Содержание к диссертации
Введение
Часть 1. Отделимость подгрупп разрешимых групп в некоторых классах конечных групп 11
1.1. Классы ограниченных разрешимых и ограниченных нильпотентных групп 11
1.2. П-отделимость разрешимых подгрупп «So-аппроксимируемых групп 19
1.3. Отделимость и %'-изолированность 23
1.4 Отделимость подгрупп в нильпотентных группах 27
1.5. Отделимость нильпотентных подгрупп Л/о-аппроксимируемых групп 32
Часть 2. Отделимость циклических подгрупп обобщенных свободных произведений двух групп 36
2.1. Конструкция свободного произведения групп с объединенной подгруппой 36
2.2. Описание семейства AK(G) 43
2.3. Достаточные условия максимальности семейства A„(G) 51
2.4. jFn-отделимость циклических подгрупп в обобщенных свободных произведениях ограниченных разрешимых групп 59
2.5. Отделимость циклических подгрупп в обобщенных свободных произведениях ограниченных нильпотентных групп с циклическим объединением 63
2.6. Отделимость циклических подгрупп в обобщенных свободных произведениях ограниченных нильпотентных групп с нормальным объединением 69
Дополнение.
- П-отделимость разрешимых подгрупп «So-аппроксимируемых групп
- Отделимость нильпотентных подгрупп Л/о-аппроксимируемых групп
- Достаточные условия максимальности семейства A„(G)
- Отделимость циклических подгрупп в обобщенных свободных произведениях ограниченных нильпотентных групп с циклическим объединением
Введение к работе
О понятии отделимости подгрупп
Согласно общему определению [46] подгруппа Н группы G называется отделимой в классе групп JC, или, короче, ІС-отделимой, если для всякого элемента g є G\H существует гомоморфизм \/ группы G на некоторую /С-группу такой, что g\/ еНу. Отметим, что группа G аппроксимируема в классе К, тогда и только тогда, когда ее единичная подгруппа является /С-отделимой. Таким образом, понятие отделимости можно рассматривать как обобщение понятия аппроксимируемости.
Если класс К, гомоморфно замкнут, то имеет место более сильное утверждение: /С-отделимость нормальной подгруппы N группы G оказывается равносильной JC-аппроксимируемости фактор-группы GIN. Это замечание позволяет, в частности, свести описание /С-отделимых подгрупп абелевой группы к поиску критерия -аппроксимируемости. Однако в общем случае подобное сведение не может быть выполнено и, таким образом, изучение свойства отделимости подгрупп представляет самостоятельный интерес.
Понятие отделимости в произвольном классе групп впервые было введено А. И. Мальцевым. В работе [46] он указал на особую роль, которую играет отделимость в классе Т всех конечных групп, называемая по аналогии с аппроксимируемостью финитной. Им было установлено, что финитная отделимость данной подгруппы Н конечно определенной финитно аппроксимируемой группы G гарантирует существование алгоритма, распознающего принадлежность произвольного элемента из G подгруппе Н. Это означает, в частности, что любая конечно определенная финитно аппроксимируемая группа имеет разрешимую проблему тождества. Если же все подгруппы такой группы являются финитно отделимыми, то для нее оказывается разрешимой и проблема вхождения.
В настоящей работе рассматривается более тонкое свойство отделимости в классе ТЦ всех конечных я-групп, где л — некоторое непустое множество простых чисел.
Очевидно, что если подгруппа Н является "„-отделимой в группе (7, то все корни % -степеней, извлекающиеся в G из ее элементов, должны снова принадлежать Н (здесь и далее п обозначает множество всех простых чисел, не принадлежащих я). Подгруппу, обладающую этим свойством, называют к -изолированной в группе G.
Таким образом, если я отлично от множества всех простых чисел и если G содержит хотя бы один элемент, порядок которого не является Я-ЧИСЛОМ, то все подгруппы группы G уже заведомо не будут . „-отделимыми. Поэтому в качестве обобщения свойства финитной отделимости всех подгрупп данной группы имеет смысл рассматривать утверждение об „-отделимости всех я -изолированных подгрупп. Отметим, что это утверждение не следует, вообще говоря, из свойства "„-аппроксимируемости ни для какого множества простых чисел я (подробно этот вопрос обсуждается в § 1.3 части 1), и уже поэтому изучение его представляет определенный интерес.
Однако для выделения понятия "„-отделимости в качестве самостоятельного объекта исследования существуют, разумеется, и другие, более веские основания. Это понятие оказалось весьма полезным при изучении аппрокси-мационных свойств различных свободных конструкций групп. В качестве иллюстрации мы приведем два сравнительно новых результата, полученных в данном направлении.
Согласно К. Грюнбергу [15] класс групп К. называют корневым, если он замкнут относительно взятия подгрупп и конечных прямых произведений и если для любого субнормального ряда \ С В А такого, что A/BefC и В/Сє К, в группе А существует нормальная подгруппа D, лежащая в С, фактор-группа по которой снова принадлежит /С. Легко видеть, что корневыми являются, в частности, все классы Тъ независимо от выбора множества я.
Пусть теперь А и В — две изоморфные копии некоторой группы и а:А- В — изоморфизм. Пусть также Н — подгруппа группы А, К=На и отображение (р: Н- К получается ограничением на Н изоморфизма а. Д. Н. Азаров и Д. Тьеджо показали [39], что свободное произведение G=(A B; Н=К, (р) групп А и В с подгруппами Ни К, объединенными относительно изоморфизма Ф (определение этой конструкции приводится в § 2.1 части 2), аппроксимируется корневым классом К тогда и только тогда, когда группа А /С-аппроксими-руема и подгруппа Н является /С-отделимой в этой группе.
Другой пример касается конструкций свободного произведения двух групп с коммутирующими и централизованными подгруппами.
Напомним (см. [43, с. 230]), что если A v. В — некоторые группы, Н — подгруппа группы АиК — подгруппа группы В, то свободным произведением групп АиВ с коммутирующими подгруппами Ни К называется группа GMA B;[H,K\=\),
задаваемая всеми образующими и определяющими соотношениями групп А и В, а также соотношениями вида [h, k] = l, где элемент h пробегает подгруппу Н, а элемент к — подгруппу К.
Аналогичным образом определяется свободное произведение G2=(A B;[A,K] = l,[H,B] = l) групп А и В с централизованными подгруппами Ни К (там же, с. 231): эта группа задается образующими и определяющими соотношениями групп А и В и всеми соотношениями вида [а, к] = 1, [h, b] = 1, где аєА,кєК,пєН,ЬєВ.
Е. Д. Логинова в работах [40] и [41] показала, что если множество л состоит из одного числа или совпадает с множеством всех простых чисел и если группы А и В „-аппроксимируемы, то аппроксимируемость групп G\ и G2 классом ТЦ равносильна "„-отделимости в группах А и В подгрупп Н и ЛГ, соответственно.
Таким образом, вопрос об "„-аппроксимируемости указанных конструкций сводится к изучению "„-отделимых подгрупп свободных множителей.
В действительности, "„-отделимость связанных подгрупп очень часто выступает в качестве одного из достаточных (а иногда и необходимых) условий „-аппроксимируемости обобщенных свободных произведений групп, HNN-расширений и других свободных конструкций (см., напр., [5], [6], [48], значительное число результатов такого рода получено и в данной работе). Это обстоятельство является, пожалуй, одной из главных причин исследования свойства „-отделимости подгрупп в случае, когда % не совпадает с множеством всех простых чисел.
Краткий обзор рассматриваемых вопросов и полученных результатов В первой части работы изучается "„-отделимость подгрупп разрешимых групп.
Вопрос о том, при каких условиях все подгруппы разрешимой группы являются финитно отделимыми, был исследован А. И. Мальцевым все в той же статье [46]. Он рассмотрел определенный класс разрешимых групп, названных им ограниченными (определение и некоторые свойства этих групп приводятся в § 1.1), и показал, что все они имеют финитно отделимые подгруппы и при этом для разрешимых групп без кручения свойства ограниченности и финитной отделимости всех подгрупп равносильны. Класс ограниченных разрешимых групп мы будем обозначать символом S.
В § 1.2 получено частичное обобщение приведенного результата: установлено, что в группах, аппроксимируемых -группами без кручения, все «S-подгруппы (т. е. подгруппы, принадлежащие классу S), являются финитно отделимыми.
Далее естественно возникает вопрос о том, нельзя ли все эти результаты распространить на случай произвольного множества к. Оказывается, что сделать это в полном объеме невозможно. Так, даже для полициклических групп, которыми, как показано в §1.1, исчерпываются все конечно порожденные «S-группы, отсутствие я -кручения не гарантирует еще аппроксимируемости ко нечными я-группами (см. пример 1.3.8 из § 1.3).
Однако для несколько более узкого класса конечно порожденных нильпо-тентных групп указанный критерий имеет место [15]. Более того, известно, что в конечно порожденной нильпотентной группе все -изолированные подгруппы являются „-отделимыми при любом выборе множества я [38], [40]. Поэтому возникает идея попытаться распространить приведенные результаты на ограниченные разрешимые группы, являющиеся нильпотентными.
И это удается проделать. Класс всех таких групп мы будем называть классом ограниченных нильпотентных групп и обозначать символом N. В § 1.4 доказано, что все л -изолированные подгруппы 7V-rpynn являются -отделимыми, а в § 1.5, — что в группах, аппроксимируемых Л/ -группами без кручения, множество тс -корней из любой ЛЛподгруппы снова является Л подгруп-пой и при этом "„-отделимой. Последнее утверждение обобщает, в частности, известный результат о том, что в свободной группе все Tt -изолированные циклические подгруппы "„-отделимы [23], [38].
Во второй части изучается "„-отделимость подгрупп свободного произведения двух групп с объединенной подгруппой. Интерес к этой конструкции объясняется в числе прочего следующими двумя обстоятельствами.
С одной стороны, даже обычное свободное произведение двух групп с "„-отделимыми подгруппами не обязано обладать тем же свойством. В качестве примера достаточно рассмотреть свободную группу ранга 2. Она представляет собой свободное произведение двух бесконечных циклических групп, все подгруппы которых финитно отделимы, и в то же время содержит подгруппу, неотделимую в классе .77(см. пример 1.3.2 из § 1.3).
С другой стороны, некоторые свободные конструкции могут быть построены с использованием одного лишь обобщенного свободного произведения двух групп. К их числу относятся уже упоминавшиеся выше свободные произведения групп с коммутирующими и централизованными подгруппами, а также так называемое полигональное произведение четырех и более групп с тривиальными пересечениями.
Напомним, что если А„ і є Z„, и 3, — некоторые группы, Н-, и К( — такие тривиально пересекающиеся подгруппы группы Ah что для каждого і є Z„ подгруппа НІ изоморфна Км, и qv Щ- К-1+\ — фиксированные изоморфизмы, то полигональным произведением групп At с тривиальными пересечениями называется группа С=( Л,;Я,=К,+ьф;,/е2„), задаваемая образующими и определяющими соотношениями групп At и всеми соотношениями вида hi=ht(ph где элемент ht пробегает подгруппу Я, и / є Z„.
Как показывают работы [1], [20], [34], [42], достаточные условия финитной отделимости циклических подгрупп обобщенного свободного произведения двух групп играют ключевую роль в доказательстве аналогичных свойств перечисленных свободных конструкций.
Приведем теперь краткое описание известных результатов, касающихся отделимости подгрупп свободного произведения двух групп с объединенной подгруппой.
Прежде всего необходимо отметить, что систематическому изучению подвергалось только свойство финитной отделимости. Как известно, в свободной группе этим свойством заведомо обладают лишь конечно порожденные подгруппы [16], в то время как для остальных ситуация оказывается не однозначной. Поэтому и для свободных конструкций имело смысл искать достаточные условия финитной отделимости всех конечно порожденных подгрупп (для обозначения групп с финитно отделимыми конечно порожденными подгруппами в иностранной литературе используется термин Locally Extended Resi-dually Finite, сокращенно LERF, введенный P. Бернсом в [9]).
Некоторые наиболее важные положительные результаты, полученные в этом направлении, содержатся в работах [3], [4], [8], [12], [14]. Вместе с тем в [13] и [30] построен целый ряд примеров обобщенных свободных произведений групп, уже не обладающих свойством LERF, в то время как их свободные множители являются LERF-группами. В частности, существует пример свободного произведения двух конечно порожденных нильпотентных групп с циклическим объединением, содержащего конечно порожденную подгруппу, не являющуюся финитно отделимой [2].
Весьма продуктивным направлением оказалось также исследование финитной отделимости циклических подгрупп. Связано это с тем, что здесь можно использовать по сути те же самые методы, что и при изучении свойства финитной аппроксимируемости. Основополагающей в данной области является работа П. Стиба [32], в ней же введен термин «кс-группа» для обозначения групп с финитно отделимыми циклическими подгруппами.
Ввиду схожести методов естественно было ожидать, что многие обобщенные свободные произведения яс-групп, обладающие свойством финитной аппроксимируемости, в действительности окажутся лс-группами. Значительное число результатов такого рода содержится в работах [3] и [21] (см. также [34]). Тем не менее можно привести пример свободного произведения двух 7ис-групп с финитно отделимыми объединяемыми подгруппами, которое является финитно аппроксимируемой, но не 7ис-группой (см. пример 2.2.10 из § 2.2).
В отличие от случая финитной отделимости вопрос об -отделимости конечно порожденных подгрупп свободной группы остается пока открытым. Это обстоятельство вынуждает при изучении свойства -отделимости в свободных конструкциях групп ограничиться рассмотрением циклических подгрупп.
Для дальнейшего изложения нам будет удобно ввести специальное обозначение &п(Х) для семейства всех "„-отделимых и, следовательно, л -изолиро-ванных циклических подгрупп произвольной группы X. Также через Ап(Х) мы будем обозначать семейство всех я -изолированных циклических подгрупп группы X, не являющихся "„-отделимыми в этой группе.
Пусть группа G представляет собой свободное произведение групп А и В с собственными подгруппами Ни К, объединенными относительно изоморфизма ф. Очевидно, что если я -изолированная циклическая подгруппа группы А не является "„-отделимой в этой группе, т. е. принадлежит семейству Ап(А), то она не будет "„-отделимой и во всей группе G. Таким образом, семейство A„(G) заведомо содержит все подгруппы, сопряженные с подгруппами из объединения Дя(Л)иДя(2?). Однако совпадение, означающее максимальность семейства A„(G), не обязательно имеет место.
Поскольку формулировки большинства утверждений, полученных во второй части, достаточно громоздки, мы воздержимся от их цитирования и ограничимся лишь ссылками на номера теорем и следствий.
В § 2.2 найдено описание семейства An(G) при некоторых дополнительных ограничениях, накладываемых на группу G (теорема 2.2.2). Для читателей, знакомых с методикой Г. Баумслага [6] и ее расширением П. Сгиба [32], уточним, что это описание получено с использованием все той же идеи аппроксимируемости обобщенными свободными произведениями конечных групп, которую удалось распространить на случай произвольного класса Тт а упомянутое ограничение представляет собой ни что иное, как обобщение хорошо известного «фильтрационного условия» П Баумслага. Здесь же указан пример свободного произведения с объединенной подгруппой, семейство "„-отделимых циклических подгрупп которого не является максимальным (пример 2.2.10).
Следующий параграф содержит несколько достаточно общих условий максимальности семейства Ап((7). В формулировках этих условий фигурирует понятие регулярности группы по подгруппе, применявшееся рядом авторов при изучении аппроксимационных свойств обобщенных свободных произведений и HNN-расширений (обзор введенных ими терминов приводится сразу после нашего определения). Использование этого понятия помимо прочего способствует пониманию того, каким образом полученные утверждения могут быть адаптированы к другим классам групп и свободным конструкциям.
Дальнейшее рассуждение (§§ 2.4-2.6) осуществляется традиционным путем: на группы А и В, подгруппы Я и К и изоморфизм ф накладываются разнообразные ограничения, позволяющие применить то или иное условие из § 2.3. Наиболее жесткими эти ограничения оказываются для объединяемых подгрупп. Рассматриваются три основные ситуации: когда подгруппы Н и К являются конечными, циклическими (возможно, локально) и нормальными в группах А и В, соответственно. В качестве конкретных примеров реализации возникающих условий максимальности семейства A G), как правило, выступают обобщенные свободные произведения ограниченных разрешимых или нильпотентных групп, а также групп, аппроксимируемых «S-группами и ЛЛгруппами без кручения (см. следствия 2.4.8,2.5.5 и 2.6.5).
Отметим, что большая часть утверждений из §§ 2.4-2.6 касается случаев, когда к совпадает с множеством всех простых чисел или является одноэле ментным. Однако результаты, полученные для обобщенных свободных произведений jV-rpynn и групп, аппроксимируемых ЛЛгруппами без кручения, удается практически в полном объеме распространить на случай произвольного множества % (теоремы 2.5.8 и 2.6.7).
Заметим еще, что почти все утверждения из §§ 2.5 и 2.6 доставляют в том числе и новые условия "„-аппроксимируемости группы G.
Наконец, дополнение содержит своего рода иллюстрацию применения полученных результатов к некоторым конечно определенным группам. Рассуждения, используемые здесь, достаточно специфичны, и это послужило основанием для выделения данной части работы в отдельный раздел.
В § Д.1 рассматриваются группы вида
Gk=(a, с; схас=Д \к\ \, ( )
представляющие собой частный случай так называемых групп Баумслага-Со-литэра [7]. Напомним, что последние имеют представление где без потери общности можно считать, что & / 0, т.е. являются всевозможными HNN-расширениями бесконечной циклической группы.
Ограничение /= 1, принятое в данной работе, является достаточным (но не необходимым) условием финитной аппроксимируемости группы Gk, і [7], [26]. Кроме того, что более важно, оно позволяет ввести достаточно простую каноническую форму записи элемента группы Gk, используя которую удается подробно исследовать строение подгрупп этой группы.
В § Д.1 найдено описание финитно отделимых подгрупп группы Gk (теорема Д. 1.8). Здесь же доказано, что если п= {р} и если группа G „-аппроксимируема, то все ее д -изолированные подгруппы "„-отделимы (критерий аппроксимируемости группы Gk конечными/7-группами получен в работе [48]).
Далее предполагается, что % совпадает с множеством всех простых чисел или является одноэлементным. При этих ограничениях в § Д.2 установлено, что обобщенное свободное произведение G двух "„-аппроксимируемых групп вида ( ) в свою очередь является "„-аппроксимируемой группой тогда и только тогда, когда объединяемые подгруппы "„-отделимы в свободных множителях. При этом "„-аппроксимируемость группы G влечет за собой максимальность семейства A„(G). В частности, если %= {/ }, то все я -изолированные циклические подгруппы группы G оказываются „-отделимыми.
Для удобства читателя в конце работы приводится указатель используемых обозначений, как стандартных, так и введенных автором.
П-отделимость разрешимых подгрупп «So-аппроксимируемых групп
Теперь мы готовы перейти непосредственно к изучению свойства отделимости подгрупп. В этом нам поможет ряд понятий и обозначений, описанию которых посвящена первая половина данного параграфа. Пусть /С — некоторый класс групп, G — произвольная группа. Через 4 (G) будет обозначаться семейство всех гомоморфизмов группы G на группы из класса /С. В большинстве случаев, однако, рассуждения удобнее проводить с использованием семейства (G) ядер этих гомоморфизмов. Поскольку чаще всего К=Тп, для семейств 4?rx(G) и Q -ДСт) имеет смысл ввести упрощенные обозначения \Р„(G) и Q„(G), соответственно. Заметим, что ClK(G) — это просто совокупность всех нормальных подгрупп конечного л-индекса группы G. Однако запись «iVeQ„(G)» значительно легче выражения «нормальная подгруппа N конечного л-индекса группы G» как в написании, так и при прочтении, поэтому мы всюду отдаем ей предпочтение. Если 1 є /С, то для любой группы G семейство \(G) не пусто: ему принадлежит по крайней мере вся группа G. Это верно, в частности, для всех на следственных классов групп. Далее в этом параграфе всегда предполагается, что класс /С содержит единичную группу. Предложение 1.2.1. Если класс /С замкнут относительно взятия подгрупп и прямых произведений конечного числа сомножителей, то пересечение конечного числа подгрупп из семейства Cl G) снова принадлежит этому семейству. Доказательство. В самом деле, пусть подгруппы Nx,Ni Nt принадле жат семейству n G). Тогда по теореме Ремака фактор-группа G /fl =i Nt вкла дывается в прямое произведение /С-групп GINi и ввиду условий, наложенных на класс /С, сама оказывается /С-группой. Это как раз и означает, что NinN2n...n Пусть /С — произвольный класс групп, Н — подгруппа некоторой группы G. Легко видеть, что пересечение любых двух /С-отделимых подгрупп группы G снова является /С-отделимой подгруппой. Поэтому существует наименьшая /С-отделимая подгруппа группы G, содержащая подгруппу Н. Мы будем называть ее К-замыканием подгруппы Я в группе G и обозначать /C-C7G(#). Предложение 1.2.2. Имеет место равенство Если класс К, замкнут относительно взятия подгрупп и конечных прямых произведений, то для всякой подгруппы Me Q G): Доказательство. Прежде всего заметим, что произвольная подгруппа F группы G является /С-отделимой в этой группе тогда и только тогда, когда имеет место равенство Отсюда следует, что если подгруппа F /С-отделима в группе G и H F, то Заметим далее, что для любой подгруппы NeQK(G) Таким образом, подгруппа H\ сама является /С-отделимой в группе G и, следовательно, совпадает с fC-Clc(H).
Пусть теперь М— некоторая подгруппа из семейства nK(G). Если g — произвольный элемент множества GVC-Cl H), то g g HL хотя бы для одной подгруппы L є QziG) и, в частности, g і H(LnM). Так как класс К, предполагается замкнутым относительно взятия подгрупп и прямых произведений, то в силу предложения 1.2.1 подгруппа N=Lr\М принадлежит семейству l)c(G). Поэтому Таким образом, обратное же включение ввиду доказанного выше очевидно. Предложение 1.2.3. Если группа G К-аппроксимируема и подгруппа Н удовлетворяет некоторому нетривиальному тождеству w(x\, Х2,..., х„)= 1, то К-замыкание подгруппы Не группе G также удовлетворяет этому тождеству. Доказательство. В самом деле, пусть X\,Xj, ...,х„ — произвольные элементы подгруппы JC-CldH) и g=w(x\,x2, ...,х„). Тогда для любого гомоморфизма у є 4 ((7) Xi\/, JC2\/, ..., х„\/ є/Л/ и, следовательно, gi/= 1. Отсюда ввиду /С-аппроксимируемости группы G вытекает, что g-1. Докажем теперь два утверждения об отделимости подгрупп, справедливые для всех классов групп, рассматривающихся в данной работе. Предложение 1.2.4. Если группа G — К-аппроксимируема, то централизатор СсіМ) произвольного множества Afcz G является К-отделимой подгруппой. Доказательство. Пусть g є G — произвольный элемент, не принадлежащий централизатору С(М) множества М. Тогда хотя бы для одного элемента h є М коммутатор [g, h] отличен от единицы. Пользуясь /С-аппроксимируемостью группы G, выберем гомоморфизм у є (G), переводящий этот коммутатор в нетривиальный элемент. Тогда [gv/, hy] Ф1 и потому элемент g\/ не принадлежит централизатору множества М/ в группе 7і/. Остается лишь заметить, что этот централизатор содержит подгруппу Сс(Л/)у, откуда следует, что gy g C(M)\\f. Предложение 1.2.5. Пусть класс 1С замкнут относительно взятия подгрупп и конечных прямых произведений, G — К-аппроксимируемая группа, Н— подгруппа группы G. Если существует подгруппа Мє Q.K(G), тривиально пересекающаяся с Н, то подгруппа Н К-отделима в группе G. Доказательство. Пусть h — произвольный элемент подгруппы К.-С1с(Н). Тогда по модулю каждой подгруппы N& Cl G) он сравним с некоторым элемен
Отделимость нильпотентных подгрупп Л/о-аппроксимируемых групп
Теперь мы хотим показать, что в Ло-аппроксимируемых группах все тг -изолированные .ЛЛподгруппы являются „-отделимыми при любом выборе множества я. Сразу отметим, что применить для доказательства этого утверждения ту же идею, что и в теореме 1.2.7, оказывается затруднительно по следующим причинам. Для каждого элемента g Л/о-аппроксимируемой группы G и для каждой л -изолированной ЛГ-подгруппы Н можно указать гомоморфизм на Л/о-группу, переводящий g в элемент, не принадлежащий образу подгруппы Н. Однако последний не обязан быть при этом л -изолированной и, следовательно, -отделимой подгруппой. Поэтому продолжить это отображение до гомоморфизма на "„-группу, отделяющего gcrrH может оказаться невозможным. Приводимое далее рассуждение следует несколько иным путем, причем в действительности удается доказать более сильное утверждение, нежели то, что было сформулировано выше. Для начала мы расширим наши знания о я -изоляторах нильпотентных подгрупп. Полученные здесь результаты неоднократно будут применяться в дальнейшем. Предложение 1.5.1. Пусть G — Тп-аппроксимируемая группа, Н — нилъпотентная подгруппа группы G ступени с. Тогда % -изолятор подгруппы Н в группе G является нилъпотентной подгруппой ступени с и, следовательно, совпадает с множеством Доказательство. По условию подгруппа Я удовлетворяет тождеству Согласно предложению 1.2.3 этому тождеству удовлетворяет и -замыкание Т„-С1С(Н) подгруппы Н в группе G. Поэтому л -изолятор п -Зс(Н), лежащий в подгруппе Рк-СІоіН), оказывается нильпотентной группой ступени не выше с.
Так как, с другой стороны, он содержит подгруппу Н, то его ступень нильпотентности в точности равна с. Для локально циклических подгрупп доказанное предложение можно уточнить следующим образом. Предложение 1.5.2. В -аппроксимируемой группе -л!-изолятор произвольной локально циклической подгруппы является локально циклической группой. Доказательство. Пусть G — "„-аппроксимируемая группа и Я— ее локально циклическая подгруппа. Нам достаточно показать, что любые два элемента подгруппы л -3с(#) порождают циклическую подгруппу. Лемма.Пусть g,heG и hqe(g) для некоторого % -числа q. Тогда под группа (g, h) является циклической. Доказательство. Пусть / =g . Не ограничивая общности, мы можем считать, что число q является простым. Поэтому возможны лишь два случая: q\kи (k, q)=\. Если k=qk i то в силу предложения 1.3.4 h=g и (g, h)={g). Если же {к, q)= 1, то ku+qv= 1 для некоторых целых чисел и, v и, так как ввиду предложения 1.2.4 h є Cc(g), Таким образом, (g, h)={h"gv). Пусть теперь g и h — произвольные элементы подгруппы к -3(Н). Тогда согласно предыдущему предложению существуют такие л -числа q иг, что g, hq є Я. Обозначим через/порождающий подгруппы ( , hq). Применяя лемму к элементам h uf, мы видим, что подгруппа (f, h) является циклической и порождается некоторым элементом/і. Снова применяя лемму, теперь уже к элементам/і и g, получаем, что элементы g и h принадлежат циклической подгруппе (/ь g). Следующее утверждение также служит уточнением предложения 1.5.1 и одновременно представляет собой первую часть основной теоремы настоящего параграфа. Предложение 1.5.3. Пусть К. — класс -аппроксимируемых групп без кручения, замкнутый относительно взятия подгрупп и конечных прямых произведений. Тогда в любой К-аппроксимируемой группе -к -изолятор произвольной Н-подгруппы является К,-группой. Доказательство. Пусть G — /С-аппроксимируемая группа и Я — Л подгруппа группы G. Пользуясь предложением 1.2.6, выберем подгруппу Ne QK(G), тривиально пересекающуюся с подгруппой Н. Пусть g — произвольный элемент из пересечения K,-3( H)r\N. Ввиду аппроксимируемости группы G подгруппа п -ЗсЩ) совпадает с множест вом поэтому существует число q такое, что g4 еН. Заметим, что тогда элемент g4 принадлежит пересечению Hc\N и, следовательно, равен 1. Но группа G не имеет кручения, поэтому g= 1. Таким образом, n -3( H)r\N=\ и подгруппа 7i -3G(#) вкладывается в /С-группу GIN. Вторую половину нашей теоремы содержит Предложение 1.5.4. Пусть /С — класс -аппроксимируемых групп без кручения, замкнутый относительно взятия подгрупп и конечных прямых произведений, и пусть в любой К-группе „-замыкание произвольной Si-подгруппы совпадает с множеством тС-корней из этой подгруппы. Если группа G KL-an-проксимируема, то и в ней -замыкание произвольной Sx-подгруппы совпадает с множеством и!-корней из этой подгруппы. Доказательство. Пусть Я — некоторая S\ -подгруппа группы G и g — произвольный элемент из подгруппы FK-Cl(AH). Тогда для каждой подгруппы N є fijc(G) образ элемента g в фактор-группе GIN принадлежит подгруппе fn-ClGwiHN/N), которая по условию совпадает с множеством тс -корней из подгруппы HNIN. Пользуясь предложением 1.2.6, выберем подгруппу MeQK(G), тривиально пересекающуюся с Я. Ввиду сказанного выше порядок элемента gM фактор-группы G/M по модулю подгруппы HMIM конечен и равен некоторому тс -числу q. Мы хотим показать теперь, что для каждой подгруппы ЛГє Q.K{G), лежащей в М, порядок элемента gN по модулю подгруппы HNIN также равен q. Пусть NeClK(G) — произвольная подгруппа, лежащая в М, и пусть r= \gN\ (mod HN/N). Тогда (gM)r є НМІМи, следовательно, q делит г. Поскольку естественный гомоморфизм группы G на G/M действует инъ-ективно на подгруппе Я, существует единственный элемент А є Я такой, что hM=gqM. Точно так же имеется лишь один элемент /є Я, удовлетворяющий условию fN=grN. Из приведенных равенств вытекает, что h M=fM, где t=r/q. Но hT fe Я, а пересечение подгрупп Я и М тривиально. Поэтому/= /Л Тем самым, мы получаем следующие соотношения, имеющие место в фактор-группе GIN: Заметим теперь, что /С-группа GIN „-аппроксимируема и в силу предложения 1.3.4 обладает свойством однозначности извлечения л -корней. Отсюда (gN)g=hNe HNIN и, стало быть, порядок г элемента gN по модулю подгруппы HNIN совпадает с q. Итак, элемент g4 принадлежит подгруппе HN для каждой подгруппы Ne n (G), лежащей в М. Напомним, что в соответствии с предложением 1.2.5 подгруппа Я является /С-отделимой в группе G, т. е. К,-С1С(Н)=Н. С другой стороны, по предложению 1.2.2 Непосредственно из предложений 1.5.3 и 1.5.4, а также предложения 1.5.1 вытекает искомая Теорема 1.5.5. Пусть G — No-аппроксимируемая группа, Н — / -подгруппа группы G ступени с, тс — некоторое множество простых чисел. Тогда множество Tt -корней из подгруппы Я является -отделимой И-подгруппой ступени с. В частности, каждая тс -изолированная //-подгруппа группы G -отделима. Если группа G аппроксимируется конечно порожденными нилъпотент
Достаточные условия максимальности семейства A„(G)
Очевидно, что произвольная подгруппа из семейства Д„ (А) и Д„ (В) не является "„-отделимой в группе G. Нас теперь будут интересовать условия, при которых семейство Д„(Ст) является максимальным, т. е. содержит произвольную п -изолированную циклическую подгруппу группы G, не сопряженную ни с какой подгруппой из семейства Д„(Л)иД„(5). Каким образом это утверждение связано с „-аппроксимируемостью группы G, показывает Предложение 2.3.1. Максимальность семейства Дл( 7) влечет за собой -аппроксимируемость группы G тогда и только тогда, когда группы А и В -аппроксимируемы. Доказательство. Необходимость этого условия очевидна. Для проверки достаточности следует фактически повторить одно рассуждение из доказательства теоремы 2.2.2. Поскольку группы А и В „-аппроксимируемы, единичная подгруппа принадлежит семействам \(А) и Д„(5). Кроме того, отсюда следует, что в группах А и В (а потому и в G) отсутствует я -кручение. Это означает, что единичная подгруппа л -изолирована в группе G и, стало быть, ввиду максимальности семейства Д„( 7) "„-отделима. Имеет место следующее общее достаточное условие максимальности семейства Д„( 7), обобщающее аналогичный результат Г. Кима [21] о финитной отделимости циклических подгрупп группы G. Теорема 2.3.2. Пусть группы А и В -аппроксимируемы, и пусть группа G удовлетворяет следующим двум условиям: (2.3.3) подгруппы НиК -отделимы в группах А и В, соответственно; (2.3.4) VMeSUA) V//e Пп(В) 3(R, S) є 0„ (Я Мл S N). Тогда семейство Д„(С) является максимальным. Доказательство. Очевидно, что всякая подгруппа F группы А или группы В, "„-отделимая в А или в В, оказывается отделимой семействами QJA) или 0„(), соответственно. Поэтому, в частности, Д„(4)=Л„(Л), Д„(В)=Л„(5) и группа G удовлетворяет условию (2.2.4) теоремы 2.2.2. Кроме того, поскольку группы А и В „-аппроксимируемы, группа G удовлетворяет также условию (2.2.3) этой теоремы, что и дает требуемый результат. Отметим, что если А и В — конечные л-группы, то условие (2.3.3) выполняется автоматически, а „-аппроксимируемость группы G влечет за собой и справедливость условия (2.3.4).
Действительно, если группа G аппроксимируется классом Тт она обладает подгруппой NeQK(G), тривиально пересекающейся со свободными множителями. Отсюда (1,1) є 0Я, что делает утверждение (2.3.4) тривиальным. Следующий пример показывает однако, что в общем случае условия (2.3.3) и (2.3.4) теоремы 2.3.2 не являются необходимыми. Пример 2.3.5. Пусть С и D — некоторые группы, Е— подгруппа группы С, F— подгруппа группы D. Пусть далее группа Е\ изоморфна подгруппе Е и группа F\ изоморфна подгруппе F. Обозначим через А (обычное) свободное произведение групп С и F\, через В — свободное произведение групп D и Е\. Пусть также Н обозначает свободное произведение Е и F\, К — свободное произведение Е\ и F, так что Н А и К В. Зафиксируем некоторые изоморфизмы а группы Е\ на Е и (3 группы F\ на F. Ввиду предложения 2.1.3 отображения а-1 и Р продолжаемы до изоморфизма ф подгрупп Н и К. Таким образом, мы можем построить группу Лемма 1. Если группы С и D „-аппроксимируемы, то семейство A„(G) является максимальным. Доказательство. Пусть С=(сі,с2, ...;щ,и2, ...),D=(dx,d2,...; vb v2,...), 1=( , 2, ... 1, ,....), 1=(/1,/2,...; /1,/2, — — некоторые представления групп С, D, EyViF\. Тогда группа G имеет следующее представление: где e,-a — некоторое слово в символах сис2,... и/р — некоторое слово в символах d\,d2,... Исключая символы е\,е2,..., /,,/,... из числа образующих группы G и учитывая, что при этом каждое слово w( оказывается выводимым из соотношений «і, «2, а слово tj — из соотношений Vi, v2,..., мы приходим к представлению из которого вытекает, что группа G является обычным свободным произведением групп С и D. Следовательно, в силу следствия 2.2.9 л -изолированная циклическая подгруппа группы G „-отделима в этой группе тогда и только тогда, когда она поэтому каждая тс -изолированная циклическая подгруппа группы G, не сопряженная ни с какой подгруппой из семейства Ап(А)иАп(В), является „-отделимой в G. Таким образом, для группы G всегда справедливо утверждение теоремы 2.3.2. Если, однако, подгруппы Е и F не являются -отделимыми в группах С и Д то /"„-отделимость подгрупп Н и К в группах А и В также не имеет места. Следовательно, условие (2.3.3) теоремы 2.3.2 не является необходимым. Теперь мы хотим показать, что необходимым не будет и условие (2.3.4). В этом нам поможет Лемма 2. Если для группы G справедливо условие (2.3.4) и подгруппа Е -отделима в группе С, то каждая подгруппа С/є П„() также является -отделимой в группе С. Доказательство. Обозначим через U\ образ подгруппы U относительно изоморфизма ф и положим М=А, N=keipD,uty где рдс/, — гомоморфизм группы В. Группа BDVx изоморфна конечной я-группе EXIU\, поэтому N& QJB) и в силу условия (2.3.4) существует пара подгрупп (R, 5)є„ такая, что R MnS N. Пусть V=RnC. Тогда V&П„(С) и VnE= (RnH) nE=((Sn К) n,)qf /,ф_1 = U. Отсюда легко следует, что подгруппа U "„-отделима в группе С. В самом деле, пусть с є С — произвольный элемент, не принадлежащий подгруппе U. Если сеЕ,то ввиду "„-отделимости подгруппы Е найдется подгруппа L є ПЯ(С) такая, что с «е EL и, в частности, с UL. Если же с є , то, как нетрудно убедиться, с UV. U Таким образом, нам остается лишь привести пример группы С, обладающей такими подгруппами Е и U& П„(Е). что первая из них является "„-отделимой в группе С, а вторая — нет. В 1.4 части 1 был построен пример 1.4.3 расширения N конечной 71-группы М при помощи "„-аппроксимируемой группы, которое само уже не аппроксимируется классом \F%.
Отделимость циклических подгрупп в обобщенных свободных произведениях ограниченных нильпотентных групп с циклическим объединением
Как уже было отмечено, свойство "„-отделимости для множества тг, отличного от П, в литературе фактически не рассматривалось. Аппроксимируемость групп классом Т также изучена значительно менее финитной. Автору известно лишь три результата достаточно общего характера, полученных в этом направлении для обобщенных свободных произведений двух групп. Первый из них — это уже упоминавшийся критерий Г. Хигмена -аппроксимируемости свободного произведения с объединенной подгруппой двух конечных групп. Два других принадлежат Д. Н. Азарову и выглядят следующим образом. Предложение 2.5.1. 1) Пусть А и В — конечно порожденные нильпо-тентные Т„-аппроксимируемые группы, Н и К— бесконечные циклические подгруппы. Группа G „-аппроксимируема тогда и только тогда, когда подгруппы НиКявляются % -изолированными в свободных множителях А и В [38]. 2) Пусть А и В — свободные группы, НиК — циклические подгруппы. Группа G -аппроксимируема тогда и только тогда, когда подгруппы НиК к -изолированы в группах А и В, либо хотя бы одна из этих подгрупп является изолированной в соответствующем свободном множителе [36]. Отметим, что частный случай приведенного утверждения для одноэлементного множества я доказан также Г. Кимом и С. Тангом в [23]. В данном параграфе мы получим некоторое обобщение результатов из предложения 2.5.1, но сначала докажем несколько утверждений об -отделимости циклических подгрупп в группе G. Техника доказательства аппроксимационных свойств группы G в случае 7t= {/ }, вообще говоря, сложнее, нежели в случае 71=П. В этом уже можно было убедиться на примере 2.3. Поэтому, как правило, мы можем лишь надеяться получить /7-аналоги отдельных результатов об отделимости подгрупп и аппроксимируемости группы G в классе Fn. Однако, в случае циклической объединяемой подгруппы ситуация складывается прямо противоположная. Если свободное произведение двух 7гс-групп с циклическим объединением может, вообще говоря, не быть лс-группой, то свободное произведение двух -аппроксимируемых групп с . -отделимыми циклическими объединяемыми подгруппами всегда является -аппроксимируемой группой [22] и обладает максимальным семейством J -отделимых циклических подгрупп. В действительности, имеет место еще более сильное утверждение, к доказательству которого мы сейчас и переходим. Предложение 2.5.2. Произвольная Рр-аппроксимируемая группа Тр-регу-лярна по любой локально циклической подгруппе.
Доказательство. Пусть А — . -аппроксимируемая группа и Я— ее локально циклическая подгруппа. Заметим прежде всего, что произвольная подгруппа Миз семейства Пп(#) совпадает с подгруппой Нт, где т=[Н: М]. В самом деле, Нт М. С другой стороны, фактор-группа Н/Нт является циклической, и порядки всех ее элементов делят т. Поэтому индекс подгруппы Нт в Н также делит т и, следовательно, Нт=М. Пусть теперь М— некоторая подгруппа из семейства ПР(Н) и h — порождающий подгруппы Н по модулю М. Пользуясь -аппроксимируемостью группы Л, выберем подгруппу Ne Q.p(A) таким образом, чтобы h N дня любого ненулевого натурального /, меньшего индекса т подгруппы М в группе Н. Так как все элементы h , 0 t m, лежат в различных смежных классах по модулю подгруппы N, индекс п пересечения Nr\H в группе Н не меньше т. Поскольку т и п являются к тому жер-числами, отсюда следует, что т делит п и Nr\H M. Пусть N=N0 Ni ... Nt=A —прообразы членов некоторого главного ряда фактор-группы AIN относительно естественного гомоморфизма на эту группу. Тогда индексы в Н подгрупп из последовательности заполняют все множество положительных р-чисел, не превосходящих w, и, так как группа Н обладает единственной подгруппой индекса т, то найдется такое к, что Nkr\H=M. Из доказанного с учетом предложения 2.3.12 следует, что если подгруп пыНпК являются локально циклическими и группы А и В -аппроксимируемы, то справедливы равенства р(А)=Пр(А) и р(В)=Пр(В), откуда Ар(А)=Ар(А) иАр(В)=Ар(В). Теорема 2.5.3. Пусть А и В — -аппроксимируемые группы, Н и К — локально циклические подгруппы, Тр-отделимые в свободных множителях А и В. Тогда семейство Ap(G) является максимальным. Доказательство. Ввиду предложений 2.5.2 и 2.3.17 группа G является р-квазирегулярной по подгруппе Я, поэтому в силу предложения 2.3.14 для нее имеет место условие (2.3.4) теоремы 2.3.2. Из данной теоремы и вытекает требуемый результат. В этом и следующем параграфах мы получим целый ряд достаточных условий максимальности семейства AP(G) в случае, когда объединяемые подгруппы являются конечными. Первым из них является Следствие 2.5.4. Пусть группы АиВ -аппроксимируемы, Ни К — конечные циклические подгруппы. Тогда семейство AP(G) является максимальным. Напомним, что в силу следствия 1.5.6 все я -изолированные «S-подгруп-пы расширения Л/о-аппроксимируемой группы при помощи конечной я-группы являются . -отделимыми. Это замечание позволяет привести Следствие 2.5.5. Пусть группы АиВ представляют собой расширения Мъ-аппроксимируемых групп при помощи конечных р-групп, Н и К являются локально циклическими S-подгруппами, р -изолированными в свободных множителях АиВ. Тогда в группе G все р -изолированные циклические подгруппы Тр-отделимы. Аналогичное утверждение можно было бы сформулировать и для случая, когда группы А и В являются расширениями Л -групп при помощи конечных р-групп. Однако, оно вытекает из приведенного.
Действительно, пусть группа А представляет собой расширение Л -груп-пы С при помощи конечной -группы. Выберем подгруппу Мє ПДС) таким образом, чтобы пересечение Мпх(С) было тривиально, и положим Тогда подгруппа L принадлежит семейству 1Р(А) и не имеет кручения. Таким образом, группа А оказывается расширением JVo-группы при помощи конечной р-группы. Такое же рассуждение справедливо и для группы В. Перейдем теперь к обобщению результатов из предложения 2.5.1. Как и при доказательстве предыдущей теоремы, важную роль здесь будет играть Предложение 2.5.6. Ы-группы и -аппроксимируемые группы являются Тр-регулярными по любой локально циклической подгруппе для каждого простого числа р. Доказательство. Для Л/о-аппроксимируемых групп утверждение вытекает из предложения 2.5.2, поскольку все они . -аппроксимируемы для любого простого р. Пусть А — ограниченная нильпотентная группа, Н — ее локально циклическая подгруппа иМ — некоторая подгруппа из семейства ПДН). Так как фактор-группа А/Т, где Т=хр(А\ . -аппроксимируема, то снова в силу предложения 2.5.2 существует подгруппа МТеПр(А/Т) такая, что N/TnHT/T=MT/T. Покажем, что тогда Nn H=M. Поскольку MT N, имеет место включение McNn H. Обратно, пусть g — произвольный элемент из NnH. Тогда он принадлежит подгруппе МТ и, следовательно, может быть записан в виде g=ht для подходящих элементов heM, teT. Но подгруппа М лежит в Я и имеет р-ин-декс в этой подгруппе, поэтому t єНг\Т=тр(Н) М. Таким образом,gєМ. Предложение 2.5.7. Пусть % — некоторое множество простых чисел, X— нильпотентная или Тр-аппроксимируемая для каждого числа ре п группа, Y— к -изолированная нильпотентная подгруппа группы X Тогда для каждого элемента xeX\Y можно указать такое число реп, что х не принадлежит р -изолятору подгруппы Ye группе X. Доказательство. В самом деле, если порядок элемента х по модулю подгруппы Yконечен и равен п, выберем в качестве/? некоторый простой делитель числа п. Ввиду л -изолированности подгруппы Y п является я-числом, поэтому рек. При этом элемент х не принадлежит множеству р -корней из подгруппы Y, которое в силу предложений 1.4.5 и 1.5.1 совпадает ср -изолято-ром подгруппы Г в группе X. Если же порядок х по модулю Y бесконечен, то х ep -3x(Y) для любого числа р е я. Следующее утверждение представляет собой обобщение результата Д. Н. Азарова, сформулированного в предложении 2.5.1 1). Теорема 2.5.8. Пусть А и В — Мк-группы или И -аппроксимируемые группы, Н и К — локально циклические Ы-подгруппы, к -изолированные в А ив В, соответственно {условие Н, К є N выполняется автоматически, если хотя бы один из свободных множителей является Ытсгруппои). Тогда в группе G все % -изолированные циклические подгруппы „-отделимы. Доказательство. Нам достаточно показать, что произвольная л -изоли-рованная локально циклическая Л/"-подгруппа группы А (группы Б) отделима семейством 0 п(А) (соответственно, семейством К(В)). Поскольку единичная подгруппа группы G ввиду "„-аппроксимируемости групп А и В является ті -изолированной, в этом случае будут выполнены условия (2.2.3) и (2.2.4) теоремы 2.2.2. Так как, к тому же, семейства Лп(А) и Ап(В) оказываются пустыми, из утверждения этой теоремы мы и получим требуемый результат. Итак, пусть С — некоторая я -изолированная локально циклическая
