Введение к работе
Актуальность темы. Теория линейных групп является наиболее важным, перспективным и интенсивно развивающимся направлением в современной алгебре. Находясь на стыке многих направлений (общая теория групп, теория колец, теория чисел, группы Шевалле и др.), теория линейных групп представляет собой обширную область приложений в различных разделах современного естествознания.
Различные вопросы, связанные со структурой классических групп, изучались в большом количестве работ на протяжении многих лет. Особый интерес вызывают такие вопросы, как описание нормального строения, описание изоморфизмов, образующие и соотношения, описание различных классов подгрупп.
Наша работа связана с исследованием структуры промежуточных подгрупп в линейных группах, содержащих фиксированную подгруппу. Поэтому мы подробнее остановимся на результатах этого направления.
Различные вопросы, связанные с описанием промежуточных подгрупп в линейных группах, рассматривались в работах многих авторов. Основополагающими исследованиями явились работы А. Бореля, Ж. Титса, Г. Зейтца, У. Кантора, О. Кинга, Р. Дая, Д. Дьековича, Ли Шанчжы, Н.С. Романовского и др. Следует отметить значительный вклад в развитие теории расположения подгрупп ленинградской-петербургской алгебраической школы (3 И Боревич, Н.А. Вавилов и их ученики).
Говоря о задаче описания надгрупп расщешшого максимального тора (которую можно связывать в контексте классов Ашбахера с классом Сі + Сг), необходимо напомнить хорошо известный результат А. Бореля и Ж. Титса, в котором для алгебраически замкнутого поля было получено описание подгрупп групп Шевалле, содержащих расщепнмый максимальный тор. В дальнейшем Г. Зейтц [27] перенес эти результаты на случай конечного поля (с числом элементов не менее 13) для надгрупп (не обязательно расщепимого) максимального тора.
Основой исследований подгрупп линейных групп, содержащих диагональную подгруппу, явилась известная работа З.И Боревича [2], в которой было дано описаіше подгрупп полной линейной группы над полем, содержащих группу диагональных матриц. В дальнейшем, в работах З.И. Боревича и Н.А. Вавилова этот результат был перенесен на полулокальные кольца. Основным результатом этих исследований явилось стандартное описание промежуточных подгрупп. А именно, всякой подгруппе полной линейной группы
G — GL(n,R), содержащей группу диагональных матриц, однозначно соответствует сеть идеалов <т = (<хч) над кольцом R такая, что G(a) ^ Н ^ N(a), где N{tr) — нормализатор сетевой группы G(cr) в полной линейной группе G
Подгруппы специальной линейной группы SL(n, R) над коммутативным кольцом R, содержащие группу диагональных матриц SD(n, R) были описаны при п ^ 3 Н-А. Вавиловым Отметим отдельно, что достаточно сложный случай специальной линейной группы второго порядка над полем рассмотрен О. Кингом [24].
В работах Н.А. Вавилова и Е.В. Дыбковой [7]-[9],[29] были рассмотрены ортогональный и симплектический случаи над коммутативным полулокальным кольцом В работах Е.В. Дыбковой [13] получено полное описание подгрупп гиперболической унитарной группы над произвольным телом (вне зависимости от коммутативности и характеристики), содержащих диагональную подгруппу.
Большой цикл работ был посвящен задаче, которая для полной линейной группы над коммутативным кольцом R звучит как описание в ней подгрупп, содержащих группу клеточно-диагональных матриц над R (размеры клеток не менее 2). Сформулируем результат для произвольной группы Шевалле. Пусть Д - подсистема корней системы корней Ф (причем ранги ее неприводимых слагаемых не меньше 2), 2 обратимо в R. Пусть, далее, Ф = Ai,Bi,Ci,Di. Тогда подгруппа Н группы Шевалле С(Ф,Д), содержащая Е(А, R), нормализует подгруппу, порожденную всеми элементарными корневыми унипотен-тами из Н. Пользуясь введенным З.И. Боревичем языком сетевых подгрупп, этот результат означает, что существует единственная D-сеть идеалов а кольца R соответствующего типа (симплектическая или ортогональная в соответствующих случаях) такая, что Е(а) ^ Н ^ N(a). Основной вклад в решение этой задачи внесли З.И. Боревич, Н.А. Вавилов, Н.С. Романовский, В.А. Кой-баев, И.З. Голубчик, В. Наркевич (см.[4], [5], [11], [12], [14], [20]).
Вопросам описания подгрупп исключительных групп Шевалле, содержащих регулярно вложенную элементарную подгруппу, посвящены работы Н.А. Вавилова и Е Б. Плоткина [10].
С классом Съ связана задача описания промежуточных подгрупп, содержащихся между классической группой, заданной над кольцом и его подколь-цом. Отметим результаты в этом направлении, полученные Я Н. Нужияым [18], Н.С. Романовским [19], Р.А. Шмидтом [21] и некоторых других авторов. Под стандартностью описания соответствующей решетки понимается то, что базисные подгруппы однозначно определяются промежуточными кольцами.
Обобщению этих результатов посвящена работа А.В. Степанова [28], который использовал понятие идеального стабильного ранга кольца.
Рассмотрим теперь результаты, которые непосредствеїшо связаны с диссертацией. С классом Ашбахера Сз связана задача описания надгрупп нсрас-щепимого максимального тора. Сформулируем известный результат Ли Шан-чжы [25], сводящий решение задачи к нерасщеиимому максимальному тору. Пусть L/K - расширение степени т, п Js 3. Тогда для любой подгруппы Н, SL(n,L) ^ Н ^ G = GL(mn,K), существует единственное промежуточное подполе К ^ Е ^ L, [L : Е] = d такое, что подгруппа Н содержится между подгруппой SL(dn, Е) и ее нормализатором в группе G. Заметим, что в случае п = 2 описание аналогично, но при этом возникает еще одна серия - группы Sp(2d, Е). Таким образом, остается не рассмотренным случай п = 1, при этом группа G = GL(1, L) = L* является максимальным тором. Перейдем теперь к обзору исследований, которые связаны именно с этим последним случаем. В работе У. Кантора [23] получено описание подгрупп полной линейной группы над конечным полем, содержащих нерасщепимый максимальный тор (Цикл Зингера). Г. Зейтц [27] перенес этот результат на конечные группы Шевал-ле. Случай поля вещественных чисел рассмотрен в работе Дьековича [22]. Во всех этих случаях ответ носил геометрический характер. А именно, всякая промежуточная подгруппа была связана с промежуточным подполем. В работе [15] В.А. Койбаевым было показано, что для произвольных полей ответ выглядит значительно сложнее, точнее, он зависит от арифметики основного поля; были изучены подгруппы полной линейной группы GL(2, Q) над полем рациональных чисел, содержащих мультипликативную группу квадратичного расширения основного поля Q (нерасщепимый максимальный тор - квадратичный тор), в частности, показано, что в рассмотренном случае существует континуум промежуточных подгрупп. В дальнейшем в работе З.И. Воревича, В.А. Койбаева и Чан Нгок Хоя [6] было получено полное описание указанных подгрупп В работе А.А Бондаренко [1] рассмотрен случай локального числового поля. Отметим также, что для локальных полей проблема рассматривалась в работах С.Л. Крупецкого [17] и В.П. Платонова [26]. В случае произвольного поля вопрос с описанием надгрупп перасщепимого тора остается открытым.
Настоящая диссертация примыкает к направлению, связанному с изучением расположения подгрупп в линейных группах, содержащих максимальный тор. Вопросы и методы, возникающие в работе оказываются естественно связанными с перечисленными циклами исследований. Это и определяет ак-
туальность темы диссертации.
Цель работы. Целью работы является описание решетки промежуточных подгрупп полной линейной группы степени два над полем рациональных функций конечного поля констант нечетной характеристики, содержащих нерасщепимый максимальный тор (квадратичный тор), связанный с квадратичным расширением основного поля.
Общая методика выполнения исследований. В работе используются методы теории групп, колец, полей. Методика описания подгрупп основана на построении колец, определяющих промежуточные подгруппы, извлеченіш трансвекций, а также некоторых матриц специального вида.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Получены следующие основные результаты:
получено представление произвольного неприводимого многочлена четной степени над полем нечетной характеристики,
дано явное описание наименьшего кольца, определяющего расположение промежуточных подгрупп, содержащих квадратичный тор;
дано описание допустимых колец и допустимых пар, позволяющих сводить исследование решетки всех промежуточных подгрупп к исследованию подрешеток, связанных с допустимыми парами,
дано описание подрешеток, связанных с допустимыми парами, в частности, доказано, что для каждой промежуточной подгруппы второй нормализатор и второе нормальное замыкание являются самонормализуемой и полной промежуточной подгруппами соответственно;
вычислен стабильный ранг класса колец, связанных с промежуточными подгруппами, содержащими квадратичный тор
Теоретическая и практическая ценность. Результаты диссертации имеют теоретический характер. Развитые в ней методы, введенные понятия и полученные результаты могут быть использованы при описании надгрупп нерасщепимого тора в линейных группах размерностей п > 3.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Международной алгебраической конференции памяти Д К Фаддеева (Санкт-Петербург, 1997), Международной школе-конференции по теории групп (Нальчик, 2006), Международной алгебраической конференции памяти Д.К Фаддеева (Санкт-Петербург, 2007). Неоднократно результаты докладывались на объединенном семинаре "Алгебра и анализ" Института прикладной математики и информатики ВНЦ РАН.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в рабо-
тах [30]-[35], перечисленных в конце автореферата.
Объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, трех глав и занимает 107 страниц машинописного текста. Библиография содержит 152 наименования.
