Введение к работе
Актуальность темы. В настоящее время теория групп является одним из самых развитых разделов алгебры, имеющим многочисленные приложения как в различных областях математики, так и за ее пределами.
Одно из наиболее актуальных направлений исследований в теории групп определяется различными вопросами о каноническом представлении элементов группы и ее подмножеств тем или иным эффективным способом. Это определяет связь теоретико-групповых проблем с проблемами теории формальных языков.
Комбинаторная теория групп, основы которой изложены в монографиях Магнуса, Карраса, Солитера , Линдона, Шуппа , связана с представлениями групп через порождающие элементы и определяющие соотношения. Особое значение в ней придается конечным представлениям и соответственно конечно определенным группам. Многочисленные примеры таких групп представлены в книге Коксетера, Мозера . Исторический обзор содержится в очерке Чандлера . При данном подходе выделяются группы, допускающие нормальные формы элементов, эффективные переписывающие процессы и т.п.
Группы также могут задаваться порождающими элементами в некоторых известных группах - матричных, фундаментальных группах топологических пространств, группах, действующих на деревьях, группах автоморфизмов групп или других алгебраических структур и т.п. Подмножества свободного моноида называется языками. Среди них выделяются, например, регулярные (рациональные) языки и их различные обобщения. Классическая теория полугрупп исследует регулярные множества и конечные автоматы. Теорема Клини устанавливает связь между этими понятиями. См. по этому поводу монографии Айленберга , Харрисона , Ревеса , Карпова .
Данное направление получило также свое теоретико-групповое развитие. Во многом этому способствовали известные лекции Гилмана .
1 Магнус В., Каррас Л., Солитер Д. Комбинаторная теория групп//М.: Наука, 1974. 2ЛиндонР., ШуппП. Комбинаторная теория групп//М.: Мир, 1980.
3 Coxeter H.S.M., Moser W.O.J. Generators and relations for discrete groups// Springer-Verlag, New
York - Heidelberg, 1972.
4 Чандлер Б., Магнус В. Развитие комбинаторной теории групп// Очерк истории развития идей.
М. Мир, 1985.
5 Eilenberg S. Automata, Languages, and Machines, A and B// New York: Academic Press, 1974.
6 Harrison H. Introduction to Formal Language Theory// Addison-Wesley Reading, MA., 1979.
7 Revesz G. Introduction to Formal Languages II McGraw Hill, New York, 1983.
8 КарповЮ. Г. Теория автоматов// СПб.: Питер, 2002.
9 Oilman R.H. Formal Languages and Infinite Groups// DIMACS Series in Discrete Mathematics and
Theoretical computer science, AMS. - 1996, v. 25, 27-51.
В теоретико-групповом контексте одним из подходов является рассмотрение формальных языков вместе с гомоморфизмами в группы. В частности, одна из известных задач - нахождение формальных языков из некоторого класса (например, рациональных), которые отображаются на группу биективно. С другой стороны, рациональные множества можно рассматривать непосредственно в группах, являющихся частным случаем моноидов. Подобные исследования представляют самостоятельный интерес. Укажем, например работы .
В настоящей работе изучаются положительные элементы свободных абелевых групп и группы Гейзенберга, а также рациональные подмножества разрешимых групп. Понятия положительного и потенциально положительного элемента свободной группы дано А. Мясниковым, В. Шпильрайном в известном сборнике нерешенных проблем теории групп - «Open problems in combinatorial and geometric group theory» . Нами рассматривается естественное обобщение этих понятий на произвольные группы. Мы также несколько изменили терминологию, говоря об элементах положительных относительно данной системы порождающих элементов и положительных элементах.
Основными результатами в этой части работы является критерий одновременного приведения к положительному виду конечного набора элементов свободной абелевой группы и описание положительных элементов группы Гейзенберга. Заметим, что группа Гейзенберга (свободная нильпотентная группа ранга 2 ступени нильпотентности 2) достаточно известна не только в математике, но и в физике. Группа Гейзенберга и ее обобщения используются в алгебраической геометрии, квантовой механике, ей посвящены специальные статьи и монографии.
Вторая часть работы связана со следующей гипотезой В. А. Романькова.
Гипотеза. Если в конечно порожденной разрешимой группе G все
Bazhenova G. A. Rational sets in polycyclic groups// Международная конференция "Комбинаторные и вычислительные методы в математике". - Омск, 1999, 76-81. Herbst Т., Thomas R.M. Group presentations, formal languages and characterizations of one-couter group//Theoret. Comput. Sci. v. 112, 1993, 187-213.
Kambites M., Silva P. V., and Steinberg B. On the rational subset problem for groups II Journal of Algebra, 309, 2007, 622-639.
Roman'kov V. A. On the occurrence problem for rational subsets of group// Международная конференция "Комбинаторные и вычислительные методы в математике". - Омск, 1999, 235 - 242. Недбай М.Ю. Некоторые свойства рациональных множеств в группах// Международный семинар по теории групп. - Екатеринбург, 2001, 158-160.
Недбай М.Ю. О высоте рациональных подмножеств в группах// Вестник Омского университета. Вып. 4. - Омск: Изд-во ОмГУ, 2000, 11-13.
11 Baumslag G., Myasnikov A. G., Shpilrain V. Open problems in combinatorial group theory, second edition, from: "Combinatorial and geometric group theory (New York, 2000/Hoboken, NJ, 2001)", II Contemp. Math. 296, Amer. Math. Soc, 2002, Problem F34. 1-38.
рациональные подмножества образуют булеву алгебру, т.е. замкнуты относительно теоретико-множественных операций объединения (это всегда выполняется по определению), пересечения и дополнения, то группа G почти абелева, т.е. содержит абелеву подгруппу конечного индекса.
Заметим в этой связи, что в любой конечно порожденной почти абелевой группе все рациональные подмножества булеву алгебру образуют. То же самое можно сказать о свободных моноидах и свободных группах. Г.А. Баженова доказала, что класс групп с отмеченным свойством замкнут относительно свободных произведений и конечных расширений. Однако в классе конечно порожденных разрешимых групп все известные примеры групп с этим свойством почти абелевы. Г.А. Баженова установила в своих работах , что любая нильпотентная, полициклическая, метабелева группа с этим свойством почти абелева. Она также доказала, что конечно порожденные разрешимые группы конечного ранга с этим свойством почти абелевы. В целом, однако, гипотеза В. А. Романькова остается открытой.
В работе рассмотрены конечно порожденные матричные группы и нильпотентные расширения абелевых групп. Для них доказаны теоремы, аналогичные теоремам Г.А. Баженовой. Также рассмотрены рациональные подмножества 4-порожденной прямоугольной группы Коксетера.
Основной целью работы является изучение положительных элементов и рациональных подмножеств в группах.
Методика исследования ориентирована на использование методов теории групп и теории определяющих соотношений, а также теорию конечных автоматов.
Научная новизна. Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми.
Перечислим основные результаты диссертации в порядке появления их в работе:
1. Найдены необходимые и достаточные условия одновременного приведения набора элементов свободной абелевой группы Ап
12 Баженова Г. А. О рациональных множествах в разрешимых группах. Кандидатская
диссертация//Омск: ОмГУ, 1999.
13 Bazhenova G. A. Rational sets in polycyclic groups// Международная конференция
"Комбинаторные и вычислительные методы в математике". - Омск, 1999, 76-81.
Баженова Г. А. Замкнутость одного класса групп относительно свободного произведения// Сиб.
матем. журн., 2000, 4, №41, 740-743.
Баженова Г. А. О регулярных множествах в группах// Kurosh Algebraic Conference '98, МГУ,
Москва, 1998, 137-138.
Баженова Г. А. О рациональных множествах в конечно порожденных нильпотентных группах//
Алгебра и логика. №.4, №39, 2000, 379 -394.
(векторного пространства Q" или R")k положительному виду.
2. Описаны положительные элементы группы Гейзенберга.
3.Доказано, что если в прямом произведении конечно порожденной разрешимой группы G с бесконечной циклической группой Z все рациональные подмножества образуют булеву алгебру, то группа G почти абелева.
Доказано, что если в конечно порожденной группе G, являющейся матричной группой или нильпотентным расширением абелевой группы, все рациональные подмножества образуют булеву алгебру, то группа G почти абелева.
Доказано, что рациональные подмножества 4-порожденных прямоугольных групп Коксетера образуют булеву алгебру.
Теоретическая и практическая значимость. Основные результаты диссертации носят теоретический характер и могут найти применение в дальнейших исследованиях рациональных подмножеств в группах.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на международной конференции «Алгебра и математическая логика», посвященной 100-летию со дня рождения В.В. Морозова (г. Казань, 2011 г.), а также на Омском алгебраического семинаре.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в пяти работах ([1] - [5]).
Структура работы. Диссертация изложена на 66 страницах, состоит из введения, двух глав и списка литературы. Главы разбиты на параграфы, структурированные по пунктам. В работе принята следующая нумерация основных структурных единиц. Все определения и замечания имеют сквозную нумерацию. Также сквозную нумерацию имеют все теоремы, леммы. Каждая глава диссертации начинается с предварительного параграфа, где вводятся основные определения. Список литературы содержит 36 наименований.
