2.1. Вначале мы дадим некоторые определения, обобщающие понятия из части 1. Через Н обозначается группа, заданная конредставлением (А0), через 1 - единица группы Н. Пусть - копредставление некоторой группы, где R - симметризованное множество циклически приведенных слов в алфавите А. Так как множество определяющих соотношений является объединением множеств О и R, картинка Р над копредставлением G содержит вершины двух типов. Вершины первого типа соответствуют определяющим соотношениям из множества О. Такие вершины будут называться О-вершинами.
Вершины второго типа соответствуют определяющим соотношениям из множества R. Они будут называться R-вершииами. Отметим, что подобная ситуация является двойственной к ситуации, рассматриваемой в [32, 33]. Отметим, что в части 2 множество R главным образом будет состоять из двух подмножеств R\ И І?2- Для двух слов и и v в алфавите А запись и = v означает, что и равно v ио-буквенно. (Относительным) диполем в картинке Р над конредставлением G = (А \ О, R) называются такие две Л-вершины V\ и V2 в картинке Р, что существует простой путь ф, соединяющий точки pi и р2, лежащие на окружностях С\ и С2 вокруг этих вершин, такой, что равенство выполнено в группе Н. Картинка над копредставлением G = (А \ О, R) называется (относительно) приведенной, если она не содержит (относительных) диполей. Копредставление G = {А \ О, R) называется (относительно) асферическим, если любая связная сферическая картинка над конредставлением G = (А \ 0,R), содержащая Л-вершины, содержит (относительный) диполь. В дальнейшем нам понадобится следующий аналог леммы 1.1 (ван Кампе-на). Лемма 2.1. Пусть W - непустое слово в алфавите А. Тогда W принадлежит RF N, если и только если существует дисковая картинка над копредставлением G = {А \ О, R), граничная метка которой равна W. Отметим, что если R - пустое множество, формулировка леммы 2.1 становится стандартной. В частности, W Є Ф(Я)Н (где Ф : F — Н - канонический гомоморфизм) тогда и только тогда, когда существует дисковая картинка над копредставлением G = (А \ О, R) с граничной меткой, равной поднятию элемента W в свободную группу с алфавитом А. Мы будем использовать О-преобразования картинки Р над копредставлением G, которые определяются следующим образом. (1) Пусть ф - простой замкнутый путь, не проходящий через вершины картинки Р и делящий Р на две части, одна из которых не содержит Я-вершины и следовательно является дисковой подкартинкой Р над копредставлением Н. Предположим, что можно построить другую дисковую картинку Р над копредставлением Н такую, что Lab(dP) = Lab{dP). Тогда замена Р на Р в картинке Р является О-преобразоваиием первого типа. (2) Пусть 7 _ простой путь, не проходящий через вершины и пересекающий некоторые ребра картинки Р так, что Lab(y) = 1 в Н, т.е. Lab{y) Є N. Можно считать, что 7 не замкнутый, иначе вырежем из у маленький интервал, не пересекающий ребра, и обозначим получившийся путь снова через у. Опишем простой замкнутый путь ф, проходящий вблизи 7 в обоих направлениях, так, чтобы ф пересекал те же ребра, что и у. При этом получим, что ЬаЪ{ф) = Lab(y)Lab 1(y), и ф делит Р на две части, одна из которых не содержит Я-вершин и является дисковой подкартинкой Р над копредставлением Н. Чтобы применить О-преобразование первого типа, построим новую дисковую картинку над копредставлением Н с граничной меткой, равной Lab(dP). Существует дисковая картинка Р над копредставлением группы Н такая, что Lab{dP ) = Lab(y), и дисковая картинка Р" над копредставлением Н такая, что Lab{dP") = Lab l(y) (по лемме 2.1 для случая, когда R - пустое). Очевидно, что можно разделить границу картинки Р на два непустых отрезка я и с , один из которых (скажем ; ) пересекается с ребрами и Lab{q ) = Lab(dP ), а другой () не пересекается с ребрами. Аналогично границу картинки Р" можно разделить на два непустых отрезка q" и я" так, чтобы Lab(q") — Lab(dP"), a q" не пересекался с ребрами. Склеивая дисковые картинки Р и Р" по отрезкам q4 и q", получим одну дисковую картинку Р с граничной меткой, равной Lab(y)Lab l{y). Замена Р на Р в картинке Р (это О-преобразование первого типа) приводит к "разрезанию"ребер, которые пересекали путь у. Такое преобразование картинки Р является 0-преобразованием второго типа. Оно обозначается через Т(у).
Соотношения во взаимном коммутанте [NR,G]. Строение фактор- группы NR/[NR,G\.
Выясним устройство ядра [NR, G] гомоморфизма Ф и центральной подгруппы NR/[NR, G] В центральном расширении Н. Для этого рассмотрим произвольную картинку Р (см. определение картинок в 1) над копредставлением (16). Т.к. множество определяющих соотношений в (16) является объединением двух подмножеств О и R, то вершины в Р делятся на О-вершины и Я-вершины, в зависимости от того, какому иод-множеству принадлежит метка вершины. Напомним, что метка любой вершины V (будем обозначать ее Labp+(C) или просто Lab(V)) образуется из меток ребер, последовательно пересекающих окружность С малого радиуса с центром в V, при обходе по часовой стрелке вокруг V, начиная с некоторой точки р Є С, не принадлежащей никакому ребру картинки Р. Если j - некоторый путь, не проходящий через вершины картинки Р, тогда проходя вдоль 7? мы сталкиваемся с последовательностью ребер. Метки на этих ребрах дают слово, которое будет обозначаться через Lab ).
Возьмем произвольно слово г из подмножества определяющих соотношений R. Все определяющие соотношения из R, которые сопряжены с г в группе G, образуют подмножество в Д, которое назовем классом сопряоїсенно-сти относительно группы G или кратко относительным классом сопря-оісенности с представителем г. Отметим, что любой относительный класс сопряженности либо содержит с каждым словом г и слово г-1, либо в этом классе нет взаимообратных слов. Поэтому множество Д разбивается на непересекающиеся относительные классы сопряженности следующим образом: R = (\_\jRj )U(Ui L-1 - г ) ГДе Щ " относительный класс сопряженности, в котором представитель сопряжен в G с обратным к себе словом, Rf -относительный класс сопряженности, в котором представитель не сопряжен в G с обратным к себе словом, а Дг = (Д/")-1. В каждом относительном классе сопряженности можно выбрать и зафиксировать по представителю (обозначим их соответственно г , гг , rj ) так, чтобы г г [ = 1 в F. Обозначим также Uk Rf через RW , Ц R+ через Д+, _т Д" через Д". Пусть определяющее соотношение г Є R принадлежит R+ или R . Обозначим через о + (г) число вершин в Р с метками, принадлежащими классу сопряженности относительно G, которому принадлежит г. А через сг-(г) обозначим т+(г-1). Назовем алгебраическим числом г-вершин в Р разность ар(г) = сг+(г) — сг_(г). Пусть определяющее соотношение г Є R принадлежит RW. Обозначим через sp(r) число вершин в Р с метками, принадлежащими классу сопряженности относительно G, которому принадлежит г. Назовем Sp(r) суммарным числом г-вершин в Р. Лемма 3.1. Если для любого г Є R+[_] R алгебраическое число r-вершин в дисковой картинке Р над копредставлепием (16) равно 0, а для любого г Є Д 2 суммарное число r-вершин в Р - четно, то граничная метка ЬаЬ{дР) картинки Р принадлеэюит [F, Np]N. Доказательство. Выберем произвольно точку р на дР, не принадлежащую никакому ребру.
Очевидно, из точки р к границе каждой r-вершины (т.е. к окружности малого радиуса с центром в этой вершине) можно провести простой путь 7г так, чтобы его конец не принадлежал никакому ребру, сам он не проходил через вершины, пересекал ребра только трансверсалыю и конечное число раз, и пересекался с другими подобными путями только в точке р. Рассмотрим отрезок [рі,рг] границы дР, не пересекающийся с ребрами картинки Р, такой, что точка р Є (рі,р2) (обозначим его через [pi,j 2]p)- Очевидно, можно упорядочить пути {уг} так, что путь у с началом в точке pi, а концом в точке р2, проходящий последовательно вдоль каждого пути уг, вокруг соответствующей г-вершины, а затем снова вдоль уг в противоположном направлении, будет простым. При этом путь у будет делить картинку Р на две дисковые картинки, одна из которых (назовем ее PR) содержит все Д-вершины, а другая (Ро) все 0-вершины. Тогда где Гік Є R, Sk = Lab(yri ) Є F. Каждый из этих сомножителей принадлежит NR, следовательно, их можно переставлять между собой но модулю [NR,F]. Поэтому в силу условия леммы достаточно доказать, что sr ls ltr t l Є [F, NR]N ДЛЯ любых сопряженных в G слов г и г из R. Но, учитывая, что г = иги 1п для некоторых и Є F и п Є N, получаем, что sr s Hr t-1 = [s-1, -1 , 1] = [s l,r]r luru ln[r ,t l] = [s-1,r][r, u l]n[r , t-1], которое принадлежит [F, NR]NM Далее будем рассматривать коиредставления (16), являющиеся (относительно) асферическими в смысле определения данного в 5. Напомним это определение. Копредставление (16) является (относительно) асферическим, если любая связная сферическая картинка Р над копредставлением (16), содержащая Д-вершины, содержит (относительный) диполь, т.е. две і?-вершиньі V\ и V2 в Р такие, что существует простой путь ф, соединяющий точки pi и Р2 на окружностях Сі и С2 вокруг этих вершин, такой, что в G выполнено следующее равенство Лемма 3.2. Пусть дано (относительно) асферическое копредставление (16) группы Gi = G/NR. Тогда (г) для произвольной сферической картинки Р над rjghtlcnfdktybtv (16) и любого г Є R+[_\R имеем о р(г) = 0, а для любого г Є R число Sp(r) является четным; (и) если слово х представляет в F элемент из [F,NR]N, то для любой дисковой картинки Р с граничной меткой, равной х, сгр(г) — О для любого г Є R+\_\R , a Sp(r) - четное число для любого г Є R . Доказательство, (і) Доказательство проведем индукцией по числу .й-вершин. Утверждение очевидно, если в Р нет Д-вершин.
В противном случае, как следует из определения (относительной) асферичности, в Р найдется пара і?-вершин V\ и V2 и простой путь 7? соединяющий их, такие, что в группе G выполнено равенство Lab(Vi)Lab( y)Lab(V2)Lab 1( y) = 1. Опишем простой замкнутый путь 7, проходящий вокруг V\, вдоль 7, затем вокруг V i и в обратном направлении вдоль у с меткой Lab(j) Є N. При этом 7 ограничивает дисковую иодкартинку P{vuv2} в из -R-вершин содержащую только V\ и V2. Очевидно, o-P{ViV2}(r) = О для любого г Є R+ [_\ R , а Р .у С7 ) " четно для любого г Є iv2). По лемме ван Кампена (см. лемму 1.1) существует дисковая картинка PQ над копредставлением (А\0) группы G с граничной меткой, равной Lab(j), PQ содержит только Овершины. Вырежем P{vuv2} из Р и вклеим вместо нее Рд. В результате получим картинку Р с меньшим числом 7?-вершин. По предположению индукции сгр (г) = О для любого г Є R+\_\R , a Sp (r) является четным для любого г Є R . Поскольку при замене P{vuv2} па PG алгебраическое число г-вершин в Р не менялось для любого г Є R+\_\R , также как и четность суммарного числа г-вершин в Р для любого г Є R 2\ первое утверждение доказано, (ii) Слово х можно записать в F в виде где SkiVk Е F,rk Є R,n Є О, т.к. в F тождественно соотношение [го,гш] = [w, u][uwu l,uvu l]. При геометрической интерпретации равенства х = 1 в G\ получается дисковая картинка PQ С нулевым тр0(г) для любого г Є R+[_\R и четным Яр0(г) для любого г Є R 2\ т.к. в (18) каждый из коммутаторов есть произведение двух слов, сопряженных с г к и г 1. Если теперь Р - другая дисковая картинка с граничной меткой, равной х, то Р вместе с зеркальной копией Р картинки Ро дают сферическую картинку Р. В силу утверждения (і) сгр(г) = 0 для любого г Є R+ \_j R , а Яр(г) является четным для любого г Є R. Значит, и ар(г) = ор{т)—apo(r) = &p(r)+ap0(r) = 0 для любого г Є R+[_\R . Аналогично, суммарное число Sp(r) является четным для любого г Є R@\ как разность четных чисел.
