Введение к работе
Актуальность темы. Теория групп Шевалле заняла одно из центральных мест в математике во второй половине XX века. Тесная связь этой теории с геометрией, теорией представлений, теорией конечных групп и другими разделами математики привлекает все новых и новых исследователей.
С самого своего появления теория групп Ли оказалась тесно связана с геометрией. Прежде всего, это касалось классических групп Ли. В середине XX века Клод Шевалле на схемном языке обобщил понятие групп Ли, а Жак Тите ввел геометрии, соответствующие исключительным группам. Из работ Шевалле выросла теория групп Шевалле над произвольными коммутативными кольцами, а из работ Титса — теория билдингов. Это вывело связь между теорией групп Шевалле и геометрией на принципиально новый уровень. Говоря про геометрию алгебраических групп, нельзя не упомянуть также замечательные работы Ганса Фрейденталя, Тони Спрингера и Фердинанда Фельдкампа. Представленная диссертационная работа в основном изучает 27-мерное минимальное представление односвязной группы типа Eq. Геометрия этого 27-мерного модуля глубоко исследовалась Майклом Ашба-хером, Брюсом Куперстейном, Арье Коэном, Кеем Магаардом и другими математиками.
Одним из самых важных и, одновременно, самых простых объектов в группах Шевалле являются длинные корневые элементы. При этом, однако, исследование "взаимного расположения", в том или ином смысле, нескольких длинных корневых подгрупп — чрезвычайно сложная и интересная задача, которой занималось и продолжает заниматься множество математиков. Над этими вопросами, а также тесно связанными с ними вопросами описания подгрупп, порожденных корневыми элементами, работали такие выдающиеся мастера, как Джек Маклафлин, Майкл Ашбахер, Гари Зейтц, Мартин Либек, Уильям Кантор, Брюс Куперстейн, Александр Залесский и многие другие.
В основном, однако, их работы посвящены группам Шевалле над конечными полями. С другой стороны, чрезвычайно глубокую теорию абстрактных корневых подгрупп развили в своих работах Франц Тиммесфельд и его ученики — Аня Штайнбах, Ханс Кюйперс и другие.
Говоря про геометрию длинных корневых подгрупп, нельзя не упомянуть про геометрии коротких корневых подгрупп и торов. Эти геометрии и связанные с ними вопросы существенно сложнее и намного меньше изучены. Однако недавно появились замечательные работы Владимира Викторовича Нестерова и Николая Александровича Вавилова, посвященные этим чрезвычайно интересным объектам. В частности, в этих работах обсуждаются списки орбит пар микровесовых торов и пар коротких корневых подгрупп.
При изучении группы и ее множества образующих естественным и чрезвычайно важным является вопрос о структуре группы относительно этого множества образующих. Особенно это интересно, если множество образующих является одним или объединением нескольких классов сопряженности; тогда этот вопрос оказывается тесно связан с числами накрытия и т.п. Разумеется, вопрос, сформулированный в такой форме, не может иметь полного решения, однако даже какие-то сведения о структуре группы относительно того или иного множества образующих могут оказаться чрезвычайно полезными. Первым шагом в исследовании этой структуры является нахождение ширины группы относительно этого множества образующих. Напомним, что ширина группы G относительно множества образующих S — это либо минимальное натуральное число п, такое, что любой элемент группы G представляется в виде произведения не более чем п элементов из S, либо оо, если такого п не существует.
Вероятно, самым известным множеством образующих в этом контексте является множество коммутаторов. В этом случае ширину группы G часто определяют как минимальное целое число s > 0, такое, что любой элемент
[G, G] есть произведение s коммутаторов; такое определение позволяет нам обобщить понятие ширины группы в коммутаторах на группы, не совпадающие со своим коммутантом. Нахождением ширины разнообразных групп относительно множества коммутаторов занимались десятки математиков. Другим хорошо изученным множеством образующих являются инволюции. Стоит отметить также, что вычисление ширины группы тесно связано исследованиями произведений классов сопряженных элементов и числами накрытия (covering numbers), которые изучаются в работах Цви Арада, Марселя Герцога, Николая Леонидовича Гордеева, Эриха Эллерса, Яна Саксла и других математиков.
Хорошо известно, что корневые элементы группы Шевалле Ср(Ф, R) порождают элементарную подгруппу, р(Ф, R), которая "почти совпадает" с Ср(Ф,Д). В частности, они совпадают, если R — алгебраически замкнутое поле, а если Ср(Ф,Д) является односвязной группой, то и над произвольным полем R. Таким образом, очень интересным представляется вопрос о нахождении ширины групп Шевалле относительно множества корневых элементов (в этом случае для простоты шириной группы Шевалле обычно называется ширина ее элементарной подгруппы). Жан Дьедонне в замечательной работе 1955 года нашел ширину классических групп. Позднее результаты Дьедонне были расширены на группы, сохраняющие квадратичную форму с ненулевым радикалом. Однако про исключительные группы, до недавнего времени, в этом направлении ничего не было известно, кроме естественной оценки снизу; для групп типа Eq эта оценка говорит, что их ширина не меньше пяти. Из недавно вышедшей работы Арье Коэна, Ани Штайнбах, Розаны Усиробира и Дэвида Уэльса следует, что ширина групп Шевалле типа Eq относительно множества корневых элементов не больше 10. Для случая алгебраически замкнутого поля такого же типа оценка вытекает из работ Николая Леонидовича Гордеева. Это единственная, до настоящего времени, известная
оценка сверху на ширину исключительных групп.
Диссертационная работа тесно связана с вышеописанными тремя направлениями в изучении групп Шевалле. А именно, во второй главе показано, что существует естественная биекция между множеством корневых подгрупп и множеством шестимерных сингулярных подпространств, что позволяет автору активно использовать геометрический язык. С другой стороны, главный результат диссертационной работы — это доказательство того, что если в поле К любой многочлен степени не выше шестой имеет корень, то ширина группы G&&(Eq,K) относительно множества корневых элементов не больше восьми.
Цель работы. Целью диссертационной работы является исследование корневых элементов в группах типа Eq, в частности получение классификации троек корневых подгрупп, изучение соответствующих геометрий и получение оценок на ширину групп типа Eq относительно множества корневых элементов.
Методы исследования. Диссертационная работа использует все обычные методы работы с алгебраическими группами, в частности, методы комбинаторики корней, весов и групп Вейля и методы теории представлений, а также геометрические методы, развитые Жаком Титсом, Майклом Ашбахе-ром, Францем Тиммесфельдом и другими. Часть использованных методов развита самим автором.
Основные результаты. В работе исследованы корневые элементы в группах Шевалле типа Eq над полем К в 27-мерном минимальном представлении. Основные результаты заключаются в следующем:
Доказано, что n-мерные сингулярные подпространства при п = 1, 2,3,4 или б образуют под действием группы Gsc(Eq, К) ровно одну орбиту; пятимерные сингулярные подпространства имеют ровно две орбиты. Из этого, в частности, следует, что естественное отображение из множества корневых
подгрупп в множество шестимерных сингулярных подпространств является биекцией.
Показано, как по взаимному расположению двух шестимерных сингулярных подпространств определить угол между соответствующими корневыми подгруппами.
Полностью классифицированы тройки длинных корневых подгрупп, две из которых противоположны, в любой односвязной алгебраической группе, что обобщает предшествующие результаты Брюса Куперстейна, Лино Ди Мартино и Николая Александровича Вавилова.
Описано, как выяснить, какую группу порождают три корневые подгруппы в Gsc(Eq, К): две из которых противоположны, по взаимному расположению соответствующих шестимерных подпространств.
Доказано, что если в поле К любой многочлен степени не выше шестой имеет корень, то ширина группы G&&(Eq,K) относительно множества корневых элементов не больше восьми.
Научная новизна. Все основные результаты диссертационной работы являются новыми.
Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты и развитые в работе методы могут быть использованы в дальнейших исследованиях исключительных групп Ше-валле.
Апробация работы. Полученные результаты обсуждались на семинарах кафедры высшей алгебры и теории чисел математико-механического факультета СПбГУ (2004-2008), а также докладывались на семинаре университета Билефельда.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-2], перечисленных в конце автореферата. В совместной работе [1] диссертанту принадлежит алгоритм вычисления корневых элементов, пер-
вому соавтору — постановка задачи и алгоритм вычисления структурных констант, второму соавтору — алгоритм построения трилинейной формы. В совместной работе [2] диссертанту принадлежат леммы 1, 5, 6 и 8-11, соавтору — постановка задачи и леммы 2-4 и 7.
Работа [1] опубликована в журнале, входившем в перечень ВАК на момент публикации (до конца 2006 года).
Структура и объем работы. Диссертация изложена на 149 страницах, состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, и списка литературы, содержащего 198 наименований.
