Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Основные понятия и методы 10
1. Определения и обозначения 10
2. Необходимые сведения из теории конечных линейных групп 12
3. Приводимые группы небольших степеней 15
ГЛАВА II. Группы, поролщенные двумерными унипотентными элементами 20
4. Группы, порожденные квадратичными двумерными nэлементами 20
5. Группы, порожденные двумерными трансвекциями . 21
ГЛАВА III. Условия полной приводимости в пололштельной характеристике 28
6. Анализ неприводимых примитивных линейных групп небольших степеней 28
7. Импримитивные и приводимые 2 -группы . 34
8. Некоторые ограничения на степени групп . 50
ГЛАВА ІV. Линейные группы, порожденные двумерными элементами 55
9. Случай двумерных элементов порядка больше трех 55
10. Случай двумерных элементов порядка 3 . 58
ГЛАВА V. Квадратичные элементы порядка 4 73
11. Описание конечных линейных групп, порожденных квадратичными элементами порядка 4
Литература 80
- Необходимые сведения из теории конечных линейных групп
- Группы, порожденные двумерными трансвекциями
- Импримитивные и приводимые 2 -группы
- Случай двумерных элементов порядка 3
Введение к работе
Классификация конечных линейных групп, порожденных преобразованиями специального вида, относится к числу традиционных задач теории линейных групп /см. обзорную статью А.Е.Залесско-го f4] , II, 12/ .
Назовем элемент эс , принадлежащий общей линейной'группе GLi^F) матриц порядка П. над полем Г , к -мерным элементом, если ранг матрицы ос- Е^ равен к , где В к. единичная матрица степени п.
Например, одномерными элементами являются отражения, псевдоотражения и, в положительной характеристике, еще и трансвекции. Конечные линейные неприводимые группы, порожденные одномерньми элементами, к настоящему времени полностью описаны для любого поля F . /см. [4] , 12/ .
В работах ["28] , [29] , [33] получена классификация конечных неприводимых линейных групп, порожденных двумерными элементами, в случае поля нулевой характеристики. Разработанные при этом методы существенно используют предположение о том, что характеристика поля г равна 0.
Естественно возникает задача описания неприводимых линейных групп, порожденных двумерными элементами, над полем положительной характеристики.
Цель настоящей диссертации - классификация конечных неприводимых линейных групп над полем г характеристики jp > 7, порожденных двумерными элементами, которые не являются инволюциями. Ограничение на характеристику поля вызвано тем, что при малых f> возникает множество различных случаев, требующих отдельного рассмотрения.
Основными результатами диссертации являются теоремы 2, 3, 4, 5.
В главе I диссертации приведены определения, обозначения, известные результаты. В 3 доказано несколько предложений, которые неоднократно будут использоваться в дальнейшем.
Введем некоторые соглашения, .связанные с терминологией. Двумерные элементы порядка 1~ из группы SL(n., F) будем называть j)r -элементами. Группу, порожденную двумерными элементами, будем называть J) -группой. Линейная группа Q с QL{_V) называется Z -мерной, если пространство V размерности п. можно представить в виде прямой суммы неприводимого G -модуля размерности z и тривиального С -модуля размерности
Жорданову клетку размера К , соответствующую собственному значению Я, обозначим через * . Элемент ос из группы SLt^F) является трансвекцией, если он имеет следующую жорданову форму: сСісс,{уЛіБк-з.) . Элемент сх_ из группы SL(kF) называется квадратичньм, если степень его минимального полинома равна двум. Ясно, что жорданова форма квадратичного унипотентно-го элемента не содержит жордановых клеток размера к> 2.
Произвольный J)p -элемент / b = cikm, F I является матрицей одного из двух типов: либо его жорданова форма имеет вид ск*?и*,?л, Е*-«) ' либ - <**<*$(.? з, *'*) Б пеР~ вом случае J)n -элемент является квадратичным. элементы с жордановой формой &&szg(^3j Е*.-з) будем называть обобщенными или двумерными трансвекциями.
Необходимые сведения из теории конечных линейных групп
Классификация конечных линейных групп, порожденных преобразованиями специального вида, относится к числу традиционных задач теории линейных групп /см. обзорную статью А.Е.Залесско-го f4] , II, 12/ .
Назовем элемент эс , принадлежащий общей линейной группе GLi F) матриц порядка П. над полем Г , к -мерным элементом, если ранг матрицы ос- Е равен к , где В к. единичная матрица степени п.
Например, одномерными элементами являются отражения, псевдоотражения и, в положительной характеристике, еще и трансвекции. Конечные линейные неприводимые группы, порожденные одномерньми элементами, к настоящему времени полностью описаны для любого поля F . /см. [4] , 12/ .
В работах ["28] , [29] , [33] получена классификация конечных неприводимых линейных групп, порожденных двумерными элементами, в случае поля нулевой характеристики. Разработанные при этом методы существенно используют предположение о том, что характеристика поля г равна 0. Естественно возникает задача описания неприводимых линейных групп, порожденных двумерными элементами, над полем положительной характеристики. Цель настоящей диссертации - классификация конечных неприводимых линейных групп над полем г характеристики jp 7, порожденных двумерными элементами, которые не являются инволюциями. Ограничение на характеристику поля вызвано тем, что при малых f возникает множество различных случаев, требующих отдельного рассмотрения. Введем некоторые соглашения, .связанные с терминологией. Двумерные элементы порядка 1 из группы SL(n., F) будем называть j)r -элементами. Группу, порожденную двумерными элементами, будем называть J) -группой. Линейная группа Q с QL{_V) называется Z -мерной, если пространство V размерности п. можно представить в виде прямой суммы неприводимого G -модуля размерности z и тривиального С -модуля размерности Теорема 3. Пусть Q cSlL ) - конечная неприводимая iz. -группа, "с У/ 5, Г - алгебраически замкнутое поле характеристики f 7. Тогда к 4 4, и группа G поднимается в характеристику 0. Теорема 4 отвечает на вопрос А.Е.Залесского, поставленный в работе [3] . Опять же, благодаря использованию техники главы III, доказательство теоремы 4 не требует особых усилий. Заметим, что по сравнению с работой [28] , в которой решается аналогичная задача для характеристики 0, доказательство данного результата основано на принципиально иной идее применения теоремы Бэра. Приведем формулировку теоремы. Теорема 4. Пусть G с SL(K; Р) - конечная неприводимая J) -группа, F - алгебраически замкнутое поле характеристики р 7. Тогда группа & поднимается в характеристику О, причем, если группа Q не является мономиальной, TOK.S 4. В параграфе 10, где исследуются группы, порожденные двумерными элементами порядка 3, доказывается следующая
Заметим, что обычно классификацией групп отражений пользуются в том случае, когда в исследуемой группе обнаруживаются отражения. В настоящей работе J)j -группы не содержат отражений, но, тем не менее, удается добавить к Д? -группе G такое отражение , что Q-i- & является группой отражений, и (Gx -) = 2. Автор убежден, что идея добавления к исследуемой группе хорошо известных элементов может пригодиться при решении других задач теории линейных групп.
В работе А.Е.Залесского [4] приведено описание конечных групп, порожденных квадратичными элементами порядка более четырех, над полем комплексных чисел. Там же поставлена задача классификации линейных групп, порожденных квадратичными элементами порядка 4 и 3. В главе У диссертации полностью разобран случай квадратичных элементов порядка.4. Доказывается следующая Теорема 6. Пусть G GL(n, C) t - 4 - конечная неприводимая группа, порожденная классом J) сопряженных в С квадратичных матриц, и пусть порядок элемента d D по модулю группы скалярных матриц равен четырем. Тогда м = и группа содержит нормальную элементарную абелеву под группу Н порядка Л. , при этом фактор-группа С / Н изоморфна одной из подгрупп группы у («/ , Л) : 5/ ( 2Ку5) , O-ii KjJ.) t OtC KjZ.) - КФ2 , симметрической группе 5л/е«. или vSa.« +л
Автор глубоко признателен А.Е.Залесскому за постоянный интерес к уже проделанной работе. Автор пользуется случаем и благодарит коллектив лаборатории алгебры Института математики АН БССР за готовность его сотрудников делиться своим опытом работы с линейными группами.
Группы, порожденные двумерными трансвекциями
Назовем элемент осе SL( ,F) двумерной или обобщенной трансвекцией, если он имеет жорданову форму си С з, Е -з) Двумерные трансвекции будем называть также 1Д-элементами. Назовем группу czL(fi-, F) "/ -группой, если она порождается двумерными трансвекциями и не содержит ни трансвекции, ни двумерных квадратичных -элементов. Доказательство. Если dom (VH f\ Vu) і , то утверждение следует из 5.1 и 3.1.3 . При cU,rv (VH /\\fH)y,X непосредственные вычисления показывают, что либо Га ] = I » либо Х- Е-х,&] - квадратичный элемент с условием c i/n Vx 3 Поскольку И - /д-группа, то М-г 14 = 3 . Так же, как и в 3.1.3 X Z(H) , поэтому L z.1 = I , и 1&, 1 = I. Анализ строения централизатора элемента X. приводит к противоречию с условиями 5.2. VL = 3 , 4 , и CPUVL F 7 , то a = P SUc, /?J , = Г, причем группа & реализуется так, как указано в формулировке теоремы 2 . Действительно, в 2.8 и работе [25] перечислены все неприводимые подгруппы SL(ft-; F) для R- = 3 , 4 . При CIL JZF лишь PSL(3.,F±) является /А-группой. 5.4. Пусть Q SL(K, Р) - Т -группа, Q- приводима, при чем длина композиционного ряда равна n-i . Тогда ядро отобра жения - G — SLC F) группы С- в 2-мерный фактор композиционного ряда не может лежать в центре 2-(G) группы Q . В частности, if не может быть изоморфизмом. Доказательство. ip(С) - неприводимая подгруппа 57.(о2, F) , следовательно, () - SLU, FX), F[ Р . Пусть -6 - един ственная инволюция группы SL( lj Fx) , - какая-нибудь инволюция из группы U с условием ()=.- . Тогда все остальные инволюции группы Сг лежат в смежном классе t-nezf . Предположим теперь, что пег. с Z(C) . Тогда единственная инволюция группы С- , то есть условий 5.4 следует, что ctcm 1/ =2. Приведя к диа гональному виду получил противоречие с тем, что Q /«а. группа. 5.5. Пусть C SU jf7) - ід-группа, & приводима, и композиционные факторы тлеют размерности I , п.-. , 1 . Тогда отображение f: Gr — SL (п-«2, Ч является изоморфизмом. И является 3-мерной группой. Доказательство. Из 5.5 следует, что отображение «f: Н — SL(3jP) является изоморфизмом. Если (Н) содержит трансвекции, то теорема Клиффорда и 3.1.3 приводят к противоречию. Следовательно, (Н) - 1Л-группа, и из 5.3 следует, что И — PSL(3-j ГІ.) ,/-1 F . Элементы группы {н) получаются при отображении [22І Г: SL{3L, Fi) - vSL(3, FS) . Пусть 5Г, " SL(3.,F) такие, что (} = ifOJ , и Т[р) = (у) . Элементы 5Ї , можно выбрать в виде: JC. = ia(i) , = 2 Д1 (А) . Непосредственные вычисления с использованием того, что л , у - І д -элементы, и гс и.А йс -1) = 2 , показывают, что группа /-/ = , является 3-мерной.
Доказательство. Рассмотрим отображение V : Н " C-L( j F) , Ез 5.5 следует, что f - изоморфизм. Если ?(Hj содержит центральную инволюцию, то Н - 4-мерная группа. Из списка групп, приведенных в 2.8.3 лишь не содержит цент ральной инволюции. Так как все f -элементы группы SL\ , t) являются Т -элементами, и группа PSL(3-, Fi) порождается двумя \ -элементами, то сбіґ VH - 4 , ctlr V - п. - 4 , откуда следует, что Н - 4-мерная группа. 5.10. Предложение. Пусть Qc SL("-, П - /А -группа, Н 3-мерная подгруппа, порожденная двумя Т -элементами ос . Тогда для любого Тя-элемента X , сдвигающего подпростран ство VH , группа Hi = М, является 4-мерной. Доказательство. Пусть z V Ф VH Из 3.I.I следует, что либо [-х, х] Ф і , либо [ #, z] Ф і . Предположим, что Е х., zj Ф і . Ясно, что размерность пространства ]/нх равна четырем или пяти. Если ссж VHi = 5 , то из леміш 5.8 следует, что группа ск zy является 4-мерной. Значит, I. Если СІІҐП(А/Н f\VHi)= І, то можно ограничиться 6-мерным пространством, - 27 и утверждение 5.9 приведет к противоречию. Если же УцлЛ\ґИі = = 0 , то либо Н4 -модуль V l приводим, и опять же 5.9 ведет к противоречию, либо группа НА является 5-мерной. Просматривая список групп из 2.8.4 получаем противоречие.
Итак, ск-гу V(-il = 4 . Из утверждений 5.7 и 5.9 вытекает, что НІ - 4-мерная группа. 5.II. Завершение доказательства теоремы 2. Ввиду утверждения 5.3 достаточно показать, что П4 4. Предположим, что л 4 . Из леммы 5.8 вытекает, что в группе найдется 3-мерная подгруппа Н , порожденная двумя /Л -элементами -, Выберем такой 1А-элемент z. , что : VH Ф Ин . Из предложения 5.10 следует, что группа Н4 = Ну z. является 4-мерной группой. Воспользуемся леммой 3.3 и выберем такой Т -элемент 4 , что 4. VH Ф VH , и 4. V i Ф I/HI . Опять же, ввиду предложения 5.10 , группа VI, і - 4-мерная.
Импримитивные и приводимые 2 -группы
Пусть Q a SL{.n.}P) - импримитивная неприводимая D -группа, порожденная j) -элементами порядка г. 2 . Покажем, что Q является мономиальной группой. Ясно, что D -элементы не могут переставлять подпространства, размерности которых больше 2 . Ясно так же, что на подпространствах размерности 2 J) -элементы могут действовать только как транспозиции. Равенство Х+Уі+Х = 0 приводит к тому, что J) -элементы являются инволюциями.
Итак, группа Q является мономиальной группой, то есть, G переставляет лишь одномерные подпространства. Предположим, что 3) -элемент ос переставляет циклически к одномерных подпространств. Так как элемент ос имеет лишь три собственных значения , l , I , то выполняется неравенство к 4 3 . Далее, непосредственный анализ собственных значений мономиаль-ных J)t -элементов приводит к заключениям: при с 4 мономи-альная группа не может порождаться 3)х -элементами; j) -элементы действуют как транспозиции, то есть переставляют местами лишь два подпространства; j)3 -элементы переставляют циклически ровно три подпространства.
Перейдем теперь к рассмотрению мономиальных J 3 -групп. По аналогии с группами отражений введем в рассмотрение две неприводимые мономиальные группы Gp (Л,Л,/г) и &р(3,3,п.) , лежащие в SL(v.,F) . bти группы порождаются своей диагональной подгруппой и п.-2. матрицами вида
Диагональная подгруппа группы / (3,3, ) порождается всевозможными двумерными инволюциями, диагональная подгруппа группы G (3,3,h.) - всевозможными J)3 -элементами. Заметим, что группа р (3.,3.,3) изоморфна знакопеременной группе Ац подстановок на 4 символах, группа Gj (3,3,3) - ранее введенной /п. 6.2/ группе Рз
Мономиальные группы поднимаются в характеристику 0 , поэтому применимы рассуждения работы [28 , лемма 1.4] . В этой работе показано, что в монрмиальной J)3 -группе при УІУ, 5 всегда можно выбрать п.- 3L j)3-элемента вида / о О 1 \ dLc iEiL, [ %] Ь»---3 ) Отсюда следует, что мономиальная j)3 -группа G ( 1 ) при П. / 5 изоморфна либо Gp ( 2-,2 п-) , либо G / (3,3, п.) .
В дальнейшем нам понадобятся следующие замечания. Группа G (3,3,yi) содержит 3-мерную подгруппу, изоморфную группе А , группа /)(3,3, и.) - 3-мерную подгруппу, изоморфную группе Рз , а при к / 4 - также и группу, изоморфную группе Ан , и других 3-мерных подгрупп в них нет. Если а с $иъ F) не изоморфна группам Gf,(3/3, ) и / (3,3,4 , то в группе Q найдется 3-мерная подгруппа, которая не изоморфна ни А , ни Рз .
Перейдем теперь к рассмотрению приводимых D -групп. В положительной характеристике, в отличие от нулевой характеристики, могут быть р -элементы, и не всякая подгруппа обладает свойством полной приводимости. Следующие предложения 7.2 , 7.4 , 7.5 позволяют эффективно работать с приводимыми подгруппами, порядки которых делятся на характеристику поля F
Разлагая произвольный минор размера 4 4 по первой строке, мы получаем, что любой минор размера 4 4 матрицы о -1 равен 0 . Значит, oUr Vu = 3 , то есть f -элемент и является 3-мерным. Поскольку строки и столбцы с номерами I , 2 входят в не равный нулю минор размера 3 3 , то жордановой формой Элемента U будет cUa-fi -i, , .-«). ЯСНО, ЧТО Voc Vu ш Рассматривая вместо элемента ос элемент , получаем, что Vy. с Vc, . Значит, VH - ViA , и U Vн = 3 . Предложение 7.2 доказано. Заметим, что при условиях предложения 7.2 верны соотношения : эс V« = Vu , и у- Vu = Vu . 7.3. Предложение. Пусть С a SL(n,F) - группа, которую можно привести к треугольному виду. Предположим, что ос .]) -элемент группы G , z. у, 3 , и - f -элемент группы Q . Тогда ос Vu = Vu . Доказательство. Изменением базиса можно добиться, чтобы группа С была верхней треугольной, а элемент ос - диагональным. Ввиду утверждения 3.1.I мы можем предполагать, что С ос, и] ф .
Так как dim 1/ = 3 , с&ки )/ д = 3 , и пространства 1/ t , ViA пересекаются по 2-мерному пространству Vу. , то бк-ип 1//W 4 4 . Так как V = п.-3 , dUim \/ д=к_з , и пространства V 1 , V имеют коразмерность І в пространстве Используя полученные неравенства с-гъ \/и 4 , ссбгп V / и.-4 мы можем, не ограничивая общности, считать, что И SLC F). Так как группа И является \ -группой, то из утверждения 3.1.3 Следует, ЧТО /Уіз а]= I . Пусть W = V-t - V-A . Ясно, что пространства VtL и ViA совпадают, поскольку выполняется равенство САЛ Л] ={ . Элементы i.L , гд. мы выбрали так, чтобы 4.л - 4 ± , поэтому из утверждения 3.1.2 следует, что и V7i = 1/ , значит и W = W . Итак, 3-мерное подпространство U/ является инвариантным для преобразования ТА , а значит, и для группы QL - и, . Рассмотрим группу f-(1 = а, . Так как группа Mt приводится к треугольному виду, и J)3 -элементы группы Н4 не коммутируют с f -элементами этой группы, то найдется такой р -элемент zf Н І , что ос = р Из равенств ее = , :х = у. следует, что элемент w коммутирует с матрицей -х. .
Случай двумерных элементов порядка 3
В данном параграфе будет доказана Теорема 5. Пусть Q = SL(n, F) - конечная неприводимая J) -группа, F - алгебраически замкнутое поле характеристики \ 7 . Тогда возможны следующие случаи : 1. Группа Q получается редукцией в характеристику р из конечной _D3 -группы в характеристике 0 /эти группы описаны в работе [28] / . 2. Группа Q изоморфна знакопеременной группе А .+а , при этом )г + А =о( Н 3. п. = 4 , группа Q изоморфна группе SL( 2, Ft) или её расширению индекса 3 , Рл - подполе поля F - 59 Доказательство теоремы 5 естественным образом распадается на две части : /I/ группа Q не удовлетворяет условию 7.4 ; /2/ в группе Q условие 7.4 выполняется. 10.1. Лемма. Пусть Q - группа, рассматриваемая в теореме 5 . Предположим, что в группе С условие 7.4 не имеет места. Тогда п. = 4 , и выполняется случай /3/ формулировки теоремы 5 . Доказательство. Выберем такие два 2 3 -элемента , , чтобы группа И = х, t являлась треугольной, содержащей f -элемент и , жорданова форма которого cka-g. ( , Ею.- ) Ввиду п.б.5 и леммы 8.1 нам достаточно показать, что для любого J)3 -элемента z , сдвигающего пространство \/н группа Нл = И, является 4-мерной. Из 7.2 следует, что для любого / -элемента иьН выполняется равенство Vu = VH . Поэтому х. Vu = Иа , и, ввиду предложения 7.3 , группа НА не приводится к треугольному виду.
Рассмотрим Н1-модуль \/ . Предположим, что все факторк композиционного ряда Н -модуля I/ одномерные, за исключением одного, размерность которого равна двум или трем. Покажем, что такой случай не может иметь места. Действительно, рассмотрим отображение р из предложения 7.5 . Тогда э -элемент и б\-\ лежит в ядре кал. у отображения У . Поэтому группе и}ху будет приводиться к треугольному виду, что противоречит предложению 7.3 .
Перейдем теперь к перебору возникающих случаев. Ясно, что размерность пространства VH равна четырем или пяти. - 60 Пусть си-гк VH± = 5 . Ввиду вышесказанного, выполняется неравенство с& ( VHL A l/HlJ 1. Если скупіУн ії V % І , то, не ограничивая общности, можно считать, что HL &L{6 F) Рассмотрим отображение f: НІ — SL{ , F) . Так же, как и в предложении 7.8 отображение f является изоморфизмом. Если группа ч {НІ.) является неприводимой, то предложение 7.8 будет противоречить условию cLL\r \ VHX - 5 . Поэтому, ввиду предложения 7.5 , мы можем предполагать, что размерности композиционных факторов группы (Нх) равны 2,2. Ясно, что в этом случае группа НІ содержит центральную инволюцию, поэтому (Иг 1//-/І = = S Предположим, что \/н4ЛИНі= 0 . В этом случае, при рассмот рении группы Hi , можно ограничиться 5-мерным простран ством. Ввиду 6.5 можно считать, что группа Ht приводима. Ввиду предложений 7.8 , 7.5 можно считать, что размерности композиционных факторов Hi -модуля V равны 3 и 2 .
Тогда I3 -элемент w из группы Н на трехмерном блоке действует нетривиально, поскольку М. Vu, = 3 . Элемент -на обоих блоках является псевдоотражением. Поэтому из работы X_l\ следует, что ограничение группы Н1 на трехмерный блок содержит группу SL(3, Fi) или SU{3, F±) , Силове кие р -подгруппы групп SL{3t Ft) , (s(.3y Fi) не являются абелевыми, что противоречит предложению 3.1.3 . Итак, предположение о том, что dU-гк У Hi = 5 приводит к противоречиям.
Предположим, что dim VHi = 4 . Так же, как и в случае JUKI VH,. = 5 , можно считать, что VHxf)VH±= 0 . Не ограничивая общности, можно предполагать, что Hi = SLiS, F) . Рассмотрим отображение Ч: НІ — L(4, Г) . Ясно, что f - изомор - 61 физм. Пусть группа чЧИ«) приводима с размерностями композиционных факторов 2,2. Тогда мы сможем выбрать центральную инволюцию в группе Нх , жорданова форма которой oU.a. .( } і) . Поэтому можно предполагать, что Ht SL(4,F) , и предложение 3.2 приводит к противоречию.
Итак, группа Ч (НІ) - неприводима. Тогда из предложения 7.8 следует, что группа Их является 4-мерной, что и требовалось доказать. Итак, в дальнейшем при доказательстве теоремы 5 можно считать, что условие 7.4 выполняется. Рассмотрим возможности для группы Н = х, & , где х - некоммутиру-ющие 3 з -элементы группы G- . Ввиду предложения 7.6 порядок группы Н не делится на / - с ал , поэтому при анализе группы И можно считать, что Н -SL (4, С) % j) -подгруппы группы Ц4, .) описаны в п.п.6.1 , 6.2 , 6.3 , 7.1 , 7.7 . Пусть z VH = VH . Если cUm VHl = 5 , то тогда 3 z 6 z И І # Если же oCci i VH! = 4 , ТО предложение 7.7.1 приводит к противоречию. Пусть ofay VHJ = 3 . Если z Н , то ясно, что dzS И , если же х 4 И , то группа Mi будет 3-мерной группой, не изоморфной ни Ач , ни Рз . Ввиду 10.2 выполняется неравенство и- 4 . Итак, z \/н ф Уи . Если Ht является группой типа /а/ из п.10.2 , то, поскольку ограничение элемента Z на 4-мерное подпространство является псевдоотражением, записываемым диагональной матрицей в базисе импримитивности группы Hd , выполняется включение (?Z 3 НІ Пусть Hi - 4-мерная группа. Так как п. 4 , то из предложения 10.3 следует, что Н4 изоморфна группам As , Cf, (3,2, ) , ,(3,3,4) . Покажем, что всегда найдется такое отражение & GL(n, F) , что 1/г Vi-it , и 2" & ЛҐ{НІ) # Действительно, группы f( 3,3, 4) и (,(3, 3,4) по определению являются мономи-альными, поэтому требуемое отра}кение " найдется. Группа As-имеет единственное представление степени 4 , а группа .$-два представления степени 4 [і] , одно из которых порождается отражениями. Покажем, что отражение " можно выбрать так, чтобы ГЙЖ(Н) и г 4 с (и) . дЛя групп /, (л, 2 ь) и 6/.(3,3,4} это ясно. Для группы As последнее утверждение следует из того, что количество подгрупп, изоморфных группе А4 , - нечетное число. - 66 Так как Z б м(н) , то ctlr»V H, г = 3 . Поскольку с С(Н) , то Н, z = S . Так как группа S имеет единственное представление степени 3 , содержащее отражения [і] , ТО можно добиться , чтобы Z = С?
Пусть Н = Ае . Группа А6 имеет два представления степени 5 [30] . Группа S6 имеет четыре представления степени 5 [ I] . Из таблицы характеров группы [1 ] видно, что эти четыре представления разбиваются на две пары, в которых подгруппа А б имеет одинаковые представления. Из той же таблицы характеров группы -S« видно, что одно представление из каждой пары порождается отражениями.
