Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1 Предварительные сведения 11
Сведения общего характера 11
Группы с инволюциями 14
Техника вееров 16
ГЛАВА 2 Случай для пары (а, Ь), когдаа-инволюция 23
Случай пары инволюций 23
Доказательство теоремы 2 25
Случай для пары (а, Ь),когдаа-инволюция, -элемент простого порядка р> 2
ГЛАВАЗ Группы с обобщенно конечными элементами 37
Метод обособленных ядер Фробениуса 37
Строение подгрупп Lg= (a,b9) в контрпримере к теореме 5 39
Доказательство теоремы 6 48
ГЛАВА 4 Группы с обобщенно конечным элементом порядка 4 и пары (a,b) при |я|-|&| = 8 50
Доказательство теоремы 7 50
Доказательство теоремы 8и9 54
Группы ограниченного периода 58
Список литературы
- Группы с инволюциями
- Случай для пары (а, Ь),когдаа-инволюция, -элемент простого порядка р> 2
- Строение подгрупп Lg= (a,b9) в контрпримере к теореме 5
- Группы ограниченного периода
Введение к работе
Если множество элементов конечного порядка в бесконечной группе G конечно, то ввиду известного результата Дицмана" [10] они составляют конечную вполне характеристическую подгруппу группы G. Если же множество таких элементов в G бесконечно, то естественно возникают различные вопросы об их расположении в группе [40].
Многие исследования в теории бесконечных групп посвящены доказательствам существования в группе «хороших» бесконечных подгрупп. Так, по известной теореме Каргаполова-Холла-Кулатилаки [11,44] любая бесконечная локально конечная группа содержит бесконечную абелевую подгруппу. Существует определённая параллель между подгруппами Силова в конечных группах и хорошими подгруппами в бесконечных группах, позволяющими применять при изучении бесконечных групп методы локального анализа. Учитывая важность таких подгрупп, на первом Всесоюзном симпозиуме по теории групп М.И. Каргаполовым был поставлен вопрос о существовании бесконечной абелевой подгруппы в произвольной бесконечной группе (вопрос 1.24 из [13]).
Вопрос 1.24. (М.И. Каргаполов). Всякая ли бесконечная группа обладает бесконечной абелевой подгруппой?
В 1967г. В.П. Шунков [33] доказал существование бесконечных подгрупп с нетривиальным центром в периодических группах с инволюциями. В том же году СП. Струнков положительно решил вопрос М.И. Каргаполова в классе бинарно конечных групп [28, 29]. П.С. Новиков и СИ. Адян [1] показали, что вопрос М.И. Каргаполова в общем случае решается отрицательно. В настоящее время известно много примеров бесконечных групп с конечными абелевыми
конкретного класса групп. В 1974 г. В.П. Шунков доказал существование бесконечных абелевых подгрупп в бипримитивно конечных группах [36] и сопряженно бипримитивно конечных группах [38]. В диссертации дается положительное решение вопроса М.И. Каргаполова в классе групп более широком, чем вышеупомянутые классы групп.
С вопросом М.И. Каргаполова тесно связан вопрос СП. Стрункова 2.75 из [13]:
Вопрос 2.75 (СП. Струнков). Пусть периодическая группа G содержит бесконечное множество конечных подгрупп, общее пересечение которых содержит неединичные элементы. Содержится ли тогда в G неединичный элемент, централизатор которого бесконечен
Как показал К.И. Лоссов [15], в общем случае ответ на вопрос СП. Стрункова отрицателен. С другой стороны, несомненный, а для групп со слабыми условиями конечности - значительный интерес, представляют необходимые и достаточные условия положительного (отрицательного) решения вопроса СП. Стрункова для каждой конкретной группы. Так в [39, 40, 41] даны некоторые достаточные признаки существования в группе бесконечной подгруппы с нетривиальным центром. В диссертации вопрос СП. Стрункова решается положительно при более слабых условиях конечности, чем в этих работах.
Вопросы М.И. Каргаполова и СП. Стрункова решались В.П. Шунковым
для различных классов групп [38, 40]. После решения в 1970г. В.П. Шунковым
ряда известных проблем минимальности в классе локально конечных групп,
активизировались исследования групп, удовлетворяющих условиям конечности
* более слабым, чем локальная конечность. В настоящее время известно
' бесконечно много классов групп с различными условиями конечности [6, 17,
20]. Вместе с тем интенсивно развивается теория гиперболических групп, в которых вопросы существования подгрупп с фиксированным нетривиальным центром имеют немаловажное значение. В данной диссертации эти вопросы
рассматриваются опираясь на конечность и разрешимость подгрупп вида Lg={a,a8)
Пусть G - произвольная бесконечная группа. Любую ее бесконечную подгруппу Я с нетривиальным локально конечным радикалом назовем f-локальной подгруппой. Если при этом Я содержит бесконечно много элементов конечного порядка, назовём её насыщенной. Неединичный элемент а называется почти конечным, если почти для всех дє G подгруппы вида Lg=(a,as) конечны. Если подгруппы Lg=(a,ag) конечны и разрешимы, то элемент а называется в диссертации конечным разрешимым. Если указанные свойства выполняются почти для всех элементов а9, то элемент а называется почти конечным разрешимым.
Цель диссертации- найти достаточные условия существования в группе насыщенных /-локальных подгрупп, содержащих фиксированный элемент, и доказать существование бесконечных периодических абелевых подгрупп в обобщённо конечных группах.
Произвольное множество X конечных подгрупп группы G называется веером с основанием T=f] Ні*1, Н^Х (основание пустого веера будем
считать произвольным) [25]. В.П. Струнков в [28, 29] такие множества называл букетами. Веер называется конечным или бесконечным в зависимости от конечности или бесконечности множества X. Произвольное подмножество Y ^ % называется подвеером веера X. Амальгамой ^ (X) веера X называется
теоретико-множественное объединение подгрупп веера X Бесконечный веер X с основанием Т называется почти правильным, если основание любого бесконечного подвеера из X совпадает с Т. Бесконечный почти правильный веер X с основанием Т называется правильным, если ТеХи для любой
подгруппы Р<Гтакой, что I G^ )ii2-A^J|<005 имеет место включение
NgV)\\Zj\x>^, Полурешеткой ЦХ) веераXназывают нижнюю полурешетку всех подгрупп, содержащихся в подгруппах веера X Множество J(X)
і оснований всевозможных бесконечных подвееров бесконечного веера X,
<' называется основной полурешеткой веера X Веер X называется ограниченным,
«
если все цепи из полурешетки ЦХ) имеют конечную длину и неограниченным
в противном случае.
Говорят, что смешанная группа G обладает периодической частью, если все её элементы конечного порядка составляют подгруппу [40]. Неединичный элемент а конечного порядка произвольной бесконечной группы G назовём обобщённо конечным, если а принадлежит основанию веера конечных подгрупп, амальгама которого почти полностью содержит неединичный класс сопряжённых элементов группы G. Другими словами почти для всех элементов
с некоторого неединичного класса Ъ подгруппы {а,с) конечны, т.е. выполняется {а, Ь) - условие конечности [40].
В случае, когда свойство обобщённой конечности справедливо для всех элементов простого порядка из G и наследуется всеми ее подгруппами и фактор-группами по периодическим нормальным подгруппам, назовем G обобщенно конечной группой.
В первой главе приведены результаты и методы, используемые при доказательстве основных результатов диссертации.
В главе 2 доказаны 3 теоремы.
Теорема 1. Пусть G - бесконечная группа, а и Ъ - инволюции, atha и почти для всех элементов cbG подгруппы (а,с) конечны. Тогда либо G обладает конечной периодической частью, либо инволюции aub принадлежат насыщенным f-локальным подгруппам.
Приведены примеры групп, удовлетворяющие всем условиям теоремы, за исключением условия а $ bc, для которых теорема не верна.
Теорема 2. Пусть G - бесконечная группа, а - элемент простого порядка р > 2 из G и почти для всех элементов а9 є а подгруппы (а, а9) конечны и разрешимы. Тогда либо G обладает конечной периодической частью, либо
,* элемент а принадлежит насыщенной f-локальной подгруппе.
Теорема 2 очень близка по содержанию к одному из основных результатов
монографии [40] (теорема 4.1). Однако в условиях теоремы 4.1 из [40]
требуется конечность всех подгрупп {а, а9). Кажущаяся очевидной
равносильность слабого и сильного условий {а, а3)-конечности до сих пор не
доказана [13] (вопрос 13.53). Кроме того, теорема 2 диссертации существенно
используется в доказательстве теоремы 5, поскольку доказать конечность всех
подгруппп вида {Ъ, Ь9), не удалось. Конечность таких подгрупп доказана только
почти для всех элементов Ь9.
Теорема 3. Пусть G - бесконечная группа, а — инволюция, Ь - элемент простого порядкар > 2 из Gu почти для всех элементов ceb подгруппы (а,с) конечны и разрешимы. Тогда либо G обладает конечной периодической частью, либо хотя бы один из элементов а, Ъ принадлежит насыщенной f -локальной подгруппе.
В теореме 4 главы 3 даются основы метода обособленных ядер
Фробениуса. Пусть G - произвольная группа. Для любого неединичного
элемента хе G через Nx будем обозначать множество всех элементов из ядер
конечных фробениусовых подгрупп группы G, дополнением Фробениуса в
которых является подгруппа <х>. Допустим, что множество Nx бесконечно,
элемент х не содержится ни в какой /-локальной насыщенной подгруппе
группы G и любой бесконечный веер с основанием, содержащим элемент х, не
может состоять из конечных неразрешимых подгрупп. Согласно сделанным
предположениям каждая конечная х-допустимая подгруппа Fq с Nx содержится
в конечной максимальной подгруппе F с Nx. Рассмотрим веер Fx всех
* максимальных фробениусовых подгрупп вида FA(T), где ядро F с Nx и
4 дополнение Т содержит элемент X.
Теорема 4. Пусть G - группа, Fx - бесконечный веер конечных максимальных фробениусовых подгрупп группы G, Т - основание веера и элемент хе Т простого порядка не содержится в насыщенной f-локальной
« подгруппе. Тогда существует разбиение Fx = Y U Xj UХ2 U... UXn веера Fx на
конечный или пустой веер Y и конечное число п правильных вееров Х( с основаниями Т{. При этом каждая подгруппа Не Х{ есть группа Фробениуса с неинвариантным множителем 7} (1=1, ..., п) и ядро любой подгруппы из веера X] U Х2 U ... U Х„ пересекаются тривиально с ядром любой другой подгруппы этого веера.
Далее в главе 3 изучаются группы с обобщённо конечными элементами простых порядков, при > 4.
Теорема 5. Пусть G - бесконечная группа, а и Ъ - элементы простых
у"»
порядков из G, > 4 и почти для всех элементов с е Ъ подгруппы {а,с) конечны и разрешимы. Тогда либо G обладает конечной периодической частью, либо хотя бы один из элементов а, Ь принадлежит насыщенной f -локальной подгруппе.
Теорема 6. Если все конечные подгруппы группы G разрешимы и каждое её сечение по конечной подгруппе либо есть группа без кручения, либо обладает обобщённо конечным элементом порядка >2. Тогда либо G обладает конечной периодической частью, либо G содержит бесконечную локально конечную подгруппу.
Из теоремы 6 вытекает
Следствие 1. Если в обобщённо конечной группе множество элементов конечного порядка бесконечно и все её конечные подгруппы разрешимы, то она содержит бесконечную локально конечную подгруппу.
В главе 4 рассмотрен случай почти конечного элемента порядка 4 и пары
» (а,Ь) при = 8 (теоремы 7, 8). Доказано существование бесконечных
локально конечных подгрупп в некоторых обобщенно конечных группах
(теорема 9), а также в бесконечных группах периода 12 (теорема 10 и следствие
2).
Если в группе выполняется (а,6)-условие конечности, то оно выполняется
и для пары элементов простых порядков. Как показал В.П. Шунков [41], случай \а\ = \Ь\ = 2 и beaG особый, для него неверен аналог теоремы 1. Однако, если bia , обе инволюции a, b принадлежат/локальным подгруппам, содержащим бесконечно много элементов конечного порядка . Тем самым случаи почти конечного элемента порядка 4 и пары (а,Ь) при = 8 выделяются в объекты отдельного исследования, проведённого в настоящей главе.
Теорема 7. Пусть G - бесконечная группа, а - элемент порядка 4 из G и почти для всех элементов а9 є а подгруппы (а,а9) конечны и разрешимы. Тогда либо группа G обладает конечной периодической частью, либо элемент а принадлежит f-локальной подгруппе, содержащей бесконечно много элементов конечного порядка.
Теорема 8. Пусть G - бесконечная группа, а,Ъ - элементы из G, один из которых инволюция, а второй - элемент порядка 4, и почти для всех элементов Ь9 є Ъ подгруппы (а,Ь9) конечны и разрешимы. Тогда либо группа G обладает конечной периодической частью, либо хотя бы один из элементов а, Ъ принадлежит /-локальной подгруппе, содержащей бесконечно много элементов конечного порядка.
Теорема 9. Если все конечные подгруппы группы Gразрешимы и каждое её сечение по конечной подгруппе либо есть группа без кручения, либо обладает обобщённо конечным элементом порядка >2. Тогда либо G обладает конечной периодической частью, либо G содержит бесконечную локально конечную подгруппу.
Теорема 10. Пусть G - бесконечная группа периода 2тп, где т>0, п-нечетно и каждая группа периода п локально конечна. Тогда любой 2- элемент группы G содержится в подходящей бесконечной локально конечной подгруппе.
* Благодаря известным результатам Бернсайда, Санова [18], Холла о
локальной конечности групп периода 3,4, 6 в последние годы усилился интерес к группам периода 12 (см. вопрос Шункова 11.127 [5] и [23]).
'А
Следствие 2. В бесконечной группе периода 12 каждый 2-элемент содержится в подходящей бесконечной локально конечной подгруппе.
Результаты диссертации были изложены на Международных конференциях в Томске (2003г.), Иркутске (2004г.), в Екатеринбурге (2005г.) на «Мальцевских чтениях» в Новосибирске (2003 -2005 гг.) и Красноярске «Алгебра и ее приложения» (2007г.). Кроме того, они обсуждались на семинарах при Красноярском государственном аграрном университете и Красноярской государственной архитектурно-строительной академии, а также на Красноярском городском семинаре «Алгебраические системы».
Во время работы над диссертацией автор получал поддержку Российского фонда фундаментальных исследований, гранты №99-01-00542, №03-01-00356 и Красноярского краевого фонда науки, грант №9F0132.
Основные результаты по теме диссертации опубликованы в [49] - [57].
Автор выражает благодарность научным руководителям профессорам В.П. Шункову и А.И. Созутову за постановку задачи, помощь в работе и внимание с их стороны.
Группы с инволюциями
Инволюцией называется всякий элемент порядка 2. Нам понадобятся известные утверждения о группах диэдра, то есть группах, порождённых двумя различными инволюциями.
Предложение 12. ПустьD = i,j), где іuj-инволюции, i j. Тогда: 1. D = (ij)A{і) = ij)A(j), (ijf = (ijy =j і = (iff1 и множество D \ (ij) состоит из инволюций; 2. если все неединичные элементы в D есть инволюции, то порядок D равен 4 и D = (і) х (j) = {1, i,j, ij} - четверная группа Клейна; 3. если в i,j) содержится инволюция z u\D\ 4, то Z(D) =(z), eD нет обособленных и сильно вложенных подгрупп и инволюции i,j не сопряжены в D; a) 2(D) = 1 тогда и только тогда, когда порядок элемента i, j либо бесконечен, либо конечен и нечетен; b) если D содержит конечную группу диэдра, то она сама конечна; c) если порядок элемента ij конечен и нечетен, то і =f, где с є ij), с — ij, и для инволюции k = ic выполняется j = і,
Напомним, что элемент а бесконечной группы G называется почти регулярным, если Сс( я) о, и конечным, если все подгруппы Lg - {а, а9) в G конечны.
Предложение 13. (теорема Беляева [4]). Пусть группа G содержит конечную почти регулярную инволюцию j. Тогда справедливы следующие утверждения. 1) G—локально-конечная группа; 2) [j,G] содержится в FC-радикале группы Gu\G : [j,G] \ \CG(J)\; 3) коммутант FC-радикала группы G конечен. Исследования групп с инволюциями в диссертации опирается на следующие результаты.
Предложение 14 (Шунков В.П., [35]) 2-группа с единственной инволюцией является либо (локально) циклической, либо (обобщённой) группой кватернионов (конечной, или бесконечной).
Предложение 15 (Шунков В.П., [23]) Если бесконечная периодическая группа G содержит инволюцию, то или в центре Z группы G есть некоторая инволюция, или в G есть собственная бесконечная подгруппа с неединичным центром. 1.3. Техника вееров
Напомним некоторые необходимые определения.
Произвольное множество X конечных подгрупп группы G назовем веером с основанием Т, если Т - пересечение всех подгрупп из множества X, причем Т 1 (основание пустого веера будем считать произвольным). Веер назовем конечным или бесконечным в зависимости от конечности или бесконечности множества X. Произвольное подмножество YcX назовем подвеером веера X.
Амальгамой ЦХ) веера X назовем теоретико-множественное объединение подгрупп веера X.
Бесконечный веер X с основанием Т назовем почти правильным, если основание любого бесконечного подвеера из X совпадает с Т.
Бесконечный почти правильный веер X с основанием Т назовем правильным, если Т і X и для любой подгруппы V Т такой, что \NG(Y){\Z(X)\ оо, имеет место включение NG(V) П ЦХ) Т.
Полурешеткой ЦХ) веера X назовем нижнюю полурешетку (относительно операции [10]) всех подгрупп, содержащихся в подгруппах веера X. Множество J(X) оснований всевозможных бесконечных подвееров бесконечного веера X, назовем основной полурешеткой веера X. Всякий неединичный элемент V є ЦХ), содержащийся в некотором элементе J(X), назовем основной подгруппой веераX(включение V є X здесь не обязательно!).
Веер X называем ограниченным, если все цепи из полурешетки ЦХ) имеют конечную длину и неограниченным в противном случае. Очевиден следующий критерий:
Предложение 17. Веер X ограничен тогда и только тогда, когда все цепи основной полурешетки J(X) конечны. Любой подвеер ограниченного веера ограничен [25].
Лемма 1. Пусть X - бесконечный почти правильный веер. Тогда X=YUZ, где Y- бесконечный правильный веер, aZ- конечный или пустой веер.
Доказательство. Пусть Г - основание веера X и V - одна из подгрупп группы Г с \NG(V) П S(X) оо (если такая подгруппа в Т существует). Пусть веер Xv состоит из тех подгрупп Т НеХ, для которых NH(V) T. Из определений в параграфе 1.3 и выбора V легко следует конечность веера X\XV. Далее, множество подгрупп из Т конечно и если Y = ПХу, где V Т и \NG(V) П ЦХ) ОЭ, ТО веер Z = X\Y- конечен и лемма доказана.
Лемма 2. Пусть X - ограниченный бесконечный веер группы G. Тогда существует разбиение X=YUXi U...UXr веера X на конечный (или пустой) подвеер Y и бесконечные правильные подвееры Xt с различными основаниями ТІ.
Доказательство. По условиям леммы полурешетка J(X) не содержит бесконечных цепей и каждый элемент из J(X) содержится в некотором максимальном элементе из J(X). Пусть 7/ - максимальный элемент из J(X) и F/ - множество всех подгрупп из X, содержащих подгруппу Г;. Очевидно Y] -почти правильный бесконечный веер и Tj - его основание. По лемме 1 Y] = Z\U Х\, где Zj - конечный веер, а Х( - бесконечный правильный веер. Если X = X] или веер Хо=Х \ Xj конечен, то лемма доказана. В противном случае рассматривая веер Х0, повторяем для него предыдущие рассуждения и за число шагов, не превышающее \J(X)\, докажем лемму, так как основания правильных вееров Xj, возникающих в процессе доказательства, различны по построению. Лемма доказана.
Случай для пары (а, Ь),когдаа-инволюция, -элемент простого порядка р> 2
Теорема 3. Пусть G - бесконечная группа, а - инволюция, Ъ - элемент простого порядка р 2 из G, и почти для всех элементов cebG подгруппы (а, с) конечны и разрешимы. Тогда либо число элементов конечного порядка в G конечно, либо хотя бы один из элементов а, Ъ принадлежит насыщенной /-локальной подгруппе.
По лемме 3.2 из [25] веер X всех конечных подгрупп Н, обладающих нетривиальной подгруппой Фиттинига и содержащих инволюцию а, состоит из групп Фробениуса вида Я = F(H\Cu(a)) с ядрами F(H) и дополнениями Сн(а).
Поскольку а - инволюция, множество Na состоит в точности из элементов нечётного порядка, инвертируемых инволюцией а, и единицы группы. Ввиду условий теоремы все максимальные подгруппы Fc (1 Ф с є FJ, состоящие из элементов множества N& содержат в своих нормализаторах элемент а и потому конечны. Рассмотрим множество всех подгрупп NG(F(), \фс е No, В силу условий теоремы каждая из этих подгрупп NG(F() обладает конечной периодической частью, которую обозначим через Нс. Рассмотрим веер Ха всех подгрупп Н?
Лемма 9. Существует разбиение Ха = W U XjU... U Хп веера Ха на конечный (или пустой) веер W и конечное число п бесконечных правильных вееров ХІ с основаниями ТІ, состоящих из групп Фробениуса вида FAT{. При этом ТІ Сс(а) и ядра любых двух фробениусовых групп из веера XjU ... UX„ пересекаются тривиально.
Доказательство. Веер Ха по определению состоит из конечных групп с нетривиальной подгруппой Фиттинга и по теореме 3.1 и лемме 3.2 из [25] существует разбиение веера Хш удовлетворяющее первому утверждению леммы. Если только конечное число ядер фробениусовых подгрупп веера X=X][) ... {JX„ имеют нетривиальные попарные пересечения, то, включив их в веер W, мы тем самым докажем лемму. Пусть подгрупп из Хс нетривиальными пересечениями ядер бесконечно много, и Н, М є X, F(H)f)F(M) = F(H, М)ф\. Понятно, что в нормализаторе NG(F(H, М)) содержатся подгруппы F(H), F(M) и инволюция а. Ввиду условий теоремы NG(F(H,M)) обладает конечной периодической частью V(H,M), которая содержит F(H), F(M) и инволюцию а. Все такие подгруппы V(H, М) обладают нетривиальной подгруппой Фиттинга и составляют бесконечный веер Y с основанием, содержащим инволюцию а. По лемме 3.2 [25] почти все подгруппы V = V(H, М) веера Y есть группы Фробениуса с абелевым ядром F и дополнением Т = Cv(a). Поскольку подгруппы F(H) и F(M) инвертируются инволюцией а и содержатся в V, то имеет место включения F(H) F и F(M) F. При этом очевидно, что F с JVa. Но подгруппы F(H) и F(M) по выбору есть максимальные подгруппы, содержащиеся в множестве Na противоречие. Это доказывает лемму. Учитывая леммы 8,9, приходим к следующей лемме.
Лемма 10. Почти для всех элементов Ь9 подгруппы Lg= { a,b9 ) єX есть группы Фробениуса с циклическим дополнением порядка 2р. Аналогично, почти для всех элементов а9 подгруппы Мд = ( Ъ,а9 ) є Хестъ группы Фробениуса с циклическим дополнением порядка 2р. Лемма 11. Имеют место неравенства \Nb\Na\ оо и \Na\Nb\ о, и тем самым Na Nb.
Доказательство. По определению множества Nb каждый элемент вида be, где с є Nb, сопряжен с элементом Ъ. Ввиду леммы 3.1 из [25] только для конечного числа элементов с е Nb подгруппы L+ = (a,bc), L = (a,b с не являются группами Фробениуса с циклическим дополнением порядка 2р. Без ограничения общности мы можем считать, что Nb уже не содержит таких элементов с. При условии данного соглашения подгруппы ( з и (ас) сопряжены в L+ и L с помощью некоторого элемента са е No, причем сае L+C\L и с = rce где г # / « /
Пусть Fa - множество всех максимальных конечных подгрупп из G, являющихся группами Фробениуса с неинвариантным множителем (а). Применяя лемму 9, получаем разбиение Fa = V U Y, где V - конечное множество, а множество Y - бесконечно и ядро любой подгруппы Я є Y пересекается тривиально с ядром каждой, отличной от Я подгруппы из Fa. Очевидно, что только для конечного числа элементов с = гса є Nb элементы са не содержатся в подгруппах из веера Y. Без ограничения общности можно считать, что уже все элементы вида са содержатся в подгруппах из Y, и пусть Я - подгруппа из Y, содержащая элемент са. Из свойств веера Y следует, что ядра подгрупп L+ и L содержатся в ядре F группы Яи bcc l = br,b ]r є NG(H). Отсюда заключаем, что подгруппа (b) = (b) NG(H) и с е NG(H). В силу бесконечности множества Nb в веере Y найдется бесконечный подвеер Yj, состоящий из таких подгрупп Н eY, что множество Nb, за исключением, быть может, конечного числа элементов, содержится в нормализаторах подгрупп Я є У/; причем элемент b принадлежит нормализатору каждой подгруппы Я из 7/.
Рассмотрим веер W, состоящий из подгрупп Мн = NG(H), где Я Y]. Веер W бесконечен, и его основание D содержит как элемент а, так и элемент 6, при этом а и Ь являются ручками веера W. Применяя лемму 3.2 [25] и используя максимальность подгруппы Я eFa получаем, что почти для всех подгрупп Мн eWимеем F(Mn) =FUMH = FAR, гдеR= МНС\ NG((ab )). Так как элемент с е Мн, то с є F и с є Na. Таким образом, множество Nb \ Na не более, чем конечно.
Строение подгрупп Lg= (a,b9) в контрпримере к теореме 5
Теорема 5. Пусть G - бесконечная группа, а и Ъ - элементы простых порядков из G, \а\ \Ь\ 4 и почти для всех элементов с є Ь подгруппы (а,с) конечны и разрешимы. Тогда либо число элементов конечного порядка в G конечно, либо хотя бы один из элементов а, Ъ принадлежит насыщенной /-локальной подгруппе.
Пусть тройка (G,a,b) - контпример к теореме 5, \а\ = р, \Ь\ = q. Уточним строение подгрупп вида Lg = a,b9).
Лемма 12. Если подгруппы Lg = (a,bg), не являющиеся группами Фробениуса, составляют бесконечный правильный веер Y с основанием Т, то это веер типа 1 леммы 5, и дополнительно выполняются следующие утверждения.
1) Справедливы неравенства 2фрФцФ2;
2) Подгруппа Т содержит элемент t из ЬсПСс(а), Z(T) = (z) -циклическая группа порядка 2 и Cj{a) = atz) - циклическая группа порядка 2pq;
3) Т = SA (at), где S = 02(Г), Z(S) = (z) и фактор-группа T/Z(T) - группа Фробениуса с дополнением (atZ(T)) и элементарным абелевым ядром;
4) Для каждой подгруппы Я = Lg є Xt подгруппа F(H) абелева, инвертируется инволюцией z, F(H)A(atz) - группа Фробениуса и H=F(H)AT;
5) Для любого нецентрального элемента s є S и любого неединичного элемента г є (at) выполняются включение z V и равенство V =(г/) =(r,s);
6) Для любого нецентрального элемента s ES и любых неединичных элементов г є (at) и с е F(H) выполняются равенства (r/c) = (r,rcs)=(r,s,c).
Доказательство. Согласно лемме 5 \а\ = р 2 и Y с Хи где Xt -бесконечный веер типа 1 или 2 из леммы 5. Очевидно, что bg g F(H) для любой подгруппы Я е Хи и основание 7} веера Xt содержит некоторый элемент t є b (не ограничивая общности мы можем считать, что t = Ъ). Ввиду условий теоремы b - ручка веера Хь в частности, по теореме 3.1 из [25] b действует регулярно на F(H) и ввиду утверждения 5 леммы 3.2 [25] \b\ = q 2. По утверждению 3 леммы 3.2 [25] силовские /?-подгруппы и -подгруппы из Я циклические. Если q - р, то подгруппы (а) и (Ь) сопряжены в Я и ввиду теоремы 1 G - не контпример к теореме 2. Значит, q ф р. Учитывая теоремы Силова можно считать, что bE NH((a)), а по известной теореме Бернсайда [22] ab = Ьа. Следовательно, в G нет бесконечных вееров Х{ типа 2, состоящих из подгрупп Lg. Итак, Х{ - веер типа 1 леммы 5, Tt = Т - SA(аЪ)} где 8=02(Т)Фl,S Cj{a). По утверждению 4 леммы 3.2 [25] Z(S) и Z(T) П S циклические группы, содержащие инволюцию z, которая инвертирует F(#), в частности F(H) -абелева группа.
Коснёмся строения подгруппы S. По теореме 1.13 [7] [стр. 49] S = А В, где подгруппа А - экстраспециальная (или А = 1),аВ- циклическая, диэдральная, квазидиэдральная или кватернионная группа. Изоморфизм групп S Q$ невозможен, поскольку в этом случае Н обязана быть группой Фробениуса с неинвариантным множителем, содержащим подгруппу SL2(3), который ввиду предложения 21 не может порождаться элементом порядка р и q. Так как группа внешних автоморфизмов группы В (не изоморфной 0$)не содержит элементов нечётного порядка, то А Ф 1. Из предложений 1.14, 1.15 [7][стр.49-50] следует, что фактор-группы А угщ содержатся в V = Q,(z(s)), при этом \А 4. Очевидно, что W=S/V изоморфна B/Q.X(Z(B)) либо группа диэдра, либо абелева ранга 2, и потому хотя бы один из элементов aV, W централизует W. Но в этом случае фактор-группа T/V не может порождаться двумя элементами порядков р и q. Следовательно, полный прообраз факторгруппы V в Т совпадает с S. Значит, S - группа периода 4, а факторгруппа S = S/(z) элементарная абелева. Далее, если Sa=C a), то очевидно 8а Сн{а), C [a)=Sa.
Если и Sa Ф 1, то по теореме Машке S = Sa х Y, где подгруппы Sa и Y нормальны в Т. Поскольку Т порождена двумя элементами порядков р и q, то заключаем, что Sa - группа кватернионов порядка 8, Ъ - элемент порядка 3 и группа Sji{ Ъ изоморфна знакопеременной группе степени 4. При этом Т = (a,ysb), где у є Y, s є S а. Однако данная ситуация также невозможна, поскольку sb є С [а) и ysb є YA (sba) f. Следовательно, C a) = Sa = (z) и ввиду симметричности рассматриваемого случая относительно элементов а и Ъ аналогично имеем C b) = (z). Таким образом Т = SX{ab), Cj(a) = Cj{b) = (abz) - циклическая группа порядка 2pq, и ввиду леммы 5 утверждения 1-4 верны.
Пусть s є S, 1 Ф s Ф z, 1 Ф г є (at) и V = {г/). Понятно, что z є V, поскольку в противном случае F(H)V было бы группой Фробениуса с ядром F(H)(SnV) чётного порядка и ввиду теоремы Томпсона выполнялось бы l SnV CH(F(H)), что противоречит свойствам подгруппы Фиттинга [7].
Перейдем к фактор-группе V = V/(z) = (г,/). Как подгруппа конечной группы Фробениуса Т = T/(z) подгруппа V содержит элемент s, что влечёт V = r,s . Пусть, дополнительно, \Ф с є F(H), М = г/с) и F = F(H)OM. Ввиду доказанного выше, для фактор-группы М = F(H)M/F(H) имеют место равенства М = {r,r = (r,s) =. Отсюда выводим, что seMu v = г seM. Так как v,c - группа Фробениуса с циклическим дополнением, то v,c) =( v,vc Ми М= (г, s, с). Лемма доказана
Группы ограниченного периода
Теорема 8. Пусть G - бесконечная группа, а,Ъ - элементы из G, один из которых инволюция, а второй - элемент порядка 4, и почти для всех элементов Ь9єЬ подгруппы (а, Ь9) конечны и разрешимы. Тогда либо группа G обладает конечной периодической частью, либо хотя бы один из элементов а, Ь принадлежит f-локальной подгруппе, содержащей бесконечно много элементов конечного порядка. Пусть выполняются условия теоремы 8 и тройка (G, а, Ь) - контрпример к теореме 8. С С Лемма 25. Классы а иЪ бесконечны. Доказательство. Лемма доказывается с использованием леммы Дицмана) так же, как и лемма 20.
Пусть X - веер всех максимальных конечных разрешимых подгрупп, содержащих как элемент а, так и элемент из bG. Лемма 26. Существует разбиение X = W U Х\ U ... U Х„ веера X на конечный (или пустой) веер W и конечное число п бесконечных правильных вееров Xj с основаниями Т{. При этом Xt состоит из групп Фробениуса H=F(H)ATt с дополнением ТІ и абелевым ядром F(H), инвертируемым инволюциями из {а) и (Ь9).
Доказательство. Если \а\ = 2, то а - ручка веера Ха и первое утверждение леммы вытекает из леммы 5 и предложения 6.
Пусть я = 4. Достаточно доказать, что а2 - ручка веера X. Из условий теоремы и определения веера X следует, что его амальгама Ъ(Х) почти полностью содержит класс Ъ. Поэтому из Ъ9 Ъ{Х) следует, что элемент g содержится в объединении V = CG(b)gi + -CG(b)gm конечного числа смежных классов, для элементов хе 7из которого подгруппы Lx = (a,bx) бесконечны. Пусть Я є X и Ъ9 є Я, где д є CG(b)g с GXV. Тогда для любого х є CG(b) д имеем хНх 1 = {с?,Ь) и все такие подгруппы хНх 1, где Н пробегает X, составляют веер Y. Если веер Y конечен, то множество а также конечно и поэтому G \ V = ХіСд(а) + ...XkCcfa) - объединение конечного числа смежных классов по CQ(O). ПО лемме Неймана (предложение 3) хотя бы одна из подгрупп CG(a), Соф) имеет конечный индекс в G, что противоречит лемме 20. Следовательно, веер Y бесконечен и Ь - его ручка. Как показано выше, для веера Y утверждения леммы справедливы. Значит, инволюции a , b сопряжены в G, и а2 - ручка веера X. Лемма доказана.
Обозначим через J и А классы сопряжённых в G элементов соответственно с инволюцией и элементом порядка 4 из {а,Ь}. Лемма 27. Справедливы следующие утверждения. 1) Инволюции из (а) и (Ь) принадлежат классу J. 2) Класс J состоит из конечных инволюций. 3) Подгруппы NG({a)) и NG({b)) бесконечны и обладают конечными периодическими частями. 4) Всякая инволюция j е J содержится в конечном числе т подгрупп (s), s є А, при этом NG((S)) - подгруппа конечного индекса группы CQQ) и Доказательство. 1) Принадлежность указанных инволюций классу J следует из леммы 26 и единственности инволюции в дополнении группы Фробениуса [5]. 2) Любая пара инволюций из J не может порождать бесконечную группу диэдра по тем же причинам, что и в лемме 20. 3), 4). Так как {G,a,b) - контрпример к теореме, конечность периодических частей указанных подгрупп вытекает из леммы Дицмана (предложение 4). Бесконечность подгруппы CQQ) следует из конечности инволюции/ є J и теоремы Беляева (предложение 13). Если s є А, то 5 є J (утверждение леммы 20), NG((S)) CG(S) и ввиду утверждения 3 леммы \CG( ):NQ({S)) оо. Утверждения 3 и 4 леммы доказаны.
Лемма 28. Для любых] є J, s є А подгруппа (j,s) конечна. Доказательство. Допустим, что для некоторых/ є J,s є А подгруппа L = (j,s) бесконечна. Тогда по лемме Дицмана классы / и / бесконечны и не ограничивая общности рассуждений можно считать, что {sj} = {a, b} HG = L. Ввиду (а,6)-условия конечности множество элементов Ь9, где g є CG(O) конечно. Поэтому \Сс(а) : 1(G) оо и ввиду леммы 27 \Са(Ь) " 1(G) \ оо. Очевидно, что Z(G) - группа без кручения и в силу утверждения 2 леммы 27 инволюция j = jZ(G) конечна в фактор-группе G -GIZ{G). Также понятно, что для любой конечной подгруппы К из G имеем (K,Z(G))=K х Z(G)t откуда следует, что С5(7) = С00 )АДС)ПС0(./)). По теореме Беляева (предложение 13) фактор-группа G локально конечна, и в силу её двупорождённости конечна. По предложениям 30, 31, G есть FC-группа, обладающая конечной периодической частью. Полученное противоречие означает, что лемма верна.
