Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Основные понятия 18
1. Группы Шевалле, скрученные группы Шевалле 18
2. Базисные представления 25
Глава 2. Разложение Шевалле-Мацумото 33
I. Постановка задачи 33
2. Доказательство для классических групп 35
3. Подрадикальный случай 38
4. Случай поля 41
5. Завершение доказательства 49
Глава 3. Сетевые подгруппы групп Шевалле 53
I. Сети и некоторые связанные с ними группы 53
2. Частичные сети 55
3. Сетевые подгруппы 57
4. Унипотентные матрицы в сетевой подгруппе 59
5. Сетевые подгруппы скрученных групп Шевалле 62
6. Параболические подгруппы в группе . 65
Глава 4. Стабилизация К<-функтора для групп Шевалле нормальных и скрученных типов 73
I. Задача стабилизации Ki-функтора для групп-Шевалле 73
2. Теоремы о стабилизации 77
3. Вложения ft 5 6 * А 5 -- Е 83
4. Вложения Еб7 3 89
5. Вложение Вз 92
6. Окончание доказательства 97
7. Некоторые нерегулярные вложения 99
8. Сюръективная стабилизащя К <-функтора для скрученных групп Шевалле 102
Литература 109
- Группы Шевалле, скрученные группы Шевалле
- Унипотентные матрицы в сетевой подгруппе
- Задача стабилизации Ki-функтора для групп-Шевалле
- Сюръективная стабилизащя К <-функтора для скрученных групп Шевалле
Группы Шевалле, скрученные группы Шевалле
В этих работах были введены сетевые группы, которые оказались чрезвычайно полезными для описания различных подгрупп в полной линейной группе. Так, в работах [75] , [5] 5 [6J 23"! [Я ] в этих терминах были описаны параболические подгруппы полной и специальной линейных групп над полулокальным кольцом и некоторыми дедекиндовыми кольцами. Далее, с использованием сетевых групп и их нормализаторов удалось получить описание подгрупп полной линейной группы над полулокальным кольцом, содержащих группу диаго-нальных матриц ШДЩН [13], [271, [2 1 , [29 1 Д я случаев маленьких полей описание в несколько более сложных терминах цается в работах [IS] , Q 4] , \55] , [56] .
Дальнейшим развитием этих результатов явилось описание подгрупп в полной линейной группе над достаточно широким классом колец, содержащих группу элементарных клеточно-диагональных матриц [f Q В У» [ 1 , [41] , [3 ] . В связи с важностью различных групп, связан -шх с сетью, их свойства рассматривались в ряде работ. Так в работе З.И.Боревича [5 ] было получено разложение Гаусса в сетевых юдгруппах полной линейной группы над полулокальным / не обязатель-ю коммутативным/кольцом. Другие свойства сетевых групп рассматри-зались в [15] , В б] , [ 7] , 00] , [бЗ] .
Для других классических групп, являющихся группами Шевалле нормальных и скрученных типов, аналогичные вопросы рассматривались в 146] , gf] , [33], [30] , В З . В частности, в работе Е.В.Дыбко-зой было получено разложение Гаусса в сетевой подгруппе симплекти-іеской группы.
Дальнейшим развитием этой тематики явилось определение сети [деалов, отвечающей произвольной системе корней / см. Н.А.Вавилов $1 , [26] , [31 ] , Судзуки [Ж] 013] /. К этим работам примыкает статья В.М.Левчука, в которой определяется близкое понятие элементарного ковра./ см. [5 8] /. Все эти работы посвящены описанию параболических подгрупп в группе Шевалле нормальных и скрученных типов над кольцами, близкими к полулокальным.
Вопросы стабилизации в алгебраической К -теории рассматривались с разных точек зрения в большом количестве работ. Обзор результатов и библиографию можно найти в [31, [79], [68 }.
Задача стабилизации КА-функтора для ..полной линейной группы была поставлена Бассом в работе [90 ] . Там же была построена соответствующая теория, позволяющая решать многие из связанных со стабилизацией вопросов. Стабилизация К -функтора для всех классических групп / кольцо не обязательно коммутативное / получена в [3] , [4], [91] [3 V7],[3Q В случае специальной линейной группы или сим-плектической группы, возникающие при этом условия на кольцо формулировались в терминах условия стабильного ранга, которое,в свою очередь, связано с размерностью пространства максимальных идеалов исходного кольца [ 3 ] .Однако, для других классических групп при рассмотрении сюръективной стабилизации возникли более сложные условия на кольцо, связанные с уравнениями, задающими соответствующую группу [383.
Бассом [33 была поставлена задача изучения стабилизации -функтора для полупростых алгебраических групп над кольцами, удовлетворяющими некоторым условиям стабильности. Первой работой о стабилизации для произвольной группы Шевалле явилась работа Мацумото[/(#].
Основным дальнейшим продвижением в этом направлении стала серия работ Штейна [40G] , [іОІ] , (J0&J . Так в работах 007],[f08] рассматривался функтор К для любой группы Шевалле и была доказана сюръ-эктивная стабилизация для К2, что по-существу влечет инъективную стабилизацию К -функтора. Кольцо при этом предполагалось полулока-яьным. Общий случай рассмотрен в работе [407] .В ней для коммутативных колец единообразно передоказаны теоремы о стабилизации К и К«-функторов для классических групп и рассмотрены некоторые вложения в особые группы. Оказывается, что помимо условия стабильного ранга, не менее важную роль играет условие абсолютного стабильного ранга [\0\1 , которое присутствует в большинстве случаев, связанных с сюръективной стабилизацией К -функтора. Основным инструментом доказательства в этой работе является систематическое использование развитого в [404] метода базисных представлений, который дополняется способом построения диаграмм таких представлений.
Перейдем к содержанию работы по главам. Диссертация состоит из зведення и четырех глав. В главе I вводятся основные понятия. Параграф I посвящен напо-линанию определений групп Шевалле нормальных и скрученных типов, шределению различных подгрупп этих групп, установлению обозначений. J параграфе 2 вводятся базисные представления — основной инструмент \ш дальнейших вычислений. Помимо известных фактов о базисных представлениях групп Шевалле, в нем излагается также новый материал о базисных представлениях скрученных групп Шевалле. Доказывается, в іастности , скрученный аналог важной леммы 2.3. из [ЮЧ ] о действии корневых унипотентных элементов группы Шевалле на базисных век-юрах модуля представления / леммы 1.2 и 1.3 /.
Унипотентные матрицы в сетевой подгруппе
Фиксируем корень Х к Є П и пусть Л — минимальная подсистема корней в Ф , порожденная П \ { к} Обозначим Е=Ф\Д , 1 =Ф4-П1 . Положим:
Напомним, что если представление JT — базисное, то для всех СФ?) существует.единственный корень Ык П такой, чтоАД-о(кЄ Л(л). Возьмем пока его для определения подсистемы корней А. Цля Ф- А і корень о к равен о( или ок\ ,
Теорема Шевалле-Мацумото . Пусть для элемента Q из группы Шевалле (х(т, R) в базисном представлении со старшим весом XI выполнено: Qu» & R Тогда имеет место разложение где veV(Z,R), и eV(I,R), h91 T(q ,R)G-(A,R), причем сомножители V,U, htyi определены однозначно. Более того, где ееЕ(ФД). Теорема с некоторыми изменениями остается в силе и когда корень о( — произвольный. -Этот слунай нам понадобится при рассмотре - 34 ний вопросов стабилизации К -функтора и поэтому будет разобран в главе 4. Легко видеть, что разложение элемента Q-Vn U из теоремы, которое будем называть разложением Шевалле-Мацумото, есть первый шаг, ведущий к разложению Гаусса. Нашей целью сейчас является доказательство аналогичного разложения для скрученных групп Шевал-ле. Пусть снова о/к Є 11 и А — подсистема корней в т , порожденная всеми простыми корнями кроме с(к » если о(к - к » илиЫкЛ если о оїк и о(к к , или о(к,о(к,сЯк ,если СІК-СІК,ОІ?О(К. Положим Z. Ф \ Л и!Е"" = Чг" П21 . Очевидно, что по построению замкнутые множества Z , Z являются инвариантными относительно инволюции или автоморфизма третьего порядка Р . Положим : Up (,R) = xA(t),dl+,-URKAu R0 , Vp (X,R) = ХА(І), del", teR или Ro . Как обычно, возможны также обозначения ТГ (Z,R), 2Vr(, R), IT ( Z, R ) , 3V"(2I?R) . Пусть корень о! к выбран таким же образом, как и в предыдущей теореме. Имеет место следующее разложение: Теорема I. Пусть для элемента Q из скрученной группы Шевал-яе G- р(Ф, R ) в базисном представлении со старшим весом АЛ выполнено д„ R . Тогда где veVP(I,R)f ueVp(Z,R), Ь єТрС ІО&рСд,!!), причем сомножители V, U,nQj определены однозначно. Кроме того, если Отбрасывание корня о к , пары корней о1к,о(к или тройки о(к,о(к, о(к в системе корней Ф равносильно отбрасыванию соответствующего корня А в системе корней тр , однако, ввиду лемм 1.2 и Е.З нам удобнее пользоваться системой корней Ф . Отметим сразу, что разложение Шевалле-Мацумото по паре корней в (Х(Ф РО не совпадает с разложением в скрученной группе &р(Ф К) / соответственно для 3&(0 , R) /. Мы не накладываем дополнительных ограничений на кольцо и автоморфизм р /ср. Н 2. ] /. Это приводит к тому, что среди скрученных групп Шевалле могут появиться группы Шевалле нормальных типов. В самом:деле, если на кольце R автоморфизм j) действует тривиальным образом, то имеем &р (Ф?) — G-(TO,R) . Такое возможно и для поля. Однако, для колец имеется и другая возможность. Возьмем кольцо R = R Ф R и инволюцию, переставляющую компоненты: РС УІ СУ О . Тогда имеем : G-P( P,RR) G-C P,R). Поэтому в доказательстве будет использована справедливость соответствующих результатов для групп Шевалле нормальных типов. , Для доказательства теоремы рассмотрим вначале подрадикальный случай, затем случай поля и, наконец, полупростого кольца. Однако, для систем корней Ф-А . Рп/ т.е. для классических групп / имеется прямое доказательство, с которого мы и начнем. 2. Доказательство для классических групп Пусть ф - Ап_{ . Фиксируем представление с АЛ-СОі . Хорошо известно, что группа 2& С гп-\ і ) изоморфна SU"(2n, R) — нитарной группе над кольцом К в обычном представлении размерности 2п . Напомним, что SlF(2n,Rb [j бSL(2n,R) gag т=а], где & — следующая матрица 3 соответствии с этим изоморфизмом будем писать Q ц вместо О л , /, j 4,2,...,П,-П,... 2,-1. Пусть g j обозначает элемент обратной матрицы СГ , стоящий на месте ( I, j) .Из определения группы SlT(n,R) следует, что 91] 9-Л 1 пРичем если b,j n дли -1 6 t,i-n , то в формуле стоит знак плюс, а в противном злучае-минус.
Задача стабилизации Ki-функтора для групп-Шевалле
Набор идеалов (7 = ( C"Lj ) , определенный для некоторых пар , j)» l,j П является частичной сетью идеалов в R [орядка П , если каждый раз, когда все три идеала CT r , (Уг1 ,(Уц пределены, имеет место включение ісли все идеалы СГц определены и равны R , то частичная сеть сазывается частичной "D -сетью / сеть называется к) - сетью, ес-[и Cftl-Rj Р], [б]/. Следующая лемма дает достаточное условие, что-!ы частичную сеть можно было бы вложить в полную.
Лемма 3.1. Пусть частичная к) -сеть идеалов О" =:((7 1) в R юрядка П удовлетворяет следующим условиям: і/ Всякий раз, когда все идеалы СГ , &К\Кг - &Кті іпределенн, имеет место включение Для любых (t,j), 4t,j H найдутся K ,...,Km такие, [то все идеалы Cfi i , . . . , (7"кті определены. Тогда О" можно продолжить до полной сети, положив ;ля тех пар ( Ц j ) , для которых ТЦ не определены. Здесь ;умма берется по всем наборам K-j , . . . , Km » таким что все иде-лы 0"{ , . . . , (Гк ; определены. Доказательство. В силу условия б/ все идеалы 0"м определяют-;я формулой ( ) для всех пар ( t,j) . То, что получившийся набор деалов будет сетью,следует из условия а/. Лемма 3.2. Пусть СТ= ( $\ ) — сеть идеалов в R типа т. !сли d + . . . 4 d m = ol , где d 4,... , ol m, d е Р » то име_ іт место включение Vdi ..." О С 0\ . Доказательство. Воспользуемся индукцией по 171 . При 1П = - 57 требуемое включение — это определение сети. Пусть теперь ІП 2. и предположим, что для любой цепочки из 1ЛЛ-1 корня, сумма которой есть корень, требуемое включение уже доказано. Пусть оЦ + . . .+ ol m = ot. Тогда то есть найдется номер К , 4 К m такой, что (Ык О 0 Переставляя,если нужно, корни оЦ ,.. . , оіщ , мы можем считать, что (o!m,dl) 0 . Возможны два случая: o( ,=d либо o(m ol . В первом случае 0"dm= 0"ы и требуемое включение очевидно. Во втором случае разность d-olm является корнем, и по индукционному предположению имеет место включение Домножая его на (У&т и пользуясь определением сети, мы получим требуемое включение для оЦ » 9 & п Пусть JT — базисное представление группы Gr ( Ф, R ). Обозначим через О, кратность нулевого , веса представления JT . Построим по сети СГ= (СГ ) в R типа Ф сеть СҐ = (б;\у), порядка П , равного размерности представления Л . Положим С =. R для любого Л(Л"). Если для двух весов А, V Л(Л) их разность является корнем, то положим В случае, когда нулевой вес является кратным для представления Л, - 58 ?.е. О, Z и один из весов Л или ї) равен нулю, то мы пола- аем, что все идеалы С- л , ol 6 А (Л) ,/ соответственно 0 д / авны между собой. Аналогично, 0"о,о- означает, что 0 ft = Я рія всех с ,)2 є Л(Л) . Таким образом, мы получили частичную ;еть СГ = (СТ у) .В самом деле, если 7\, U ,9 Є Л(л) таковы, іто каждая из трех разностей Л-ЛА , Л — " , АЛ-V является ли-ю корнем, либо нулем, то из определения сети типа т следует, [астичная D -сеть О = ( О" ) удовлетворяет условиям леммы 1.1. В самом деле, условие а/ следует из леммы 3.2. Условие б/ оз-гачает просто, что разность любых двух весов представления JT при-[адлежит решетке корней L0 и соответствует связности диаграммы азисного представления / см. _ 7J /. Следовательно, частичную ) -сеть Т -( tf) можно дополнить до полной Ю -сети, юторую будем обозначать той же буквой. Отметим, что для Ф = А і , С і в представлениях со старшим іесом СО4 сеть сразу же оказывается полной, так как разность любых ;вух весов является корнем. Сеть С для Ф = С — это то, что [но] называется о -сетью. Для первого фундаментального пред-тавления групп типов Bg , D , Gr разность Я-У L0 олько для Л = - V. Определение. Пусть (т-&(Ф,(2) — группа Шевалле типа ф ад коммутативным кольцом R , JT" — базисное представление руппы G- , О" сеть идеалов в R типа Ф . Сетевой одгруппой группы G соответствующей сети (Г называется группа ідесь О" — сеть идеалов в R степени, равной размерности представления JT , построенная выше. В случае, если представление ючное, имеем Предположим, что на положительных корнях задан порядок, согласованный с высотой: из с р следует, что h t пир. Лемма 3.3. Пусть 0"=( 3ы) — сеть идеалов в І? типа Ф. йяемент U= Xer CUoi ) . . . % m(Udm) из " "( R) тогда и олько тогда принадлежит сетевой подгруппе Gr(cr) группы Шевалле х - G(r, К) , когда U(Л 0"oi для всех 0( . В частности, Доказательство. Чтобы доказать достаточность, нужно убедиться [ИШЬ в том, что Х при "ь 0"oi .в самом деле, із леммы I.I следует, что (X0i ("t)) "X у отлично от нуля только щя тех Я Ф V , для которых \) - Я = ОС или - Д = 2 ОІ . сли о( Л (Л) , то возможен только первый случай у-Я =о(7 гричем V, Я Л(л) . Тогда снова из леммы I.I следует, что ХыС Ь)) принадлежит (Т = 0" . Пусть d бЛ(«Я). )сталось еще рассмотреть случаи, когда Я или S) равны нулю, и ;лучай Я = - d , V = оС .
Сюръективная стабилизащя К <-функтора для скрученных групп Шевалле
Под задачей сюръективной / инъективной / стабилизации понимает-я нахождение условий на кольцо К , зависящих от Д - Ф , при эторых отображение V является сюрьективным / инъективным /. При-эденная в начале этого параграфа задача о сюръективной стабилизации 1 К і функтора для специальной линейной группы в точности отвечает яожению An-1" An І Сюрьективная стабилизация эквивалентна нали-ж разложения инъективная — следующей формуле оэтому,вместо сюръективности гомоморфизма V для функтора К ожно говорить о таком разложении группы Шевалле и нахождении усло ий, при котором оно осуществляется. Наличие же этого разложения есно связано с теоремой Шевалле-Мацумото. Напомним, что если для лемента Q є (Сг(Ф,R), М) выполнено Quu » т0 имеет место азложёние (j-Vhty U , где VV(X,R), Mlf(I,R), ід4 T(9,R) Cr(A,R) . Более того, если ($JAU { , то Так как Q -Gity оставляет на месте вектор старшего веса, О ситуация оказывается полностью аналогичной случаю специальной лиге иной группы. Допустим теперь, что корень с к -- произвольный. Тогда теорема ютается в силе со следующими изменениями: вместо обратимости эле юнта Од /т.е. главного иинора первого порядка в представле ми со старшим весом КА , таким что jW-otK Л (Л) / надо ребовать обратимость главного минора матрицы Q (G(9, R)}/U), юстоящего из элементов Ал . , таких что в разложении Я-V Z. Ы 5 і A,V Л(Л)? Ы5 Є П не участвует корень of к . От-іетим, что если корень УК такой, что существует базисное предеавленивЛсо старшим весом АД , удовлетворяющим условию -& к UЛ) о обратимость соответствующего главного минора элемента ф в про-звольном базисном представлении следует из наличия разложения для у, ) в группе (Сг(Ф, Ю,М) при условии 9гуие » так как сомножи ели U, V, h ty л определяются не зависящим от представления об-азом. Теорема Шевалле-Мацумото допускает наглядную иллюстрацию на зыке диаграмм — при отбрасывании корня с к диаграмма базисного редставления распадается на несколько связных компонент, крайняя :з которых соответствует обратимому минору. Для классических групп меется и другая иллюстрация обратимости миноров в разных представ-:ениях : почти все их фундаментальные представления, за исключением яинорного для Ф- В и двух полуспинорных для Ф-І являются інешними степенями естественных представлений универсальных групп :ли их полпред ставленнями (Ф-С n) , и блочный вид матрицы Q Є п влечет вид ее к -ой внешней сте-[ени, принадлежащей ( Gr (Ф, R ), c«JK ) / К П для Ф - ВЦ , П, П-4 для Ф «On /. Из теоремы Шевалле-Мацумото следует, что вопросы стабилизации вводятся к получению умножением на элементы из ее(Б(Ф, R), Д() [екоторого обратимого главного минора в матрице (X ( (т(Ф, R), ). ак как проверять обратимость мтноров трудно, то удобнее рассматрит. ,. ать такое представление, что ИЛ-Ык Л(л),и искать ЄЄ (Е(Ф, R),/u) акой что M(GQ) R / или, что то же самое, Щ)-і /. Перейдем к условиям на кольцо R Определение [{Dl,[j07j. Коммутативное кольцо R удовлетворя ІТ условию абсолютного стабильного ранга ASR т» если для любой ітрочки ( ГА ,..., Гт ) 6 Rm найдутся кл,..., і т_і 6 R ,такие іто любой максимальный идеал в R , содержащий идеал Г1 їл rm . - j Пли + т ГтУ , содержит также идеал Г1, .. . , Г m , і частном случае, когда ( 1% ,... , Гm ) унимодулярна, т.е. : Г\ ,... , Г m - R , из условия А 5 R m получится условие стаби ъного ранга 5Rm . Известно р01], что оба эти условия ASRm, SRm ледуют из условия dimmax R = rn-. Лемма4.1 i\07l Пусть для кольца R выполнена условие AS Rm. огда для произвольного идеала ft из R в кольце к / ОЬ также меет место ASR m . Кроме того, ASR пп влечет ASR , еслиП ГП. На первый взгляд кажется, что условие А ЭК , так же как SRm, риспособлено к случаю (Gr(AnjR) kM) — специальной линейной руппы. Диаграмма базисного представления для An со старшим весом 0- представляет собой цепь, корневые унипотенты — это обычные рансвекции, отличные от нуля всего на одном недиагональном месте , кроме того, на столбец Q V в этом случае не наложено ника-дх ограничений, В общем случае ситуация значительно сложнее : эле-энтарные корневые элементы представляются матрицами, отличными от /ля на многих местах, а на столбец наложены ограничения, вытекаю-ЇЄ из уравнений, задающих группу, В связи с этими уравнениями воз-шают специфические условия на кольцо R для ф= &гь и в [38] гагодаря работе [І07 J выясняется, что условие A$Rm возможно игра-? даже большую,чем условие стабильного ранга , роль в вопросах ста-їлизации. Оно автоматически учитывает указанные уравнения и дает зможность получить стабилизацию К -функтора для групп, диаграммы торых сильно разветвлены, а уравнения совершенно непригодны для посредственного использования.
Нашей целью является доказательство теоремы о сюръективной стабилизации К -функтора для полного списка вложений групп Шевалле, твечающих максимальным стандартным вложениям неприводимых подсистем орней, т.е. вложениям, которые определяются связными подграфами хемы Дынкина, получающимися отбрасыванием одного простого крайне-о корня. В качестве следствия отсюда получается стабилизация для сех максимальных вложений систем корней. На самом деле, используя ндукцию, можно получить условия стабилизации для любого вложения еприводимых систем корней.
Хорошо известно,(9А],\к8], что во всех перечисленных случаях системе корней Ф имеется с точностью до сопряженности с помр-ью элемента группы Вейля ровно один класс подсистем типа Д , роме двух следующих случаев : в системе корней к) і , t=K имеет-я два класса сопряженности подсистем типа kl-\ , которые перево-ятся друг в друга внешним автоморфизмом порядка 2 / в системе D j одсистема A3 переводится внешним автоморфизмом порядка 3 в под-кстему типа W3 , т.е. имеется три класса сопряженности/, в сис-еме корней типа Eg имеется два класса сопряженности подсистем ти-а А? і которые обозначаются А? и А? и отличаются тем, что \? С А 8 , а А? 9- А в . При указанных в теореме условиях ста-илизация наступает для всех вложений данного типа.
