Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Корректность абелевых групп и их определяемость своими подгруппами. 15
1.1 Определения и известные результаты 16
1.2 Изоморфные и s-изоморфные абелевы группы 22
1.3 Связь между корректностью абелевых групп и их определяемостыо своими подгруппами 26
ГЛАВА II. Определяемость прямых сумм циклических групп своими подгруппами и корректность р-групп . 32
2.1 Определяемость прямых сумм циклических групп своими подгруппами 33
2.2 Определяемость прямых сумм циклических групп своими собственными подгруппами 39
2.3 Корректность р-групп 45
ГЛАВА III. Определяемость групп без кручения и обобщенно вполне разложимых групп своими подгруппами . 48
3.1 Определяемость групп без кручения своими подгруппами 49
3.2 Корректность обобщенно вполне разложимых групп и их определяемость своими подгруппами 53
Литература. 65
- Изоморфные и s-изоморфные абелевы группы
- Определяемость прямых сумм циклических групп своими собственными подгруппами
- Определяемость групп без кручения своими подгруппами
- Корректность обобщенно вполне разложимых групп и их определяемость своими подгруппами
Введение к работе
Актуальность темы. Две абелевы группы называются почти изоморфными, если каждая из них изоморфна некоторой подгруппе другой группы [J]. Две абелевы группы называются почти изоморфными по подгруппам с некоторым свойством, если каждая из них изоморфна некоторой подгруппе другой группы, обладающей этим свойством. Задача об изоморфизме почти изоморфных групп привлекала внимание многих алгебраистов. В одной из тестовых проблем Капланского [К] ставится вопрос об изоморфизме абелевых групп, почти изоморфных по прямым слагаемым. Для счетных редуцированных примарных групп эта проблема имеет положительное решение [К], однако П. Кроули привел пример неизоморфных р-групп, каждая из которых изоморфна прямому слагаемому другой группы [Сг]. В ряде работ исследуются, когда из почти изоморфизма абелевых групп по сервантным или вполне характеристическим подгруппам вытекает их изоморфизм (например, [G], [Р1], [Ш], [Г1], [Г2]).
Известная теоретико-множественная теорема Кантора-Шредера-Бернштейна являлась источником постановки аналогичных задач в алгебре не только для абелевых групп. В [С] изучается теоретико-кольцевой, а в [ТК] теоретико-категорный аналоги теоремы Кантора-Шредера-Бернштейна. Рассматриваются также почти изоморфные модули (например, [Ви], [Н], [Р2]). Подобные задачи возникают и в других областях математики, в частности, в топологии ([Во], с. 20-21).
Существует также логический аспект задачи о почти изоморфизме, основанный на том, что если модули почти изоморфны по
чистым подмодулям, то они элементарно эквивалентны [Е].
Для рассмотренных аналогов теоремы Кантора-Шредера-Бернш-тейна характерно, в отличие от самой теоремы, наличие примеров отрицательного решения соответствующих задач, а также изучение классов объектов, для которых эти задачи имеют положительное решение.
Абелева группа А называется корректной, если для любой абе-левой группы В из того, что А = В и В = А , где А , В подгруппы групп А и В соответственно, следует изоморфизм А = В [Г1].
Для абелевой группы А обозначим соответственно через S(A) и
Sub(A) - множества ее подгрупп и ее собственных подгрупп. Будем
t говорить, что группы А и В t-изоморфиы (обозначение А = В), если
существует биективное отображение множества S(A) на множество S(B), при котором соответствующие подгруппы групп А и В изоморфны. Будем говорить, что группы А и В s-изоморфиы (обозна-
чение А = В), если существует биективное отображение множества Sub(A) на множество Sub(B), при котором соответствующие подгруппы групп А и В изоморфны. Естественно возникает вопрос: в каких случаях ^-изоморфные (s-изоморфные) группы изоморфны. Если абелева группа А такова, что для любой абелевой группы В
t S
из А = В (А = В) вытекает А = В, то будем говорить, что группа А определяется своими подгруппами (своими собственными подгруппами).
Вопрос об определяемости группы своими подгруппами (своими собственными подгруппами) представляет самостоятельный интерес и как оказалось этот вопрос тесно связан с исследованием корректных абелевых групп.
Цель работы. Целью диссертационной работы является исследование корректных групп и групп, определяющихся своими подгруппами и своими собственными подгруппами в ряде классов абелевых групп.
Научная новизна. Все основные результаты диссертационной работы являются новыми. Основными результатами работы можно считать следующие.
Установлены связи между і-изоморфизмом, s-изоморфизмом и почти изоморфизмом абелевых групп, а также - между опреде-ляемостью групп своими подгруппами или своими собственными подгруппами и корректностью.
Получены критерии определяемости прямой суммы циклических групп своими подгруппами и своими собственными подгруппами, а также - корректности такой группы.
Получено полное описание корректных периодически полных (замкнутых) р-групп.
Исследована корректность и определяемость групп своими подгруппами или своими собственными подгруппами в классе абелевых р-групп, у которых не все инварианты Ульма-Капланского конечны.
Получен критерий корректности обобщенно вполне разложимых групп в классе обобщенно вполне разложимых групп, а также найден критерий определяемости обобщенно вполне разложимой группы своими подгруппами в классе обобщенно вполне разложимых групп.
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертационной работы имеют теоретическое значение и могут быть использованы в исследованиях по теории абелевых групп и модулей, а также при чтении спецкурсов.
Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались на XXII и XXIII Конференциях молодых ученых механико-математического факультета МГУ (Москва, 2000 г. и 2001 г.), на Международной конференции "Математика в Восточных регионах Сибири" (Улан-Удэ, 2000 г.), на Четвертом Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск,
г.), на Международном семинаре по теории групп (Екатеринбург,
г.), на Международной конференции "Алгебра и ее приложения" (Красноярск, 2002 г.), на Международной конференции по математике и механике (Томск, 2003 г.). Основные результаты неоднократно докладывались на семинарах кафедры алгебры Томского государственного университета.
Публикации. Основное содержание диссертации отражено в 10 публикациях. В совместной статье постановка задачи и выбор метода исследования принадлежит С. Я. Гриншпону. Диссертанту принадлежат формулировки и доказательства всех теорем.
Структура и объем работы. Представляемая диссертационная работа состоит из введения, списка обозначений, трех глав и списка литературы. Первая и вторая главы содержат по три параграфа, третья глава - два параграфа. Работа изложена на 69 страницах. Список литературы содержит 37 наименования.
Содержание работы. В первой главе вводятся понятия t-изо-морфизма и s-изоморфизма, а также - определяемости абелевой группы своими подгруппами и своими собственными подгруппами. Рассматривается связь введенных понятий с понятиями корректности и почти изоморфизма абелевых групп.
В параграфе 1.1 первой главы приводятся основные определения и известные результаты, используемые в дальнейшем.
В параграфе 1.2 вводятся понятия ^-изоморфизма и s-изомор-физма. Приведены примеры i-изоморфных (s-изоморфных), но не изоморфных абелевых групп и исследуются свойства ^-изоморфных и 5-изоморфных групп, связанные с прямой суммой групп и прямыми слагаемыми.
Естественно возникают вопросы: как связаны между собой ^-изоморфизм, s-изоморфизм и почти изоморфизм, а также - опреде-ляемость группы своими подгруппами или своими собственными подгруппами и корректность.
Получен следующий результат.
Теорема 1.19 Если абелевы группы А и В почти изоморфны, то они t-изоморфны.
Так как любые две t-изоморфные группы почти изоморфны, получаем
Следствие 1.20 Абелевы группы А и В t-изоморфны тогда и только тогда, когда они почти изоморфны.
Связь между ^-изоморфизмом и s-изоморфизмом устанавливает следующий результат.
Теорема 1.23 Если абелевы группы А и В t-изоморфны, то они s-изоморфны.
Для абелевых групп, содержащих собственные подгруппы, изоморфные самим группам, справедливо и обратное утверждение (теорема 1.27). Если же абелева группа не содержит собственных подгрупп, изоморфных самой группе, то она определяется своими иод-группами и является корректной группой (предложение 1.28 и следствие 1.29).
Из приведенных выше теорем вытекают такие результаты.
Следствие 1.21 Абелева группа А определяется своими под-
группами тогда и только тогда, когда А - корректная группа.
Следствие 1.24 Абелева группа определяется своими подгруппами, если она определяется своими собственными подгруппами.
Следствие 1.25 Если абелева группа определяется своими собственными подгруппами, то она корректна.
Заметим, что определения почти изоморфизма, ^-изоморфизма, 5-изоморфизма можно дать аналогичным образом для двух универсальных алгебр Ли В одной и той же сигнатуры. Также аналогично могут быть определены понятия корректной универсальной алгебры и алгебры, определяющейся своими подалгебрами (своими собственными подалгебрами). В ряде результатов первого параграфа никак не учитывается специфика абелевых групп (теоремы 1.19, 1.23, 1.27; лемма 1.22; предложение 1.28; следствия 1.20, 1.21, 1.24, 1.25, 1.29), и поэтому эти результаты с соответствующей переформулировкой справедливы для произвольных универсальных алгебр.
Во второй главе исследуются определяемость групп своими подгруппами и своими собственными подгруппами, а также - корректность групп в следующих классах абелевых групп: в классе прямых сумм циклических групп, в классе периодически полных (замкнутых) р-групп, в классе абелевых р-групп, у которых не все инварианты Ульма-Капланского конечны.
В параграфах 2.1 и 2.2 второй главы получены критерии корректности прямых сумм циклических групп и определяемости таких групп своими подгруппами и своими собственными подгруппами.
Пусть А - прямая сумма циклических групп. Группу А можно
записать в виде А = фА^фЛо, где Aq - свободная группа, ранг
р которой совпадает с рангом без кручения го(А) группы А, а всякая
р-компонента Лр группы А представима в виде Ар = ф Др, где
каждая группа Д-р есть прямая сумма 9Яг-р циклических групп порядка рг.
Группу А назовем ступенчатой, если для всякого простого числа р и для любого г Є N такого, что 2Ягр > Щ, выполняется
ЗР J'Hp
для всякого j < г.
Получены следующие результаты.
Теорема 2.3 Пусть А - прямая сумма циклических групп. Следующие условия эквивалентны:
А - корректная группа;
А определяется своими подгруппами;
А - ступенчатая группа и любая ее р-компоиента ограничена. Теорема 2.7 Пусть А - прямая сумма циклических групп.
Группа А определяется своими собственными подгруппами тогда и только тогда, когда А - ступенчатая группа с ограниченными р-компонентами и А не является простой группой.
Заметим, что некоторые задачи, связанные с почти изоморфизмом прямых сумм циклических групп, рассматриваются в [П]. Здесь показано, что из почти изоморфизма таких групп по сервантным подгруппам следует их изоморфизм. Приводятся также условия изоморфизма почти изоморфных абелевыхр-групп, разложимых в прямую сумму циклических групп. Отмечается, что эти условия были впервые получены Т. Рецкер (не опубликовано).
Пусть К - некоторый класс абелевых групп. Группу А из класса % назовем корректной в классе "Н, если для любой группы В из этого класса из того, что группы А и В почти изоморфны, следует изоморфизм А = В.
В параграфе 2.3 второй главы рассматривается класс периодичес-
ки полных р-групп, играющий фундаментальную роль при изучении р-групп. Впервые эти группы стал изучать Л. Я. Куликов (он называл их замкнутыми р-группами) [Ку2].
Теорема 2.8 Для периодически полной р-группы следующие условия эквивалентны:
группа А корректна в классе периодически полных групп;
базисная подгруппа группы А корректна;
базисная подгруппа группы А определяется своими подгруппами;
базисная подгруппа группы А ступенчатая и ограниченная. При исследовании р-групп большое значение имеют инварианты
Ульма-Капланского группы А. Если р - фиксированное простое число, то о-м инвариантом Ульма-Капланского группы А называется кардинальное число
Ш) = г(0*м)М/(^+1л)М).
В параграфе 2.3 рассматриваются также абелевы р-группы, не все инварианты Ульма-Капланского которых конечны. Для таких групп получены следующие результаты.
Теорема 2.9 Пусть А - абелева р-группа. Если п-ый инвариант Ульма-Капланского группы А бесконечен хотя бы для одного натурального числа п, то группа А содероісит бесконечное множество собственных подгрупп, изоморфных самой группе А.
Теорема 2.10 Пусть А - абелева р-группа, у которой хотя бы для одного натурального числа п ее п-й инвариант Ульма-Капланского бесконечен. Тогда эквивалентны следующие условия:
А - корректная группа;
группа А определяется своими подгруппами;
группа А определяется своими собственными подгруппами.
В третьей главе рассматриваются группы без кручения и обобщенно вполне разложимые группы.
Основным результатом параграфа 3.1 является следующая теорема.
Теорема 3.4 Пусть А - абелева группа без кручения. Следующие условия эквивалентны:
А - корректная группа;
А определяется своими собственными подгруппами;
А определяется своими подгруппами.
Показано также, что если А - делимая группа без кручения, то каждое из условий 1)- 3) равносильно конечности ранга группы А (теорема 3.3).
Абелева группа А называется обобщенно вполне разложимой, если она разлагается в прямую сумму групп ранга 1 (не обязательно без кручения).
Понятие вполне разложимости было распространено с групп без кручения на произвольные группы С. Меджиббеном [Meg].
С. Я. Гриншпон доказал, что если G - обобщенно вполне разложимая группа, то любые два разложения группы G в прямую сумму групп ранга 1 изоморфны, и всякое прямое слагаемое группы G - обобщенно вполне разложимая группа. Он также получил полное описание вполне характеристических подгрупп и решетки, ими образуемой, для обобщенно вполне разложимых групп [ГЗ].
Выберем в каждом классе изоморфных абелевых групп ранга 1 по одному представителю и пусть ЯЯ = {Ga}aes ~ множество этих представителей. 97Т является максимальным множеством попарно неизоморфных абелевых групп ранга 1. Зададим отношение частичного порядка на множестве S сле-
v 12
дующим образом: ai < «2> если Gai изоморфна подгруппе
ГРУППЫ Ga2.
Пусть А - обобщенно вполне разложимая группа. Собирая для всякого а Є S в ее разложении в прямую сумму групп ранга 1 прямые слагаемые, изоморфные Ga, получим разложение А = ф А(а), где А(а) = 0 Ga (некоторые из групп А{а) могут
aeS ЭТа
быть нулевыми).
Будем говорить, что для группы А = ф А(а), где А(а) = ф Ga,
aeS ЭТ„
выполняется условие S-максимальности, если любая цепь
а\ < ач < ... < ап < ...,
где оц Є S, А{а.і) ф О, обрывается. Группу А назовем S-ступенчатой, если для любого а Є S такого, что 9Та > No и Для любого j3 Є S такого, что Р < а, выполняется Щр > УХа.
Основным результатом параграфа 3.2 является следующая теорема.
Теорема 3.5 Обобщенно вполне разложимая группа А корректна в классе обобщенно вполне разложимых групп тогда и только тогда, когда А - S-ступепчатая группа и для нее выполняется условие S-максимальности.
Пусть 11 - некоторый класс абелевых групп. Если группа А из класса К такова, что для любой группы В из класса 11 из t-изомор-физма групп А и В следует А = В, то будем говорить, что группа А определяется своими подгруппами в классе 1І.
Из теоремы 3.5 и результатов первой главы получаем такое следствие.
Следствие З.б Обобщенно вполне разлооїсимая группа А определяется своими подгруппами в классе обобщенно вполне разложи-
мых групп тогда и только тогда, когда А - S-ступенчатая группа
и для нее выполняется условие S-максимальности.
*
Изоморфные и s-изоморфные абелевы группы
Для абелевой группы А обозначим соответственно через S(A) и Sub(A) - множества се подгрупп и ее собственных подгрупп. Будем t говорить, что группы А и В t-изоморфпы (обозначение А = В), если существует биективное отображение множества S(A) на множество S(B), при котором соответствующие подгруппы групп А и В изоморфны. Будем говорить, что группы А и В s-изоморфиы (обозна-чение А = В), если существует биективное отображение множества Sub(A) на множество Sub(B), при котором соответствующие подгруппы групп А и В изоморфны. Ясно, что изоморфные группы t-изоморфны. Обратное утверждение в общем случае неверно. Пусть р - фиксированное простое о(Ьо) = р,о(ап) = о{Ьп) = р2,п Є N. Покажем, что группы А и В i-изоморфны. Пусть А - ненулевая подгруппа группы А. я" а„ - проекция группы А на прямое слагаемое ап группы А и А п = 7г ап (Л ). Обозначим через т - наименьший номер, для которого А ф 0. Тогда подгруппу группы В, изоморфную подгруппе А , строим следующим образом: 0 кп р2 и лишь конечное число коэффициентов кп отлично от нуля, ставим в соответствие элемент ФА {О) = Х кпЪп; оо 2) если А\ = Z(p), то элементу а А , где а = кгра\ + Y1 кпап, О к\ р, О кп р2 при п 2 и лишь конечное число коэффициентов кп отлично от нуля, ставим в соответствие элемент 3) если A m = Z(p), m 1, то элементу а Є А , где a — ]Г] fcnan, 0 &m P25 km делится на p и лишь конечное число коэффициентов кп отлично от нуля, ставим в соответствие элемент ФА (а) = X) кпЪп-1 ненулевых подгрупп группы А на множество всех ненулевых подгрупп группы В, ставящее каждой подгруппе А группы А подгруппу ФА (А ) группы В, будет биекцией, для которой А = ФА (А ). Итак, получили, что группы А и В -изоморфны, однако А = В. Рассмотрим -изоморфные прямые суммы абелевых групп. Предложение 1.16 Если {Д-}ІЄ/ и {ВІ\ІЄІ - семейства абелевых t групп такие, что для всякого і Є I выполняется Д- = В{, то Доказательство. Пусть для всякого і Є I, fi - биекция между множеством подгрупп группы А{ и множеством подгрупп группы В{, реализующая указанный -изоморфизм. Пусть U - подгруппа группы ф А{ и ПА( - проекции группы А на прямые слагаемые Д-. іє/ Обозначим UІ = 7TAi(U),i Є I. Ui - подгруппа группы Д-, следовательно, существует изоморфное отображение фі группы Ui на группу fi(Ui), где fi(U{) С В{. Для любого и Є U существует единственный набор элементов щ Є Ui(i Є I), лишь конечное число которых отлично от нуля, что и = 2 Щ- Так как щ Є С/,-, то фі(щ) Є ВІ(І Є І). ІЄІ Пусть ф - отображение группы U в группу ф Вг-, действующее ІЄІ следующим образом: ф{и) = 1Фі{иі) - Доказательство. Пусть условия теоремы выполнены. Обозначим через S(A), S(B), S(A{), S(Bi) множества всех подгрупп соответственно групп А, В, Ai,Bi. Покажем, что А\ и В\ -изоморфные группы. S[A\) - подмножество множества S(A), S(Bi) - подмно жество множества S(B). Рассмотрим ограничение /і биекции / на подмножестве S(A\). Тогда f{U) = fi(U), где U - подгруппа группы А\.
Из условия теоремы, fi(U) подгруппа группы В\ и fi(U) = U.. /і - инъекция в силу того, что / - инъекция, /і - сюръекция, так как по условию теоремы для любой подгруппы группы В\ найдется прообраз в А\. Получаем, что /і биекция. При биекции /і соответст вующие подгруппы групп А\ и В\ изоморфны, так как f\ ограни чение биекции / с таким свойством. Получаем, что группы А\ и В\ -изоморфны. Любые две изоморфные группы - s-изоморфны. Обратное утверждение в общем случае неверно. Пусть р - фиксированное прос оо оо тое число, А = 0 ап и В = 0 Ъп 0 Ь0 , где о(60) = Р, п=1 п=1 о(ап) = о{Ьп) =р2,пе N. Тогда А & В, но А В. Предложение 1.18 Пусть А и В s-изоморфные группы; А\ и В\ - прямые слагаемые соответственно групп А и В. Если найдется такая биекция f, реализующая указанный s-изоморфизм, что для любой подгруппы U группы А\ выполняется: f(U) - подгруппа группы В\ и для любой подгруппы V группы В\ - f liy) подгруппа группы А\, то группы А\ и В\ t-изоморфны. Доказательство. Пусть условия теоремы выполнены. Обозна чим через Sub(A), Sub(B) - множества всех собственных подгрупп соответственно групп А и В, через S(Ai), S(B{) - множества всех подгрупп соответственно групп А\ и В\. Тогда S{A\) - подмножество множества Sub(A), S(B{) - подмножество множества Sub(B). Биек
Определяемость прямых сумм циклических групп своими собственными подгруппами
Лемма 2.4 Если А - прямая сумма циклических групп и абелева группа В s-изоморфна группе А, то В - такоюе прямая сумма циклических групп. Доказательство. Пусть В - группа без кручения. Группа В не является делимой, так как в делимой группе без кручения есть собственные подгруппы ранга 1, не изоморфные Z, а в группе А нет таких собственных подгрупп ранга 1. Значит, существует такое натуральное число п, что пВ -ф В. Тогда пВ - собственная подгруппа группы В, и из s-изоморфизма групп А и В получаем, что пВ -прямая сумма циклических групп. Так как В - группа без кручения, то пВ = В, и, значит, В - прямая сумма циклических групп. Пусть В - периодическая или смешанная группа. Тогда существует такое простое число р, что -компонента Вр группы В отлична от нуля. Покажем, что существует такой элемент Ъ порядка р группы В, что h(b) оо (h(b) -р-высота элемента Ъ). Предположим противное. Пусть все элементы порядка р группы В имеют бесконечную р-высоту. Тогда Вр - делимая группа ([Ф1], с.118). По теореме 1.10 Вр является прямой суммой 9Я квазициклических групп. Если Ш 1, то в группе В есть собственная подгруппа, изоморфная Z(p), а в группе А нет такой собственной подгруппы. Это противоречит s-изоморфизму групп А и В. Если же ЯЯ = 1, то есть Вр = Ii(p), то в группе В для каждого натурального числа п существует одна и только одна собственная циклическая подгруппа порядка рп. Так как группа А s-изоморфна группе В, то в Л для каждого натурального числа п существует одна и только одна собственная циклическая подгруппа порядка рп. Но это противоречит тому, что А - прямая сумма циклических групп. Пусть Ь - такой элемент порядка р группы В, что h(b) со. Тогда элемент Ъ можно вложить в конечное циклическое слагаемое группы В ([Ф1], с.139), то есть В = с ф , где с -конечная циклическая группа и b Є с . Так как группы А и В s-изоморфны, то В изоморфна некоторой собственной подгруппе группы А. Следовательно, группа В - прямая сумма циклических групп. Тогда В также является прямой суммой циклических групп. Доказательство. Пусть А = ф Ар ф AQ - прямая сумма цик р лических групп. По лемме 2.4 В - также прямая сумма циклических групп. Если свободная подгруппа AQ группы А отлична от нуля, то подгруппа А = ф Ар ф пАо, где п Є N, п 1, является собственной р подгруппой группы А. А = А и поэтому по теореме 1.27 группы А и В t-изоморфны. Применяя следствие 1.20 и лемму 2.1, получаем, что группы Ар и Вр t-изоморфны и го {А) = го(В). Если AQ — 0 и р - такое простое число, что Ар ф 0, то Ар - собственная подгруппа группы А, так как А не является при-марной. В силу s-изоморфизма групп А и В группа Ар изоморфна некоторой собственной подгруппе Вр группы
В. Понятно, что В р подгруппа группы Вр. Аналогично получаем, что группа Вр изоморфна некоторой подгруппе А р группы Ар. Значит, группы Ар - /. .U CTDKH:. и Bp почти изоморфны и поэтому по следствию 1.20 эти группы -изоморфны. Что же касается рангов без кручения групп А и В, то для них в этом случае выполняется равенство го(А) = го(В) = 0. Рассмотрим простые абелевы группы. Абелева группа является простой в том и только в том случае, когда она циклическая группа простого порядка. Если А циклическая группа порядка р, а В циклическая группа порядка q, где р ф q, то А В. Однако группы А и В s-изоморфны. Значит, имеет место следующая Лемма 2.6 Простая абелева группа не определяется своими собственными подгруппами. Теорема 2.7 Пусть А - прямая сумма циклических групп. Группа А определяется своими собственными подгруппами тогда и только тогда, когда А - ступенчатая группа с ограниченными р-компо центами и А не является простой группой. Доказательство. Необходимость. Пусть группа А определяется своими собственными подгруппами. По лемме 2.6 группа А не является простой. Применяя следствие 1.25, получаем, что А - корректная группа, а тогда в силу теоремы 2.3 Л ступенчатая группа и любая ее р-компонента ограничена. Достаточность. Рассмотрим вначале случай, когда группа А не S является примарной. Пусть А = В. Тогда по лемме 2.4 В - прямая сумма циклических групп, а по лемме 2.5 для всякого простого числа р р-компоненты групп А и В f-изоморфны и го(А) = го(В). Применяя теорему 2.3, получаем, что Ар = Вр для всякого простого числа р и поэтому группы А и В изоморфны. Следовательно, группа А определяется своими собственными подгруппами. Пусть А - р-группа. Так как по условию теоремы группа А огра п ничена, то А можно записать в виде А = фД-, где Д- - прямая сумма 9Лг циклических групп порядка р\ Пусть для некоторого индекса к (1 к п) 9 Но- Тогда в группе Ак есть собственная подгруппа Ак, изоморфная группе А , и поэтому группа А содержит собственную подгруппу, изоморфную А. Пусть группа А s-изоморфна группе В. Тогда В также ограниченная р-группа, содержащая собственную подгруппу, изоморфную В. По теореме 1.27 группы А и В -изоморфны. Применяя теорему 2.3, получаем А В.
Определяемость групп без кручения своими подгруппами
Теорема 3.1 Пусть А - абелева группа без кручения, не являющаяся делимой. Группа А определяется своими собственными подгруппами тогда и только тогда, когда А - корректная группа. Доказательство. Необходимость вытекает из следствия 1.25. Докажем достаточность. Пусть А - корректная абелева группа без кручения, не являющаяся делимой, и В - такая абелева группа, что s А = В. Существует такое натуральное число п, что пА ф А, и, так как А - группа без кручения, то пА = А. В - также группа без кручения. Действительно, если предположить, что в группе В существует ненулевой элемент Ъ конечного порядка, то Ъ -конечная подгруппа группы В, а тогда и во множестве подгрупп группы А была бы конечная подгруппа А\ такая, что \А\\ = Ь = о(Ь), чего быть не может. Если В не является делимой группой, то существует такое натуральное число т, что тВ ф В, и так как В - группа без кручения, то тВ = В. Применяя теорему t 1.27, получаем, что А = В, а значит, по следствию 1.20 группы А и В почти изоморфны. Учитывая корректность группы А, имеем А В. Покажем, что группа В не может быть делимой группой. Пусть В - делимая группа конечного ранга и ее ранг г(В) = п, где п Є N, п 1. Запишем группу А в виде A = D ф R, где D - делимая часть группы Л, a R - редуцированная часть этой группы, причем R ф 0. Пусть r(D) = т. Наибольший ранг собственных делимых подгрупп группы В равен п — 1. Наибольшая собственная делимая подгруппа группы А совпадает с D и ее ранг равен т. Из s-изоморфизма групп А и В следует, что п — 1 = га. Так как в группе А есть единственная собственная делимая подгруппа ранга т, а в группе В есть по крайней мере две собственных делимых подгруппы ранга п — 1, то это противоречит s-изоморфизму групп А и В. Если же г(В) = 1, т.е. В = Q, то всякая собственная подгруппа группы В имеет ранг 1, и типы собственных подгрупп группы В пробегают множество всевозможных типов, отличных от типа, представляемого характеристикой (со, со,..., со,...).
Ясно, что тогда из s-изоморфизма групп А и В вытекает г (A) = 1HA = B = Q, чего быть не может, так как редуцированная часть группы А отлична от нуля. Пусть теперь В - делимая группа без кручения, имеющая бесконечный ранг. В = 0 ВІ, где В{ = Q для всякого і Є /, / Щ. ІЄІ Пусть г о Є / и В\ = ф Д-. В\ - собственная подгруппа группы Б, изоморфная самой группе В. Тогда, применяя теорему 1.27 и следствие 1.20, получаем А = В, чего быть не может, так как группа А не является делимой. Следствие 3.2 Пусть А - абелева группа без кручения, не являющаяся делимой. Следующие условия эквивалентны: 1) А - корректная группа; 2) А определяется своими собственными подгруппами; 3) А определяется своими подгруппами. Доказательство. Эквивалентность условий 1) и 2) вытекает из теоремы 3.1. Эквивалентность условий 1) и 3) - из следствия 1.21. Перейдем теперь к рассмотрению делимых групп без кручения. Доказательство. Покажем эквивалентность условий 1) и 4). а) 1) =4 4). Пусть А - делимая группа без кручения, имеющая бесконечный ранг. А = ф Д-, где А{ = Q для всякого і Є І, \І\ Note/ Зафиксируем индекс г о Є і и выберем в группе Д-0 бесконечную циклическую группу А{ (Aio = Z). Пусть А\ = Аіо ф С, где то группы А и А\ почти изоморфны, однако А не изоморфна А\. Значит, группа А не является корректной. б) 4) =$ 1). Покажем, что делимая группа без кручения А конечного ранга корректна. Пусть В - абелева группа, и группы А и В почти изоморфны, то есть А = В , В = А , где А , В - подгруппы соответственно групп А и В. Так как В - делимая группа, то имеем В = В В .Из почти изоморфизма групп А и В вытекает г (А) = г{В ) г(В) и г(В) = г(А ) г(А). Значит, г(А) = г (В) = г(В ), и отсюда В = 0. Итак, В = В , и поэтому А = В. Эквивалентность условий 1) и 3) дает следствие 1.21. Покажем эквивалентность условий 2) и 4). а) 2) =4» 4). Пусть делимая группа без кручения А определяется своими собственными подгруппами. Тогда по следствию 1.25 группа А корректна и, значит, в силу уже доказанной эквивалентности условий 1) и 4), группа А имеет конечный ранг. б) 4) = 2). Пусть делимая группа без кручения
А имеет конечный ранг n, где n 1, В - абелева группа и А = В. Понятно, что группа В также имеет конечный ранг т и т 1. В группе А максимальный ранг собственных подгрупп равен п, а в группе В такой ранг равен т. Из s-изоморфизма групп А и В вытекает п = т. Пусть А\ -делимая подгруппа ранга п — 1 группы А. Тогда в группе В есть подгруппа В\, изоморфная подгруппе А\. Имеем В = В\ i?2, где г (В і) = п — 1, г(Дг) = 1. Если группа В не является делимой, то в группе В есть единственная собственная делимая подгруппа ранга п — 1, а именно, подгруппа Ві, а в группе А есть по крайней мере две собственные делимые подгруппы ранга п — 1. Это противоречит s-изоморфизму групп А и В. Значит Bi - делимая группа, а тогда и В делимая группа, причем г (В) = г (А). Следовательно, А = В. Если же г (А) = 1, то г(В) = 1 и, так как А и В - s-изоморфны, Теорема 3.3 и следствие 3.2 показывают, что для абелевых групп без кручения справедлив такой результат. Теорема 3.4 Пусть А - абелева группа без кручения. Следующие условия эквивалентны: 1) А - корректная группа; 2) А определяется своими собственными подгруппами; 3) А определяется своими подгруппами. Абелева группа А называется обобщенно вполне разложимой, если она разлагается в прямую сумму групп ранга 1 (не обязательно без кручения). Понятие вполне разложимости было распространено с групп без кручения на произвольные группы С. Меджиббеном [Meg]. С. Я. Гриншпон доказал, что если G - обобщенно вполне разло-жимая группа, то любые два разложения группы G в прямую сумму групп ранга 1 изоморфны, и всякое прямое слагаемое группы G -обобщенно вполне разложимая группа. Он также получил полное описание вполне характеристических подгрупп и решетки, ими образуемой, для обобщенно вполне разложимых групп [ГЗ]. Выберем в каждом классе изоморфных абелевых групп ранга 1 по одному представителю и пусть дЯ {Ga}aes множество этих представителей. 9Я является максимальным множеством попарно неизоморфных абелевых групп ранга 1. Зададим отношение частичного порядка на множестве S следующим образом: ai а2, если Gai изоморфна подгруппе группы Ga2. Пусть А - обобщенно вполне разложимая группа. Собирая для всякого а Є S в ее разложении в прямую сумму групп ранга 1 прямые слагаемые, изоморфные Ga, получим разложение А = ф 4( ), гДе А(а) — ф Ga (некоторые из групп А(а) могут быть нулевыми). выполняется условие S-максимальности, если любая цепь
Корректность обобщенно вполне разложимых групп и их определяемость своими подгруппами
Понятие вполне разложимости было распространено с групп без кручения на произвольные группы С. Меджиббеном [Meg]. С. Я. Гриншпон доказал, что если G - обобщенно вполне разло-жимая группа, то любые два разложения группы G в прямую сумму групп ранга 1 изоморфны, и всякое прямое слагаемое группы G -обобщенно вполне разложимая группа. Он также получил полное описание вполне характеристических подгрупп и решетки, ими образуемой, для обобщенно вполне разложимых групп [ГЗ]. Выберем в каждом классе изоморфных абелевых групп ранга 1 по одному представителю и пусть дЯ {Ga}aes множество этих представителей. 9Я является максимальным множеством попарно неизоморфных абелевых групп ранга 1. Зададим отношение частичного порядка на множестве S следующим образом: ai а2, если Gai изоморфна подгруппе группы Ga2. Пусть А - обобщенно вполне разложимая группа. Собирая для всякого а Є S в ее разложении в прямую сумму групп ранга 1 прямые слагаемые, изоморфные Ga, получим разложение А = ф 4( ), гДе А(а) — ф Ga (некоторые из групп А(а) могут быть нулевыми). выполняется условие S-максимальности, если любая цепь где «і Є S, А(аі) у 0, обрывается. Группу А назовем S-ступенчатой если для любого а Є S такого, что У1а Но и для любого (З Є S такого, что (3 а, выполняется УХр 9TQ. Пусть 11 - некоторый класс абелевых групп. Напомним, что группа А из класса % называется корректной в классе 1І, если для любой группы В из класса % из того, что группы An В почти изоморфны, следует изоморфизм А = В. Если группа А из класса 11 такова, что для любой группы В из класса ІІ из -изоморфизма групп А и В следует А = В, то будем говорить, что группа А определяется своими подгруппами в классе 11. Теорема 3.5 Обобщенно вполне разложимая группа А корректна в классе обобщенно вполне разложимых групп тогда и только тогда, когда А - S-ступенчатая группа и для нее выполняется условие S-максимальности. Доказательство. Необходимость. Пусть А = ф А(а), где А{а) = ф Ga обобщенно вполне разложимая группа и А -корректная группа в классе обобщенно вполне разложимых групп. Допустим, что А не является 5-ступенчатой группой, то есть существуют такие (3 а из S, что У1а Щ и У1р УХа. Рассмотрим два случая: а) УХр = О, б) УХр ф 0. а) Представим группу А (а) в виде А(а) = А (а) А (а), где А (а) - группа, изоморфная GQ, А (а) - прямая сумма 9TQ групп, изоморфных Ga. Рассмотрим подгруппу В группы А: В = А (/3) Л(7)фГ(а), где А {Р) - подгруппа группы А (а), изоморфная Gp. Так как А (а) = А(а), то группа А изоморфна подгруппе группы В, а именно А = ф (т) Ф А (а). Значит, груп -уфа пы А и В почти изоморфны. Однако группы А и В не изоморфны, так как в группе А нет прямого слагаемого, изоморфного Gp, а в группе В есть. б)
Пусть А = Л(а)0Л(/?) ф (т)- Рассмотрим следующую подгруппу В группы А: В = Аа ф A(j). Группы А и В не изо-морфны, так как в группе В нет прямых слагаемых, изоморфных Gp. Однако группы А и В почти изоморфны. Покажем это. Так как 9ta о и Vlp 9Ta, то 9Ia + 9 = 9Ia и группу А(а) можно записать в виде А(а) = А (а) ф А (а), где А (а) - прямая сумма У1р групп, изоморфных Ga, а А (а) - прямая сумма 9Та групп, изоморфных Ga. Имеем В = А (а) ф А (а) ф А(у) и А А ()фА » ф А(п), где А (/3) = G,? 7-а подгруп-па группы А (а) = ф(?а- Значит, группы А и В почти изоморфны. Итак, получили, что всякая обобщенно вполне разложимая корректная группа является З -ступенчатой. Пусть А = ф А(а) - корректная в классе вполне разложимых групп и 5-ступенчатая группа, но для группы А не выполняется условие 5-максимальности, то есть существует такое подмножество Si = { І}ІЄМ элементов множества S, что А{а.і) ф 0 и цепь не обрывается. Пусть S2 = S\S\. Тогда А = А\ A i, где А\ = Ф W) 2 = ф 1(о;). Предположим, что 9Tai Н0 для всякого а Є 5і. Так как во всяком множестве кардинальных чисел есть наименьшее, то существует такое aj Є Si, что УХа. V\Qi для каждого &i Є Si такого, что aj ai, а это противоречит 5-ступен-чатости группы А. Пусть аг наименьшее из таких аь Є Si, что 0 УХак Но Так как А - «S-ступенчатая группа, то для всякого ат Є «Si, ат аг имеем У\ат о- Тогда А\ = А(аг) @А{, где А\ = 0 А(а). Рассмотрим следующую подгруппу В группы aSi\{ar} А: В = А\ ф А2- Так как 9?am = #Q, а при т г все т г кардинальные числа УХат конечны, то в группе А\ есть подгруппа, изоморфная группе А\. Итак, получили, что группы А и В почти изоморфны. Однако группы А и В не изоморфны, так как в группе В нет прямого слагаемого, изоморфного Gar, а в группе А есть. Достаточность. Пусть А - 5-ступенчатая обобщенно вполне разложимая группа и для нее выполняется условие « -максимальности.
