Квадратичные элементы групп Фробениуса Журтов Арчил Хазешович

• Регулярные автоморфизмы порядка 3 и 4
• Бинарно-свободное действие
• Конечность групп Фробениуса, порожденных двумя квадратичными элементами
• Классификация групп Фробениуса; порожденных двумя элементами порядка 3

Введение к работе

Теория абстрактных групп, т.е. групп, не наделенных изначально никакой дополнительной (геометрической, топологической, физической) структурой, зародившаяся на рубеже 19-го и 20-го веков, первое время развивалась как теория конечных групп. Усилиями нескольких математиков, среди которых несомненно нужно выделить В.Бернсайда и Г.Фробениуса, были получены основополагающие результаты теории конечных групп. Одной из самых знаменитых теорем, полученных в это время, является теорема Фробениуса [79] о группах, получивших впоследствии его имя. Вклад Бернсайда в развитие теории групп составляет не только его выдающиеся результаты, положившие начало локальному анализу конечных групп, и его замечательная книга [75], в которой подведен итог первоначального развития теории конечных групп, но и его знаменитые проблемы, во многом определившие развитие теории периодических групп. В одной из них речь шла о гипотезе, согласно которой порядок любой конечной простой неабелевой группы четен или, другими словами, любая конечная группа нечетного порядка разрешима, в другой задавался вопрос о локальной конечности периодической группы G, порядки элементов которой ограничены некоторым числом. Для групп, период

« n которых не превосходит 3, положительный ответ был известен само-

му Бернсайду. В случае п — 2 группа G абелева. При п = 3 в 1928
году Б.Л.Ван-дер-Варден и Ф.Леви [96] показали, что G трехступенно
нильпотентна. В 1942 году появилась знаменитая работа И.Санова [51],
в которой доказывалась локальная конечность групп G в случае п — 4.
Глубокая работа Ф.Холл а и Г.Хигмана [87] стимулировала появле
ние доказательства локальной конечности групп периода 6 [84], но наи
большее влияние она оказала на решение другой проблемы Бернсайда:
идеи этой работы наряду с глубокими теоретико-характерными метода
ми, связанными с конечными группами, близкими к группам Фробениу-
са, привели У.Фейта и Дж.Томпсона [77] к доказательству разрешимости
конечных групп нечетного порядка. Работа Томпсона и Фейта и после-
« дующие работы Томпсона о группах с разрешимыми локальными под-

группами дали старт бурному развитию теории конечных групп, которое привело к классификации конечных простых групп (см. [70], [83]).

Между тем, надежда на положительность решения проблемы Берн-сайда для любого конечного периода не оправдалась: в 1968 году появилась сенсационная работа П.С.Новикова и СИ. Адяна [37] с доказательством бесконечности свободной бернсайдовой группы В(п,г) периода п с г порождающими при г > 2 и достаточно большом п. Эта работа предопределила появление неожиданных примеров групп С.И.Адяна, А.Ю.Ольшанского, Р.И.Григорчука и их учеников (см. [1]-[3], [10], [11],[36]-[42]), показавших бесконечность глубины пропасти между локально конечными группами и периодическими группами.

* Все эти исследования ясно показали, что прогресс в "положитель-

ном" направлении изучения периодических групп возможен в первую очередь при условии существования в этих группах элементов небольших простых порядков, в частности, порядков 2 и 3 (отметим, что вопрос о локальной конечности групп периода 5 до сих пор открыт). Надежды на такой прогресс подкреплялись и мощными методами в исследовании конечных неразрешимых групп, связанными, как правило, с существованием в конечных простых группах подгрупп, четного порядка, близких к группам Фробениуса. Оказалось, однако, что для классификации конечных простых групп, одних этих методов недостаточно. Потребовалось интенсивное привлечение других простых чисел, в первую очередь числа 3.

Из многочисленной литературы на эту тему читателю можно порекомендовать, как важнейшие, работы Г.Хигмана [89], Глаубермана [81], главу 3 четвертого тома итоговой серии монографий Горенстейна, Лай-онса, Соломона [83] о классификации конечных простых групп, а также циклы работ Н.Д.Подуфалова [43]-[49] и А.А.Махнёва [23]-[35].

Особо следует отметить исследования Фишера [78], его ученика Штель-махера [102], а также Ашбахера и М.Холла [71], рассмотревших некоторые тонкие вопросы ситуации, связанные с конечными группами, порожденными элементами порядка 3, появляющиеся при классификации конечных простых групп и требующие индивидуального подхода.

Особенность числа 3 при исследованиях конечных групп проявляется с одной стороны в том, что изучение р-локальных подгрупп нечетно-

го порядка, как правило, проходит единообразно для р > 5 и сильно усложняется при р = 3 (достаточно вспомнить теоремы Томпсона [104] и Глаубермана [80] о существовании нормального р-дополнения в конечных группах или описание квадратичных пар [105]); с другой стороны два элемента порядка 3 зачастую порождают достаточно просто устоен-ную группу, и это обстоятельство дает ключ к преодолению препятствий, вызванных нестандартным поведением элементов порядка 3.

Некоторые приемы техники работы с инволюциями в конечных группах, в первую очередь идеи работы Р.Брауэра и П.Фаулера [73], в которой доказывалась конечность числа конечных простых групп с заданным централизатором инволюций, были перенесены, развиты и адаптированы к бесконечным группам с инволюциями в ряде работ В.П.Шункова и его учеников. Отметим, прежде всего одну из первых работ В.П.Шункова в этом направлении [60], его классическую теорему о локальной конечности периодической группы с конечным централизатором инволюции [63] и работу А.И.Созутова и В.П.Шункова о непростоте группы с бинарно конечной фробениусовой парой [56]. Современное состояние соответствующей теории изложено в серии монографий Шункова [64]-[66] (см. также библиографию в этих книгах). В последнее время ряд глубоких результатов в отмеченном направлении был получен также В.Д.Мазуровым [20], А.И.Созутовым и Н.М.Сучковым [55]. Во всех этих работах интенсивно используется тот факт, что две инволюции в периодической группе порождают группу диэдра.

Толчком к написанию настоящей работы послужило наблюдение авто-

pa (см. [108]), что во многих стандартных ситуациях элементы порядка 3 и 4 ведут себя похожим образом, а именно, порождаемая ими подгруппа конечна и допускает исчерпывающее описание. Это наблюдение привело к понятию квадратичных автоморфизмов и квадратичных элементов, наличие которых в группе позволяет во многих случаях получить, а затем использовать условия конечности для изучения широких классов периодических и смешанных групп, в частности, для изучения групп Фро-бениуса, которые и составляют основной предмет данного исследования, а его целью является разработка техники использования квадратичных элементов в решении актуальных вопросов теории групп. Основными результатами диссертации являются доказательство конечности группы, порожденной двумя квадратичными автоморфизмами абелевой группы (теорема 1), положительное решение задачи В.Д.Мазурова из "Коуров-ской тетради" о конечности периодической группы, порожденной элементами порядка 3 и действующей свободно на абелевой группе (теорема 4), доказательство конечности нормального замыкания элемента простого порядка в группе, действующей на абелевой группе, при условии, что подгруппа, порожденная этим элементом и любым с ним сопряженным, конечна и действует свободно (теорема 7), доказательство конечности группы Фробениуса, порожденной двумя квадратичными элементами (теорема 10), исчерпывающее описание групп Фробениуса, порожденных двумя элементами порядка 3 (теорема 12) и теорема о распознаваемости простых групп 1>2(2^П) по их спектру в классе всех групп (теорема 13).

Перейдем к более подробному изложению содержания диссертации.

Пусть V — аддитивная абелева группа, Е — кольцо всех ее эндоморфизмов. Группа Aut{V) всех автоморфизмов группы V является подгруппой мультипликативной полугруппы кольца Е. Основная цель первого параграфа первой главы — изучение подгрупп группы Aut(V), порожденных квадратичными автоморфизмами, то есть автоморфизмами, каждый из которых как элемент кольца Е является корнем квадратного уравнения х² + ах + /3 1 с целыми коэффициентами. Здесь доказывается

Теорема 1. Пустъ G — группа, порожденная двумя квадратичными автоморфизмами а,Ь абелевой группы V.

1. Если период т группы V и порядок п произведения ab конечны, то G — конечная группа, порядок которой не превосходит т^2п — 1.

2. Если G — периодическая группа, то она конечна.

Отметим, что в пункте 1 теоремы 1 оба условия конечности существенны.

В качестве применения теоремы 1 во втором параграфе первой главы получено описание периодических групп регулярных автоморфизмов, порожденных двумя автоморфизмами, порядки которых не превосходят числа 4. Напомним, что автоморфизм называется регулярным, если он не имеет нетривиальных неподвижных точек.

Теорема 2. Пустъ А — нециклическая периодическая группа регулярных автоморфизмов абелевой группы G, порожденная двумя элемента-

ми а и b.

3. Если порядок элементов а,Ь равен 3, то А изоморфна 51/2(3) или SL₂(5).

4. Если порядок а равен 3, порядок b равен 4, то А изоморфна (х, у|ж³ = у* ₌ i_iXv ₌ x-¹),5L₂(3),GL₂(3) или SX(2,5).

5. Если порядки элементов a, b равны 4, то для некоторого натурального числа т группа А изоморфна (я, у\х^2т = у⁴ = 1, х^у = х~^г, х^т = у²)

Из теоремы 2 вытекает частичное решение задачи 10.60 из [15], поставленной А.И.Созутовым.

Следствие 1. Периодическая группа автоморфизмов абелевой группы, содержащая элемент порядка 2 или 3, обладает нетривиальным центром.

В 1999 году В.Д.Мазуров задал следующий вопрос (см. вопрос 14.58 б) в [15]): Пусть А - периодическая группа регулярных автоморфизмов абелевой группы. Конечна ли А, если она порождается элементами порядка 3?

Первым шагом на пути к ответу на этот вопрос является

Теорема 3. Пусть А — нециклическая периодическая группа регулярных автоморфизмов абелевой группы, пороэюденная элементами порядка 3. Если в А нет подгруппы, изоморфной 1/2(5), то А изоморфна SL₂(3).

Полный ответ на вопрос Мазурова содержится в следующей теореме.

Теорема 4. Пусть А - нетривиальная регулярная группа автоморфизмов абелевой группы G, порожденная элементами порядка 3. Если выполнено любое из следующих условий:

а) группа А периодическая,

б) группа G содержит нетривиальный элемент конечного порядка
и порядок произведения любых двух элементов порядка 3 из А конечен,

то группа А конечна и изоморфна группе порядка 3, группе 5X2(3) порядка 24 или группе SX2(5) порядка 120.

Эта теорема, в частности, дает возможность изучить строение некоторых расщепляемых групп.

Теорема 5. Пусть X — собственная подгруппа группы Н и М ~ Н\Х. Пусть порядок каждого элемента из М конечен и взаимно прост с порядком любого элемента конечного порядка из X. Тогда подгруппа X нормальна в Н и Н/Х содержит такую конечную нормальную подгруппу N/X, что

а) множество Н \N не содержит элементов порядка 3,

б) либо группа N/X изоморфна 5Ьг(3) или 51^(5), либо ее порядок
— делитель числа 3.

Более того, если \N/X\ = 3 , то группа X двуступенно нильпо-тентна. Если |iV/X| > 3, то X абелева.

Третий параграф первой главы посвящен доказательству следующего результата.

Теорема 6. Пусть G — нетривиальная {2, 3}-группа регулярных автоморфизмов абелевой группы. Если G конечна, то верно одно из следующих утверждений:

1. G — циклическая группа;

2. G — (х,у | х³ = у²' = 1, y~^lxy = х~¹) для некоторых натуральных чисел t и s, s > 2;

3. G = (х, у х²"⁵ — у⁴ — 1, у² = х²' ³ , x^v = х~¹} для некоторых натуральных чисел t us, s > 2;

4. G = (x,y,z | x⁴ = z³' = 1, x² = y², y^x = y"¹, x^z = y, y^z = xy~^l), t — натуральное число; другими словами, G — расширение группы кватернионов Q порядка 8 посредством циклической Ъ-группы, индуцирующей в Q нетривиальный автоморфизм;

5. G = (x,y,z,v), где (x,y,z,v) — группа типа 3, v² = х², z^v = z~^l, x^v = У~¹, y^v = x~^l;

6. G изоморфна 51/2(5);

7. G содержит подгруппу индекса 2, изоморфную SLiib), и силовская 2-подгруппа из G — обобщенная группа кватернионов.

Если G бесконечна, то подгруппа из G, порожденная всеми элементами порядка 3, является циклической, и верно одно из следующих утверждений:

8. G — расширение локально циклической 2-группы или (возможно, бесконечной) обобщенной группы кватернионов посредством Ъ-группы с единственной'подгруппой порядка 3;

9. G — полупрямое произведение локально циклической 3-подгруппы

R и циклической 2-подгруппы (s) порядка > 4, r^s = r~^l для любого элемента г Є R;

(10) G = (U х V)(t), где U — локально циклическая 2-группа или конечная группа кватернионов, V — локально циклическая 3-группа, t — элемент порядка 4, U (t) — (возможно, бесконечная) обобщенная группа кватернионов и V^і — v~^l для любого элемента v Є V.

Подчеркнем, что только в случае (8) группа G может не быть локально конечной.

Для изложения дальнейших результатов удобно перейти от языка автоморфизмов к терминологии, связанной с понятием действия группы на группе. Пусть группа G действует на группе V. Назовем это действие свободным, если для любых нетривиальных элементов v Є V и g Є G справедливо неравенство vg ф v. Таким образом, группа, действующая свободно на V, это в точности группа регулярных автоморфизмов V.

В 2001-2 гг. В.Д.Мазуров и В.А.Чуркин в двух работах [21], [22], используя методы доказательств теорем 1 и 4 и технику погружения групп, порожденных двумя квадратичными автоморфизмами абелевой группы в группы GL2(P) над конечным или комплексным полем Р, усилили теорему 4, доказав конечность нормального замыкания элемента х порядка З в группе G, действующей свободно на абелевой группе, при условии, что любой коммутатор вида [x,g],g Є G, имеет конечный порядок.

В 1993 г. А.И.Созутов [52] перенес теорему Цассенхауза [107], классифицирующую конечные группы, действующие свободно на конечной

группе, на случай групп G, порожденных элементами простого порядка и действующих свободно на абелевой группе, при условии, что любые два сопряженных элемента простого порядка из G порождают конечную подгруппу.

С помощью следующей теоремы, доказанной в четвертом параграфе первой главы, отмеченные результаты Мазурова, Чуркина и Созутова можно усилить, ослабив в их условиях требование свободы действия всей группы до свободы действия любой подгруппы, порожденной двумя сопряженными элементами.

Теорема 7. Пусть х — элемент простого порядка р из группы G, действующей на абелевой группе V. Если для любого g Є G подгруппа (х, x^g) является конечной и действует свободно на V, то группа Н = (x^G) конечна и действует свободно на V.

Более точно, либо порядок Н равен р, либо р = 5 и Н изоморфна SL2{b), либо р = 3 и Н изоморфна одной из групп 51^(3), SX2(5).

Следствие 2. Пусть G — группа, действующая на абелевой группе V, их— элемент порядка 3 из G. Если для любого g Є G элемент [x,g] имеет конечный порядок и подгруппа (х, х⁹) действует свободно на V, то группа (x^G) конечна и действует свободно на V.

Следствие 3. Пусть G — группа, действующая на абелевой группе V. Если для любого элемента х Є G простого порядка и любого g Є G подгруппа (х, х⁹) является конечной и действует свободно на V, то подгруппа Н группы G, порожденная всеми элементами простого по-

рядка, изоморфна LxR, где L либо тривиальна, либо изоморфна 1/2(3), либо изоморфна 6X2(5), a R — прямое произведение групп простых порядков. При этом Н не содержит нециклических конечных абелевых подгрупп.

Как уже отмечалось, следствие 2 обобщает теорему 1 из [22], а следствие 3 — теорему 5 из [52].

Перейдем к содержанию второй главы

Пусть G — транзитивная группа подстановок (возможно, бесконечного) множества Q, такая что стабилизатор Н = G_a точки а Є Сі нетривиален, а стабилизатор любых двух различных точек тривиален. В частности, Н обособлена в G (термин введен Ю.М.Горчаковым в [8]), то есть Н

собственная подгруппа в G и Н П Н⁹ = 1 для любого элемента g $. Н. В терминологии В.П.Шункова [61] это означает, что пара (G, Н) является парой Фробениуса. Согласно знаменитому результату Г.Фробениуса, если множество Q конечно, то Н обладает нормальным дополнением F в G, состоящим из тривиального элемента и всех элементов группы G, не оставляющих неподвижным ни одного символа из Q. Кроме того, F

регулярная подгруппа, т.е. F транзитивна и F_a = 1. В этом случае множество подгрупп, состоящее из F и всех подгрупп G/3,/3 Є Сі, является расщеплением группы G, т.е. множеством собственных подгрупп с тривиальными попарными пересечениями, покрывающим группу G. Для бесконечной группы G множество F = (G \ [J G_a) U {1} может не быть подгруппой, и в том случае, когда F является регулярной подгруп-

пой, мы называем G группой Фробениуса. Отметим, что это определение отличается от определения группы Фробениуса, которое используют П.Нойман и П.Роули в [99] (наша группа Фробениуса - частный случай их расщепляемой группы Фробениуса). Если G — группа Фробениуса, то

(а) F — нетривиальная собственная нормальная подгруппа в G, G =
FH и F П Я = 1;

(б) Я П Н⁹ = 1 для любого элемента д Є G\H;

(в) F\{1} = G\ (U_flGЯ") = П₉ес(Є\ &)

С другой стороны, если F и Я — подгруппы произвольной группы G, удовлетворяющие условиям (а)-(в), то легко заметить, что G действует правыми умножениями на множестве Q всех смежных классов Нд,д Є G, как подстановочная группа Фробениуса и, следуя Шункову [60], мы называем G (абстрактной) группой Фробениуса. Подгруппа F называется ядром Фробениуса, а Я — дополнением Фробениуса (относительно разложения (а)).

Например, группой Фробениуса является полупрямое произведение аддитивной группы произвольного тела F на нетривиальную подгруппу Я его мультипликативной группы, в котором Я действует на F правыми умножениями.

Для конечных групп Фробениуса строение ядра F и дополнения Я хорошо изучено: подгруппа F нильпотентна по теореме Томпсона [103], а Я либо разрешима, либо содержит нормальную подгруппу N ~ 51^2(5) с метациклической фактор-группой H/N. Если, дополнительно, Я не

содержит элементов порядка 3 или 4, то Н сверхразрешима [107]. Таким образом, элементы порядка 3 и 4 играют особую роль в строении групп Фробениуса.

Для бесконечных групп ситуация радикально другая. Например, любая группа может быть вложена в ядро некоторой группы Фробениуса и любая правоупорядоченная группа изоморфна дополнению некоторой группы Фробениуса [4]. Положение меняется, если дополнение Фробениуса содержит элементы порядка 2 или 3.

Пусть G — группа Фробениуса с ядром F и дополнением Н. Тогда Н действует свободно на F при сопряжении, т.е. f^h = / для / Є F,h Є Н только если / = 1 или h = 1. Далее, Н действует ко-свободно, т.е. для каждого нетривиального элемента h Є Н, отображение фи ' F —> F, где 4>h{f) — f^hf~^l, является накрытием. С другой стороны, если Н — группа автоморфизмов группы F, действующая свободно и ко-свободно, то естественное полупрямое произведение FH является группой Фробениуса с ядром F и дополнением Н.

Пусть а — элемент порядка 3 или 4 из Я. Тогда легко показать, что Ъ^а = Ъ~¹{Ь~¹)^а = Ъ~¹Ь~^а или, соответственно- Ь^а = Ъ~¹ для любого Ъ Є F. Таким образом, а является квадратичным автоморфизмом в смысле следующего определения, обобщающего соответствующее определение главы 1.

Автоморфизм а группы X называется квадратичным автоморфизмом, если существуют такие целые числа т = т(а),п = п(а), что для любого х Є X справедливо равенство х^а = х^п(х^т)^а = х^пх^та. Если G —

группа Фробениуса, то мы называем элемент д Є G квадратичным, если g индуцирует при сопряжении в ядре F квадратичный автоморфизм.

В качестве следствия из результатов первой главы в первом параграфе второй главы доказывается гипотеза В.П.Шункова [67] о нильпотентности ядра группы Фробениуса, дополнительный множитель которой содержит элемент порядка 3.

Теорема 8. Пусть FH — группа Фробениуса с ядром F и периодическим дополнением Н, содержащим элемент а порядка 3. Тогда группа F двуступенно нилъпотентна, группа (а^н) конечна и либо центр группы Н содержит инволюцию, а группа F коммутативна, либо (а) — нормальная подгруппа группы Н.

Из этой теоремы вытекает утвердительный ответ на следующий вопрос В.П.Шункова из "Коуровской тетради"([15], вопрос 6.56) для случая, когда простое число р равно трем:

Пусть G = F(a) — группа Фробениуса, причем дополнение (а) имеет простой порядок р.

а) Если G бинарно конечна, то будет ли она локально конечной?

б) Если подгруппы (а, а⁹) конечны для всех g Є G, то будет ли F
локально конечной группой?

На самом деле, справедливо более общее утверждение.

Теорема 9. Пусть G — группа Фробениуса с ядром, F и дополнением Н, порожденная конечным множеством элементов порядка 3. Если выполнено любое из условий:

а) дополнение H периодично,

б) ядро F содержит нетривиальный элемент конечного порядка и
произведение любых двух элементов порядка 3 из Н имеет конечный
порядок,

то группа G конечна.

Кроме того, из теоремы 8 вытекает, что периодическая группа Фробениуса, порожденная элементами порядка 3, локально конечна. Отметим, что аналогичное утверждение для групп Фробениуса с периодическим дополнением неверно.

Второй параграф второй главы посвящен доказательству следующего результата и его следствиям.

Теорема 10. Группа Фробениуса, порожденная двумя квадратичными элементами конечного порядка, конечна, и ее ядро абелево.

Следствие 4. Пусть G — группа Фробениуса, порожденная двумя элементами, порядки которых не превосходят 4- Тогда G конечна и ядро группы G абелево.

Это следствие дает, в частности, возможность уточнить и обобщить один результат А.И.Созутова и В.П.Шункова [56] об обособленной подгруппе, в случае, когда она содержит элемент порядка 3. Созутов и Шун-ков доказали, что для группы G, содержащей обособленную подгруппу Н и обладающей свойством

(*) Н содержит элемент а простого порядка р > 2 и для любого элемента а Є G\H подгруппа L_a = (а,а⁹) конечна,

справедливы следующие утверждения: G — полупрямое произведение периодической нормальной подгруппы F на Н, и, если подгруппа F некоммутативна, то подгруппа (а) нормальна в Н.

Отметим, что при условии (*) подгруппа L_g обязательно является группой Фробениуса.

Следствие 5. Пусть Н — обособленная подгруппа группы G, а Є Н — элемент порядка 3 и (а, а⁹) является группой Фробениуса для любого элемента g Є G\H. Тогда G содержит нормальное дополнение F к Н, F — периодическая двуступенно нильпотентная группа, Но = {а^н) — конечная группа, изоморфная 51^(3), 5Х(2, 5), или имеющая порядок 3, и {оР) = FHq — (локально конечная) группа Фробениуса с ядром F и дополнением Hq.

Другое приложение следствие 4 нашло в исследованиях А.М.Попова |50].

Для доказательства теоремы 10 изучается ко-свободное действие циклической группы С на абелевой группе V и показывается, что если V порождена конечным числом орбит группы С, то С должна быть конечной (леммы 17 и 18). Эти леммы используются также в доказательстве следующего результата.

Теорема 11. Пусть нетривиальная группа Н действует ко-свободно на разрешимой группе F. Если для любого нетривиального элемента h Є Н группа F содержит конечное подмножество М = M(h) такое, что F = {mh^l\m Є М,і Є Ъ), то F и Н конечны.

Следствие 6. Группа Фробениуса с конечно порожденным разрешимым ядром конечна.

Следующий результат, связанный с теоремой 10, дает другие достаточные условия конечности группы Фробениуса.

Следствие 7. Пусть G — группа Фробениуса с ядром F и дополнением Н. Пусть Н порождается элементами порядка 3 и порядок произведения любых двух элементов порядка 3 из Н конечен. Тогда группа Н конечна. Если при этом группа G конечно порождена, то она конечна.

В заключительном параграфе второй главы дается классификация групп Фробениуса, порожденных двумя элементами порядка 3.

Теорема 12. Пусть G — группа Фробениуса, порожденная двумя элементами х, z порядка 3. Тогда ядро F группы G — конечная абелева группа, существует такое дополнение Н в G, что х Є Н, z = vy для некоторого элемента у из Н порядка 3 и элемента v Є F, и с точностью до замены х на х~¹ верно одно из следующих утверждений :

1. Элементы х,у совпадают, Н = (х), F порождается элементами
vi = v, V2, для которых

и порядок v взаимно прост с 3.

2. Н = (х,у) ~ 51/2(3), F порождается элементами v\ = v,vi,i =
2,3,4, действие х,у на F при сопряжении описывается следующими

равенствами (мы используем аддитивные обозначения):

V\X = V2, V₂X = —V\ — V2, V3X = V4, V4X = —V3 — U\\ Ыу = ~Vi + V₄, V₂y = V3, V₃y = -V₂ - V₃, V₄y = ~V₁,

и порядок v взаимно прост с 6.

3. Н = {х,у) ~ SL₂(5), F порождается элементами v\ = v,V{,i = 2,3,..., 8, действие х,у на F при сопряжении описывается следующими равенствами:

V\X = V2, V₂X = —V\ — v₂, v^x = г?4, V\X — —V3 — V4,

V_bX = Vq, VqX = -V₅ - Vq, V₇X = V$, VgX = -v₇ - V₈]

v_xy - -v\ -V2-V4-VQ- v&, v₂y = -V3, v₃y — v₂- V3, У4У = —u₅,

v$y = Щ - vs, v_Qy = —v_7i v₇y = vq — v₇, v_sy = Vi + v% + v₅ + v₇,

и порядок v взаимно прост с 30.

Наоборот, пусть группа Н, порожденная элементами х,у действует точно на конечной нетривиальной группе F так, что выполнено одно из условий 1 — 3. Тогда естественное полупрямое произведение G = FH является группой Фробениуса, порожденной двумя элементами порядка 3, и верно одно из следующих утверждений:

(a) (х) = (у);

_{Л о\ Л Л}

(b) отображение х -> І І Є SL₂(3),y —> I І Є SL₂(3) про-

_V^і _{v 1 у}

должается до изоморфизма Н на 1/2(3)/

О 1 \ /1 1

(с) отображение х —У ( Є SL2^),y —> I j Є 51/2(5)

_ч-1 -і) \2 -2

продолжается до изоморфизма Н на 5X2(5).

Пусть G — группа. Спектром группы G называется множество u{G) порядков ее элементов. Это множество является подмножеством множества натуральных чисел, к которому добавлен, быть может, символ со.

К настоящему времени показано (см. библиографию в [20]) , что многие конечные простые группы можно распознать в классе конечных групп по множеству lo(G). В третьей главе диссертации указываются первые примеры конечных групп, которые с точностью до изоморфизма определяются в классе всех групп своим спектром.

Теорема 13. Пусть G — группа и cu(G) = cu(L2(q)),q = 2^m > 2. Тогда G изоморфна L/2(q).

При доказательстве этого результата используются результаты первой главы диссертации.

Все основные результаты диссертации являются новыми.

Работа имеет теоретический характер. В ней используются методы теории конечных групп, комбинаторной теории групп и компьютерной алгебры. Результаты и методы диссертации могут быть использованы для исследований как в теории групп, так и в ее приложениях.

Основные результаты опубликованы с полными доказательствами в работах [108] - [113], при этом работы [108] и [113] написаны в нераздельном соавторстве с В.Д.Мазуровым, остальные выполнены диссертантом

единолично.

Результаты диссертации докладывались в 1998 г. в Омске на Международной конференции "Комбинаторные и вычислительные методы в математике" (пленарный доклад), в 1999 г. в Челябинске на Международной конференции "Маломерная топология и комбинаторная теория групп" (пленарный доклад), на международных конференциях "Маль-цевские чтения "в Новосибирске в 2000 г. (краткое сообщение) и в 2001 г. (пленарный доклад), и на заседаниях семинара "Алгебра и логика" в Новосибирске.

В заключении автор выражает глубокую благодарность своему научному консультанту члену-корреспонденту РАН В. Д. Мазурову за всестороннюю помощь в работе.

Регулярные автоморфизмы порядка 3 и 4

В этом параграфе в качестве применения теоремы 1 мы получаем описание периодических групп регулярных автоморфизмов, порожденных двумя автоморфизмами, порядки которых не превосходят числа 4. Напомним, что автоморфизм называется регулярным, если он не имеет нетривиальных неподвижных точек. Теорема 2. Пусть А — нециклическая периодическая группа регулярных автоморфизмов абелевой группы G, порожденная двумя элементами а и Ь. 1. Если порядок элементов а, 6 равен 3, то А изоморфна 51 (3) или 5L2(5). 2. Если порядок а равен 3, порядок Ь равен 4, то А изоморфна 3. Если порядки элементов а, Ь равны 4, тпо для некоторого натурального числа т группа А изоморфна Из теоремы 2 вытекает частичное решение задачи 10.60 из [15], поставленной А.И.Созутовым. Следствие 1. Периодическая группа регулярных автоморфизмов абелевой группы, содержащая элемент порядка 2 или 3, обладает нетривиальным центром. В 1999 году В.Д.Мазуров задал следующий вопрос (см. вопрос 14.58 б) в [15]): Пусть А - периодическая группа регулярных автоморфизмов абелевой группы. Конечна ли А, если она порождается элементами порядка 3? Первым шагом на пути к ответу на этот вопрос является Теорема 3. Пусть А — нециклическая периодическая группа регулярных автоморфизмов абелевой группы, порожденная элементами порядка 3. Если в А нет подгруппы, изоморфной 51 (5), wo А изоморфна SL2(3). Полный ответ на вопрос Мазурова содержится в следующей теореме. Теорема 4. Пусть А - нетривиальная регулярная группа автоморфизмов абелевой группы G, порооюденная элементами порядка 3. Если выполнено любое из следующих условий: а) группа А периодическая, б) группа G содержит нетривиальный элемент конечного порядка и порядок произведения любых двух элементов порядка 3 из А конечен, то группа А конечна и изоморфна группе порядка 3, группе 51 (3) порядка 24 или группе 6X2(5) порядка 120. Эта теорема, в частности, дает возможность изучить строение неко- торых расщепляемых групп. Теорема 5. Пусть X — собственная подгруппа группы Н и М = Н\Х. Пусть порядок каждого элемента из М конечен и взаимно прост с порядком любого элемента конечного порядка из X. Тогда подгруппа X нормальна в Н и Н/Х содержит такую конечную нормальную подгруппу N/X, что а) множество Н \ N не содержит элементов порядка 3, б) либо группа N/X изоморфна S2 (3) или 51 (5), либо ее порядок — делитель числа 3. Более того, если \N/X\ — 3 , то группа X двуступенно нильпо-тентна. Если \N/X\ 3, то X абелева.

Пусть а — регулярный автоморфизм аддитивной абелевой группы G, т.е. автоморфизм, оставляющий неподвижным только нулевой элемент. Если порядок о равен 2, то для любого элемента д Є G и поэтому да = —д и а = —1 как элемент кольца End(G). Если порядок а равен 3, то для любого элемента д из G элемент д+да-\-да — неподвижная точка для а, откуда а2 = — а— 1 и а — квадратичный автоморфизм. Если порядок а равен 4 и а2 также является регулярным автоморфизмом, то порядок а2 равен 2 и, следовательно, а2 = —1, т.е. является квадратичным автоморфизмом. Для доказательства теоремы 2 нам потребуются некоторые факты о конечных группах регулярных автоморфизмов. Лемма 2. Пусть А — конечная группа регулярных автоморфизмов абе-левой группы. 1. А изоморфна группе регулярных автоморфизмов некоторой конечной абелевой группы. 2. Любая подгруппа порядка pq из А, где p,q — (не обязательно различные) простые числа, является циклической. Силовские р-подгруппы из А либо циклические, либо (при р = 2) — группы кватернионов. Если в А все силовские подгруппы циклические, то в А есть циклическая хол-лова нормальная подгруппа, дополнение в А к которой также является циклической подгруппой. Если А неразрешима, то в А есть подгруппа индекса 1 или 2, изоморфная прямому произведению группы SL,2{b) на группу, порядок которой взаимно прост с числом 30. 3. Если А порождается элементами порядка 3 и порядок А не равен трем, то А изоморфна Доказательство. Пусть А — конечная группа регулярных автомор- физмов аддитивной абелевой группы G. Если 1 ф д Є G , то Go = (да\а Є А) — конечно порожденная Л-допустимая подгруппа, на которой А индуцирует группу регулярных автоморфизмов, изоморфную А. Если при этом д — элемент конечного порядка, то GQ — конечная группа. Таким образом, при доказательстве пункта 1 можно считать, что G — конечно порожденная группа без кручения. Пусть р — простое число, которое не делит порядок группы и пусть pG = {рд\д Є G}. Тогда К — G/pG — конечная группа. Для доказательства пункта 1 теперь достаточно показать, что каждый неединичный элемент из А не имеет нетривиальных неподвижных точек в К при действии, определенном правилом (g+pG)a = ga+pG. Предположим, что {g+pG)a = g-\-pG для некоторого элемента д Є G\ pG и неединичного элемента а Є А. Если г а оставляет неподвижным элемент д-\- да 4- да -\ \- да , этот элемент равен 0, откуда гд Є pG. Так как г не делится на р, это включение невозможно, и пункт 1 доказан. Пункт 2 следует из пункта 1 и результатов Цассенхауза [107]. Докажем пункт 3. Если в А силовские 2-подгруппы циклические, то по пункту 2 все силовские подгруппы группы А циклические и в А есть циклическая нормальная холлова подгруппа Н с циклическим дополнением С. Если при этом порядок группы Н делится на 3, то все элементы порядка 3 из Л содержатся в Я и порядок А равен 3. Если же порядок Н не делится на 3, то порядок С равен 3 и С централизует любой элемент простого порядка из Н. Но тогда С централизует Н и А = С. Пусть силовская 2-подгруппа группы А нециклическая. По доказанному, порядок N = 0{А) не делится на 3 и iV лежит в центре А Если А — разрешимая группа, то в A/N есть нормальная подгруппа, изоморфная 51/2(3), которая содержит все элементы порядка 3 из A/N и поэтому А обладает дополнением С к N, изоморфным 5X2(3). Это означает, что А = С. Таким образом, можно считать, что А неразрешима.

Тогда согласно пункту 2 А содержит в качестве подгруппы индекса 1 или 2 прямое произведение Н х 5, где порядок Н взаимно прост с числом 6, а группа 5 изоморфна 5X2(5). В этом случае A = S. Лемма доказана. Как отмечено в начале этого параграфа, при условиях теоремы 2 А — периодическая группа, порожденная квадратичными автоморфизмами и, по теореме 1, А — конечная группа. Теперь пункт 1 сразу следует из леммы 2. Пусть порядок а равен 3, порядок Ь равен 4. Тогда Ь2 лежит в центре А, подгруппа Н = (а, аъ) 6-инвариантна и А = Н{Ь). По первому пункту теоремы либо Н — группа порядка 3, откуда А — группа порядка 12 с циклическими силовскими подгруппами, либо Н изоморфна 5X2(3) или 5X2(5). Если Н изоморфна 5Ьг(3), то А изоморфна 51 (3) или GX2(3). Случай Н 5г(5),# А невозможен, поскольку S$ А/(Ь2) не может быть порождена элементом порядка 2 и Поскольку для элемента х порядка 4 из А элемент х как элемент кольца эндоморфизмов группы G равен —1, то два элемента порядка 4 из А по модулю центральной подгруппы порядка 2 порождают группу диэдра, откуда и следует часть 3 теоремы 2. Доказательство теоремы 3. Пусть группа А является противоречащим примером. По пункту 1 теоремы 2 в А есть два элемента ж, у порядка 3, которые порождают подгруппу В, изоморфную 51 (3). При этом подгруппа Z порядка 2 из В лежит в центре группы А. Не нарушая общности, можно считать, что ху является 2-элементом. Ясно, что В (ху, х). Пусть z — элемент порядка 3, не лежащий в В. По пункту 1 теоремы 2 группа С = (x,z) изоморфна 51 (3). Не нарушая общности, можно считать, что xz является 2-элементом, и (xz)2 Є Z. Очевидно, С = (xz,x). Положим a = Zxy,b — Zxz,c = Zx. Тогда имеют место соотношения и, кроме того, соотношения или (ab)3 = (асЪс)2 = 1. Перечисление смежных классов (см. [100]) показывает, что первый набор соотношений определяет группу порядка 96, а второй — группу порядка 60, поэтому группа (х, у, z) конечна. По лемме 2 (x,y,z) изоморфна 51 (3) или 51 (5). По условию каждый из этих случаев невозможен. Теорема доказана. Автоморфизмы а и 6 назовем почти перестановочными, если ab Є L(l,a,b, ba) и ba Є L(l,a,6,a6), где для множества М С End{G) символ L(M) означает линейную оболочку множества М, т.е. совокупность всех целочисленных линейных комбинаций элементов множества М. Пару (a, Ь) почти перестановочных автоморфизмов будем называть почти перестановочной парой. Лемма 3. Пусть А — группа автоморфизмов абелевой группы G. 1. Порождающий элемент регулярной группы автоморфизмов порядка 3 или 4 из А является квадратичным.

Бинарно-свободное действие

Пусть группа G действует на группе V. Назовем это действие свободным, если для любых нетривиальных элементов v Є V и g Є G справедливо неравенство vg ф v. Таким образом, группа, действующая свободно на У, это в точности группа регулярных автоморфизмов V. В 2001-2 гг. В.Д.Мазуров и В.А.Чуркин в.двух работах [21], [22], используя методы доказательств теорем 1 и 4 и технику погружения групп, порожденных двумя квадратичными автоморфизмами абелевой группы в группы GLi2{P) над конечным или комплексным полем Р, усилили теорему 4, доказав конечность нормального замыкания элемента х порядка З в группе G, действующей свободно на абелевой группе, при условии, что любой коммутатор вида [x,g],g Є G, имеет конечный порядок. В 1993 г. А.И.Созутов [52] перенес теорему Цассенхауза [107], классифицирующую конечные группы, действующие свободно на конечной группе, на случай групп G, порожденных элементами простого порядка и действующих свободно на абелевой группе, при условии, что любые два сопряженных элемента простого порядка из G порождают конечную подгруппу. С помощью следующей теоремы отмеченные результаты Мазурова, Чуркина и Созутова можно-усилить, ослабив в их условиях требование свободы действия всей группы до свободы действия любой подгруппы, порожденной двумя сопряженными элементами. Теорема 7. Пусть х — элемент простого порядка р из группы G, действующей на абелевой группе V. Если для любого g Є G подгруппа (х,х9) является конечной и действует свободно па V, то группа Н = {xG) конечна и действует свободно на V. Более точно, либо порядок Н равен р, либо р = 5 и Н изоморфна 51 (5), либо р = 3 и Н изоморфна одной из групп 51 (3), 6X2(5). Следствие 2. Пусть G — группа, действующая на абелевой группе V, их — элемент порядка 3 из G. Если для любого g Є G элемент [х, g] имеет конечный порядок и подгруппа (я, х9) действует свободно па V, то группа (xG) конечна и действует свободно на V. Следствие 3. Пусть G — группа, действующая па абелевой группе V. Если для любого элемента х Є G простого порядка и любого g Є G подгруппа (х,х9) является конечной и действует свободно на V, то подгруппа Н группы G, порожденная всеми элементами простого порядка, изоморфна LxR, где L либо тривиальна, либо изоморфна 5X2(3), либо изоморфна 51 (5), a R — прямое произведение групп простых порядков.

При этом Н не содержит нециклических конечных абелевых подгрупп. Как уже отмечалось, следствие 2 обобщает теорему 1 из [22], а следствие 3 — теорему 5 из [52]. Предварительные результаты Лемма 7. Пусть Н — конечная группа, действующая свободно на абелевой группе. Если Н — (хн) для некоторого элемента х простого порядка р, то либо Н — циклическая группа, либо р = 5 и Н изоморфна 6X2(5), либо р = 3 и Н изоморфна 51/2(3) или 51 (5). Доказательство следует из классификации Цассенхауза дополнительных множителей конечных фробениусовых групп [107]. Лемма 8. Если группа х порядка 2 действует свободно на абелевой группе V, то vx = —v для любого и Є V. Доказательство. Так как (v + vx)x — v + vx, то v + vx = 0. Пусть x А у означает, что xz = у3 = (ху)2 = 1, а хПу означает, что ж3 = уъ = (ху)5 = (хух)2 = 1. Отметим, что (х,у\х Д у) АА,(х,у\хПу) Аъ. Лемма 9. 1. Если х, у — элементы порядка 3, поросисдающие А\, то либо х А у, либо х Д у-1. 2. Если х,у — элементы порядка 3, поросисдающие А$, то хП\у Доказательство — непосредственные вычисления. Лемма 10. Пусть Н = {х,у, z\R), и = zy,v = xy lx ly. 1. Если R — {х А у,х A z,y A z}, то Н А$. 2. Пусть R = R(ijk) = {хПу, у A z,Ai,Bj,Ck], где А\ означает х A z,A-i — х Д z l,A% — xElz В\ получается из А{ заменой z на и, а СІ получается из АІ заменой х на v,i = 1,2,3. Тогда при данной тройке (ijk),i,j, к = 1,2, 3, порядок группы Н определяется следующим образом: а) если (ijk) Є {(123), (132), (212), (231), (313), (322)}, то \Н\ = 60; б) если (ijk) = (332), то \Н\ = 960; в) если (ijk) = (333), то \Н\ = 360; г) в остальных случаях Н = 1. 3. Пусть 4. Пусть Доказательство — вычисления с помощью алгоритма перечисления смежных классов [100]. Лемма 11. Если а, Ь — элементы порядка 5 из знакопеременной группы А степени 5, порождающие А, то для одной из пар (г, і) Є І = {(1,1),(1,3),(3,3),(2,1)} порядок аЪ г равен 3, а порядок Ьга равен2. Наоборот, если (i, j) Є І, то найдутся такие элементы о, 6 порядка 5 из Аъ, порождающие А, что порядок аЬ г равен 3, а порядок blaJ равен 2. Доказательство — непосредственные вычисления в А. Лемма 12. Пусть F — свободная группа ранга 3 с порождающими x,y,z. Положим Доказательство — вычисления с помощью алгоритма перечисления смежных классов. Лемма 13. (В.П.Шунков [60]). Пусть х — элемент нечетного простого порядка из собственной подгруппы Н группы G. Если для любого g Є G \ Н подгруппа (ж, х9) является конечной группой Фробениуса с дополнением {х), то G = FH для некоторой периодической нормальной подгруппы F и F(x) — группа Фробениуса с ядром F и дополнением {х). Лемма 14. Пусть Р — подгруппа простого порядка р в группе Н. Если для любого h Є Я \ NH(P) подгруппа (Р, Ph) изоморфна А\ или А$, то для Q = (Рн) справедливо одно из следующих утверждений: a)Q = Р; б) Q — группа Фробениуса, ядро которой является элементарной абелевой 2-группой, а дополнение равно Р; в) Q А5. Доказательство. Можно считать, что Н ф NG(H). ИЗ условия следует, что р = 2 или р = 3. Пусть вначале р = 3. В случае, когда для любого h Є Н\ NH(P) подгруппа (Р, Ph) изоморфна Aj, подгруппа Q по лемме 12 является группой Фробениуса. Поскольку ее ядро порождается элементами порядка 2, оно — элементарная абелева 2-группа. Таким образом, можно считать, что найдется такой элемент h Є H\NH(P), ДЛЯ которого U = (Р, Ph)) — А. Покажем, что в этом случае U = Q. Предположим противное. Пусть z — элемент порядка 3, сопряженный с элементом из Р, и не лежащий в U. Если R = (y,z) А ,, то в R можно найти элемент z\ порядка 3, сопряженный с ж и не лежащий в U, для которого {yz\)2 = 1. Поэтому, не нарушая общности, можно считать, что (yz)2 = 1. Теперь по лемме 10 порядок группы (x,y,z) не превосходит числа 60 — противоречие.

Пусть р = 5. По леммам 11 и 12 подгруппа R = (Р, Ph) А для h Є Н \NH(P) содержит любую подгруппу из Н, сопряженную с Р, поэтому Q = R. Лемма доказана. Доказательство основных результатов Доказательство теоремы 7. Предположим, что существует элемент д Є G, для которого R = X9 ф X. По лемме 1 R содержит инволюцию t, которая по лемме 8 лежит в центре группы G. Теперь Н = G/(t) и Р = (t)/(t) удовлетворяют условиям леммы 14. Если Q = (Рн) порождается двумя подгруппами, сопряженными с Р, то из леммы 7 следует заключение теоремы. Поэтому можно считать, что Q -- группа Фро-бениуса, ядро F которой является элементарной абелевой 2-группой, а дополнение равно Р. Пусть К — прообраз F в группе G. Если К не является группой кватернионов порядка 8, то она содержит инволюцию г, отличную от t. Очевидно, Т = {ix,t) — элементарная группа порядка 8 и, следовательно, существует инволюция j Є Т, для которой (X, Xі) А\. Поскольку такая группа не может действовать свободно на абелевой группе, то К является группой кватернионов порядка 8 и поэтому (XG) 5X2(3). Теорема доказана. Доказательство следствия 2. Для д Є G положим у = (х9) 1. Тогда группа (ж, у) = (х, х9) удовлетворяет условиям предложения 2 из [22] и, следовательно, конечна. По теореме 7 выполнено заключение следствия 2. Доказательство следствия 3. Предположим вначале, что либо в G нет элементов порядка 3, либо любые два элемента порядка 3, сопряженные в G, порождают циклическую подгруппу. Тогда по теореме 7 любая силовская подгруппа из Н инвариантна в(?и имеет простой порядок. Поэтому Н = R — прямое произведение своих силовских подгрупп, каждая из которых имеет простой порядок. Пусть BG существуют два сопряженных элемента х, хд порядка 3, порождающие нециклическую группу. По теореме 7 U = (xG) изоморфна 51 (3) или 5X2(5). В первом случае Н = U х R, где R порождена всеми элементами простых порядков, больших трех, и является по теореме прямым произведением своих силовских подгрупп, имеющих простые порядки. Во втором случае U совпадает с нормальным замыканием в G своих элементов порядков 2, 3 и 5, и Я = [/ х І?, где R порождена всеми элементами простых порядков, больших пяти, и поэтому в силу теоремы 7 является прямым произведением групп различных простых порядков. Группы Фробениуса, порожденные квадратичными элементами Пусть G — транзитивная группа подстановок (возможно, бесконечного) множества Q, такая что стабилизатор Н = Ga точки а Є Q нетривиален, а стабилизатор любых двух различных точек тривиален.

Конечность групп Фробениуса, порожденных двумя квадратичными элементами

Этот параграф посвящен доказательству следующего результата и его следствиям. Теорема 10. Группа Фробениуса, порожденная двумя квадратичны- ми элементами конечного порядка, конечна, и ее ядро абелево. Следствие 4. Пусть G — группа Фробениуса, порожденная двумя элементами, порядки которых не превосходят 4- Тогда G конечна и ядро группы G абелево. Это следствие дает, в частности, возможность уточнить и обобщить один результат А.И.Созутова и В.П.Шункова [56] об обособленной подгруппе, в случае, когда она содержит элемент порядка 3. Созутов и Шун-ков доказали, что для группы G, содержащей обособленную подгруппу Н и обладающей свойством ( ) Н содержит элемент а простого порядка р 2 и для любого элемента а Є G\ Н подгруппа La = (а, а9) конечна, справедливы следующие утверждения: G — полупрямое произведение периодической нормальной подгруппы F на Н, и, если подгруппа F некоммутативна, то подгруппа (а) нормальна в Н. Отметим, что при условии ( ) подгруппа Lg обязательно является группой Фробениуса. Следствие 5. Пусть Н — обособленная подгруппа группы G, а Є Н — элемент порядка 3 и (а, а9) является группой Фробениуса для любого элемента g Є G\H. Тогда G содероюит нормальное дополнение F к Н, F — периодическая двуступенно нильпотентная группа, Но = (а11) — конечная группа, изоморфная SL/2(3),SL(2,5), или имеющая порядок 3, и (aG) = FHQ — (локально конечная) группа Фробениуса с ядром F и дополнением HQ. Другое приложение следствие 4 нашло в исследованиях А.М.Попова [50. Для доказательства теоремы 10 изучается ко-свободиое действие циклической группы С на абелевой группе V и показывается, что если V порождена конечным числом орбит группы С, то С должна быть конечной (леммы 17 и 18). Эти леммы используются также в доказательстве следующего результата. Теорема 11. Пусть нетривиальная группа Н действует ко-свободно на разрешимой группе F. Если для любого нетривиального элемента h H группа F содержит конечное подмножество М = M{h) такое, что F = (mhl\m Є М,zZ), то F и Н конечны. Следствие 6. Группа Фробениуса с конечно порожденным разрешимым ядром конечна. Следующий результат, связанный с теоремой 10, дает другие достаточные условия конечности группы Фробениуса. Следствие 7. Пусть G — группа Фробениуса с ядром F и дополнением Н. Пусть Н порождается элементами порядка 3 и порядок произведения любых двух элементов порядка 3 из Н конечен. Тогда группа Н конечна. Если при этом группа G конечно порождена, то она конечна.

Предварительные результаты Лемма 17. Пусть т — натуральное число, R — Z[l/ra] и S = R(a) — соответствующее групповое кольцо для циклической группы (а). Предположим, что V — ненулевой конечно порожденный S-модуль, свободный как R-модуль. Тогда существует такое натуральное число п, что V(an -\)фУ. Доказательство. Предположим, что V — противоречащий пример с наименьшим числом 5 порождающих ы, V2, -, vs. Тогда порядок а бесконечен. По определению, и поэтому Поскольку V(a — 1) = V, существует такой элемент г; Є V, что v(a — 1) = as, и по (2.2) существуют полиномы ді(х) Є і? [ж], г = l,...,s, и r Є Z,г 0, такие что (vigi(a) + ... + vsgs(a))(a — 1) = vsar. Очевидно, что полином д(х) = gs{x)(a — 1) — аг Є R[x) отличен от нулевого и vsg(a ) Є v\S + ... + vs-\S. Следовательно, (17.1) существует ненулевой полином f(x) = ао+о 1Х-\-...-\-щх1 Є Щх], для которого vsf{a) Є v\S + ... + vs-\S. Выберем / в (17.1) наименьшей степени t. Тогда Действительно, at Ф 0 по выбору /. Если OLQ, = 0, то vs{a\ + ...-\-ato} 1) Є {v\S + ... + vs-\S)a l = что доказывает (17.2). Пусть .Ri = Д[1/о;оо; ] = Z[l/maoat] и Vi = У0ді?і. Тогда модуль Vi свободен как Ді-модуль и для любого натурального числа п Пусть Vz = Y щК \(о)- Если V2 = V\, то V\ (s — 1)-порожден как S\-модуль, где S\ = Ri(a), и по индукции существует натуральное число п, для которого V\{an — 1) ф Vi, что противоречит (2.3). Поэтому V3 = V1/V2 — нетривиальный 5і-модуль. По (2.3) У${ап — 1) = V3 для любого натурального числа п. Пусть 0 = + . (17.3) Элементы щ, ща, ...,щаь 1 составляют базу модуля V над R\. Действительно, по (2.4) V3 совпадает с линейной оболочкой элементов щ, ща,..., щаг 1. Если эти элементы линейно зависимы над R\, то VS{(3Q-\- fiia + ... + /3f_iai_1) Є YlviRi{) Для некоторого ненулевого вектора »=1 (/, Pi,--, Pt-i) Є R\MB результате умножения на некоторое натуральное число мы найдем ненулевой полином g Є Ъ[х] степени не выше t—1, для которого vsg(a) Є Yl V{S. Это противоречит выбору /, и (17.3) доказано. i=i Пусть ф : Si — V3 — отображение, определенное правилом ?/ = ио для х Є 5ь Тогда V7 — гомоморфизм 5і-модуля Si, где действие совпадает с правым умножением, на V3, и поэтому V3 как S\-модуль изоморфен кольцу So = S/I, где І = {х Є Si\uox = 0}. Пусть р — простое число, не делящее maoat. ТогдаpRi ф Ri и по (17.3), рУ% ф . Следовательно, pSo — собственный идеал в So, и по (17.3) порядок \So/pSo\ = 1 Р \ Р конечен. Пусть М — максимальный идеал в So, содержащий pSo- Тогда а М, So/M — конечное поле и поэтому существует п Є N, что an + M = 1 + M. Другими словами, ап - 1 Є М, S0(an - 1) С М ф S0 и (an — 1) ф Vs. Это противоречие доказывает лемму. Аналогичные рассуждения (с некоторыми упрощениями) доказывают и следующее утверждение. Лемма 18. Пусть F — поле простого порядка и S = F(a). Предположим, что V — ненулевой конечно порожденный S-модулъ. Тогда существует натуральное число п, что V(an — 1) ф V. Если А — группа, то под Л-модулем мы подразумеваем аддитивно записаннную абелеву группу, на которой действует А. А-модуль V од-нопорожден, если существует такой элемент v Є V, что V как группа порождена множеством vA. Лемма 19. Пусть А — группа, порожденная двумя элементами х,у, и V — однопорожденный А-модуль, на котором А действует ко-свободно.

Если х, у индуцируют на V квадратичные автоморфизмы, то V и А — конечные группы. Доказательство. Пусть щ — порождающий элемент А-модуля V, а = ху. Для і Є Z положим щ = ща\ V{ = щагх. Тогда, очевидно, для г Є 7L верны равенства и, следовательно, по определению квадратичного автоморфизма существуют такие целые числа Кроме того, последние два равенства показывают, что (2.10) Докажем, что (19.1) V содержит нетривиальный элемент конечного порядка. Предположим напротив, что V без кручения. Тогда V является 5-модулем, где S = Ща) и Z действует на V свободно. Если Is ф 0, то пусть R = Щі/ls] и V = V ()z R. Тогда R действует свободно на 5і-модуле V, где Si = R(a), и (2.8), (2.10) показывают, что Щ, vo порождающие элементы 5і-модуля V. Если Is = 0, то снова (2.8), (2.10) показывают, что щ порождает 5-модуль V. В этом случае положим V = V. В любом случае из леммы 17 вытекает, что существует такое натуральное число п, что V(an — 1) ф V. Поскольку А действует на V ко-свободно, ап = 1 и по (2.5) V — конечно порожденная абелева группа и, следовательно, конечно порожденный Л-модуль. Поэтому коэффициенты характеристического полинома х(А) преобразования х модуля V — целые числа, а свободный коеффициент равен ±1. По (2.6) минимальный полином /i(A) преобразования ж.модуля V делит наибольший общий делитель полиномов х и Л2 — гаА — /, поэтому [і либо линеен, либо /І = А2 — гаА"— /. Если (J, линеен, то vx — —v для любого v Є V и V{x — 1) = 2V, что противоречит предположению. Поэтому А2 — гаА — / делит х, откуда I = Если I = —1, то V = V(x — 1) = V{x — І)2 = (га — 2)Vx и поэтому га — 2 = ±1, га = 3 или га = 1. Предположим, что т = 1. Тогда х2 ф 1 и У = У(;Е2 - 1) = V(x2 - I)2 = V(x - 2)2 = V(3 -Зх) 3V ф V — противоречие. Если га. = 3, то (ж2 — I)2 = Ъх2 и снова х2 ф 1, V = К(ж2 — I)2 = 5V фУ — противоречие. Если I = 1, то х4 = (га2 + 2)х2 — 1. Если х2 ф 1, то мы получим противоречие, применив рассуждения предыдущего абзаца к х2 вместо ж, поэтому пусть х2 = 1. В этом случае V = V(x — I)2 = 2V(x — 1) = 2V ф V. Это завершающее противоречие доказывает (19.1). Пусть Т — множество всех элементов конечного порядка из ЛЛ Тогда Г является Л-подмодулем, V\ — V/T — группа без кручения и А действует на V\ ко-свободно. Поэтому если группа V\ нетривиальна, то V\ удовлетворяет условиям леммы и по (19.1) V\ содержит нетривиальный элемент конечного порядка. Следовательно, Т — V. Пусть га — порядок элемента щ. Тогда mV = 0. Если га = рп, где р — простой делитель числа га, то Vo = {х Є V\nx = 0} — собственный-Л-подмодуль. Пусть V\ = V/VQ. Тогда V\ — ненулевой однопорожденный Л-модуль над полем порядка р и А действует на V\ ко-свободно.

Классификация групп Фробениуса; порожденных двумя элементами порядка 3

Пусть G — группа. Обозначим через co(G) множество порядков ее элементов. Это множество является подмножеством множества натуральных чисел, к которому добавлен, быть может, символ со. К настоящему времени показано (см. библиографию в [18]), что многие конечные простые группы G можно распознать в классе конечных групп по множеству LJ(G). В этом параграфе строятся первые примеры групп, которые с точностью до изоморфизма определяются в классе всех групп своим множеством порядков элементов. При их построении существенно используются результаты первой главы. Пусть L2(q) — PSLi2{q) — проективная специальная линейная группа размерности 2 над конечным полем порядка q. Ее множество порядков элементов состоит из всех делителей чисел Теорема 13. Пусть G — группа и cu(G) = w(L2(q)),q — 2m 2. Тогда G изоморфна L,2(q). При дополнительном условии конечности группы G этот результат получен в [101]. Предварительные результаты Следующая лемма, используемая в доказательстве теоремы 13 является частным случаем следствия 1. Ее доказательство в [108] послужило отправной точкой для получения результатов первой главы настоящей диссертации. Лемма 25. Пусть А — периодическая группа, действующая на абеле-вой 2-группе Т. Если каждый нетривиальный элемент из А не имеет в Т нетривиальных неподвижных точек, то любой элемент порядка 3 из А лежит в центре группы А. Нам потребуется следующий хорошо известный результат Брауэра, Сузуки и Уолла [74]. Лемма 26. Пусть силовская 2-подгруппа Т конечной группы G является нециклической абелевой группой, содержащей централизатор в G любого своего нетривиального элемента. Тогда либо подгруппа Т нормальна в G, либо G изоморфна Ь2(2п) для некоторого натурального числа п 1. Доказательство теоремы Обозначим через fi(G) множество максимальных но делимости элементов из uj(G). Тогда По условию в G есть элемент t порядка 2 и Т = Cc(t) — элементарная абелева 2-группа. Далее, если и Є Т Г\Т9 для д Є G и и ф 1, то Сс(и) — элементарная абелева 2-группа, содержащая Т и Т9. Поэтому Т = Т9. Точно так же, CG(U) = Т для любого нетривиального элемента и из Т. Если теперь и, v — нетривиальные элементы из Т и v = и9 для д Є G, то v Є Т Г) Т9 , откуда Т = Т9 и д Є NG(T). Наконец, если V — нетривиальная подгруппа из Т. то СдіУ) = Т, откуда N(V) NG{T). Тем самым доказана следующая Лемма 27. Пусть t — элемент порядка 2 из G. Тогда Т = Cc{t) — элементарная абелева 2-группа, совпадающая с централизатором любого своего нетривиального элемента. Если и9 = v для нетривиальных элементов u,v Є Т и g Є G, mo g Є N = Nc(T).

Если пересечение T П Т9 нетривиально для g Є G, то Т = Т9. Нормализатор любой нетривиальной подгруппы из Т содержится в Т. Если и, v — нетривиальные элементы из Т, то множество {д Є G\u9 = v} либо пусто, либо является смежным классом по Т в N. Лемма 28. Подгруппа N = NG(T) отлична от G. Доказательство. Предположим противное. Тогда A = G/T удовлетворяет условиям леммы 25. По (3.1) fi(A) = {q — 1, q + 1},поэтому в А есть элемент порядка 3. По лемме 25 он содержится в центре группы А, что противоречит равенству ц(А) = {q — 1, q + 1}. Лемма доказана. Лемма 29. Группа G содержит инволюцию і, не лежащую в Т. Для любой инволюции v из Т элемент iv имеет нечетный порядок и ин- волюции i,v сопряжены элементом из iv . Все инволюции из G сопряжены. Все инволюции из Т сопряжены в N. Доказательство. Если все инволюции из G содержатся в подгруппе Т, то Т нормальна в G вопреки лемме 28. Пусть і — инволюция, не лежащая в Т, a v — произвольная инволюция из Т. Тогда i,v — группа диэдра с подгруппой iv индекса 2. Если iv имеет четный порядок и и — инволюция из iv , то и Є CG(V) = Т, откуда г Є CG{U) = Т вопреки выбору і. Поэтому порядок элемента iv нечетен. Отсюда вытекает, что і и v сопряжены элементом из iv . Следовательно, любая инволюция из Т сопряжена с любой инволюцией из G \ Т и поэтому все инволюции группы G сопряжены. По лемме 27 любые две инволюции из Т сопряжены в N. Лемма доказана. Лемма 30. Подгруппа N конечна. Централизатор каждой инволюции из G конечен. Доказательство. Зафиксируем инволюции t Є Т и і Є G \Т. Инволюция і инвертирует элемент it, и по лемме 29 в it содержится элемент с, для которого с = сг = с-1 и tc = і. Если теперь и — произвольная инволюция из Т, то, аналогично, в ги есть элемент си, для которого iCu = и,с% = с%и — с 1. Теперь ССи = п, к = сі — инволюция, и (сси) = k lccuk = іс хссисі = сгисг = с — и 1с 1 = {сси) 1. (3.2) По лемме 27 сси Є N. Пусть X = сси\и Т, и ф 1 . По (3.2) и лемме 27 X является -инвариантной подгруппой, лежащей в N, и N = ТХ. Подгруппа То = ТПХ — характеристическая и поэтому -инвариантная подгруппа в X. Если То ф 1, то инволюция к централизует в То нетривиальный элемент и по лемме 27 лежит в Т. Элемент хи — сси нормализует Т и инвертируется элементом &, поэтому хи = Г для любого элемента и.

Но тогда X = 1 вопреки нетривиальности подгруппы То. Итак, То = 1. Покажем, что Для этого достаточно показать, что множество, стоящее в (3.3) справа от знака равенства, замкнуто относительно умножения. Пусть и, v - нетривиальные элементы из Т. Если tXuXv = z = tXz, то xuxvx l Є Cc(t) = Т, откуда xuxvx l Є To = 1 и xuxv = xz, как и требовалось для доказательства (3.3). По (3.3) к инвертирует каждый элемент из X , поэтому подгруппа X абелева. Она является периодической группой регулярных автоморфизмов абелевой группы Т. Пусть Y - конечная подгруппа из X. Подгруппа t, Y является конечной группой Фробениуса с дополнением У, поэтому У циклична, а X локально циклична. Поскольку из (3.1) следует, что период группы X ограничен, группа X конечна. Но тогда конечны подгруппы Т и N = ТХ. Так как Т совпадает с централизатором любой своей инволюции и все инволюции группы G сопряжены, то лемма доказана. По теореме Шункова [63] G — локально конечная группа. По условию в G есть элементы ж, у порядков q + 1, q — 1, соответственно. Подгруппа Go = N,x,y является конечной группой, для которой U (GQ) — u{G). По лемме 28 подгруппа Т не инвариантна в Go. Если порядок группы Т равен 2, TOGO содержит абелеву подгруппу С индекса 2, для которой 1л{С) = {q — l,q + l} , что невозможно. По леммам 27 и 26 Go изоморфна Z 2(q). Аналогично, любая конечная подгруппа группы G, содержащая Go, изоморфна L2(q). Теперь из локальной конечности группы G следует, что Go = G. Теорема доказана.

Похожие диссертации на Квадратичные элементы групп Фробениуса

О представлении элементов группы произведением инволюций и смежные вопросыМакосий, Алексей Иванович

Группы, содержащие элемент, перестановочный лишь с конечным числом сопряженных с ним элементовКисляков, Валерий Евгеньевич

Конечные линейные группы, порожденные двумерными элементами Корлюков Александр Васильевич

Корневые элементы в исключительных группахПевзнер Игорь Михайлович

Квазираспознаваемость конечных простых групп по множеству порядков элементовАлексеева Оксана Алексеевна

F-локальные подгруппы в группах с обобщённо конечными элементамиЯнченко Михаил Васильевич

О верхних центральных рядах группы автоморфизмов и примитивных элементах свободных метабелевых алгебр ЛиКабанов Александр Николаевич

Стабильные элементы автоморфизмов свободной нильпотентной группыКовыршина, Анна Ивановна

Распознавание конечных групп по свойствам множества порядков элементовЗиновьева Марианна Рифхатовна

Конечные группы с системой обобщенно центральных элементов Шеметкова Ольга Леонидовна