Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Асимптотическая плотность рациональных множеств свободных абелевых групп 18
1.1 Асимптотическая плотность 18
1.2 Рациональные множества в коммутативных моноидах 21
1.3 Основной результат 24
Глава 2. Случайные системы уравнений над свободными абелевыми группами 27
2.1 Уравнения над группами 27
2.2 Уравнения над абелевыми группами 30
2.3 Системы, разрешимые в Qm 31
2.4 Точки решеток в выпуклых многогранниках и квазиполиномы Эрхарта 34
2.5 Системы, разрешимые в Ъш 41
Глава 3. Разрешимость регулярных уравнений в классе нильпотентных групп 49
3.1 Уравнения над нильпотентными группами 49
3.2 Уравнения над конечными р-группами, способы присоединения корней и переход к матричным группам 53
3.3 Регулярные уравнения над UT3(Fp) 55
3.4 Присоединение корней к UTn(Fp) 59
3.5 Регулярные уравнения над UTn(Fp) 71
Заключение 77
Литература
- Рациональные множества в коммутативных моноидах
- Уравнения над абелевыми группами
- Точки решеток в выпуклых многогранниках и квазиполиномы Эрхарта
- Уравнения над конечными р-группами, способы присоединения корней и переход к матричным группам
Рациональные множества в коммутативных моноидах
Стратификацией счетного множества Т называется последовательность {Tr}rN непустых конечных подмножеств Тг таких, что IJrGN- = - - Стратификации обычно задаются с помощью функций длины. Функция длины на Т — это отображение / : Т — N такое, что для каждого г Є N множество {х Є Т l(x) = г} конечно. Стратификации по сферам и шарам образованы соответственно сферами Sr = {х Є Т \ l(x) = г} и шарами Вг = {х Є Т 1{х) г}.
Операции объединения, произведения и порождения подмоноида вместе с соответствующими ограничениями из условий (3UR)-(5UR) называются однозначными рациональными операциями. Для коммутативных моноидов будем использовать аддитивную запись. Так в (4R) и (4UR) вместо XY будем писать X + Y. Подмножество вида X = а + Б где а Є М, В С М, В конечное, называется линейным. Здесь и далее под а + В мы понимаем {а}+ . Если В — свободный коммутативный моноид с базисом В (т. е. элементы В линейно независимы), то X называется простым. Если В = {&!,..., 6Г}, то каждый элемент ж Є X может быть записан в виде х = а + пі&і + + nr6r, где П Є N. Если X простое, то щ,... ,пг определяются единственным образом. Конечное объединение линейных множеств называется полулинейным. Конечное дизъюнктное объединение простых множеств называется полупростым. Очевидно, каждое полулинейное множество является рациональным и каждое полупростое множество является однозначно рациональным. Обратное также верно.
Предложение 1.2.1 ( [28]). Любое рациональное (однозначно рациональное) подмножество коммутативного моноида М является полулинейным (полупростым).
Доказательство. Пусть и обозначают классы полулинейных и полупростых множеств соответственно. Очевидно удовлетворяет условиям (1R)-(3R) и удовлетворяет условиям (1UR)-(3UR). Пусть далее x = \J(ai + Bt), у = Ute+ ;), (1.2) где объединения и множества Д;, Dj конечные. Тогда х+Y = U +CJ) + и DJ) ] () откуда следует, что X + Y полулинейное. Если в (1.2) X и Y полупростые и сумма X + У однозначна (в смысле условия (4UR)), то объединение в (1.3) дизъюнктное и соответствующие множества в объединении простые. Значит X + Y полупростое. Таким образом, и удовлетворяют условиям (4R) и (4UR) соответственно. Далее заметим, что X = Е , где Е = \J[{at} U Вг]. Поэтому X Є и удовлетворяет условию (5R). Пусть в (1.2) X полупростое и X — базис свободного подмоноида X моноида М. Так как М коммутативный, то X является одноэлементным множеством, поэтому X простое. Следовательно удовлетворяет условию (5UR). Известно, что в свободных моноидах рациональные множества являются однозначно рациональными. Это свойство было доказано Эйленбергом и Шют-ценбергером для коммутативных моноидов.
Из теоремы 1.2.2 и утверждения 1.2.1 следует, что любое рациональное подмножество R свободной абелевой группы Ъп конечного ранга п является полупростым, т. е. конечным дизъюнктным объединением простых множеств
Подгруппы в Zn являются частным случаем рациональных множеств. Если Н Ъп конечного индекса, то Н — n-мерная решетка с определителем d{H) = \Еа : Н], поэтому, в соответствии с (1.1), і=\ г=\ Таким образом, для вычисления асимптотической плотности рациональных подмножеств достаточно уметь вычислять асимптотическую плотность свободных коммутативных моноидов. Лемма 1.3.1. Пусть В С Ъп — свободный коммутативный моноид с базисом {&!,...,&&}; тогда для любого 1 р оо существует рр(В ) и рр(В ) О тогда и только тогда, когда k = п.
Часто уравнением также называют только левую часть (2.1). При такой трактовке свободное произведение Gx = G F(X) может рассматриваться как пространство всех уравнений от неизвестных X над G. Предполагается, что п 1, и если ij = ij+i,i. + Є{.+1 = 0, то gj+\ = 1. Также предполагается, что если д\ = 1 и %\ = іп: то єі + єп ф 0. Если последнее не так, то сопряжением обеих сторон уравнения (2.1) на хе-х осуществляется переход к эквивалентному уравнению меньшей длины. В частности, исключается из рассмотрения случай, когда и сопряжен с элементом из G. Для любого положительного к через Xk обозначается подмножество в X, состоящее из жі,...,ж&. Свободное произведение Gxk = G F(Xk) есть пространство всех уравнений над G от к неизвестных.
Если группа G является подгруппой группы G, то уравнение (2.1) можно рассматривать также как уравнение над G.
Говорят, что уравнение (2.1) разрешимо в группе G, если существуют элементы hi,..., hk Є G такие, что u(hi,..., hk) = 1 — верное равенство. Набор таких элементов hi,..., hk называется решением уравнения (2.1) в группе G. Если такого набора не существует, то уравнение (2.1) называется неразрешимым в группе G.
Уравнение (2.1) называется разрешимым над группой G, если существует надгруппа Н G и элементы h\,..., hk Є Н такие, что u(h\}..., hk) = 1 — верное равенство. Набор таких элементов h\,..., hk называется решением уравнения (2.1) в группе Н. Если такой надгруппы и такого набора элементов не существует, то уравнение (2.1) называется неразрешимым над G.
Обозначим SATu(G k) С Gxk — множество всех уравнений с к неизвестными над группой G, разрешимых в надгруппе Н G (от англ. satisfiable — разрешимый). Вместо SATQ(G, к) будем писать просто SAT(G,k).
Уравнения над абелевыми группами
Вербальное произведение называется также просто В -произведением. Если В — многообразие всех групп, то V(A) является тривиальной подгруппой и соответствующее вербальное произведение совпадает со свободным. Если В = 21 многообразие всех абелевых групп, то У {А) является коммутантом свободного произведения А и содержит декартову подгруппу, значит, вербальное произведение совпадает с прямым произведением.
Важным вопросом является выбор подходящего пространства уравнений над данной группой G. Пусть Q — некоторый класс групп, к которому принадлежит группа G. Можно поставить вопрос о разрешимости уравнения (2.1) в некоторой надгруппе Н Є Q: содержащей G. Будем говорить об этом как о разрешимости уравнения (2.1) над группой G в классе Q. Важным оказывается случай, когда Q — многообразие групп. Пусть V — множество тождеств соответствующих Q. Если V(F(Xk)) — вербальная подгруппа свободной группы F(Xk) с базисом Хк = {жь... ,хк}, то Fg(Xk) = F(Xk)/V(F(Xk)) — свободная группа многообразия Q ранга к. В качестве множества свободных порождающих (базиса) группы Fg(Xk) будем рассматривать естественные образы элементов xi,... ,хк в Fg(Xk). Для упрощения записи мы сохраняем для этих элементов их обозначения. При исследовании разрешимости уравнения (2.1) над группой G Є Q в многообразии , левую часть уравения (2.1) естественно рассматривать как элемент -произведения G gFg(X} ) группы G со свободной группой Fg(Xk) многообразия Q с базисом Х . В этом случае -произведение Gxk{Q) = G gFg(Xk) есть пространство всех уравнений над G от к неизвестных относительно Q.
Как следует из параграфа 2.1, исследуя разрешимость уравнений над группой Zm в многообразии всех абелевых групп, в качестве пространства уравнений ествественно рассматривать прямое произведение Zm х A(Xj ) — Ът+к группы Zm и свободной абе левой группы А(Х} ) с базисом Х . Тогда в качестве пространства Gxk,n всех систем из п уравнений из Gxk естественно рассматривать zn(m+k\ Через SAT#(G, &,п) обозначим множество всех систем из Gxk,m разрешимых в надгруппе Н G. Вместо SAT G{G, к,п) будем писать просто SAT(G,k,n).
Далее, как это принято в дискретных группах, мы будем использовать асимптотическую плотность для измерения некоторых подмножеств в Z п, в частности SATQm(Zm,A;,n) и SAT(Zm, к,п).
Заметим, что в системе (2.4) различные координаты неизвестных независимы друг от друга, поэтому справедлива следующая очевидная Лемма 2.2.1. Система уравнений АХ = В вида (2.4) разрешима в Zm(Qm) тогда и только тогда, когда система Ах = Вь разрешима в Z(Q) для любого г = 1,..., т, где Вь — г-й столбец матрицы В.
В данном параграфе мы вычислим асимптотическую плотность множества SATQm(Zm, k,n) всех систем вида (2.4) разрешимых в Qm. При этом мы ограничимся рассмотрением асимптотической плотности относительно равномерной нормы оо Евклидова пространства, которую будем обозначать просто р вместо POQ. Далее будем опускать норму при обозначении шаров в Евклидовом пространстве, т. е. Bf обозначает Bfar.
Согласно теореме Кронекера-Капелли система линейных диофантовых уравнений Ах = 6, где А є Жпк,Ь Є Zn, разрешима в рациональных числах тогда и только тогда, когда rank (А) = гапк(Л6). Приведем основной результат из [41], где исследуется асимптотика целочисленных матриц фиксированного ранга. Обозначим систем AX = В вида (2.4) при n k. Все системы в S\ разрешимы в поэтому справедливо влючение Si С SATQm(Zm, k,n). Рассмотрим проекцию 7Гі : Zn(fc+m) — . Znk, заданную формулой тгі(А\В) = А. Заметим, что систем АХ = вида (2.4) при п к: где i — первый столбец матрицы В. По лемме 2.2.1 разрешимость системы АХ = В в Qm влечет разрешимость системы Ах = i в Q, откуда следует, что rank(A i) к + 1, так как п к. Поэтому справедливо влючение SATQm(Zm, к,п) С S2. Рассмотрим проекцию 7г2 : Zn(fc+m) - Zn(fc+1), заданную формулой тг2(А\В) = (A\Bi). Заметим, что
Точки решеток в выпуклых многогранниках и квазиполиномы Эрхарта Приводимые в данном параграфе результаты оказываются полезными при вычислении асимптотических плотностей некоторых множеств в свободных абе-левых группах. Для t Є N и S С М.п множество tS = {tx. х є S} называется t-расширением множества S. Размерностью S называется размерность подпространства {х + А(у-х)х,ує5,Ае1}, порожденного S. Если размерность S равняется к: будем называть S -мерным и писать dim S = к. Выпуклым многогранником V в M.d называется пересечение конечного числа замкнутых полупространств, т. е. V = {х є W1 Ах &}, где А є Rmd, b є Rm. Конусом К, С Мп, порожденным векторами wi,..., wm называется множество вида /С = cone(wi,..., wm) = {CKIWI + + aTOwm a,, 0, ( Є К}. Если все вершины многогранника V являются точками решетки Л, то будем называть V многогранником решетки Л. Многогранники решетки И1 будем называть целочисленными многогранниками.
Рациональным многогранником будем называть многогранник, все вершины которого имеют рациональные координаты. В этом случае знаменателем V будем называть наименьшее р Є Z+, при котором pV является многогранником решетки IIі.
Классическим вопросом является изучение величины {tS П Zd} как функции от t для подмножеств S С M.d Евклидова пространства. Для рациональных многогранников основы изучения этого вопроса были заложены в 1960-х годах французским математиком Юджином Эрхартом. Подробное изложение приводимых далее результатов содержится в [19] (см. также [12]).
Точки решеток в выпуклых многогранниках и квазиполиномы Эрхарта
Если р — нечетное простое число, то группа ИТз( ) является свободной группой ранга 2 многообразия всех нильпотентных групп периода р ступени не больше, чем 2. В качестве базиса группы ИТз( ) можно взять любую пару элементов /, д группы ИТз( ), образы которых в фактор группе по коммутанту не лежат в одной циклической подгруппе. Последнее свойство выполнено тогда и только тогда, когда эти элементы f,g не перестановочны в группе \]Тз(р).
Заметим, что не всякое регулярное уравнение над группой UT3(Fp) имеет решение в конечной р-группе Н иТз(р) ступени нильпотентности 2. Пример 3.3.1. Уравнение над группой UT3(Fp) вида
Доказательство. Доказательство следует из обычных коммутаторных соотно шений. Следующая конструкция позволяет находить решения целого ряда уравнений над группой UT3(Fp) в большей конечной р-группе. Относительно расширений при помощи автоморфизмов см. [2].
Лемма 3.3.3. Пусть а}Ь — базис группы UT (p), р — нечетное простое число. Определим автоморфизм ф группы UT (p) отображением
Легко видеть, что порядок автоморфизма ф равен р. Тогда группа Н = иТз(р) X gp(0) является конечной р-группой ступени нильпотентности 3 следующей струкруты: 1. Пусть порождающие элементы упорядочены как ф b а. Все простые базисные коммутаторы, начинающиеся с (ф,Ь) равны 1, (ф,а) = b l, (Ь,а) 1. 2. Базисные коммутаторы веса 3 вида (b}a}a), (b}a}b), (Ь}а}ф), (ф,а,Ь), (ф,а, ф) равны 1. 3. Единственный нетривиальный базисный коммутатор веса 3 — это (ф,а,а) = (b l,a) = (а,Ь), он принадлежит центру группы Н. Доказательство. Напомним, что элементами группы Н являются пары ад: где а Є gp(0), д Є иТз(р), умножаемые по правилу ад а д = аа а (д)д . Непосредственно проверяется, что (ф,Ь) = ф{Ь 1)Ь = 1 и (ф,а) = ф{а 1)а = b la la = b l. Далее ф((а,Ь)) = ф(а 1Ь 1аЬ) = b la lb labb = b l(a,b)b = (a,b). Тогда (Ь,а,ф) = (а,Ь)ф((Ь,а)) = 1. Теорема 3.3.4. Пусть регулярное уравнение вида и{х) = 1 над группой иТз(р), р — нечетное простое число, записано в форме (3.4) и (q,s) = 1. Тогда такое уравнение р-разрешимо над группой UT (p). Доказательство. Пусть г = р г — экспонента уравнения, где к Є Z+ и нод(р,г ) = 1. Запишем уравнение в форме (3.4) где q,s Є UT3(Fp), w — произведение степеней коммутаторов веса 3 имеющих хотя бы одно вхождение ж, z — произведение коммутаторов веса 4 и более.
Так как (q,s) Ф 1, то элементы q,s составляют базис группы ИТз( ) — свободной группы ранга 2 многообразия всех нильпотентных групп периода р ступени нильпотентности не больше, чем 2. Более того, базис группы составляет любая пара элементов вида q, s(q, s) , t Є Z.
Тогда фР = 1 и следовательно фг = 1. Покажем, что при надлежащем выборе параметра мы получим решение х = ф уравнения (3.5) в группе Н = \]Тз(р)\ gp )- Структура группы Н описана в лемме 3.3.3. Единственным неединичным коммутатором веса 3 от порождающих ф s q является (ф, q, q) = (s l,q) = (q, s). Если элемент w содержит этот коммутатор в степени /, то полагаем t = I. Непосредственно проверяется, что при таком задании параметра t мы получаем решение х = ф уравнения (3.5) в группе Н:
Пусть даны рациональные числа A = {5\} , , Sn}, где Si Si+\, і = 1,..., п — 1. Обозначим через 21 ассоциативную алгебру над полем F с базисом {eSi,si+1 і = 1,... ,п — 1}. Умножение в 21 определяется равенствами:
Свяжем с элементом и взвешенный ориентированный граф Г (it), вершинами которого являются рациональные числа А, соединяемые ребром (а, /3) тогда и только тогда, когда (а,(3) Є supp(it). Пусть V — fS-иутъ (7 S) в графе Г(ІІ), т. е. путь из 7 в S. Весом ребра (а, (5) при этом будем считать коэффициент иа из канонической записи (3.6). Весом пути V будем называть величину w(V): равную произведению весов входящих в него ребер. Длина пути \V\ определяется как количество входящих в него ребер. Будем говорить, что элемент и Є 21 имеет длину / = /(it), если максимальная длина пути в графе Г (it) равна /. Очевидно тогда, что it/+1 = 0. Длина /(9JT) произвольного подмножества элементов 9JT С 21 определяется как sup{/(it) it Є 9JT}. Заметим, что /(21) = п — 1.
Способы присоединения корней к произвольным группам описывались в параграфе 3.2. В данном параграфе приводятся способы присоединения корней, специфичные для унитреугольных групп над простым конечным полем р. При этом, как и прежде, нас будут интересовать такие способы, которые не выводят за пределы класса конечных р-групп. Поскольку, согласно замечанию 3.2.2, любая р-группа изоморфна некоторой подгруппе унитреугольной группы над полем р: то можно сразу пытаться присоединять корни так, чтобы возникающая надгруппа также была унитреугольной группой над полем р.
Следующая лемма иллюстрирует возможный способ присоединения корней из трансвекций к группе UTn(Fp). Лемма 3.4.2. Пусть р — простое конечное поле порядка р. Уравнение над группой UTn(p) вида Fp; разрешимо в некоторой надгруппе, изоморфной UTm(p), где т = п + ps — 1. Доказательство. Положим для краткости q = ps. Хорошо известно, что группа \JTn(p) порождена трансвекциями вида +і, і = 1,...,n — 1. Вставим между і и j последовательность из q — 1 чисел оц Є Q \ N так, что
Заметим, что НІ UTn_i(Fp), і = 1,... , g, и элементы из 77 коммутируют с элементами из Hi при к ф\. Положим Н = Hi х х Hq и D(H) — диагональная подгруппа Я, тогда D(H) UTn_i(Fp). Рассмотрим в FRTO подгруппу VK, состоящую из матриц, у которых ненулевые элементы находятся в первой строке только в позициях kq + 1, к = 0,..., п — 1. Легко видеть, что W FR . Возьмем полупрямое произведение Р = И/Х1)(Я), где элемент (hi,..., hq) Є D(H) действует на w Є VK как /ig действует на if. Тогда Р FRn X UTn_i(Fp) UTn(Fp). Очевидно, базисом Р являются образы cj)(tij+i), і = 1,..., n — 1, указанные в (3.10). Таким образом, (3.10) действительно вложение. Пример 3.4.4. Пусть п = р = q = 3, тогда образом элемента
Уравнения над конечными р-группами, способы присоединения корней и переход к матричным группам
Свяжем с элементом и взвешенный ориентированный граф Г (it), вершинами которого являются рациональные числа А, соединяемые ребром (а, /3) тогда и только тогда, когда (а,(3) Є supp(it). Пусть V — fS-иутъ (7 S) в графе Г(ІІ), т. е. путь из 7 в S. Весом ребра (а, (5) при этом будем считать коэффициент иа из канонической записи (3.6). Весом пути V будем называть величину w(V): равную произведению весов входящих в него ребер. Длина пути \V\ определяется как количество входящих в него ребер. Будем говорить, что элемент и Є 21 имеет длину / = /(it), если максимальная длина пути в графе Г (it) равна /. Очевидно тогда, что it/+1 = 0. Длина /(9JT) произвольного подмножества элементов 9JT С 21 определяется как sup{/(it) it Є 9JT}.
Заметим, что группа G(2l) изоморфна группе всех верхних унитреуголь-ных матриц UTn(F) над полем F размера п. Подгруппе Gi соответствуют унит-реугольные матрицы, у которых первые і — 1 побочных диагоналей нулевые.
Далее в качестве поля F будем рассматривать простое конечное поле р порядка р.
Способы присоединения корней к произвольным группам описывались в параграфе 3.2. В данном параграфе приводятся способы присоединения корней, специфичные для унитреугольных групп над простым конечным полем р. При этом, как и прежде, нас будут интересовать такие способы, которые не выводят за пределы класса конечных р-групп. Поскольку, согласно замечанию 3.2.2, любая р-группа изоморфна некоторой подгруппе унитреугольной группы над полем р: то можно сразу пытаться присоединять корни так, чтобы возникающая надгруппа также была унитреугольной группой над полем р.
Следующая лемма иллюстрирует возможный способ присоединения корней из трансвекций к группе UTn(Fp). Лемма 3.4.2. Пусть р — простое конечное поле порядка р. Уравнение над группой UTn(p) вида где нод(р,г) = 1, s Є Z+; і, j = 1,..., n,i j, 7 Є Fp; разрешимо в некоторой надгруппе, изоморфной UTm(p), где т = п + ps — 1.
Доказательство. Положим для краткости q = ps. Хорошо известно, что группа \JTn(p) порождена трансвекциями вида +і, і = 1,...,n — 1. Вставим между і и j последовательность из q — 1 чисел оц Є Q \ N так, что Относительное расположение чисел оц и уже имеющихся между і и j индексов і + 1,..., j — 1 не имеет существенного значения, но для определенности можно полагать
Описанный способ, однако, не позволяет присоединить корень из произвольного элемента группы UTn(Fp), что обусловлено типом используемого вложения (3.8). Его можно обобщить следующим образом. Пусть UTn(Fp) = (U,i+i І і = 1,... ,n — 1), m пи 1 = k\ hi kn = m — последовательность целых чисел. Обозначим через трансвекцию в группе UTTO(Fp). Очевидно, что отображение
Заметим, что НІ UTn_i(Fp), і = 1,... , g, и элементы из 77 коммутируют с элементами из Hi при к ф\. Положим Н = Hi х х Hq и D(H) — диагональная подгруппа Я, тогда D(H) UTn_i(Fp). Рассмотрим в FRTO подгруппу VK, состоящую из матриц, у которых ненулевые элементы находятся в первой строке только в позициях kq + 1, к = 0,..., п — 1. Легко видеть, что W FR . Возьмем полупрямое произведение Р = И/Х1)(Я), где элемент (hi,..., hq) Є D(H) действует на w Є VK как /ig действует на if. Тогда Р FRn X UTn_i(Fp) UTn(Fp). Очевидно, базисом Р являются образы cj)(tij+i), і = 1,..., n — 1, указанные в (3.10). Таким образом, (3.10) действительно вложение. Пример 3.4.4. Пусть п = р = q = 3, тогда образом элемента
Пусть в обозначениях леммы 3.5.1 к х добавили элемент we1:s Є 21, w Є р. Это будет соответствовать тому, что в Г (it) вершины j и 6 соединили ребром (j,d) веса w. При этом к путям длины ps в Г (it) добавятся пути, проходящие через новое ребро (7? ) Следующая теорема позволяет находить решения целого ряда уравнений над унитреугольными группами в больших унитреугольных группах. Теорема 3.5.3. Пусть над группой UTn(p) дано регулярное уравнение giXeicj2Xe2... fjkXk = 1 с экспонентой центральный элемент в группе UTn(p), то уравнение разрешимо в некоторой надгруппе, изоморфной UTm(p), где т = (п — l)q + 1.
Положим для краткости G = UTn(Fp) и Н = UTm(p). В силу свойств вложения (3.10) iG С 7 , = 1,... ,п — 1. Будем рассматривать последовательно реплики уравнения (3.20) в факторах Н/ ІН, і = 2,... , m. При этом будем строить Х{ = 1 + щ Є Н такой, что его образ является решением соответствующей реплики в H/jiH. В итоге получим хт Є Н — решение уравнения (3.20). Заметим, что случаи і = 2,... ,q можно не рассматривать, т. к. решением соответствующих реплик будет Xi = 1. так как г»(жд+і) Є q+\H. Заметим, что в T{uq+\) гарантированно есть путь из «ід в п, проходящий через ребра, соответствующие порождающим (3.21) алгебры 21. Пусть построен ХІ = 1 + Ui Є Н такой, что его образ является решением реплики уравнения (3.20) в факторе Н/ Н. Тогда у матриц L(x{) = х\ и R(xi) = av(xi) первые і — 1 побочных диагоналей совпадают. Возможно матрицы L(xi) и R(x{) не равны по модулю ji+iH из-за различных коэффициентов при элементах вида еаф Є 21 \ 21 г+1\ соответствующих побочной диагонали с номером і. Всего имеется т — і таких элементов где (і\ (і і OLm-{. Для каждого еа.$. (j = m—i}... , 1) построим элемент yj Є 21 такой, что матрицы L(xi+yj + - +ym-i) и R(xi+yj + - -+ym-i) равны по модулю 7 Я и соответствующие коэффициенты при еа.,р.,еа.+ьр.+1,... , еат_.,рт_. совпадают. Пусть г/j+i,... ,ym-i (1 j т — і) уже построены. Обозначим wi,wr — коэффициенты при еа. . в L(xi + yj+i -\ \-ym-i) и R(xi+yj+i -\ Ь Ут-і) соответственно. В T(iii) есть путь V из некоторой вершины г (которая определяется однозначно по /) в /3j, проходящий по ребрам, соответствующим порождающим (3.21) алгебры 21. Положим yj = Wjea. T, где Wj определяется из формулы
